45 5
trong Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trênв\ {0} YỚi m = 1,2,.... Nhưng(t ) — > 1 khi m — > 00, với mọi
46 6
t E [0, 1]do đó nếu (1.10) đúng với một t £ [0,1] thì u — A [■?/] > 0 trong
B \ {()}.
Do đó (1.10) chắc chắn đíìng khi t = 0 nên ta có u — A [ũị > 0trong
B \ {0} suy ra điều phải chứng minh. □
Chứng minh Định lý Bôcher:
Dầu tiên ta giả sử n > 2 và u là hàm điều hòadương trên B \ {0}. Ta
định nghĩa hàm điều hòa L ú trên B \ {0} bởi:
Lú (x) = u ( X) — p [u 1,5 ] (x) + \x
Khi |x| 1, ta cóU ) ( x ) 0 (từ Định lý 1.4) và khi |a;|— > 0 thì
L ú ( x ) —>• +CX0 (vì u > 0 và p [ u 1^] bị chặn trên B \ {0}). Từ nguyên lý cực tiểu, U J > 0 trôn B \ {0}.
Áp dụng Bổ đề 1.4 với u ta có u (X ) = b \ x \2~n + V (x) trong B \ {0} với
V là hàm điều hòa trên B và b là hằng số. Khi cho X —>■ 0 và do u > 0 ta có b > 0. Vậy Định lý Bôcher được chứng minh với trường hợp u > 0 trên B \ {0}.
Trong trường hợp tổng quát, u là hàm điều hòa dương trong B \ {0}, ta áp dụng kết quả trên vớỉ hàm co gỉẫn u ( x / 2 ) và nhận được
u (x/2) = b\x\2~n + V (a;)
trong B \ {0} với V là hàm điều hòa trong B và hằng số b > 0. Do đó
u (x) = b22~n\xỸ~n + V (2x)
trong (1/2) B \ {0}. Suy ra u (X ) — Ò2 2_n|x|2_n là thác triển điều hòa lên (1/2) B và do đó là thác triển điều hòa lên B suy ra điều phải chứng minh cho trường hợp n > 2.
Trường hợp n = 2 ta cũng chứng minh tương tự nhưng thay |x|2_n bằng Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên
47 7
\ 2 - n
log (Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên1/|x|). □
48 8
Hệ quả tiếp theo cho ta một đặc trưng của hàm điều hòa dương trên Mn\ {0} với n > 2. (Nhớ lại rằng, một hàm điều hòa dương trẽn M2\ {0} là hằng số.)
Hệ quả 1.7. Giả sử n > 2. Nếu и là hầm điều hò ã dương trên M n \ { 0}
thì tồn tại hãi hằng số b vầ с không ẫm sao cho и ( X) = b\x\2~n + с
với mọi X £ Rn\ {0}.
Chứng minh. Trên B \ {0} ta có thể viết (theo Định lý Bôcher)
и (x) = b\x\2~n + V (x).
Hàm Vmở rộng điều hòa trên toàn bằng cách đặt V (x) = и(X ) — ò|x|2_n với
X G Rn \ B . Vì lim infí; ( x ) > 0 nên theo nguyên lý cực tiểu
V không âm trên Mn. Từ Định lý 1.16 suy ra V là hằng số. □ Một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2 là mọi hàm điều hòa radial trên
49 9