u(y) „ /3(l/2)»t(6) ^ß (1/2)
1.3.3. Đặc trưng của hàmđiều hòadương
Trong Ị)hần này ta chứng minh Định lý Bôcher về đặc trưng của hàm điều hòa dương trong lân cận của điếm kì dị bị cô lập.
Nhớ lại rằng, khi n = 2 thì hàm log(l/|x|) là hàm điều hòa dương trên B \ {0}. Còn khi n > 2 thì hàm \ x \ 2 1 1 là hàm điều hòa dương trên B \ {0}. Nói chung, Định lý Bôcher chỉ ra rằng trong lân cận của một điểm kì dị, hàm điều hòa
40 0
dương phải có dáng điệu giống như một trong hai hàm đó.
Định lý 1.20. [Định ỉỷ Bôchcr] Giả sử и là hầm điều hòa dương trõn B\
{()}. Khi đó, tồn tại một hầm điều hòa V trên в vầ một hằng số b > 0 sao cho trên B\ {0},
(a)и (x) = blog (1/ |x|) + V ( x ) , 11CU n = 2.
(b)и (X) = b \ x \2 n + V ( x ) , n ế u n > 2.
Ba bố đồ sau đây sẽ được sử dụng đổ chứng minh Định lý Bôchcr. Bổ đề đầu tiên mô tả trung bình cầu của một lìàrri điều hòa trong một hình cầu. Với một hàm и liên tục xác định trên B \ {0}, ta định nghĩa A [w] ( x ) là trung bình của и trcn hình cầu bán kính |x| bỏi:
Л[ц](х) = ị H(|a:|C)do-(C)
Js
với X £ B \ {0}.
Bổ đè 1.2. Nếu и ỉầ hầm điều hò a trên B\ {()} thì tồn tại lìầng số b vầ с sao cho trên B\ {0};
(a) A [ü] (x) = b log (1/ \ x \ ) + c , n ế u n = 2. (b)A [?i] (x) = b\x\2~n + c, nếu n > 2.
Đặc biệt, А [м] là hầm điều lìòã trẽn B\ {0}.
Chứng minh. Cho d s là độ đo diộn tích mặt (chưa chuẩn hóa). Định nghĩa hàm / trên (0,1) bởi:
f(r) = í u(rQds{C); ■' s
thì A [ u ] (x) là một tích của một hằng số với f ( \ x \ ) . Vì u khả vi liên tục trên B \ { 0 } nên ta có thể tính /' bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân:
41 1
f ( r ) = Ị í • (Vm) (r() ds ( ( ) = r - ỉ T - (Vu) (t) ds (r).Js J rS Js J rS Giả sử 0 < r0 < T ị < 1 và íì = {x € Kn : r0 < |x| < ri}. Áp dụng Định lý Ostrogradski với Vĩí ta có: / n • \7uds = / AudV, ỡỉ] J íì
ở đó n là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên ỡ f ì . Vì u là hàm điều hòa trcn í ì
nôn vế phải của :
/ n -'Ụuds= / A udV;
Jdíl Jiì
bằng 0. Cũng lưu ý rằng d ữ = r 0 S u r i S và n = — r/r0 trên r 0 S và n = — r/ri trên r16r. Do đó phương trình trên tương đương với phương trình sau:
— Í T■ (Vu) (t) ds (t) = — [ T- (Vw) (r) ds (r), ro J r0S
n Jr is
Điều này có nghĩa là /' (r) bằng tích của một hằng số với r 1 ~ n (0 <
r < 1) hay f ' ( r ) = bírỉ~n = > f ( r ) = 61og(l/r) + c nếu 77, = 2 hoặc/ (r) = b r 2 ~ n + c nếu n > 2. Suy ra [w] (x) = òlog (1/ |x|) + c nếu / (r) = b r 2 ~ n + c nếu n > 2. Suy ra [w] (x) = òlog (1/ |x|) + c nếu
n = 2 hoặc Ẩ [w] (x) = 6|x|2_n + c nếu n > 2. □
42 2
B \ {0} là một trong những hàm được xác định trong (a) hoặc (6) (một hàm là radial nếu giá trị của nó tại Xchỉ phụ thuộc vào |x| ). Thật vậy, nếu
u là radial thì a = A [?/].
Bổ đề tiếp theo là một phiên bản của bất đăng thức Harnack nhưng cho phép Xvà ybiến thiên trên một tập không compact, thỏa mãn
Bổ đề 1.3. Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho với mọi hàm điều hòã dương u trong B\ {0} ủa có:
cu (y) < u ( X)
v ớ i 0 < |x| = \ y \ < 1/2.
Chứng minh. Từ Nguycn lý Harnack, với = B \ {0} và K = (1/2) s , tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mọi hàm điều hòa dương u trong B \ {0} ta có c u ( y) < u (X ) với |x| = \ y \ = 1/2. Áp
kết này cho
co giãn ur ì 0 < r < 1 ta có điều phải chứng minh. □
Bổ đề này sau đây là một kết quả đặc trưng của một hàm điều hòa dương trcn B \ {0} và bằng 0 trcn s . Bổ đè này rất hữu ích trong viộc chứng minh Dịnh lý Bôcher.
Bổ đề 1.4. Nếu u là hàm điều hòa dương trên B\ {0} và u ( X) —>■ 0
khi |x| —> 1 thì tồn tại hằng số dương b sao cho:
(a) u ( x ) = b log (1/ |x|), k h i n = 2.
Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên
43 3
(b) u (X ) = b ộx|2_n — 1^, k h i n > 2.
Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên
44 4
Chứng minh. Từ Bổ đồ |l. 2 [ ta chỉ cần chỉ ra rằng и = A [ ũ ị trong
B\ {0}. Giả sử ta có thể chỉ ra rằng и > A [u] trong в\ {0}. Khi đó, nếu
có một điểm X G B \ {0} sao cho и (ir) > А [?/] (X ) thì ta có:
А [м] (x) > A [A [îz] (x)] = A [и] (X),
(mâu thuẫn). Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng и > A[w] trong в\ {0}. Thật vậy, gọi сlà hằng số trong Bổ đề 1.3. Theo Bổ đề 1.2, и — CẢ [u
là hàm điều hòa trôn B \ {0}. Theo Bổ đồ 1.3, и (X ) — с А [ и ] (X ) > о пси о < |х| < 1/2 và rõ ràng и (х ) — с А [it] (X ) —»■ о khi \ х \ — > ■ 1 (theo giả thiết về и ) . Từ nguyên lý cực tiểu đối với hàm điều hòa suy ra и
— с А [?/,] > о trong в \ {0}.
Та muốn lặp lại kết quả này, để làm điều đó ta đặt:
g{t) = c + t{ 1 - c) với t G [0,1]. Giả sử ta biết rằng:
UJ = и — tA Ы > 0
trong B \ {0}, với một giá trị t G [о, 1]. DoL ú (X ) — > 0 khi
|x| - ỳ - 1 nôn áp
dụng lập luận trước đó cl'10 i Ü ta có:
ÜJ — cA [lü] = и — g (t) A [?/] > о
trong в\ {0}. Quá trình này có thổ được tiếp tục. Bằngcố,ch đặt là bước lặp thứ r n của g ta có:
и - g{ m ) (í) А [и] > о
(1.10
)Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên