Nội dung của chương này được tham khảo từ tài liộu [4].
3.1. Hàm điều hòa cầu
3.1.1. Định nghĩa
Từ lý thuyết chuỗi Fourier trôn đường tròn đơn vị ta biết rằng khi n = 2, mọi / 6L 2 ( S ) có khai triển theo công thức:
oo
/ (e'e) = Y, a™e i m e’ m = — oc
trong đó, chuỗi hội tụ trong L2 (s ). Trong phần này ta sẽ có khai triển tương tự khi n > 2, với / G L 2 (s ) và các hàm điều hòa cầu thay cho e í m 0 .
Gọi 7i m (]Rn) là không gian tất cả các đa thức điều hòa thuần nhất bậc r n
trên M". Ví dụ,
p (x, y , z ) = 8x5 — 40x 3 y 2 + 15x y Ả — 40X s z 2 + 30x y 2 z 2 + 15x2;4(3.1) là một phần tử của 7^5 (M3), ở đó ( x , y , z ) thay cho (xi,x2,x3) là một điểm trên M3.
Một hàm điều hòa cầu bậc m là sự thu họp trcn s của một phần tử thuộc
H m (M77 ). Tập hợp tất cả các hàm điều hòa cầu bậc m được kí hiệu bởi H m
( S ) .
Ví dụ trên M3
với (x, ?/, z ) G 5. Liệu ợ có là một phần tử của 1 ~ L § ( S ) không? Mặc du q
không điều hòa, cũng không thuần nhất bậc 5, chú ý rằng trôn s ta có:
q (x,y, z) = I5x(x2 + y2 + z2)2 — 70x3 (x2 + y2 + z 2 ) + 63:r 5 .
q là thu họp trcn 5 của đa thức p ồ (3.1), do đó q £ %5 ( S ) .
Biến đổi trực giao đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hàm điều hòa cầu. Gọi o ( n ) là nhóm các phép biến đổi trực giao trẽn R". Ta thấy rằng
l ~ L m (Rn) là o ( n ) - bất biến, nghĩa là nếu p 6ĩ i m (Mn) và Tgỡ ( n ) thì poT e
' H m (Rn). Do đó 7i m ( S ) cũng là o ( n ) - bất biến.
Chú ý rằng H m (Mn) và 7 i . m (s ) là các không gian vect.ơ phức.
Ta thiết lập mối liên hệ giữa hàm điều hòa cầu và hàm số mũ khi n = 2. Giả sử p E ' H m (M2) là giá trị thực. Khi đó p là phần thực của hàm nguyên /, có phần ảo triệt tiêu tại gốc. Điều kiện Cauchy-Riemann suy ra mọi đạo hàm của / triệt tiêu tại gốc ( trừ đạo hàm cấp m ) . Do đó, / là một đơn thức vì vậy:
p (z) = czm + czm
với c là hằng số phức. Điều này suy ra 7 í m (M2) là không gian tuyến tính phức sinh bởi { z m , z m } . Do đó, ta có thổ coi ĩ i m (s ) là không gian các hàm của biến e i 0 và là không gian phức sinh bởi ị e i m t ì , e ~ i m t ì } . Khi đó, khai triển chuỗi Fourier trên đường tròn đơn vị trùng với khai triển theo hàm điều hòa cầu.
3.1.2. Không gian L2 (s)
Các kí hiệu trong phần này đều xuất phát từ lý thuyết không gian Hilbert.
Nếu H là không gian Hilbert phức thì ta viết H = ®^=0#7« nếu có ba điều kiện
sau:
(b)H m trực giao với H ỵ nếu m ^ k .
(c) Với mọi X 6H thì tồn tại x m £ H m sao cho:
X — X { ) + X \ + ...
với chuỗi vế phải hội tụ theo chuẩn của H .
Khi đó, H được gọi là tổng trực tiếp của H m và khai triển trong (c) là duy nhất. Cũng chú ý rằng, nếu ( a ) và ( b ) đúng thì (c) đúng khi và chỉ khi không gian phức tuyến tính sinh bởi u™ = ữ H m là trù mật trên H .
Trong phần này ta chứng tỏ rằng L 2 ( S ) = ©^=0%m (5), ỏ đó ta hiểu L2
(S) là không gian các hàm bình phương khả tích trên s với tích vô hướng được cho bởi:
Dễ thấy rằng L 2( S ) là tổng trực tiếp của các không gian T i m (s ) khi n =2.
Bây giờ ta chứng minh (ữ.),(c) ở trên với mọi n, với H = L 2 ( S ) và H m = ĩ i m (s ). Tính chất (a) là, dỗ kiểm tra: Tính hữu hạn chiều của ĩ i m (s ) chỉ ra rằng ' H m (s ) là không gian con đóng của L 2 ( S ) . Định lý sau đây sẽ chứng minh ( b ) .
Định lý 3.1. Nếu m Ỷ thì T~Lm (S) là trực gião với %k (5) trong L2 (S).
Chứng minh. Cho p e T - L m (Mn), q G T í k (Mn). Từ công thức Grccn ta có:
Dể chứng minh điều kiện (c), trước hết ta chỉ ra rằng mọi đa thức trên Mn
khi thu hẹp trên s là tổng của các hàm điều hòa cầu. Gọi V m (Rn) là không gian vcctơ phức bao gồm tất cả các đa thức thuần nhất bậc r r i trên R77 với tích vô hướng (,)m trên V m (Mn) như sau: Với p ( x ) = E|„|=,„ naxa, q (x)
(p. <7>m = p (D) [9] >
trong đó p ( D ) là toán tử vi phân ^ 2 \ 1= 0 > a D a . (Chú ý rằng ta đã đồng nhất hàm hằng p ( D ) [ q \ với giá trị của nó tại mọi điểm trên Mn.) Ta có thổ tự kiểm tra rằng:
a!a«b«> |a| = ??z
do đó (,)m thực sự là tích vô hướng trôn vm (Rn). Ta sẽ phải sử dụng tích vô hướng này để chứng minh định lý tiếp theo.
Định lý 3.2. Với mọi p e Vm (M n ) đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng
p ( x ) = P r n ( x ) + \ x \2pm_ 2 ( x ) + ... + \ x \2k'Pm-
2k (x) , trong đó k = [f] và pm_2j e (R").3 = 0, 1, /í'.
Chứng minh. Do hai đa thức điều hòa, bằng nhau trên s thì đồng nhất nên
khẳng định tính duy nhất là rõ ràng.
Rõ ràng khi m = 0 hoặc '1 thì ta có biổu diễn đó vìtrong những trường hợp này Vm ợ&n) = 'Hm ợ&n)-
Bây giờ ta phải chứng minh rằng nếu m > 2 thì:
vm (Rn) = um (Rn) ® WX- 2 (»’*)
(3.4)
đối với tích vô hướng (,), t, trong đó |2,
\ x\
Giả sử p G “Pm (Mn) trực giao với |x| ?m_2 (Rn). Khi đó:
0 = (\x\2q,p) = q(D)[Ap} = q(D)[Ãp\
\ / m
với mọi q G V m-2 ( № n ) - Vì Ap G V m -2 ọ ^ n ) nên q (D ) [ApJ = (ợ, Ap)5suy ra Ap trực giao với mọi q € Pm-2 ợ ^ n ) = > Ap = Ü.
Do đó p e 7 ~ L m (Mn). Ngược lại, nếu p e 7/m (Mn) thì theo lập luận ngược trên đây ta có p là trực giao với \x\2/Pm-2 (Mn).
Vậy ta có (3.4). Giả sử 771 > 2 và giả thiết quy nạp rằng, Định lỷ 3.2 đúng với mọi đa thức trong Vj(Mn) với mọi j < m . Lấy p € Vm (Rn). Theo (3.4):
p ( x ) = p m ( x ) + \ x \ 2 q m_2 ( x) , trong đó p m <E H r n (Mn) vàợm_2 G V m-2
(Mn). Đc hoàn thành chứng minh ta chỉ cần áp dụng giả thiết quy nạp cho
Q m — 2 • 1—1
với tích vô hướng (,), t, trong đó lVm-2 (Mn) =
ị\x\2q (x) : q G Pm_2 (M7Ỉ)} • i sử p G “Pm
(Mn) trực giao với |a;|2‘Pm_2 (M'
Mọi đa thức là tổng của các đa thức thuần nhất và Định lí X2 chỉ ra rằng một đa thức thuần nhất bậc m thu hẹp trên s là tổng của các hàm điều hòa cầu bậc không quá ra. Ta có hộ quả sail đây.
Hệ quả 3.1. Nếu p lầ đa thức bậc m trên R n thì thu hẹp của p trên s lầ tổng của cấc hầm điều hòa cầu có bậc không quá rri.
Ta sử dụng hộ quả này đổ chứng' minh kết quả chính trong phần này. Đó là định lý sau đây.
Định lý 3.3.