Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN
2.2. Phép biến đổi Kelvin
2.2.1. Định nghĩa
Giả sử E là tập con compact của R'\ Nếu u là hàm điều hòa trên Kn \ E
thì một cách tự nhiên ta coi oo là một điểm kì dị cô lập của u . Vấn đề là khi nào thì ta, nói u có một điểm kì dị bỏ được tại oo? Khi 77, = 2, ta có
ngay câu trả lời vì khi đó phép nghịch đảo bảo toàn
hàm điều hòa, tức là nếu Q c R 2 \ {0} và ?/, là hàm điều hòa trên f t thì hàm X !-)> u (x*) là hàm điều hoà trôn Q*. (Chú ý rằng trôn R2 = c thì phép nghịch đảo qua rriặt cầu s là z h-ĩ l/z.) Do đó, khi n = 2 ta nói u là hàm điều hòa tại oo nếu hàm X u (x*) có kì dị bỏ được tại 0.
Thật không may, khi n > 2 thì phóp nghịch đảo qua mặt cầu đơn vị không bảo toàn hàm điều hòa (chẳng hạn hàm u ( x ) = \ x \ 2 ~ n ) . Tuy nhiên, có một phép biến đổi liên quan đến phép nghịch đảo qua mặt cầu đơn vị, bảo toàn hàm điều hòa với mọi n > 2; đó là phép biến đổi Kelvin.
Ta có thể ước đoán biến đổi này bằng cách áp dụng bổ đề đối xứng đối với nhân Poisson, cố định c G 5, ta nhớ lại rằng p (•, ( ) là hàm điều
hòa trên Mn\ {£} (theo Mệnh đề 1.1). Từ bổ đề đối xứng ta có:
\ x — f I = |rr| l x — |z| (
với mọi X G Mn\ {0}. Thay vào P ( x , ( ) ~ (l — H2) i \ x ~ Cl”5 ta dễ dàng tính được:
P(x,() = -\x\2-nP(x\0 ( 2. 2) với mọi XG Mn\ {0,C}. Đặc biệt vế phải của (2.2) là một hàm điều hòa của X
trên Rn\ {0, £}. Từ đây, ta có định nghĩa phép biến đổi Kelvin như sau: Cho hàm u xác định trôn tập E c Rn\ {0}, ta định nghĩa phcp biến đổi Kelvin của u là hàm K X [?/] trên = < E * xác định bởi:
52 2
K [?/] (x) = \x\2 nu (x*), Chú ý rằng, khi n = 2 thì K [w] (x) = u ( x * ) .
Ta dễ thấy rằng : K [ K [ u ] ] = 11, với mọi hàm u như trên. Nóicáchkhác phép biến đổi Kelvin có biến đổi ngược là chính nó.Và K tuyếntính vì: Nếu li, Vlà các hàm trôn E và 6, clà hằng số thì
K [ b u + c v ] = b K [m] + c K [?;] trên E *.
Ta có thể chứng minh được rằng: Nếu E là một t.ậ.p con compact của Rr'\ {ü} và, ( u m ) là một dãy hàm trên E thì ( u m ) hội tụ đều trên E khi và chỉ khi
( K [ n m ] ) hội tụ đều trên E * .
2.2.2. Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa
Định lý 2. 1. Nếu íì c M n \ {0} thì u là hàm điều hò ã trên íì khi và chỉ khi K [?/] ià hàm điều hò ã trẽn íĩ*.
Vì K [ K Ị-u]] = 7i, nên ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu u là hàm điều hòa trên Q thì K [ ũ ị là hàm điều hòa trên ũ * (chiều =>►). Điều này có thể được chứng minh bằng một phép tính trực tiếp chứng tỏ AK [?/,] = 0; tuy nhiên, phép tính này dài dòng, ở đây ta trình bày cách chứng minh có sử dụng khai triển địa phương của một hàm điều hòa thành một chuỗi các đa thức điều hòa.
Chứng minh Định lý
2.1
Đầu tiên ta chứng minh định lý trong trường hợp u là hàm điền hòa trên Mn. Khi đó, hàm u ở trên B chính là tích phân Poisson của u 1,5. Do đó, với |x| > 1 ta có:
K[u}(x) = í \x\2~nP(x*,Qu{Qdơ{Q = í-P (x, C) u (C) dơ (0 Js Js
Lấy vi phân dưới dấu tích phân ỏ vế phải suy ra rằng X = < K [?i] là hàm điều
53 3
hòa trên { x E Mn : \ x \ > 1}. Vì tích và hợp của các hàm giải tích thực là hàm giải tích thực nên từ tính giải tích thực của u trên K7Ỉ suy ra
K [?/,] là giải tích thực trên Mn\ {0}. Do đó AK [?/,] là một hàm giải tích thực trôn Mn\ {0}. Mà AK [w] triột ticu trôn {x G IRn : \ x \ > 1} nôn phải bằng 0 trên w n \ {0} (Định lý 1.8). Chứng tỏ rằng K [ u ] là hàm điều hòa trên Rn\ {0}.
Trong trường hợp tổng quát, giả sử u là hàm điều hòa trcn và a G í ì . Gần a, u
có thể được khai triển thành một chuỗi hội tụ đều
^ 2 u ĩ ỉ n trong đó mỗi u m là một đa thức điều hòa (Định lý 1.11). Vì phép biến đổi Kelvin là tuyến tính và bảo toàn sự hội tụ đều trên các tập con compact nên ta có K [ u ] = K [ u m ] gần a * . Theo chứng minh trên, K [ u m ] là hàm điều hòa trên R7Ỉ\ {ũ}, do đó là hàm điều hòa trên íĩ* với mỗi m . Vậy K [?/,]
là. hàm điều hòa trên Ç I * . □
2.2.3. Hàm điều hòa tại vô cực
Vì phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa nên ta có định nghĩa sau:
Nếu E c Rn là compact và u là hàm điều hòa trên Rn\E thì u được gọi là hàm điều
hòa tại oo nếu K [?í] có một điểm kì dị bỏ được tại gốc. Chú ý rằng, trong trường hợp n = 2 thì định nghĩa này vẫn phù hợp với thảo luận trước đó của ta.
Nếu u là hàm điều hòa tại oo, thì K [w] có giới hạn hữu hạn L tại 0, nói cách khác:
lim |x|2_"?7, ị x / \ x \ = L .
Từ đó ta thấy rằng, nếu I I là hàm điều hòa tại oo thì lim u ( x ) = 0 khi
a;—>oc
n > 2. Khi n = 2, lim u (X ) = L . Diều này dẫn tới đặc trưng của tính
X—> oo
điều hòa tại oo. Ta bắt đầu với trường hợp n > 2.
X = <
54 4
Định lý 2. 2. Giả sửn > 2, u lầ hàm đicu hòa trcn WLn\E7 với E c ]R n là
compact. Khi đó, II lằ hầm điều hòa tại oo khi và chỉ khi lim u ( X) = Ü.
a;-Ỷ0Q
Chứng minh. Rõ ràng ta đã biết rằng, nếu u là hàm điều hòa tại 00 thì lim u
(X ) = 0.
Giả sử lim u ( x ) — 0. Suy ra \ x \ n ~ 2 K [?i] ( x ) 0 khi X — ¥ 0. K [w] có kì X—ì oo
(1Ị bỏ được tại 0, suy ra u là hàm điều hòa tại oo. □
Bây giờ ta xét trường hợp n = 2.
Định lý 2.3. Giả sử u là hàm điều hò ã trên M.2\E, ở đó E c M 2 là tập compact. Khi đó cấc khẳng định sau lằ tương đương:
(a)u là hầm diều hòa tại oo;
X = <
55 5
(b)limx^ữCu О) = L, L G C;
(c) и (x) / log |x| —>• 0 k h i X —oo;
(á) и ỉầ bị chặn trên một lẫn cận củ ã 00.
Chứng minh. Ta đã biết ( a ) ( b ) còn ( b ) (c) là hiển nhiên.
Giả sử (c) đúng. Khi đó, К [?/,] (x) / log |x| —)• 0 khi X —0. к [?/] có một điổm kì dị bỏ được tại 0. Do đó и là hàm điều hòa tại oo suy ra и là bị chặn trên một lân cận của (X). Suy ra (d ) đúng.
Giả sử (d ) đúng suy ra к [?/,] (x) = и (X *) là bị chặn trên một lân cận của 0. Do đó từ Định lý 1.13 = > и là hàm điều hòa tại oo. Suy ra ( a ) đúng. □
Khi n = 2, tính bị chặn gần oo tương đương với tính điều hòa ỏ 00. Điều này không đúng khi n > 2. Một câu hỏi đặt ra là tính bị chặn gần oo trong không gian có số chiều n > 2 cho biết điều gì ?
Định lý 2.4. Giả sử n > 2 vằ и lầ hầm điều hò ã có giấ trị thực trên Шn\E, với E compact, Khi dó những khẳng định sau lầ tương đương;
(a)и hị chặn trên một lẫn cận của (X).
(b)и bị chặn trên hoặc dưới trong một lẫn cận của 00. (c)и — с ỉà hàm điều hò ã tại oo, с là hằng số.
(d)u có giới hạn hữu hạn tại 00.
Chứng minh. Từ (a) => (6) và ( d ) ^ ( à ) là hiển nhiên. Nếu (c) đúng thì и có giới hạn là с tại oo (do Định lý
(c) (d ). Không mất tính tổng quát, ta giả sử и > 0 trong một lân cận của 00. Do đó, К [ «] > 0 trong một lân cận của 0.
2.2). Do đó
X = <
56 6
Từ Định lý Bôcher tồn tại hằng số c sao cho K [ u ] (x) — c \ x Ỹ n có thác triển điều hòa qua 0. Áp dụng phép biến đổi Kelvin suy ra u — c là hàm
điều hòa tại (X).
2.3. Bài toán Dirichlet ngoài
ở Chương 1, ta đã giải được bài toán Dirichlet bên trong mặt cầu đơn vị s .
Với mọi f £ c ( S ) , tồn tại duy nhất một hàm điều hòa u trôn B và liên tục trên B sao cho u \ s = /. Để giải bài toán tương tự ở bên ngoài mặt cầu đơn vị, ta định nghĩa nhân Poisson ngoài P E bởi:
với \ x \ > 1 và e € s . Cho / E c (S), ta định nghĩa tích phân Poisson ngoài
P E [/] bởi:
□
l
PE [/] ( x ) PE f { ( ) d ơ ( ( )
với \x\ > 1.
Định lý 2.5. Giả sử f £ c (s). Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm điều hò ã u trên B* vằ liên tục trên B* sao cho 'II, I s = f ■ Hơn nữã, u = Pe [/] trên B* \ {oo}-
Chú ý: Ta không khẳng định được rằng tồn tại duy nhất một hàm u liên tục trên Ịx G Kn : |x| > 1}, với u hàm điều hòa trên {x G Rn : |x| > 1} sao cho u = f
trên s. Vì hàm ì — \x\2~n = 0 trên s khi 72 > 2 và log |x| = 0 trôn s khi n = 2. Tính dưy nhất trong định lý trôn có được là do ta yêu cầu u là hàm điều hòa trên
B* (nhớ rằng oo E B*).
X = <
57 7
Chứng minh Định lý
Gọi V là nghiệm của bài toán Dirichlet trên B với điều kiện biên / trên s.
Ta có:
v ( x ) = Ị p ( x , ( ) f ( C ) d ơ { ( ) Js
với X € B và V = f trên s . Khi đó, hàm u = K [tí] là hàm điều hòa trên B * (nếu ta đặt u (CXD) = lim K [?;] ( x ) ) , u liên tục trên B v ầ u \ s = f .
X—>00Ta có: Ta có:
u (X ) = J |2r|2“"P { x \ 0 / { Q d ơ (0
với |x| > 1. Theo (2.2), u = P E [/] trôn B * \ {oo}, điều phải chứng minh. Còn tính duy nhất được suy ra từ nguyên lý cực đại. □
2.5:
X = <
58 8