Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp bước giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ bất đầu công việc gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận động viên giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần văn Bằng giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội làm quen với việc nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lê Thị Hà SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam kết đề tài „„Một số ứng dụng hàm suy rộng‟‟ kết nghiên cứu riêng em hướng dẫn thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng - Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đề tài không chép từ tài liệu có sẵn Và kết nghiên cứu không trùng lặp với kết Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Sinh viên LÊ THỊ HÀ SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Hàm Thử Gauss 1.1 Không gian hàm thử 1.2 Vai trò không gian hàm thử Gauss 1.3 Một số tính chất hàm thử Gauss 10 Chương :Hàm suy rộng 14 2.1 Hàm số 14 2.2 Hàm suy rộng 15 2.3 Đại số hàm suy rộng 18 2.4 Một số dãy hàm liên tục 21 Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng 23 3.1.Phép biến đổi Fourier 23 3.2 Phép tịnh tiến suy rộng 27 3.3 Đạo hàm suy rộng 29 Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng 33 4.1 Những sở cách giải phương trình đại số đơn giản 33 4.2 Phương trình với nhân tử đa thức 36 4.3 Phương trình không với nhân tử đa thức 39 4.4 Hàm cực 42 4.5 Phép biến đổi, tích nghiệm hàm cực 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng LỜI MỞ ĐẦU Hàm suy rộng xuất vào kỷ XX công trình Dirac học lượng tử nhà toán học L.Shwartz góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Do nghiệm phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng thường không tồn toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày trở nên thiết Sự đời lý thuyết hàm suy rộng có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết đạo hàm riêng, đặc biệt góp phần giải vấn đề lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, hiểu biết hàm suy rộng xa lạ mẻ sinh viên Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu vấn đề bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: "Một số ứng dụng hàm suy rộng" Nội dung khóa luận gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Hàm Thử Gauss Chương 2: Hàm suy rộng Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng Phần 3: Kết luận SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Chƣơng HÀM THỬ GAUSS 1.1 KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ 1.1.1 Những hàm thử Gauss Định nghĩa Một hàm  gọi hàm thử Gauss có dạng  ( x)  Axn e ( x ) , ,   ; n    ,   (1.1) Định nghĩa Hàm g xác định  gọi hàm Gauss g  x   Ae   x   A ,  ,  số, A ,    ,    Định nghĩa Cho f hàm số xác định  , f hàm mũ khả tích liên tục phần  có giá trị   cho f  x  e  x khả tích tuyệt đối Bổ đề Cho  hàm  Khi mệnh đề sau tương đương:  hàm thử Gauss Có số,   0, n    ; ,   cho:  ( x)  Axn e ( x ) với   x   Có số   ; n    ,   ; a,    cho:  ( x)  x n ei xe ( xa ) với   x    số,   , n    ; C   , b,    cho:  ( x)  Cxn e xe ( xib) với   x    số,   , n    ; , D   cho:  ( x)  Dxn e xe x SVTH: LÊ THỊ HÀ với   x   K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Hơn nữa, cố định dạng ta có   a  ib ,   2b ,   2a ,     i B  Ae b i ab , C  Ae a i ab , D  Ae Bổ đề Mọi hàm Gauss hàm thử Gauss Mọi hàm thử Gauss hàm bị chặn, trơn hàm khả tích tuyệt đối  Tích hàm thử Gauss với hàm mũ khả tích hàm khả tích tuyệt đối  Nếu  hàm thử Gauss hàm sau hàm Gauss a  C ,    ; k     hàm thử Gauss b Cx k e x ( x) C ,    ; k    c  (ax) a   * Nếu  hàm thử Gauss hàm sau tổ hợp tuyến tính hàm thử Gauss a  ( x   )   b  ( m ) m   c F   d F -1   1.1.2 Không gian hàm thử Gauss Định nghĩa Một hàm   hàm thử Gauss N   k ,với N   , k hàm thử Gauss k 1 Tập tất hàm thử Gauss kí hiệu: G SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Bổ đề G không gian véctơ (phức) Chứng minh Cho  ,  G, cho a, b hai số Khi ta có K , M    ; i , i  G , 1, ,k ;  1, , m K   k M    k k 1 k 1 Vì K M N k 1 k 1 k 1 a  b  a k  b k    k Với N  K  M k  1, 2, , K  ak , k   b k  K , k  K  1, K  2, , N (1.2) (1.3) Ta có ai hàm thử Gauss b k K hàm thử Gauss Do  k hàm thử Gauss Vậy a  b hàm thử Gauss 1.2 VAI TRÒ CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ GAUSS Cho f g hàm mũ khả tích  Dễ thấy f  g    f ( x) ( x)dx    g ( x) ( x)dx ,   G  Ngược lại, đẳng thức với   G ta có f  g Vậy ta có SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Định lý Giả sử f g hai hàm mũ khả tích  f  g   f ( x) ( x)dx     g ( x) ( x)dx ,   G (1.4)  Chứng minh Nếu f  g phương trình (1.4)   G Ngược lại giả sử với phương trình (1.4)  hàm Gauss      1 dãy đồng thức Gauss Ta có   x    e  x  với t  1 , ta có     g ( x) ( x  t )dx f ( x) ( x  t )dx    với   x  t  hàm Gauss x Kết hợp với      1 dãy đồng thức với tập tất hàm mũ khả tích cho ta f  t   lim      f  x   x  t  dx  lim     g  x   x  t  dx  g  t   Với t f g liên tục Vậy f  g Định lý Cho f F hai hàm khả biến đổi Fourier cổ điển Khi mệnh đề sau tương đương: F = F  f  với   G      F ( x) ( x)dx   3.với   G f ( y ) F   y dy   F ( x) F    SVTH: LÊ THỊ HÀ  -1 x dx   f ( y ) ( y )dy  K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Chứng minh Nếu mệnh đề mệnh đề suy trực tiếp từ đồng thức giải tích Fourier Ta giả sử mệnh đề cho   G, áp dụng đồng thức giải tích Fourier ta có   f ( y ) F   y dy     F  f  x  ( x)dx  Kết hợp với mệnh đề ta có      F ( x) ( x)dx   F  f  x  ( x)dx ,với   G Theo định lý ta có F = F  f  Vậy mệnh đề đúng, từ mệnh đề ta có mệnh đề Giả sử mệnh đề đúng, cho   G   F   Áp dụng mệnh đề tính nghịch đảo phép biến đổi Fourier ta có   -1  F ( x) ( x)dx   F ( x) F    x dx   =  f ( y ) ( y )dy   =  f ( y ) F   y dy  Vậy mệnh đề Cũng chứng minh ta chứng minh mệnh đề Vậy định lí chứng minh SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA HÀM THỬ GAUSS 1.3.1 Nhân tử đơn Theo ý bổ đề ta có Tích h hàm thử Gauss Khi  hàm thử Gauss, h hàm thử Gauss h có dạng h( x)  Cxk e x , C,  , k  0 Đặc biệt tích sau x2 ( x) , e3 x ( x) , xei 2 x ( x) , e x  ( x) hàm thử Gauss Hơn nữa, h tổng x2 , e3 x , xei 2 x , h( x) ( x)   x  e3 x  xei 2 x   ( x)  x 2 ( x)  e3 x  x   xei 2 x  x  Tích h tổng hàm thử Gauss, hàm thử Gauss Từ lập luận suy Bổ đề Cho h tổ hợp tuyến tính hàm có dạng x necx e    x   , với n     0 , c,   ,      0 Thì tích h hàm thử Gauss,   G Bổ đề Cho h nhân tử đơn thuộc G Khi h hàm thử Gauss,  G 1.3.2 Một vài tính chất giải tích phức hàm thử Gauss Cho  hàm thử Gauss   s   As necxe  x  , với A,   , n  0 ,   Nếu s biến phức s  x  iy ta có   x  iy   A  x  iy  e n  x iy   hàm giải tích  SVTH: LÊ THỊ HÀ 10 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng 4.2.3 Nhân tử đa thức Ta mở rộng với f đa thức Ta có f  x   AN x N  AN 1 x N 1   A2 x  A1x  A0 N   , Ak số với AN  ,  phức, số phức  nghiệm f f     Khi đa thức cho dạng f  x   A  x  1  M1  x  2  M2 . x  k  Mk 1, 2 k nghiệm phân biệt đa thức, M k    , M k bội số nghiệm tương ứng k Bổ đề Cho f đa thức với nghiệm phân biệt 1, 2 k Với k cho M k bội số tương ứng Thì nghiệm tổng quát fu  k M k 1 u    ck ,m Dm k , Ck ,m số tùy ý (4.7) k 1 M 0 Ví dụ Giải phương trình với u  x   x  x  13 u  x   (4.8) Những nghiệm đa thức nghiệm phương trình   4  13  Ta có   4     4   113   3i 1 Bội số nghiệm Vì x  x  13   x    i   x    i  1 Vậy nghiệm phương trình (4.8) u  a 23i  b 23i , a, b - số tùy ý Bổ đề Cho   số phức khác Cho M , k   , b0 , b1, , bk tập hợp số Thì có hắng số a0 , a1, , ak cho: SVTH: LÊ THỊ HÀ 38 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng K v  x    ak D k   x  (4.9) k 0 Thỏa mãn K  x    v  x    bk D k   x  M (4.10) k 0 4.3 PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG THUẦN NHẤT VỚI NHÂN TỬ ĐA THỨC 4.3.1 Trƣờng hợp (Không có nghiệm thực ) Ví dụ Giải phương trình  x  i  u  x  1 Nghiệm phương trình nghịch đảo f  x   x  i tức u0  x   xi Vì x  i nghiệm thực nên nghịch đảo u0  x  hàm lien tục bị chặn  Vì u0 hàm suy rộng xác định áp dụng nghiệm hàm suy rộng phương trình Kết với nghiệm tổng quát phương trình, ta cộng thêm u0 từ nghiệm phương trình tương ứng  x  i   x     i nghiệm x  i , ta biết   x   c  i với c số Vậy nghiệm tổng quát phương trình u  x   x  i  u  x  1là  c i xi Chú ý Khi f đa thức nghiệm thực, nghịch đảo u0  x   hàm liên tục bị chặn  , thỏa mãn f u0  f  x SVTH: LÊ THỊ HÀ 39 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Vậy g hàm cổ điển tích u0 g xác định nghiệm f u  g 4.3.2 Trƣờng hợp ( Nghiệm thực ) Ví dụ Xét phương trình x u  x   sin  x  Ta thấy f  x   x triệt tiêu x  Nó có nghịch đảo không khả x tích x  , không xác định hàm suy rộng Hơn sin  x  triệt tiêu x  , sin  x  hàm sin c mà biết x Vì sin c  x  nghiệm x u  x   sin  x  c nghiệm tổng quát phương trình tương ứng xu  x   Khi nghiệm tổng quát phương trình xu  x   sin  x  u  x   sin c  x   c , c số g g cho hàm mũ khả tích tỉ số nghiệm f f phương trình f u  g Chú ý Khi tỷ số Nếu f không xác định điểm  g không xác định g điểm đó, tỷ số không khả tích xung quanh điểm không f xác định hàm suy rộng 4.2.3 Trƣờng hợp Ví dụ Tìm nghiệm hàm suy rộng xu  x   Ta áp dụng phép tịnh tiến toán tử với số phức i hai vế phương trình Ti  xu  x  Ti  x Ti u    x  i Ti u    x  i  uˆ  x  ta đặt uˆ  Ti u  SVTH: LÊ THỊ HÀ 40 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Tương tự ta có Ti u  1 Khi phương trình trở thành  x  i  uˆ  x  1 Do x  i nghiệm thực nên ta có uˆ0  x   xi nghiệm phương trình trước   Ta có u0  x   T1 uˆ0  x  Ti  nghiệm phương trình  x  i  xu  x   Cộng vào nghiệm tổng quát u0  x  xu  x   ta   u0  x   T1   c  x  , với c số  x  i  nghiệm tổng quát phương trình xu  x   4.4 HÀM CỰC Như kí hiệu trước, hàm cổ điển 1 , , , hàm mũ khả tích nên x x x3 chúng không hàm suy rộng Điều gây khó khăn cho lỗ lực giải phương trình x k u  x   Tuy nhiên hàm suy rộng thỏa mãn tương tự hàm cổ điển 4.4.1 Hàm cực (The basic pole function) phép biến đổi Định nghĩa Xét suy rộng tương tự hàm cổ điển x 1 Ta gọi suy rộng tương tự hàm cực ( ) kí hiệu pole  x  Để hàm pole  x  xác định tương tự x 1 , ta kiểm tra pole  x  thỏa mãn hai tính chất: Nó hàm suy rộng lẻ Nó thỏa mãn phương trình xpole  x   SVTH: LÊ THỊ HÀ 41 (4.11) K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Nhận xét Ta thấy hàm cổ điển u  x   x 1 hàm lẻ x  x Nghiệm tổng quát phương trình ( 4.11) suy từ ví dụ    c  x  , c - số Ta có pole  x   T1   x  i  Bây ta tìm giá trị c công thức hàm suy rộng lẻ Lấy phép biến đổi Fourier biểu thức cuối ta có    F  pole  x  y  F Ti    y  c F   x    x  i  e i 2  i  y  e2 y  e2 y y   F y c  x  i   i 2  F y c    i  x   i 2 e2 y step   y   c Bỏ phần mũ ta có i 2  c, y  F  pole  x  y  i 2 step   y   c =  y0 c, Đây hàm liên tục khúc bị chặn  Hơn nữa, hàm lẻ từ phép biến đổi Fourier hàm suy rộng ta có điều Nghĩa là, với y  0, c thỏa mãn: i2  c  F  pole  x  Suy Vậy c y   F  pole  x  y  c i 2  i F  pole  x   y i ,  i , y0 y0 Hay ta biểu diễn hàm signum - kí hiệu: sgn SVTH: LÊ THỊ HÀ 42 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Và xác định bởi: 1 , s  sgn  s    1 , s  Khi ta có F  pole  x  y  i sgn  y  Từ tương đương gần sgn hàm lẻ, ta có F -1  pole  x  y  i sgn   y   i sgn  y  Vậy pole  i F sgn  (4.12) Công thức ( 4.12 ) hàm suy rộng thỏa mãn hai tính chất Vậy phương trình (4.12) hàm cực (cơ bản) 4.4.2 Hàm cực cấp cao Kết suy rộng tương tự x 2 Ta có F  pole pole y  F  pole y  F  pole y  i sgn  y   i sgn  y      sgn  s  sgn  y  s  ds  tích phân không hội tụ Mặt khác ta thấy x 2   d 1 x  dx   Chúng ta gọi hàm cực cấp kí hiệu pole2 pole2   Dpole Đây đạo hàm hàm suy rộng lẻ nên pole2 hàm suy rộng chẵn, x 2 hàm cổ điển chẵn Hơn từ luật tích mục 3.3.3(d) xpole  x   ta có  x pole2  x    x Dpole  x    D  x pole  x   D  x  pole  x  SVTH: LÊ THỊ HÀ 43  K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng   D  x  xpole  x    xpole   D  x.1  2.1  1   Vậy pole2 thỏa mãn xpole  x   Nói chung ta dễ dàng xác định công thức cổ điển x k   1 k 1 d k 1 1  x  , với k  2,3,4,  k  1! dxk 1   Tương tự ta xác định hàm cực cấp k cho polek   1 k 1 Dk 1 pole , với k  2,3,4,  k  1! Để đơn giản ta kí hiệu hàm cực cấp hàm cực pole1  pole Đinh lý Với k  1,2,3,4, ta có Dpolek  kpolek 1 x k polek  x   polek   x    1 polek  x  k Chú ý Phép biến đổi Fourier hàm cực cấp k suy từ định nghĩa Tính toán phếp biến đổi hàm cực đồng thức vi phân phép biến đổi Fourier Với k  ta có F  pole1  y  F  pole y  i sgn  y  Với k  2,3,4 ta có F  polek  y   1 SVTH: LÊ THỊ HÀ k 1   1 k 1   1 k 1 F  Dk 1 pole   k  1! y k 1  i 2 y  F  pole  k  1! y k 1  i 2 y   i sgn  y   k  1! 44 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng  i 2  y k 1 sgn y     k  1! k Ta thấy k  1, công thức cuối rút gọn từ công thức phép biến đổi pole1 k   i 2  y k 1 sgn y với   y   k  1! k Vậy F  pole  k k  1,2,3,4 (4.13) Theo tương đương gần phần định lý ta có F -1  polek  x  y  F  polek   x    1 F  polek  x  k y y Kết hợp với phương trình ( 4.13) ta  i 2  y k 1 sgn y    y  k  1! k F  pole  -1 k (4.14) 4.5 PHÉP BIỂN ĐỔI, TÍCH VÀ NGHIỆM CỦA HÀM CỰC 4.5.1 Hàm step hàm cực Hàm cực xác định bởi: pole  i F sgn  (4.15) Ở hàm sgn hàm lẻ xác định bởi: 1 , x  sgn  x    1 , x  Áp dụng tính đại số, tương đương gần sgn   x    sgn  x  ta có công thức nghịch đảo (4.15) từ công thức phép biến đổi Fourier hàm signum F sgn   SVTH: LÊ THỊ HÀ pole i F -1 sgn    45 pole i K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Ví dụ Ta thấy 1, x   0, x   sgn  x      1     1  step  x   1, x   2, x      1 Giải hàm step  x  ta có step  x   sgn  x   2 1 1 Ở F  step  x  y  F  sgn  x    2 2  y 1 1 pole  y     y  F sgn  y  F 1 y  i 2 2 (4.16) Cho công thức với phép biến đổi Fourier hàm step số hạng hàm cực 4.5.2 Tích nâng lên lũy thừa Bổ đề Giả sử k số nguyên lớn 1, xpolek  x   polek 1  x  Chứng minh Xét phép biến đổi Fourier xpolek  x  Áp dụng đồng thức vi phân, công thức ( 4.13 ) với phép biến đổi polek , luật tích ta có D F  polek  x  y F  xpole k  x     i 2   i 2 k k 1   D y sgn  y   i 2   k  1!   i 2   Dy k 1  sgn y  y k 1D sgn y         k  1!  k 1 Mà Dy k 1  SVTH: LÊ THỊ HÀ (4.17) d k 1 y   k  1 y k 2 dy 46 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng k 1 k 1   k  1!  k  1 k   3.2.1  1   k   3.2.1  k  ! Và D sgn  y   D 2step  y   1  2Dstep  y   2  y  Vậy y k 1D sgn  y   y k 1  y   2.0k 1  y   Do từ phương trình ( 4.21 ) ta có  i 2  k  y k 2 sgn y      x  y     k  1! k 1 F  xpole k  i 2  y k 2 sgn y     k  ! k 1 Bên cạnh áp dụng công thức ( 4.13 ) ta có  i 2  yk 11 sgn y  x  y     k  1  1! k 1 F  pole k 1  i 2  y k 2 sgn y     k  ! k 1 Vậy F  pole Vậy ta thấy k 1  x   i 2  y k 2 sgn y = F  polek 1 x        k  ! k 1 y  xpolek  x   polek 1  x  Ví dụ 10 Từ bổ đề ta đễ dàng có tích tổng quát sau Xét tích x k pole k  x  với n   Nếu n  k lặp lại phép giải bổ đề ta có x k polek  x   x n1  xpolek  x    x n1 polek 1  x  SVTH: LÊ THỊ HÀ 47 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng  x n2  xpole k 1  x    x n2 pole k 2  x nn pole k n  x   pole k n  x  Nếu n  k ý định lí ta có x n polek  x   x k polek  x   Nếu n  k x n polek  x   x nk  x k polek  x   x nk  x nk Định lí Giả sử n, k     x   n  polek n  x  , n  k  polek  x    1, nk  nk  x    , n  k Ví dụ 11 Xét  x3  4 pole12  x  Ta có x3    x   1    x  1   x  1   x  1  Từ điều định lý ta có  x3  4 pole12  x    x  1   x  1   x  1  5 pole12     x  1 pole12   x  1 pole12  3 x  1 pole12  pole12   x  1   pole11  pole12 Hệ Giả sử k   ,   f  x  đa thức cấp n Nếu n  k có số A1 , A2 , A3 , , Ak n cho: k n f  x  pole  x    Aj polej  x  k j 1 SVTH: LÊ THỊ HÀ 48 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Nếu n  k có đa thức h  x  bậc n  k số k A1 , A2 , A3 , , Ak cho: f  x  pole  x   h  x    Aj polej  x  k j 1 Hệ Giả sử g nhân tử đơn f  x    x    g  x  Với n n    ,   polek  x  f  x    x    nk g  x  , với k  1,2,3,4 4.5.3 Giải phƣơng trình hàm cực Ở ta có cách tìm nghiệm riêng u0 phương trình f  x  u  x   , f  x  đa thức Định lý Giả sử f đa thức với nghiệm phân biệt 1, 2 , 3 , , k Với k cho M k kí hiệu bội số tương ứng Ak ,1, Ak ,2 , Ak ,3 , , Ak ,M k hệ K Mk Ak ,m số khai triển phân số riêng   f  x  k 1 m1  x  k m K Mk Thì hàm suy rộng u0  x    Ak ,m polemk  x  k 1 m1 f  x  u0  x   Thỏa mãn Ví dụ 12 Xét phương trình  x  12  x  3 u  x     (4.18) Từ định lý ta thấy nghiệm phương trình u0  x   Apole11  x   Bpole12  x   Cpole31 A, B, C số khai triển phân số riêng tương ứng  x  1  x  3 Ta có  A B C   x   x  1 x 3  A  x  3 x  1  B  x  3  C  x  1 SVTH: LÊ THỊ HÀ 49 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng 4C    2 B  Khi ta có:  3 A  3B  C   Vậy 1 C  , B , A 4 1 Do ta có u0  x    pole11  x   pole12  x   pole31 4 Là nghiệm phương trình (4.18) SVTH: LÊ THỊ HÀ 50 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng KẾT LUẬN Sau thời gian tích cực tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Trần Văn Bằng nhiều thầy cô khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Nhìn chung qua đề tài „„Một số ứng dụng hàm thức rộng’’ em hiểu sâu sắc ứng dụng hàm suy rộng vật lí lí thuyết đạo hàm riêng Đặc biệt vấn đề lí thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Như đề tài đạt mục đích đề Tuy nhiên bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học với tầm hiểu biết thời gian làm khóa luận hạn hẹp nên em không tránh khỏi thiếu sót, chưa thể mở rộng hết đề tài Em mong nhận góp ý thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Hà nội, tháng năm 2010 Sinh viên Lê Thị Hà SVTH: LÊ THỊ HÀ 51 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung - Phương trình đạo hàm riêng – NXB Qiáo dục Hoàng Đình Dung - Mở đầu giải tích phương trình đạo hàm riêng Trần Đức Vân - Phương trình đạo hàm riêng tập - NXB ĐH Quốc gia Hà Nội V.S Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics Kenneth B Howell – Principles of Fourier Analysis –NXB Studies in advanced mathematics SVTH: LÊ THỊ HÀ 52 K32-CN TOÁN [...]... lấy nghịch đảo hai vế của phương trình (3.1) SVTH: LÊ THỊ HÀ 28 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng 3.3 ĐẠO HÀM SUY RỘNG 3.3.1 Định nghĩa 4 Cho hàm suy rộng bất kỳ f , và số nguyên không âm bất kỳ n Khi đó đạo hàm cấp n của f được kí hiệu là D n f là hàm suy rộng thoả mãn: D f ,   1 n n f ,  n ,  G Ví dụ 7 Đạo hàm suy rộng của hàm Delta D là hàm suy rộng thoả mãn: D ,... những hàm thử gần nhau 2.2 HÀM SUY RỘNG 2.2.1 Kí hiệu hàm suy rộng của phiếm hàm Định nghĩa 4 Ta kí hiệu       f  x   x  dx ,   G là giá trị của   tại  , như vậy với mỗi hàm  trên G được gắn với một hàm f Do vậy ta cũng kí hiệu f , là giá trị của f tại  , tức là f ,    (2.2) Kí hiệu này được tiện lợi khi  là phiếm hàm tuyến tính, liên tục Khi đó ta gọi  là hàm suy rộng. .. trình ban đầu Định lí 1 Cho f và g là hai hàm suy rộng với f là một hàm cổ điển, nghịch đảo f 1 là một nhân tử đơn Nếu có một hàm suy rộng u thỏa mãn fu  g thì nó được cho bởi u  f 1g SVTH: LÊ THỊ HÀ 33 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Chứng minh Giả sử tồn tại một hàm suy rộng u thỏa mãn fu  g Từ f 1 là nhân tử đơn nên tích suy rộng f 1  fu  và f 1 g tồn tại và f 1... 2e0 Vậy 2 2  4 trong khi 2 g ,  2 e0 2 2 2 g ,2  2 g , Do đó g không là hàm suy rộng 2.3 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÀM SUY RỘNG 2.3.1 Hàm suy rộng bằng nhau Cho f , g là hai hàm suy rộng xác định, với mỗi  G ta nói f , g bằng nhau kí hiệu f  g khi và chỉ khi f ,  g , ,   G Ví dụ 7 Giả sử cho f là hàm suy rộng thỏa mãn  f ,       x  dx , với mỗi  G 0  Ta có với mỗi   G... Bằng a Phép cộng suy rộng có tính chất giao hoán Cho f , g là hai hàm suy rộng , theo định nghĩa của f  g , g  f và phép cộng nhân tử của nhưng số phức ta có f  g ,  f ,  g ,  g ,  f ,  g  f , , với mỗi  G Vậy f  g  g  f b Phép nhân suy rộng đơn Tích đơn có tính chất giao hoán và 0 f  0 , 1 f  f ở đó f là hàm suy rộng Tích đơn có tính chất kết hợp Cho f là hàm suy rộng , g , h là...   x  dx ,  G ( 2.1)   là biến số trong biểu thức Vậy nếu ta xác định  bởi biểu thức       f  x   x  dx ,   G  Thì  là một hàm Hàm giá trị phức của hàm thử Gauss” Định nghĩa 1 Trong toán học, những hàm cho tương ứng mỗi hàm thử với một số được gọi là phiếm hàm Ví dụ 1 Cho f là hàm mũ khả tích bất kỳ trên  Phiếm hàm tương ứng với hàm f được xác định bởi       f ... gọi là hàm Delta và được kí hiệu là  Khi đó với mỗi  G ta có  ,    0  2.2.3 Hàm cổ điển nhƣ hàm suy rộng Nếu f là hàm mũ khả tích trên  thì  f cho bởi :  f      f  x   x  dx ,   G  là hàm tuyến tính liên tục trên G, do đó là một hàm suy rộng Hay f ,    f  x   x  dx ,   G  Ở đây f cũng được dùng để kí hiệu hàm suy rộng sinh bởi hàm cổ điển f  x  ( mỗi hàm cổ... được suy ra từ định nghĩa của  - chuẩn và tính chất của những hàm Gauss, suy ra  Ngược lại, nếu     0 thì ta có 0    x  e  x   0 khi   0   0 ,   x   Vậy   x   0 khi   0 , x  SVTH: LÊ THỊ HÀ 13 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng Chƣơng 2 HÀM SUY RỘNG 2.1 PHIẾM HÀM 2.1.1 Hàm số của hàm thử Hàm mũ khả tích f được xác định hoàn toàn bởi những giá trị của. .. và những ví dụ Định nghĩa 1 Cho f là hàm suy rộng bất kỳ Phép biến đổi Fourier của f kí hiệu là F  f  được xác định là hàm suy rộng thoả mãn: F  f  ,  f , F   ,  G Tương tự ta có nghịch đảo phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng F -1 được kí hiệu là F  F  được xác định là hàm suy rộng thoả mãn: F -1  F  ,  F , F -1   ,  G Ví dụ 1 Cho  là hàm thử Gauss bất kì,   G, ta thấy...  f ,   g ,  f ,   g , b Phép trừ Giả sử f , g là hai hàm suy rộng, khi đó hiệu số của f và g kí hiệu là f  g Ta có g  g  1.g   1.g  1   1 g  0.g  0 2.4 MỘT SỐ DÃY CỦA HÀM LIÊN TỤC SVTH: LÊ THỊ HÀ 20 K32-CN TOÁN Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng 2.4.1 Một số bổ đề giới hạn đơn Giả sử f là hàm suy rộng và  G Ta có lim e x   x   x   e0  x     x ... HÀM SUY RỘNG 3.3.1 Định nghĩa Cho hàm suy rộng f , số nguyên không âm n Khi đạo hàm cấp n f kí hiệu D n f hàm suy rộng thoả mãn: D f ,   1 n n f ,  n ,  G Ví dụ Đạo hàm suy rộng hàm. .. Vậy 2  g ,  e0 2 2 g ,2  g , Do g không hàm suy rộng 2.3 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÀM SUY RỘNG 2.3.1 Hàm suy rộng Cho f , g hai hàm suy rộng xác định, với  G ta nói f , g kí hiệu f... tài: "Một số ứng dụng hàm suy rộng" Nội dung khóa luận gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Hàm Thử Gauss Chương 2: Hàm suy rộng Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng