m = 0
với mọi X gần a, chuỗi này hội tụ đều và tuyệt đối gần a.
Khai triển thuần nhất được sử dụng tốt hơn chuỗi lũy thừa nói chung. Trong thực tế, ta sẽ thấy rằng nếu u là điều hòa trên íỉ và B (a, r) c íl thì khai triển t.huần nhất (1.7) đúng với mọi X E B (a, r). Điều này gợi nhớ lại kết quả về chuỗi lũy thừa của hàm giải tích một biến phức. Thật vậy, nếu
u giải tích trên ũ c M2 = c, thì do tính chất duy nhất của
khai triển thuần nhất, (1.7) chính là chuỗi lũy thừa giải tích của u trong
B ( a , r ) .
1.2.1. Định lý Liouville
Định lý 1.12. [Định lý Liouville] Hàm diều hò ã hi chặn trên R n là hầm hằng.
Chứng minh. Giả sử и là hàm điều hòa trcn Rn, bị chặn bởi M. Cho X E
Mn và r > Ü. Từ tính chất giá trị trung binh (Định lý
1
/ udV- / udV
B (x . r) J D(0, r)
< M
v ( B { 0 , r ) Y
Trong đó Vr là hiệu đối xứng của в (x,r) và в (0, r),
Vr = [ В (x, г ) и В (0, r ) \ B ( x , r) п В (0, r)].
Mà vế phải ỏ bất đẳng thức trôn tiến về 0 khi r — > oo. Do đó и (X ) = и
(0) vì vậy и ( x ) là hàm hằng. □
Ta sử dụng Định lý Liouville để chứng minh một kết quả duy nhất về hàm điều hòa bị chặn trên nửa không gian mở. Cho nửa không gian trcn H = Hn mở trôn Rn được định nghĩa bỏi:
H = { x G Rn : xn > 0} .
Trong phần này, ta đồng nhất Rn với Rn_1 X R bằng cách viết zeR", z = ( x , y ) với X G Rn_1 và y G M. Ta cũng đồng nhất d H với Mn_1.
Hệ quả 1.5. Giả sử и là hàm liên tục, bị chặn trên H và lằ, liàm điều hòâ trên H. Nếu и = 0 trên ÕH thì и = 0 trên H.
Chứng minh. Với mọi ï G R"'1 và у < 0 ta đặt и (x, y) = —u (x, — ỳ ) . Khi đó, ta thác triển и thành hàm liên tục bị chặn trên toàn Rn.
1.2
I?/ (x) — и
(0)1 V ( B ( 0 , r ) )
hòa trên M7i. Theo Định lý Liouville 1.12 suy ra u là hàm hằng trên R
□
Giả thiết bị chặn trong hộ quả trcn là cần thiết; ví dụ, hàm u ( x , y) = y là liên tục trên điều hòa trên H và bằng 0 trên Rn_1.
1.2.2. Điểm kì dị cô lập
Ta biết rằng, điểm kì dị cô lập của một hàm giải tích bị chặn là bỏ được. Sau đây ta chỉ ra điều đó cũng đúng đối với hàm điều hòa bị chặn. Cho a G íỉ là điếm kì dị cô lập của hàm u trên íí\ {a}. Khi u là điều hòa trẽn í ì \ {a}, điểm kì dị a được gọi là bỏ được nếu u có một thác triển điều hòa lên Q.
Định lý 1.13. Điểm kì dị bị cô lập của một hầm điều hò a hị chặn là bỏ được.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng rninli rằng nếu u là hàm điều hòa, bị chặn trên B\ {0} thì U có một thác triển điều hòa lên B. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng u có giá trị thực, ứng cử viên cho thác triển điều hòa của u lên B là tích phân Poisson p [ u \ s ] .
Đầu tiên, giả sử n > 2. Với ổ > 0, ta định nghĩa hàm điều hòa ve trên B \ {0} bởi :
v£ ( X) = u (x) — p [ u |s] ( x ) + £ ộx|2-,í — 1^ .
v£ (X ) —» 0 khi |x| —»• 1. Do u bị chặn nên v£ ( x ) +oo thay “lim sup” bằng “lim inf”:
Theo Định lý
khi X —>• 0. Do đó theo Hộ quả
V e (x) > 0 trong B \ {()}. Cho £ — > 0, ta kết luận u — p [ u Is] > 0 trong B \ {0}. Thay u bởi — uì ta có I I — p [ l í |s] < 0
1.4
suy ra u = p [ u |s] trong B \ {0}. Do đó, p [ l i |s] là thác triển điều hòa của u lên B .
Khi n = 2 chứng minh hoàn toàn tương tự, ngoại trừ viộc thay ộx|2_n
— 1^ bỏi logl/|x| .
1.2.3. Nguyên lý cực đại
Hộ quả h2 là nguycn lý cực đại dạng tổng quát nhất. Nó nói rằng, nếu u là hàm điều hòa có giá trị thực trên íỉ và l i < M trên biên của Í2 thì u < M trên Q . Vấn đề ở chỗ ta cần coi oo là một điểm trên biên khi
Q. không bị chặn ( ví dụ hàm u ( x , y ) = y trcn nửa không gian trên H2
cho thấy điều đó). Nói chung ta có thể bỏ qua điểm oo khi u bị chặn. Định lý sau đây cho ta thấy điều này là có thể trong trường hợp hai chiều.
Định lý 1.14. Giả sử Q c M2 và 0 7^ R 2 , nếu u là hàm điều iiòa có gìấ trị thực và hị chặn trôn íì thỏa mãn
lim sup u ( o , ỵ ) < M (1-8)
k —^ oc
với mọi dãy ( ak) trên íì hội tụ tới một điểm trên díì thì u < M trên íì.
Chứng minh. Vì íì ^ M2 nên dCt khác rỗng. Cho ổ > 0, chọn một dãy trên íì hội tụ tới một điểm trên ỠQ. Theo giả thiết , u < M + £ trên phần cuối của dãy đó. Suy ra tồn tại hình cầu đóng B (a, r) c Í2 sao cho trcn đó u < M + £.
Đặt íĩ' = Í Ĩ \ B (a, r ) và
V (2) = log
r
với z G ũ ' . Khi đó V > 0 và điều hòa trên ry, V ( z ) —» (X) khi
Với t > 0: L O ị = u — M — £ — t v là hàm điều hòa trên ry. Từ (1.8) suy ra lim supcO ị ( ak) < 0, với mọi dãy ( d k ) c £ 1 ' hội tụ tới một điểm trên
k ^ oc
di}'. Trong khi đó, do tính bị chặn của u trên íl' suy ra uj ị ( ữk) — ỳ ’ — o o
với mọi dãy (a,k) hội tụ tới oo trên ry. Theo Hệ quả 1.2 suy ra (dị < 0 trẽn
Q'.
Cho t —>• 0 suy ra ĨI < M + £ trên íì'. Vì u < M + e trên B (a, r) nên u < M
+ £ trcn toàn íì. Do £ nhỏ từy ý nôn u < M trcn Í2. □
Dịnh lý 1.14 không còn đúng trong không gian có số chiều lớn hơn 2. Ví dụ, cho íì = {x e Rn : |x| > 1} và đặt u (x) = 1 — |x|2_7ỉ. Nếu n > 2, thì u là hàm điều hòa bị chặn trên íỉ, u = 0 trên nhưng u không đồng nhất bằng 0 trên Ví.
Tuy nhiên, nguyên lý cực đại sau đây vẫn đúng với mọi n. Nhớ lại Hn là nửa không gian trên trên w\
Định lý 1.15. Giả sử Q c Hn. Nếu u là hàm điều hòa bị chặn, có giá tri thực trên Q thỏa mãn:
lim sup ĨI ( ak) < M
k —> oo
với mọi dẵy (ữjt) c íl hội tụ tới một điểm trẽn ỠQ thì u < M trciì Q.
Chứng minh. Với ( x , y ) G xét
n-1
( x , y ) = Ỵ2 log ( xk2 + ( y + l)2)
k = l
Ta có V > 0 và là hàm điều hòa trên V ( z ) — > oo khi z ootrên
1.3.1. Định lý Liouville
Ớ phần hàm điều hòa bị chặn ta đã chứng minh một hàm điều hòa bị chặn trcn Wl là hàm hằng. Bây giờ ta sẽ mở rộng kết quả đó.
Định lý 1.16. [Dinh lý Liouviỉỉe đối với hàm điều hòa dương] Mọi hầm điều hòa dương trên R n đều lằ hầm hằng.
Chứng minh. Giả sử u là hàm điều hòa dương trên Mn. cố định X E Mn, lấy
r > \x\ và gọi Vr là hiệu đối xứng của hình cần B (x, r) và B (0, r). Theo tính chất giá trị trung bình (Định lý 1.2) ta có:
1
u (x) — u (0) =
V(B(0,r))
Vì các tích phân của u trôn B (x, r) n B (0,r) triột tiôu lẫn nhau (xcm Hình 1.2) nên ta có: 1 I?/ ( x ) — u (0)1 < V ( B ( Q , r ) ) JV t 1 r < IudV— / UCỈV L^B(0,r+|a;|) J B (0, r-\ x \ ) ■u (0) Cho r —> oo ta có u (x) = u (0), chứng tỏ u là hàm hằng.
Hệ quả 1.6. Hàm điều hòã dương trẽn IR 2 \ {0} là hàm hằng.
Chứng minh. Nếu u > 0 và u là điều hòa trôn ]R2\ {()} thì hàm z i->
u ( ez) là dương và điều hòa trên R2(= C). Do đó theo Định lý
1.16 z !->> u (ez) là hàm hằng. Điều này chứng tỏ u là hàm hằng. □ I udV — / udV LJ B {x , r ) • ' D ( O . r ) u d V u d V V ( B ( Q , r ) ) ( r + |x|)n — ( r — |x|) □
Hình 1.2: Hiệu đối xứng Vr của hình cầu B ( x , r ) và B (0,r).
Trong không gian có số chiồu lớn hơn2thì Hộ quả L6nói chungkhông đúng; ví dụ, hàm |x|2_n > 0 và là hàmđiều hòa dương trên M?7 \{()} khi
n > 2. Ta sẽ phân loại hàm điều hòa dương trên W l \ {0} với n > 2 sau khi chứng minh Định lý Bôcher.
1.3.2. Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack
Hàm điều hòa dương không thể dao động quá lớn trên một tập com- pact K c Í2 nếu Q là liên thông; điều này được chỉ ra ở bất đẳng thức Harnack. Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt, ở đó í ì là hình cầu đơn vị mỏ.
Định lý 1.17. [Bất đẳng thức Harnãck với hình cầu (Bất đẳng thức Hãnmck thứ nhắt)]
Nếu u là hàm điều hòa dương trên B với mọi XE B thì tã có:
1 — \ x \ . . . . l + |x|