Z T (I ]) — TỊ °T 1.
3.3. Hàmđiều hòa cầu qua phép lấy vi phân
Giả sử n > 2, ta hãy tính một vài vi phân của hàm |x|2-n. Ta thấy đáp số luôn có cùng dạng là một đa thức chia cho một lũy thừa của \ x \ . Ví dụ,
ỵ N (2 — n ) (\x\2
— n X ị2' )
--- I., ’■
Chú ý rằng đa thức trên tử số là hàm điều hòa. Điều này không ngẫu nhiên- đạo hàm |x|2_nđúng k lần ta sẽ có một đa thức điều hòa thuần nhất bậc k chia cho \ x \ n ~ 2 + 2 h . Hơn nữa, mọi đa thức điều hòa thuần nhất đều xuất hiện trên tử theo cách này. Điều này cho thấy làm thế nào ta sẽ có được đa thức điều hòa thuần nhất.
Dầu tiên ta lấy vi phân |x|2_n và sau đó áp dụng phép biến đổi Kelvin. Chủ ý rằng nếu p là một đa thức thuần nhất trên R” bậc m thì K [ p ị (x) =
\ x \ 2 ~ n ~ 2 m p ( x ) .
ị n + m, — 1 ^
H }
к и = ( А - 1 - 9 T Ẽ D J K m (4 — n — 2 ra) Chứng minh. VìD j p GT L m - i (Mn) nên ta có: К [Djp} (X) = \x\4~n~2mDj'p (X) Do đó: Ẻ °, к Ш w - Ẻ - - 1\x\ j=1 j=l 1 1 (4 — n — 2m) X• Vp (ж) + \ x \ 2 A p ( x ) I _| /ỉ + 2?n —2 \x\ (4 — n — 2m) X ■ Vp (X) I in + 2?7i —2 \x\ 777, (4 — n — 2 m ) p (x) I 1П + 2/П-2 = m (4 — n — 2m ) к [ р ] (x), trong đó, ta đã sử đẳng thức X ■ Ụ p (X ) = m , p (X ) □ Để trình bày kết quả tiếp theo, xét đa thức điều hòathuần nhất
p {x) = X ị2 - x22.
Ta dỗ dàng tính được:
К p (D) |x|2_n = (n — 2) n [xị2 — x22) .
Vế phải là bội hằng số của p . Định lý tiếp theo chỉ ra rằng điều này luôn xảy ra khi p là một đa thức điều hòa thuần nhất.
Định lý 3.4. Với 1Ĩ>2, cho p G lĩm (R n ). Khi đó:
p = cmK p ( D ) \x trong đó cm = njl, (4 - I 2 — n n - 2j)~\
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo 772. Rõ ràng định lý đúng với m = 0.
Giả sử định lý đúng với m, — 1 và m > 0.
Cho p G Tím (]Rn). Chú ý rằng Djp € 'Hm-I (Kn). Do đó từ Bổ đề giả thiết quy nạp, ta có: 1 3.1 vá n E tD^] j=i n ỵ^D3K [K [(D,P) (D)kl2-"' ó — 1 K\p\ m (4 — Cm —n — 1 2m) ’ m (4 — n — 2m) = — Êm Áửi [(0jP) (0)1*1 'j=i = — D ■ (Vp) (D) |a:|2“" 2 — n I 2 — 77 cmp (D) \x
điều phải chứng minh.
Sau đây là kết quả chính trong phần này. Đinh lý 3.5. Với n>2, ủa có :
(Rn) là không giãn tuyến tính sinh bởi:
□
I 2 — 77
Dn\x
và Hm (S) lầ khổng giãn tuyến tính sinh bởi:
I^Ơ^Ịa:!2 Is : \ a \ = m
Chứng minh. Dặt c là không gian tuyến tính sinh bởi
3.4và do tính tuyến tính của K ) . Cho a là đa chỉ số bậc m . Ta viết:
I 2 — 77.
Da\x
lihif trong Định lý 3.2, chú ý rằng D a \ x \ 2 n = p m (D ) \ x \ 2 n (vì |x| 2 ” là hàm điều hòa). Do đó pm 6ĩ i m (Mn) nên к D a \ x \ 2 ~ n G ĩ i m (Mn) (theo Định lý 3.4) suy ra с с H m ( Шп) .
Vì К [ f ] = f với mọi hàm / xác định trêns suy ra khẳng định thứ hai
của định lý. □
Ta đã tập trưng trong phần này với n > 2. Kết quảvẫn đúng khi
Kết luận
Luận văn đã tìrri hiểu về hàm điều hòa giá trị phức, các tính chất cơ bản của hàm điều hòa như tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực trị, phcp biến đổi Kelvin và ứng dụng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet bên ngoài mặt cầu.
đới cầu và các tính chất của chúng. Qua đó ta thấy được mối liên hệ giữa họ các tổng của các hàm điều hòa cầu với các hàm bình phương khả tích; đặc biệt khi ta áp dụng plìéỊ) biến đổi Kelvin và phép lấy vi phân đối với một hàm điều hòa cầu cho ta thấy là thế nào để có được đa thức điều hòa thuần nhất.