Chứng minh. Ta chỉ còn phải kiểm tra tính chất (c). Cụ thể, ta chứng minh rằng không gian sinh bởi u^=07^m ( S ) là trù mật trong L 2 (s ). Từ Định lý Stone-Weierstrass thì tập các đa thức trù mật trong c (s ) đối
với chuẫn sup. Do đó, Hệ quả 3A suy ra họ các tổng hữu hạn của các hàm điều hòa cầu là trù mật trong c (s ). Vì c (s ) là trù mật trong L 2 ( S ) và |.|i2 s 1‘li». Nên họ các tổng của các hàm điều hòa cầu là trù mật trong L 2 ( S ) . Nói cách khác, không gian sinh bởi u ^ = 0 7 í m (s ) là trù mật trong L 2 (s ). □
3.2. Hàm điều hòa đới cầu
Bây giờ xét ĩ i m ( S ) là một không gian Hilbert với tích vô hướng trong L 2
( S ) và kí hiệu là (,).
Cố định một điểm r j G s , xét ánh xạ :
với mọi p E 'Hm (S).
Hàm điều hòa cầu z , n được gọi là h à m , đ i ề u h ò a đ ớ i c ấ u b ậ c m , v ớ i c ự c 7 ] . Thuật ngữ này xuất phát từ tính chất hình học của Z v mà sẽ được giải thích ngay sau đâ.y. Quy ước viết Z v ( ( ) = z (£, '/7). Nếu muốn chỉ rõ là đa thức bậc m thì ta viết z m (C7?)-
Ta dỗ dàng tính được zm khi n = 2. Rõ ràng z0 = 1. Với m > 0, l ~ L m (s ) là không gian hai chiều được sinh bởi {eimớ, e-imớ}. Do đó nếu cố định e i t p G
s thì tồn tại các hằng số a ì ß G с sao cho Z m ( e i ỡ , e i ọ ) = a e i m ỡ + ß e~ i r n e .
Theo định nghĩa của hàm điều hòa đới cầu ta có:
với mọi 7, ố G С. Do đó a = e i m f p và ß = é i m v . Vậy
zm ( é \ ei ọ) = + ei m (* -e ) = 2 COS m ị ờ - i p ) . (3.5)
Trỏ lại trường hợp n > 2 tùy ý, giả sử p £ % m ( S ) lấy giá trị thực. Khi đó
о = Imp ( rj) = Im / pZvda = — p (Im Zv) dơ.
Lấy p = ImZ v ta suy ra:
suy ra ImZ v = 0. Kết luận: mọi Z v đều có giá trị thực. 7a + öß
Anh xạ này tuyến tính do đó tồn tại duy nhất Zn E 7ím (s) sao cho:
65 5
Bây giờ xét cơ sở trực chuẩn bất kì P i , . . . , p h m của ' H m (S), ở đó h m là số chiều ( trẽn c ) của không gian vectơ T í m (s ). Khi đó:
hr n ỈI J n