Chứng minh. Nếu u là hàm điều hòa dương trên bao đóng của. hình cầu đơn vị B thì u { x ) = P[w|s] (x) ■u {C)dơ(0 1 I I2 1 — m < (1 - 1*1)” J s 1\x I . . =---^~TU (0) (1 - kl)
với mọi X G B . Nếu u là hàm điều hòa dương trên B thì áp dụng kết quả trên đối với hàm co giãn u r rồi lấy giới hạn khi r — > 1 ta vẫn có khẳng định đó. Vậy ta có bất đẳng thức thứ hai. Bất đẳng' thức thứ nhất được chứng minh
tương tự. □
Với 0 < t < 1, đặt a ( t ) = (1 — t ) / (1 + t) n_1 và
( t ) = (1 + t ) /(1 — t ) n ~ l . Sau một phép tịnh tiến và co giãn, bất đẳng thức Harnack với hình cầu cho ta thấy nếu u là hàm điều hòa dương trên B (a, R ) và \ x — a \ < r < R thì
a ( r/R) u (a) < u ( X) < Ẹ> (r/R) u (a). (1-9)
Định lý 1.18. [Bất đẳng thức Hãrnack (Bất đẳng thức
Hãrnack thứ hãi)]
Giả sử rằng Ũ là liên thông và K là tập con compacẨ của Vt. Khỉ đó, tồn tại một hằng số c G (l,oo) sao cho:
I < < c c u (X ) 3 6 1 I I2 1 — \x\ \x - Cl
với mọi X, y G K và m,ọi hàm, u điều hòa dương trên
37 7
Chứng minh. Ta chứng minh tồn tại hằng số c £ (1,00) sao cho
< c với mọi X , Ị J G K và mọi hàm u điều hòa dương trên ũ .
Với { x , ỳ ) 6 íí X Q, định nghĩa hàm: s ( xìy ) = sup { u ( y ) / u ( x ) : u là hàm điều hòa dương trcn íì}. Trước tiên ta chỉ ra s <00 trcn Í2 X n. cố định X G Í1 ta đặt:
E = {y G íì : s (x, y) < 00} .
Vì X e E nôn E ^ 0. Nếu y £ E , chọn r > 0 sao cho B ( y , 2 r ) c íì. Theo (1.9),
u < ß (1/2) Ĩ I ( y ) trên B ( y , r ) với mọi hàm u điều hòa dương trên Í2. Ta suy ra,
B (y, r ) c E suy ra E là tập mở.
Nếu 2 E ÍMà một điểm giới hạn của E thì tồn tại r > 0 và y E E sao cho:
z G B ( y , r ) c B ( y , 2 r ) c Theo (1.9), M (z) < /3(1/2) IX (y) với mọi
hàm u điều hòa dương trên í ì . Khi đó ta có z £ E , suy ra E là tập đóng. Do íì là tập licn thông nôn E = Q. Do đó, 5 là hữu hạn trôn íì X
Cho K c ÍHà tập compact, (a, 6) £ K X K . Theo (1.9) ta có,