Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân

Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử Hilbert – Schmidt không gian Hilbert 1.2 C* - đại số toán tử tuyến tính bị chặn 1.3 Một số không gian hàm 1.4 10 1.3.1 Không gian hàm D(Ω) 10 1.3.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 10 1.3.3 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) 12 1.3.4 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 13 1.3.5 Một số không gian hàm khác 14 Biến đổi Fourier 15 1.4.1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược 15 1.4.2 Biến đổi Fourier hàm thuộc Lp (Rn ), ≤ p≤2 17 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 17 Toán tử giả vi phân 18 1.5.1 Toán tử giả vi phân 18 1.5.2 Toán tử Weyl 20 1.5.3 Một số không gian biểu trưng 22 1.4.3 1.5 Biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân 24 2.1 Một số phép biến đổi thời gian – tần số 24 2.2 Liên hệ với toán tử giả vi phân 26 2.2.1 Biểu trưng thuộc Lp (R2n ), ≤ p ≤ 27 2.2.2 Biểu trưng thuộc Lp∗ (R2n ), ≤ p ≤ ∞ 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ nhiệt tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy hướng dẫn truyền cho kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để vượt qua khó khăn chuyên môn sống Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa toán, Phòng sau đại học thầy cô trường tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp trình học tập nghiên cứu Tôi trân trọng cảm ơn Sở GD ĐT Hà Nội, Trường THPT Minh Phú tạo điều kiện giúp đỡ để an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Mạch Văn Cường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Đề tài luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Mạch Văn Cường MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán tử giả vi phân hay gọi lý thuyết toán tử tích phân kì dị, tích phân dao động, tách từ lý thuyết phương trình vi phân, chuyên ngành hẹp tương đối độc lập, nghiên cứu Koln Nirenberg năm 1943, sau đó, lý thuyết nhiều nhà toán học tiếng giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn L H¨omander, A.N Kolmogorov, Khoảng năm đầu thập kỉ 90 kỉ 20, lý thuyết giả vi phân có hướng phát triển thú vị nghiên cứu với lý thuyết giải tích thời gian tần số Nhiều lớp toán tử giả vi phân: toán tử Koln-Nirenberg, toán tử Weyl, Toán tử định vị, gắn liền với lớp biểu diễn thời gian - tần số: Rihaczek, Wigner, tính chất lớp toán tử tính bị chặn, tính compact, số lớp không gian hàm thiết lập nhờ mối liên hệ kiểu Trong báo [2], nhóm tác giả Alip Mohammed, M.W Wong thu số tính chất tính bị chặn tính compact Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ toán tử giả vi phân Koln-Nirenberg với lớp biểu trưng Lp∗ (R2n ) nhờ mối liên hệ với lớp toán tử Weyl biểu diễn thời gian tần số Wigner Rihaczek Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tử giả vi phân biến đổi Rihaczek, đồng ý hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, chọn lựa đề tài nghiên cứu “Biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu biến đổi Rihaczek - Tìm hiểu khái niệm toán tử giả vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày khái niệm biến đổi Rihaczek - Trình bày khái niệm toán tử giả vi phân - Trình bày mối liên hệ biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Rihaczek khái niệm toán tử giả vi phân - Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức, phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề - Thu thập nghiên cứu loại tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn nghiên cứu tổng quan tác giả mối liên hệ toán tử giả vi phân lớp Koln-Nirenberg với biểu diễn thời gian - tần số Rihaczek Một số tính chất nhỏ báo [2] tác giả chứng minh chi tiết Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử Hilbert – Schmidt không gian Hilbert Chúng ta xây dựng toán tử Hilbert – Schmidt không gian Hilbert L2 (Rn ) Định nghĩa 1.1.1 Cho h ∈ L2 (Rn ) Toán tử Hilbert – Schmidt với nhân h, kí hiệu Sh : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) định nghĩa bởi: (Sh f ) (x) = ∫ h (x, y) f (y)dy, x ∈ Rn (1.1) Rn Với f ∈ L2 (Rn ), ta chứng minh Sh f ∈ L2 (Rn ) Thật vậy: Từ (1.1) ta có : |(Sh f ) (x)|2 dx 2 ∫ h (x, y) f (y)dy dx = Rn R n Rn |h(x, y)|2 dx |f (y)| = Rn dy Rn |f (y)|2 dy ≤ 2 Rn |h(x, y)|2 dxdy Rn = |f |L2 (Rn ) |h|L2 (R2n ) (1.2) Cho g, h ∈ L2 R2n Ta kí hiệu g ◦ h ∈ L2 R2n hàm xác định (1.3) (g ◦ h) (x, y) = ∫ g (x, z) h(z, y)dz , x, y ∈ Rn Rn Bổ đề 1.1.1 Cho g, h ∈ L2 R2n Khi g ◦ h ∈ L2 R2n Chứng minh Thật vậy, từ (1.3) ta có ∫ |h(z, y)|2 dz ∫ |g(x, z)|2 dz |(g ◦ h) (x, y)|2 ≤ (1.4) Rn Rn với x, y ∈ Rn Từ (1.4) ta có ∫ ∫ |(g ◦ h) (x, y)|2 dxdy ≤ ∫ ∫ Rn R n R n Rn = ∫ Rn = ∫ Rn = g ∫ |g(x, z)|2 dz Rn Rn ∫ |h(z, y)|2 dz ∫ Rn Rn ∫ |h(z, y)|2 dz dy g Rn L2 (R2n ) ∫ |h(z, y)|2 dz dxdy h ∫ |g(x, z)|2 dz dx dy Rn L2 (R2n ) L2 (R2n ) Suy g ◦ h ∈ L2 (R2n ) Định lí 1.1.1 Cho Sh , Sg toán tử Hilbert – Schmidt tương ứng với hạt nhân g h Khi (i) Sg Sh = Sg◦h (ii)Sh∗ = Sh∗ Ở Sh∗ liên hợp Sh h∗ hàm R2n định nghĩa h∗ (x, y) = h(x, y), x, y ∈ Rn (1.5) Chứng minh Từ (1.3) ((Sg Sh ) f ) (x) = (Sg (Sh f )) (x) = ∫ g (x, z) (Sh f ) (z) dz Rn = ∫ g (x, z) { ∫ h (z, y) f (y)dy}dz Rn Rn = ∫ { ∫ g (x, z) h (z, y) dz}f (y)dy Rn Rn = ∫ (g ◦ h) (x, y) f (y) dy = (Sg◦h f ) (x) Rn với x ∈ Rn , f ∈ L2 (Rn ) Để chứng minh ta cần hoán đổi thứ tự lấy tích phân Ta có x ∈ Rn , I (x) = ∫ ∫ |g(x, z)| |h(z, y)| |f (y)| dydz, Rn Rn (1.6) cần chứng minh I(x) < ∞, x ∈ Rn Từ Bổ đề 1.1 (1.6) ta có: ∫ |g(x, z)| |h(z, y)| dz |f (y)| dy I (x) = ∫ Rn Rn 2 ≤ fL2 (Rn ) ∫ |g(x, z)| |h(z, y)| dz ∫ Rn dy Rn = fL2 (Rn ) (|g| ◦ |h|) (x, y)L2 (Rn ) < ∞, ,với x ∈ Rn Tiếp theo, cho f, g ∈ Rn , ta có Sh f, g = ∫ (Sh f ) (x)g(x)dx = ∫ Rn Rn = ∫ f (y) Rn h(x, y)g(x)dx dy Rn = ∫ f (x) Rn ∫ h (x, y) f (y)dy g(x)dx Rn h(x, y)g(y)dy dx = f, Sh∗g , Rn miễn đổi thứ tự lấy tích phân Thứ tự lấy tích phân đổi ∫ ∫ |h (x, y)| |f (y)| |g(x)| dxdy = ∫ |g(x)| R n Rn Rn ∫ |h(x, y)| |f (y)| dy dx Rn 2 ≤ g = g L2 (Rn ) L2 (Rn ) ∫ Rn ∫ |h(x, y)| |f (y)| dy dx Rn S|h| |f | L2 (Rn ) < ∞ Bổ đề 1.1.2 Nếu Sh toán tử Hilbert-Schmidt L2 (Rn ) tương ứng với hạt nhân h ∈ L2 (R2n ) Sh toán tử compact 10 1.2 C* - đại số toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.2.1 (Đại số phức) Một đại số phức không gian véctơ A trường số phức C với phép toán nhân x, y ∈ A → xy ∈ A thỏa mãn điều kiện sau Tính phân phối: Với α, β ∈ C x, y, z ∈ A, (α.x + β.y)z = α.xz + β.yz x(α.y + β.z) = α.xy + β.xz Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z Một đại số mà có phần tử e thỏa mãn ex = xe = x∀x ∈ A gọi đại số có đơn vị e đơn vị đại số Nếu thêm tính chất xy = yx, ∀x, y ∈ A ta nói đại số A giao hoán Định nghĩa 1.2.2 (Đại số chuẩn) Một đại số chuẩn cặp (A, ||·| |) bao gồm đại số phức A chuẩn ||·| | : A → [0, ∞) thỏa mãn tính chất ||xy| | ≤ ||x| | ||y| |, ∀x, y ∈ A Khi A trở thành không gian Banach chuẩn gọi đại số Banach Ví dụ 1.2.1 Cho E không gian Banach B(E) không gian toán tử tuyến tính liên tục E Khi B(E) đại số Banach có đơn vị phép toán nhân hợp thành toán tử Định nghĩa 1.2.3 (C ∗ −đại số) Một C ∗ −đại số đại số Banach A trang bị phép toán đối hợp x → x∗ thỏa mãn x∗∗ = x, ∀x ∈ A; (α.x + β.y)∗ = αx∗ + βy ∗ , với α, β ∈ C với x, y ∈ A; (xy)∗ = y ∗ x∗ , với x, y ∈ A; ||x∗ x| | = ||x| |2 với x ∈ A Ví dụ 1.2.2 Cho H không gian Hilbert C(H) đại số Banach toán tử compact Khi đó, C(H) C ∗ −đại số 20 Chứng minh Chúng ta có aα (x)(Dα ϕ)(x) (P (x, D)ϕ)(x) = |α|≤m aα (x)F −1 (Dα ϕ)(x) = |α|≤m (1.16) −n/2 = ix.ξ α e aα (x)(2π) ξ ϕ(ξ)dξ Rn |α|≤m = (2π)−n/2 eix.ξ P (x, ξ)ϕ(ξ)dξ Rn Do ta cần chứng minh P (x, ξ) biểu trưng lớp S m Thật vậy, với γ, δ đa số ta có (Dxγ Dξδ P )(x, ξ) = Dxγ aα (x)Dξδ ξ α ≤ |α|≤m Cα,γ ∂ξδ ξ α (1.17) |α|≤m với x, ξ ∈ Rn Cα,γ = sup |(Dxγ aα )(x)| Mà có x∈Rn      α    δ! ξ α−δ , với δ ≤ α ∂ξδ ξ α = δ      0, với trường hợp lại (1.18) với ξ ∈ Rn Từ (1.17) (1.18) áp dụng bất đẳng thức ξ α ≤ |ξ|α có (Dxγ Dξδ P )(x, ξ) ≤ Cα,γ δ! α≤m ≤ Cα,γ δ! |α|≤m α δ α δ |ξ||α|−|δ| (1 + |ξ|)m−|δ| (1.19) = Cγ,δ (1 + |ξ|)m−|δ| , với x, ξ ∈ Rn Ở Cγ,δ = Cα,γ δ! α δ Chứng tỏ P (x, ξ) biểu trưng thuộc lớp S m Do P (x, D) toán tử giả vi phân |α|≤m 21 Mệnh đề 1.5.2 Với σ ∈ S m Tσ ánh xạ không gian S(Rn ) vào Hơn Tσ tuyến tính liên tục, tức ϕk → S(Rn ) Tσ (ϕk ) → S(Rn ) k → ∞ Mệnh đề 1.5.3 Ánh xạ Tσ : S (Rn ) → S (Rn ) tuyến tính liên tục 1.5.2 Toán tử Weyl Định nghĩa 1.5.3 (Biến đổi Weyl) Cho σ biểu trung thuộc lớp S m Với ϕ ∈ S(Rn ), σ ∈ S m xác định hàm Wσ ϕ Rn Wσ ϕ (x) = (2π)−n ei(x−y)ξ σ( x+y , ξ)ϕ(y)dydξ, x ∈ Rn (1.20) Rn Rn Wσ gọi biến đổi Weyl tương ứng với biểu trưng σ Mệnh đề 1.5.4 Cho σ ∈ S m , m ∈ R Khi toán tử Weyl Wσ : S(Rn ) → S(Rn ) liên tục Định nghĩa 1.5.4 [Biến đổi Wigner] Biến đổi Wigner hai hàm f, g ∈ S(Rn ) W (f, g) ∈ R2n xác định p p e−iξ.p f (x + )g(x − )dp, x, ξ ∈ Rn (1.21) 2 W (f, g)(x, ξ) = (2π)−n/2 Rn Từ định nghĩa biến đổi Wigner, nhận thấy W (f, g) ∈ S(Rn ) f, g ∈ S(Rn ) Định lí 1.5.5 Với σ ∈ S m , m ∈ R Wσ f, g = (2π)−n/2 σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ; f, g ∈ S(Rn ) R n Rn Dấu Wσ f, g tích vô hướng L2 (Rn ) 22 Chứng minh Lấy θ ∈ D(Rn ) cho θ(0) = 1, ta có σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ Rn Rn = lim+ ε→0 = lim+ ε→0 × θ(εξ)σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ Rn Rn Rn Rn θ(εξ)σ(x, ξ) e −iξ.p Rn p p f (x + )g(x − dp dxdξ 2 lim (2π)−n/2 θ(εξ) ε→0+ Rn × Rn Đặt u = x + (1.22) p p σ(x, ξ)e−iξ.p f (x + )g(x − dpdx dξ 2 Rn p p v = x − ta 2 σ(x, ξ)W (f, g)(x, ξ)dxdξ Rn Rn = lim+ (2π)−n/2 ε→0 × σ( Rn Rn θ(εξ) Rn u+v , ξ)ei(v−u).ξ f (u)g(v)dudv dξ −n/2 = lim+ (2π) ε→0 × g(v) Rn θ(εξ)σ( Rn (1.23) Rn = (2π)−n/2 u+v , ξ)ei(v−u).ξ f (u)dudξ dv g(v)(Wσ f )(v)dv = (2π)n/2 Wσ f, g Rn Suy điều phải chứng minh Định lý 1.5.5 cho nhận xét rằng, σ ∈ S(R2n ) với f ∈ S(Rn ) cố định, Wσ f hàm thuộc S (Rn ) Hơn nữa, mở rộng biểu trưng σ toán tử Weyl thuộc lớp không gian hàm suy rộng tăng chậm S (R2n ): Wσ f (g) = (2π)−n/2 σ W (f, g) , g ∈ S(Rn ) (1.24) 23 với W (f, g) biến đổi Wigner f g Đây cách để mở rộng miền xác định toán tử Weyl lên không gian hàm khác (xem[6]) Cho p, q ∈ Rn f hàm đo Rn Xét hàm ρ(q, p)f Rn xác định (ρ(q, p)f )(x) = eiq.x+ iq.p f (x + p), x ∈ Rn (1.25) Mệnh đề 1.5.6 ρ(q, p) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử unita với q, p ∈ Rn Mệnh đề 1.5.7 Cho σ ∈ S(R)2n Khi với f ∈ S(Rn ), có Wσ f (x) = (2π)−n σ ˆ (w, v)(ρ(w, v)f )(x)dwdv, Rn 1.5.3 x ∈ Rn (1.26) Rn Một số không gian biểu trưng Ký hiệu Lp∗ (R2n ), ≤ p ≤ ∞ không gian hàm R2n xác định Lp∗ (R2n ) = σ ∈ Lp (R2n ) : σ ˆ ∈ Lp (R2n ) (1.27) Định lí 1.5.8 (Bất đẳng thức Hausdorff-Young) Biến đổi Fourier toán tử tuyến tính bị chặn từ Lp (Rn ) vào Lp (Rn ), ≤ p ≤ Hơn ||fˆ||Lp (Rn ) ≤ (2π)−n/2(1−2/p ) ||f ||Lp (Rn ) , f ∈ Lp (Rn ) (1.28) Từ Định lý trên, suy kết sau: Hệ 1.5.1 Với ≤ p ≤ 2, Lp∗ (R2n ) = Lp (R2n ) Với ≤ p ≤ ∞, ký hiệu Lpm (R2n ) không gian không gian Lp (R2n ) xác định Lpm (R2n ) = σ ∈ Lp (R2n ) : F −1 mFσ ∈ Lp∗ (R2n ) (1.29) đó, F −1 , F, m tương ứng biến đổi Fourier ngược, biến đổi Fourier toán tử nhân với hàm m(w, v) = e−iwv/2 , w, v ∈ Rn (1.30) 24 Định lí 1.5.9 (Xem [7]) Với σ ∈ Lp∗ (R2n ), ≤ p ≤ ∞ W σ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử tuyến tính bị chặn Và Wσ ∗ ≤ (2π)−n/p σ ˆ Lp (R2n ) , σ ∈ Lp∗ (R2n ) Hơn nữa, W σ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử compact Chương Biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân 2.1 Một số phép biến đổi thời gian – tần số Trong mục này, trình bày số phép biến đổi thời gian tần số quan trọng, liên hệ tới toán tử giả vi phân Biến đổi Wigner định nghĩa Chương (định nghĩa 1.5.4) Định nghĩa 2.1.1 Cho f ∈ L2 (Rn ) Khi biểu diễn Rihaczek Rf tín hiệu f định nghĩa (Rf ) (x, ξ) = eixξ f (ξ) f (x), ∀x, ξ ∈ Rn (2.1) Cho hàm f, g ∈ L2 (Rn ) Khi biểu diễn Rihaczek chéo R(f, g) f, g định nghĩa R(f, g) (x, ξ) = eixξ f (ξ) g(x), ∀x, ξ ∈ Rn (2.2) Định lí 2.1.1 (Đẳng thức Moyal) Cho f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ) Khi (R (f1 , f2 ) , R(g1 , g2 ))L2 (R2n ) = (f1 , f2 )L2 (Rn ) (g1 , g2 )L2 (Rn ) (W (f1 , g1 ) , W (f2 , g2 )) = (f1 , f2 ) (g1 , g2 ) Chứng minh Từ định nghĩa biến đổi Rihaczek, công thức Plancherel 25 26 cho biến đổi Fourier định lý Fubini, ta có: (R (f1 , f2 ) , R(g1 , g2 ))L2 (2n ) = eixξ f1 (ξ) g1 (x)e−ixξ f2 (ξ)g2 (x)dxdξ Rn Rn f1 (ξ)f2 (ξ)dξ = = f1 , f2 g1 (x)g2 (x)dx Rn Rn L2 (Rn ) (g1 , g2 )L2 (Rn ) = (f1 , f2 )L2 (Rn ) (g1 , g2 )L2 (Rn ) (2.3) Để chứng minh, xác định toán tử W : S(R2n ) → S(R2n ) n y y (WF ) (x, ξ) = (2π)− ∫ e−iξy F x + , x − dy, 2 Rn x, ξ ∈ Rn (2.4) với F ∈ S(Rn ) Khi từ (2.4) định lý Plancherel, ta có WF1 (x, ξ)(WF2 )(x, ξ)dxdξ WF1 , WF2 = Rn Rn = WF1 (x, ξ)(WF2 )(x, ξ)dξ dx Rn Rn y y y y F1 (x + , x − )F2 (x + , x − )dy dx 2 2 Rn Rn y y y y = F1 (x + , x − )F2 (x + , x − )dydx 2 2 Rn Rn (2.5) y y với F1 , F2 ∈ S(R2n ) Đặt u = x + , v = x − , từ (2.5) ta được: = WF1 , WF2 = ∫ ∫ F1 (u, v) F2 (u, v)dudv = (F1 , F2 ) (2.6) Rn Rn Cho f1 , g1 , f2 , g2 ∈ S(Rn ) hàm F1 , F2 ∈ S(R2n ) tính bằng: u, v ∈ Rn (2.7) F2 (u, v) = f2 (u) g2 (v) , u, v ∈ Rn (2.8) F1 (u, v) = f1 (u) g1 (v), 27 Từ định nghĩa biểu diễn Wigner, công thức (2.4), (2.5) - (2.8), ta có: (W (f1 , g1 ) , W (f2 , g2 )) = WF1 , WF2 = (F1 , F2 ) F1 (u, v) F2 (u, v)dudv = Rn Rn Rn Rn f1 (u) g1 (v) f2 (u)g2 (v)dudv = = f1 (u)f2 (u)du g1 (v)g2 (v)dv Rn Rn = (f1 , f2 ) (g1 , g2 ) Hệ 2.1.1 W : S(Rn )×S(Rn ) → S(R2n ) mở rộng cho toán tử song tuyến tính W : L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → L2 (R2n ) cho W (f, g) L2 (R2n ) = f L2 (Rn ) g L2 (Rn ) với f, g ∈ L2 (Rn ) Nhờ Định lý 1.5.5, công thức (1.24), đẳng thức Moyal, số tính chất toán tử Weyl chứng minh, chẳng hạn: Định lí 2.1.2 (Xem [7]) Với σ ∈ Lp (R2n ), ≤ p ≤ ∞ Wσ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử compact 2.2 Liên hệ với toán tử giả vi phân Định lí 2.2.1 Cho σ ∈ S(R2n ), f, g ∈ S(Rn ) Khi đó: n (Tσ f ) (g) = (2π)− σ(R(f, g)) (2.9) 28 Chứng minh Ta có : (Tσ f ) (x)g(x)dx (Tσ f ) (g) = Rn n = (2π)− eixξ σ (x, ξ) f (ξ)g(x)dxdξ Rn Rn − n2 (2.10) ixξ σ (x, ξ) e = (2π) Rn Rn Rn Rn n = (2π)− f (ξ)g(x)dxdξ σ (x, ξ) R (f, g) (x, ξ)dxdξ Do n (Tσ f ) (g) = (2π)− σ(R(f, g)) Nhận xét 2.2.2 Nhờ Định lý 2.2.1, thấy vai trò biến đổi Rihaczek toán tử giả vi phân tương tự vai trò biến đổi Wigner toán tử Weyl việc tổng quát hóa toán tử giả vi phân cho phép xác định toán tử giả vi phân lớp không gian S (Rn ) nhờ công thức (2.9) Phần chương trình bày tính bị chặn tính compact toán tử giả vi phân Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ 2.2.1 Biểu trưng thuộc Lp (R2n ), ≤ p ≤ Định lí 2.2.3 Cho σ ∈ L2 (Rn ) Khi toán tử Tσ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử tuyến tính bị chặn ||Tσ ||B(L2 (Rn )) ≤ (2π)−n/2 ||σ||L2 (Rn )) , || · ||B(L2 (Rn )) chuẩn C ∗ − đại số tất toán tử tuyến tính liên tục L2 (Rn ) Chứng minh Giả sử f, g ∈ S(Rn ) Khi nhờ (2.10), bất đẳng thức Schwarz đẳng thức Moyal biểu diễn Rihaczek, có (Tσ f, g)L2 (Rn ) ≤ (2π)−n/2 |σ(x, ξ)||R(f, g)(x, ξ)|dxdξ Rn Rn ≤ (2π)−n/2 ||σ||L2 (Rn ) ||R(f, g)||L2 (Rn ) = (2π)−n/2 ||σ||L2 (Rn ) ||f ||L2 (Rn ) ||g||L2 (Rn ) (2.11) 29 Định lí 2.2.4 Cho σ ∈ Lp (Rn ), ≤ p ≤ Khi toán tử Tσ : Lp (Rn ) → Lp (Rn ) toán tử tuyến tính bị chặn ||Tσ ||B(Lp (Rn )) ≤ (2π)−n/2 Cp ||σ||L2 (Rn )) , || · ||B(Lp (Rn )) chuẩn đại số Banach tất toán tử tuyến tính liên tục Lp (Rn ) Chứng minh Giả sử f ∈ S(Rn ) g ∈ Lp (Rn ) Khi nhờ bất đẳng thức H¨older, định lý Fubini bất đẳng thức Hausdorff - Young , có −n/2 (Tσ f, g)L2 (Rn ) ≤ (2π) ˆ p |g(x)|p dxdξ |f (ξ)| ||σ||Lp (Rn ) Rn p Rn ≤ (2π)−n/2 ||σ||Lp (Rn ) ||fˆ||Lp (Rn ) ||g||Lp (Rn ) ≤ (2π)−n/2 ||σ||Lp (Rn ) Cp ||f ||Lp (Rn ) ||g||Lp (Rn ) (2.12) p n p n Vì đối ngẫu L (R ) L (R ) nên định lý chứng minh Định lí 2.2.5 (Mối liên hệ toán tử Weyl toán tử giả vi phân) Cho σ ∈ S (R2n ) Khi Tσ = Wτ , τ ∈ S (Rn ) τˆ(w, v) = e−iwv/2 σ ˆ (w, v) w, v ∈ Rn , biến đổi Fourier biến đổi hàm suy rộng tăng chậm Chứng minh Do tính chất trù mật, nên ta chứng minh trường hợp σ ∈ S(R2n ) Sử dụng định nghĩa toán tử giả vi phân, định lý 30 Fubini công thức Fourier ngược, với hàm f ∈ S(Rn ), có eixξ σ(x, ξ)fˆ(ξ)dξ Tσ f (x) = (2π)−n/2 Rn = (2π)−n ei(x−y)ξ σ(x, ξ)f (y)dydξ Rn Rn e−ivξ σ(x, ξ)f (x + v)dvdξ = (2π)−n Rn Rn −n/2 (2.13) F∈ σ(x, v)f (x + v)dv = (2π) Rn = (2π)−n eiwx (F∞ F∈ σ)(w, v)f (x + v)dwdv Rn Rn = (2π)−n eiwx σ ˆ (w, v)f (x + v)dwdv Rn Rn với x ∈ Rn , Fj , j = 1, biến đổi Fourier theo nhóm biến thứ j Như vậy, với hàm f ∈ S(Rn ), nhờ công thức (1.25) , có Tσ f (x) = (2π)−n e−iwv/2 σ ˆ (w, v)eiwx+ wv f (x + v)dwdx Rn Rn −n (2.14) −iwv/2 = (2π) e Rn σ ˆ (w, v)(ρ(w, v)f )(x)dwdv Rn với x ∈ Rn Vì vậy, nhờ công thức (1.26) ta có điều phải chứng minh Nhờ mối liên hệ tính chất cho định lý 2.1.2, có kết toán tử giả vi phân Định lí 2.2.6 Cho σ ∈ L2 (Rn ) Khi Tσ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử Hilbert-Schmidt ||Tσ ||HS = (2π)−n/2 ||σ||L2 (Rn ) , || · ||HS chuẩn Hilbert-Schmidt 2.2.2 Biểu trưng thuộc Lp∗ (R2n ), ≤ p ≤ ∞ Trong mục này, trình bày số định lý tính chất bị chặn toán tử giả vi phân Tσ biểu trưng σ thuộc Lp∗ (R2n ), ≤ p ≤ ∞ nhờ mối liên hệ với toán tử Weyl định lý 2.2.5 31 Định lí 2.2.7 Cho σ ∈ L1m (R2n ), ≤ p < ∞ Khi đó, Tσ : Lp (Rn ) → Lp (Rn ) toán tử tuyến tính bị chặn Tσ B(Lp (Rn )) ≤ π −n σ L1m (Rn ) σ L1m (Rn ) = F −1 mF σ L1 (Rn ) Chứng minh Từ liên kết với toán tử Weyl , ta có Tσ = Wτ , τ = F −1 mF σ Khi ∀f ∈ S (Rn ) , g ∈ Lp (Rn ), ta có (Tσ f, g)L2 (Rn ) = (Wτ f, g)L2 (Rn ) (2.15) n = (2π)− τ (x, ξ) W (f, g) (x, ξ)dxdξ Rn Rn Sử dụng biến đổi Wigner bất đẳng thức H¨older , ta có W (f, g) n L∞ (R2n ) ≤ (2π)− 2n f Lp (Rn ) g Lp (Rn ) Từ đó, ta suy n (Tσ f, g)L2 (Rn ) ≤ (2π)− τ ≤ π −n τ = π −n σ L1 (Rn ) L1 (Rn ) L1m (Rn ) f f W (f, g) Lp (Rn ) Lp (Rn ) g g L∞ (Rn ) Lp (Rn ) (2.16) Lp (Rn ) Do Lp (Rn ) không gian đối ngẫu Lp (Rn ) Định lý chứng minh Định lý sau cho tính chất bị chặn compact toán tử giả vi phân không gian L2 (Rn ) với biểu trưng thuộc Lpm (R2n ), ≤ p ≤ ∞ Định lí 2.2.8 Cho σ ∈ Lpm (R2n ), ≤ p ≤ ∞ Khi Tσ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) toán tử tuyến tính bị chặn Tσ −n B(L2 (Rn )) Hơn Tσ toán tử compact ≤ (2π) p σ ˆ Lp (R2n ) 32 Chứng minh Vì σ ∈ Lpm (R2n ), ≤ p ≤ ∞ nên từ định lý 2.2.5 mối liên hệ toán tử giả vi phân toán tử Weyl, suy Tσ = Wτ (2.17) τ = F −1 mFσ (2.18) Vì τ ∈ Lp∗ (R2n ), nên từ định lý 1.5.9 suy Wτ toán tử tuyến tính bị chặn L2 (Rn ) cho Tσ −n B(L2 (Rn )) ˆ ≤ (2π) p σ Lp (R2n ) , (2.19) nữa, toán tử Wτ : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) Do đẳng thức (2.17), (2.18), suy điều phải chứng minh Kết luận Luận văn nghiên cứu tổng quan tác giả mối liên hệ toán tử giả vi phân lớp Koln-Nirenberg với biểu diễn thời gian - tần số Rihaczek, đó, luận văn hệ thống hóa: - Một số lớp không gian hàm, lý thuyết sơ lược toán tử giả vi phân toán tử Weyl, - Một số biểu diễn thời gian - tần số kiểu Wigner Rihaczek, - Mối liên hệ toán tử giả vi phân lớp Koln-Nirenberg với biểu diễn thời gian - tần số Rihaczek với toán tử Weyl, từ mở rộng lớp biểu trưng toán tử giả vi phân sang lớp Lp∗ (R2n ), chứng minh tính bị chặn tính compact lớp toán tử không gian Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ Một số tính chất nhỏ báo [2] tác giả chứng minh chi tiết Mặc dù cố gắng thời gian lực có hạn nên tác giả chưa mở rộng phát triển kiến thức nghiên cứu 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Alip Mohammed, M.W Wong (2007), “Rihaczek Transform and Pseudo-differential Operators”, Fields Institute Communications, Vol 52, pp 375-382 [3] Gerd Grubb (2009), Distributions and Operators, Graduate Texts in Mathematics, 252, Springer Verlag, Denmark [4] Karltheinz Gr¨ochenig (2001), Foundation of Time - Frequency Analysis,Birkh¨auser, USA [5] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press [6] Paolo Boggiatto, Giuseppe De Donno, Alessandro Oliaro (2007), "A Unified Point of View on Time -Frequency Representations and Pseudo-Difierential Operators", Fields Institute Communications, Vol 52, pp 383-399 [7] M.W Wong (1998), Weyl transform, Springer-Verlag [8] M.W Wong (1999), An Introduction to Pseudo-Differential Operators, Second Edition, World Scientific 34