Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ

Với mục đích, không những đi tìm hiểu kĩ hơn về các đặc điểm, tính chất của một không gian vectơ mà còn tìm hiểu về mối liên hệ đẳng cấu giữa chúng.. 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG

SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2011

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán -Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TS

Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khoá luận

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khoá luận này không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

về đo đạc Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn Nó giúp rèn luyện tư duy, nâng cao khả năng tưởng tượng không gian của con người

Một trong những không gian cơ bản của hình học đó là không gian vectơ Với mục đích, không những đi tìm hiểu kĩ hơn về các đặc điểm, tính chất của một không gian vectơ mà còn tìm hiểu về mối liên hệ đẳng cấu giữa

chúng Em chọn đề tài: “Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ” làm khoá

luận tốt nghiệp

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự đẳng cấu của các không gian vectơ hữn hạn chiều Ứng dụng của nó trong giải toán

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Không gian vectơ, phép đẳng cấu

Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian hữu hạn chiều

4.Nhiệm vụ

Trình bày cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về không gian vectơ

5.Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

2

6.Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo Đề tài gồm 2 chương

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ

3

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương sau đây chúng ta nhắc lại những khái niệm và tính chất

cơ bản của ánh xạ cũng như không gian vectơ

(V5) (k + l).u = k.u + l.u k,l K, u,v V

(V6) k.(u + v) = k.u k.v k K, u,v V

(V7) k.(l.u)= (k.l).u k,l V, u V

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian

vectơ trên trường K( hayK- không gian vectơ)

Nếu K là trường số thực thì không gian V được gọi là không gian

vectơ thực

Nếu K là trường số phức thì V được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ

Không gian R n

Không gian M mn (R) các ma trận số thực kích thước mn

Không gian gồm tất cả các hàm f[a,b] R

1.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2

Cho K - không gian vectơ V

a Một tổ hợp tuyến tính của các không gian vectơ { r1 ,r2 , ,rn} V là một bỉểu thức dạng

7

Trong không gian vectơ V

b Hệ vectơ { r1 , ,rn } được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức

i) Hệ ( r1 , ,rn ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các vô hướng

1 , , n K không đồng thời bằng 0 sao cho

1 1r + + nrn = 0r

ii) Hệ gồm một vectơ ( r ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r = 0r

iii) Với n > 1, hệ n vectơ { r1 , ,rn }phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại của hệ

Chứng minh

Thật vậy, giả sử hệ { r1 , ,rn } phụ thuộc tuyến tính Lúc đó tồn tại các vô

Nếu i 0 , ta nhân hai vế của đẳng thức với j -1 rồi chuyển vế thì thu được

-1

j = - i j ( i j ) i

Ngược lại, nếu các ri biểu thị tuyến tính qua ( r1 , , ri 1 , ri 1 , , rn ), tức

là các vô hướng ( 1 , , i 1 , i 1 , , n ) sao cho

i = ( 1 i + + i 1 i 1 + i 1 i 1 , , n n )

Thì ta có

1 ir + + i 1 i 1r + (-1)ri + i 1 i 1r , , n rn = 0r

Theo tính chất i ta có hệ { r1 , ,rn } phụ thuộc tuyến tính

iv) Mỗi hệ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc lập tuyến tính

v) Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì cũng là một hệ phụ

thuộc tuyến tính Nói riêng, mỗi hệ có chứa vectơ 0r đều phụ thuộc tuyến tính

vi) Giả sử hệ { r1 , ,rn } độc lập tuyến tính Khi đó, hệ { r1 , ,rn , }r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ r biểu thị tuyến tính được qua hệ

1 n

{ r , ,r } Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính này là duy nhất

1.2.3 Cơ sở và Số chiều

Định nghĩa 1.2.3

a Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính qua hệ đó

b Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

a Số vectơ trong mỗi cơ sở của K- không gian vectơ hữu hạn sinh V {0}r

được gọi là số chiều của V trên trường K Và kí hiệu là dimV hay rõ hơn

dim V

K

10

Nếu V = {0}r , ta quy ước dimV =0

b Một không gian vectơ có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ được gọi là không gian vectơ hữu hạn chiều

c Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không

gian vectơ vô hạn chiều

K Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của K n Từ đó suy ra dimK = n n

2) Trường số phức £ là một £ - không gian vectơ với cơ sở {1} Đồng

thời £ cũng là R- không gian vectơ với cơ sở {1,i} Do đó

Giả sử V là một K- không gian vectơ và W là một tập con của V

Ta nói tập W là ổn định (hay đóng kín) trên V đối với 2 phép toán trên V nếu:

11

k.u K k K, u V

Khi đó tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với 2 phép

toán của V và cùng với 2 phép toán của V hạn chế trên nó

W cũng là một không gian vectơ trên trường K

Ví dụ

1) Tập {0}r và V là hai không gian con của K- không gian vectơ V Và được

gọi là những không gian vectơ con tầm thường của V

Giao của một họ những không gian vectơ con của không gian vectơ V

là một không gian vectơ con của V

con bé nhất của V chứa X

Rõ ràng < >= {0}r và <W >= W đối với mọi không gian vectơ con W

của V

dim(U V)= dimU +dimV

1.2.5 Không gian vectơ thương

Định nghĩa 1.2.9

Giả sử U V là các K - không gian vectơ Với mỗi v V xét tập con

có dạng

v +U = {v + u | u U}

của V Một tập như vậy được gọi là lớp ghép của v theo U Tưởng tượng

hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi vectơ v Dễ dàng kiểm tra rằng các lớp ghép của các vectơ v hoặc v´ theo U hoặc trùng nhau

hoặc không giao nhau Tương tượng hình học ta thấy chúng song song với nhau Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập thương

của V theo U

Điều kiện để v+U và v´+U trùng nhau là v - v´ U

Cho A, B là các không gian vectơ con của V Chứng minh rằng

A B là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi A B hoặc B A

Chứng minh

Nếu A B hoặc B A thì A B = A hoặc A B = B nên A B là

không gian vectơ con của V

Ngược lại, giả sử A B là không gian vectơ con của V nhưng A B

và B A Khi đó tồn tại x A, x B và y B, y A Ta chứng minh rằng

x + y A B Thật vậy nếu z = x + y A B thì z A hoặc z B do đó

y = z - x A hoặc x = z - y B Điều này trái với cách chọn x, y vậy

x + y A B Như vậy tồn tại x + y A B nhưng x + y A B, do đó

A B là không gian vectơ con của V (!) Mâu thuẫn chứng tỏ A B hoặc

B A

14

Bài tập đề nghị

1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, A là một không gian vectơ

con của V Chứng minh tồn tại không gian vectơ con B của V sao cho

A+ B =V và A B =

2 Trong R 4 cho cá vectơ : u = (1,1,0,0), 1 u = (1,1,1,1) , 2 u = (0,-1,0,1) , 3

4

u = (1,2,-1,-2) Và E = (u ,u ,u ,u ) 1 2 3 4

a Tìm cơ sở, số chiều của E

b Tìm một điều kiện cần và đủ để vectơ x = (a ,a ,a ,a , ) E 1 2 3 4

c Cho v = (1,a , a, 1) 1 3 , v = (1, b , b, 1) 2 3 , v = (ab+1,ab, 0, 1) Tìm 3 a,b để

1 2 3

v ,v ,v là cơ sở của E

3 Cho U là không gian vectơ con của V Biết dimU = m < dimV = n Chứng

minh

a Cơ sở của V không chứa vectơ nào của U

b Có cơ sở nào của V chứa đúng k vectơ độc lập tuyến tính của

U (0 < k < m)

4 Chứng minh rằng với mọi không gian vectơ con V của 1 V tồn tại một

không gian vectơ con V sao cho 2 V V 1 V Không gian 2 V có xác định duy 2

nhất không?

Tiểu kết chương 1

Ở chương 1 ta đã nhắc lại định nghĩa và các phép toán trên ánh xạ giữa hai tập hợp, cũng như các khái niệm không gian vectơ, không gian vectơ con, không gian vectơ thương, các hệ độc lâp tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Trong đó có kèm theo các ví dụ, bài tập minh họa, ngoài ra còn bổ sung thêm một phần bài tập đề nghị để bạn đọc tham khảo

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về mối liên hệ giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều

15

CHƯƠNG 2 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2.1.1 Khái niệm

Định nghĩa 1.2.1

Cho V , W là hai không gian vectơ trên trường K Ánh xạ f :V W

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu

f ( r+ r )= f ( r )+ f ( r )

f (k )= k f (r r )

với r, r V và k K

Ánh xạ tuyến tính f :V W được gọi là:

Đơn cấu nếu f là đơn ánh

Toàn cấu nếu f là toàn ánh

Đẳng cấu nếu f là song ánh

Cho f, g :V W là hai ánh xạ tuyến tính

i) Tổng của hai ánh xạ tuyến tính

(f + g)(u) = f(u) + g(u) , u V

ii) Tích của ánh xạ tuyến tính f và một số thực , kí hiệu là f và là ánh xạ được xác định

Giả sử V, W là hai không gian vectơ, {e ,e , ,e }r1 2 rn là một cơ sở của V

và r r1 , , , 1 rn là n vectơ tuỳ ý của W Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ

18

2.1.2 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 2.1.2

Giả sử V, W là hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ

tuyến tính Khi đó tập tất cả các phần tử của V có ảnh là 0 Vgọi là hạt nhân của f , kí hiệu là kerf

kerf = { x V / f(x)= 0}

Số chiều của kerf được gọi là số khuyết của f

Tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của

a) kerf là không gian vectơ con của V

b) Imf là không gian vectơ con của W

f) rank f = dim V

Chứng minh

(a b) r kerf Ta có f ( r )= 0 = f (0)r r Do f là đơn cấu cho nên r= 0r Suy ra kerf = {0}r

(b =>c) Giả sử ( r1 ,r2 , ,rn ) là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V

Khi đó, xét hệ (f( r1 ), f( r2 ), , f( rn )) trong W Nếu

(c => d) và (d=>e) là hiển nhiên

rankf = dimf(V)= rank(f(e ), , f(e ))= n = dimVr r

(g => a) Giả sử {e , , e }r1 rn là một cơ sở của V Do rankf = dimV ta có

21

Trường hợp 2) Nếu Kerf {0} suy ra tồn tại {e , ,e } cơ sở của 1 r

Kerf Bổ sung thành {e , ,e , e 1 r r 1 , , e } là cơ sở của V n

{f(e )} là cơ sở của Imf Vậy

dimV dimKerf dimImf

Trong đó các a đều thuộc trường ij K Nói tóm lại, ánh xạ tuyến tính f được xác định một cách duy nhất bởi hệ thống các vô hướng {a |1 i ij m, 1 j}

Và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V W đối với cặp cơ sở (e)r và (r)

2.1.3.2 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Cho f :V W là ánh xạ tuyến tính, có ma trận A= ( a ) đối với ij mn

cặp cơ sở (e) và ( ) Nếu vectơ r Vcó toạ độ {x , ,x } trong cơ sở 1 n (e)

thì toạ độ f ( r ) W trong cơ sở ( ) sẽ là {y , , y }

Ta gọi công thức trên là biểu thị toạ độ của ánh xạ tuyến tính f đối với

cặp cơ sở (e) và ( ) đã cho Thật vậy, ta có

Vì biểu thị tuyến tính của mỗi vectơ thuộc W qua cơ sở ( r) của nó là duy

nhất nên ta có được công thức trên Kí hiệu:

1

n

x

x = x

là vectơ cột toạ độ của

là vectơ cột tọa độ của f ( r ) qua tọa độ của r

được viết dưới dạng ma trận là y = Ax Trong đó A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f

a Xác đinh ma trận của ánh xạ tuyến tính f

b Xác định một cơ sở hạt nhân Ker(f) , từ đó suy ra hạng của f

f(x; y; z; t)= (x - y+2z - t; 2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)

ker( f )= {(x, y,z,t) / (x - y+2z - t;2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)= (0,0,0)}

x - y + 2z - t = 0 2x - 2y + 4z - 2t = 0

x + y + 3z + t = 0

Ta có

5 2x + 5z = 0 x = - z

2 z 4y + 2z + 4t = 0 y = - - t

25

2.2 ĐẲNG CẤU TUYẾN TÍNH

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1

Giả sử V , W là hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ

tuyến tính Khi đó ánh xạ f được gọi là một phép đẳng cấu nếu f là một

song ánh tuyến tính

1.2.2 Định lý tồn tại đẳng cấu tuyến tính

Từ định lý xác định ánh xạ tuyến tính nếu V W, là không gian vectơ n

chiều, {e }ri i 1 n là cơ sở của V và { ri i 1 } n là cơ sở của W thì tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f :V W là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn

Giải

Nhận xét A -1 tồn tại

Nên A không suy biến, do đó A -1 tồn tại Coi A là ma trận của phép biến đổi

tuyến tính f : K n K trong đó cơ sở chính tắc n {e ,e , ,e }r r1 2 rn của K n

Định lý 2.2.3 (ba điều kiện tương đương)

Giả sử V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và f :V W là một

tự đồng cấu của V Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

a) f là một đẳng cấu

b) f là một đơn cấu

c) f là một toàn cấu

Chứng minh

Ta có f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}r Lại có f là tòan cấu khi

và chỉ khi dim(Imf)= dimV Mặt khác dimV = dim(Imf)+ dim(Kerf) Suy ra

f là đơn cấu dim(Kerf)= 0

28

dimV = dim(Imf) f là toàn cấu

Vậy b) tương đương với c) và do đó chúng có cùng tương đương với a)

Nhận xét

f là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi Kerf = {0} hoặc Imf = V

Định lý 2.2.4

Cho V, W là không gian vectơ hữu hạn chiều Ánh xạ tuyến tính

f : V W là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ tuyến tính

là một đơn cấu vừa là một toàn cấu Vì thế, f là một đẳng cấu Khi đó, nhân

hai vế của đẳng thức gf = id

V với

-1

f từ bên phải ta thu được g = f -1

2.3 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI KHÔNG GIAN VECTƠ

{ r r, , ,r } là một cơ sở của V thì hệ {f(r1 ), f(r2 ), , f( rn )} sẽ là một cơ

sở của W Thật vậy, mỗi vectơ r V thì r= f( r ) với r nào đó trong V

bểu diễn của r qua hệ {f( r1 ), f( r2 ), , f(rn )} là duy nhất Từ đó ta có hệ

{f( r ), f( r ), , f(r )} là cơ sở của W Vậy dimW = n = dimV

Ngược lại, giả sử dimW = dimV = n Khi đó lấy { r r1 , 2 , ,rn } là một

cơ sở của V và {r r1 , 2 , ,rn } là một cơ sở của W thì ta có ánh xạ tuyến tính

duy nhất g :V W xác định bởi g( ri )= ri , i = 1,2, ,n và ánh xạ tuyến tính

duy nhất h W: V xác định bởi h( ri )= ri , i = 1,2, ,n Khi đó rõ ràng là