xây dựng hàm tử ext trong phạm trù các không gian vectơ tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hoàng Ngọc Huệ XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Huyên. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các học viên trong lớp đại số và lý thuyết số khóa 19 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 08 năm 2011 Học viên Hoàng Ngọc Huệ Mục lục LỜI NÓI ĐẦU. 4 Chương 1. Đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô . . . . . . . 5 1.1. Phạm trù các không gian vectơ tôpô . . 5 1.1.1. Tập cân và tập hút trong không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Phạm trù các không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Phức và đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô . 15 1.2.1. Phạm trù các phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Đồng luân dây chuyền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Các hàm tử đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4. Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian vectơ tôpô . 23 2.1. Không gian tôpô thuần nhất và ánh xạ chính quy. . 23 2.1.1. Không gian tôpô thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Ánh xạ chính quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3. Vật xạ ảnh tương đối và vật tự do tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 3 2.2. Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . 41 2.2.1. Phép giải xạ ảnh tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2. Xây dựng hàm tử Ext bằng phép giải xạ ảnh tương đối. . . . . . . . . . 45 4 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đại số đồng điều đang tràn ngập hầu khắp các lĩnh vực toán học trong mấy thập kỷ trở lại đây. Hàm tử Ext cùng với các hàm tử Hom, hàm tử Ten xơ và hàm tử Torn là bốn trụ cột trong lý thuyết đại số đồng điều. Để ứng dụng được lý thuyết đại số đồng điều cho một phạm trù nào đó chúng ta phải xây dựng cho được các hàm tử trên trong phạm trù đó. Trong bốn trụ cột đó, tôi quan tâm tới hàm tử Ext. Trong phạm trù môđun có nhiều cách xây dựng hàm tử Ext: bằng cách phân hoạch các dãy khớp ngắn, bằng phép giải xạ ảnh, bằng phép giải nội xạ. Để xây dựng được bằng phép giải xạ ảnh trong phạm trù môđun ta cần dựa vào tính đủ nhiều của các vật tự do. Trong luận văn này, tôi mong muốn xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian vectơ Tôpô. Phạm trù không gian vectơ Tôpô với vật là các không gian vectơ Tôpô và xạ là các ánh xạ tuyến tính liên tục là phạm trù tiền Abel, hơn nữa trong phạm trù này cũng không đủ nhiều các vật tự do. Do đó, tôi xây dựng vật tự do tương đối và chứng minh được tính đủ nhiều của nó trong phạm trù các không gian vectơ tôpô. Trên cơ sở đó xây dựng được hàm tử Ext. Bố cục luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Trình bày về phạm trù các không gian vectơ tôpô, đồng điều, đối đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô. Chương 2: Trước hết trình bày về không gian tôpô thuần nhất và ánh xạ chính quy, bao gồm khái niệm, các ví dụ, tính chất. Sau đó, đưa ra khái niệm vật xạ ảnh tương đối, vật tự do tương đối và chứng minh được tính đủ nhiều của vật tự do tương đối trong phạm trù các không gian vectơ tôpô. Từ đó xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù đó. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 5 Chương 1 Đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô Trong chương này, ta trình bày những nội dung cơ bản nhất về không gian vectơ tôpô, xây dựng khái niệm đồng điều và đối đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô. Trong đó, chúng tôi muốn nói tới định lý 1.1.8 về tiêu chuẩn của hệ cơ sở lân cận trong không gian vectơ tôpô. Dựa vào tiêu chuẩn đó, trong chương tiếp theo chúng tôi xây dựng được vật tự do tương đối sinh bởi một không gian tôpô thuần nhất. 1.1. Phạm trù các không gian vectơ tôpô 1.1.1. Tập cân và tập hút trong không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một tập con của không gian vectơ X trên trường K. Tập hợp A được gọi là cân nếu với mọi x thuộc A thì ta có λx ∈ A với mọi |λ| ≤ 1. Tập hợp A được gọi là hút, nếu với mọi x ∈ X đều tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn điều kiện |µ| ≥ λ. 6 Từ định nghĩa ta thấy: A là tập con cân của X khi và chỉ khi αA ⊂ A với mọi α thỏa mãn điều kiện α ∈ K và |α| ≤ 1. Ví dụ 1.1.1 1) Trong không gian vectơ R trên trường R. Với mỗi r > 0 khoảng (-r, r) là một tập cân và hút, khoảng (-r, r+1) là hút nhưng không cân. 2) Trong không gian vectơ R 2 trên trường R. Với mỗi r > 0 tập hợp {(x; 0) ∈ R 2 : −r < x < r} là tập cân nhưng không hút. Một số tính chất về tập cân và hút trong không gian vectơ được nhắc lại trong hai mệnh đề dưới đây Mệnh đề 1.1.1 Cho A, B là các tập con của không gian vectơ X trên trường K và α ∈ K. Khi đó: 1) Nếu A là một tập cân thì αA là tập cân. Nếu B là tập cân thì A + B là tập cân; 2) Nếu A là tập cân thì với mọi α ∈ K mà |α | = 1 thì αA = A. Với mọi α, β ∈ K mà |α| ≤ |β| thì αA ⊂ βA; 3) Cho (A i ) i∈I là một họ các tập con cân của X thì A =  i∈I A i cũng là tập cân; 4) Nếu A là tập hút thì αA là hút. Nếu B là tập con của X chứa 0 thì A + B là hút; 5) Cho (A i ) n i=1 là một họ các tập con hút của X thì A = n  i=1 A i cũng là tập hút; 6) Nếu A là tập hút thì 0 ∈ A. Hơn nữa, nếu (r n ) n là dãy số không bị chặn thì X = ∞  n=1 r n A Chứng minh. Dưới đây ta chỉ trình bày chứng minh 2) và 6). 2) Nếu A cân và |α| = 1. Khi đó |α | = |α −1 | = 1 ≤ 1 nên αA ⊂ A và α −1 A ⊂ A. Do đó, αA = A. Bây giờ giả sử A là tập con cân của X và |α| ≤ |β|. Nếu β = 0 thì α = 0 do đó αA ⊂ βA. Nếu β ̸= 0 thì | α β | ≤ 1 nên α β A ⊂ A. Vậy αA ⊂ βA. 7 6) Hiển nhiên ta có ∞  n=1 r n A ⊂ X. Ngược lại, với mọi x ∈ X. Do A hút nên tồn tại t > 0 sao cho x ∈ sA với mọi s ∈ K mà |s| > t. Mặt khác do dãy {r n } không bị chặn tồn tại n 0 sao cho |r n 0 | > t nên x ∈ r n 0 A. Vậy nên X ⊂ ∞  n=1 r n A. Mệnh đề 1.1.2 Cho f: X → Y là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ X vào không gian vectơ Y. 1) Nếu A ⊂ X và B ⊂ Y là cân thì f(A) và f −1 (B) là cân; 2) Nếu B ⊂ Y là hút thì f −1 (B) là hút; 3) Nếu A ⊂ X là hút và f là toàn ánh thì f(A) là hút. Chứng minh. 1) Nếu A ⊂ X và A cân thì λA ⊂ A với mọi |λ| ≤ 1. Tác động ánh xạ tuyến tính f vào ta có λ f (A) ⊂ f (A). Do đó f(A) cân. Nếu B ⊂ Y là cân thì λB ⊂ B với mọi |λ| ≤ 1. Suy ra f −1 (λB) ⊂ f −1 (B), do f tuyến tính nên λ f −1 (B) ⊂ f −1 (B). Do đó f −1 (B) cân. 2) Với mọi x ∈ X thì f (x) ∈ Y. Do B hút trong Y nên tồn tại t > 0 sao cho f(x) ∈ sB với mọi |s| ≥ t. Suy ra x ∈ s f −1 (B). Vậy f −1 (B) là hút. 3) Với mọi y ∈ Y, do f là toàn ánh nên tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. Lại do A hút trong X nên tồn tại t > 0 sao cho x ∈ sA với mọi |s| ≥ t. Suy ra f(x) = y ∈ s f (A). Vậy f(A) là hút.  1.1.2. không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian vectơ trên trường K (K là trường số thực hoặc phức). Một tôpô τ trên không gian vectơ X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số nếu các phép toán đại số trong X là liên tục trên tôpô đó. Nói cách khác, các điều kiện sau cần được thỏa mãn: T 1 : Phép cộng "+" : X × X → X ((x, y) → x + y ) liên tục. Nghĩa là, mọi lân cận V của điểm x + y đều có lân cận U x của x và lân cận U y của y sao cho U x + U y ⊂ V. 8 T 2 : Phép nhân ngoài "." : K × X → X ((λ, x) → λ.x) liên tục. Nghĩa là, với mọi lân cận V của λ.x đều có một số ϵ > 0 và một lân cận U của x sao cho ∀λ ′ , |λ ′ − λ| < ϵ thì ta có λ ′ .U ⊂ V (ta thường viết gọn phép nhân ngoài λ.x = λx ). Một không gian vectơ X trên đó có một tôpô tương thích với cấu trúc đại số gọi là không gian vectơ tôpô. Trong không gian vectơ tôpô ta có hai phép toán: phép cộng và phép nhân ngoài là liên tục nên ta có một số kết quả sau: Định lí 1.1.3 Với mỗi a ∈ X, phép tịnh tiến f : X → X; f(x) = x + a là một phép đồng phôi của X lên chính nó. Đặc biệt, nếu U là một cơ sở lân cận của điểm gốc thì U + a là một cơ sở lân cận của a. Do đó toàn bộ cấu trúc tôpô của X được xác định bởi một cơ sở lân cận của điểm gốc. Như vậy ta sẽ làm việc chủ yếu với các lân cận của điểm gốc và nếu không xảy ra sự hiểu lầm thì ta sẽ gọi lân cận của điểm gốc vắn tắt là "lân cận". Nếu U là một lân cận (của điểm gốc) thì U + a là lân cận tương ứng của a, và x ∈ U + a khi và chỉ khi x - a ∈ U. Định lí 1.1.4 Với mỗi số khác không α ∈ K, ánh xạ f : f (x) = αx là một phép đồng phôi của X lên chính nó. Đặc biệt, nếu U là một lân cận, thì với mọi α ̸= 0, αU là một lân cận. Chứng minh. Nếu f(x) = α x = y thì f −1 (y) = x = α −1 y. Do đó f là đồng phôi của X lên chính nó. Mà f(U) = αU nên nếu U là một lân cận thì với mọi α ̸= 0, ta có αU là một lân cận.  Trong không gian tôpô để kiểm tra tính liên tục của một ánh xạ thì ta phải kiểm tra nó liên tục tại mọi điểm. Tuy nhiên trong không gian vectơ tôpô nếu ánh xạ đã cho là tuyến tính thì ta chỉ cần kiểm tra nó liên tục tại điểm gốc 0, đó là nội dung của định lý sau: Định lí 1.1.5 Cho f : X → Y là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y, thì f là liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc. 9 Chứng minh. Giả sử f liên tục tại điểm gốc 0. Gọi x là phần tử bất kì của X và V là lân cận bất kì của f(x) trong Y. Do f tuyến tính nên ta có V - f(x) ={y − f (x)|y ∈ V} là lân cận của 0 trong Y, lại vì f liên tục tại 0 nên tồn tại lân cận U của 0 trong X sao cho f(U) ⊂ V − f (x) hay f(U)+ f (x) ⊂ V. Vậy ta có U+x là một lân cận của x thỏa mãn f(U+x) ⊂ V.  Mệnh đề 1.1.6 Nếu U X là một cơ sở lân cận (của điểm gốc) trong không gian vectơ tôpô X thì ta có với mỗi U ∈ U X : 1) U là hút; 2) Tồn tại V ∈ U X sao cho V + V ⊂ U ; 3) Tồn tại một lân cận cân W ⊂ U . Chứng minh. 1) Với mọi x ∈ X. Do phép nhân ngoài λx liên tục tại (0, x) nên tồn tại lân cận {λ : |λ| ≤ ε} của 0 trong K sao cho λx ∈ U, do đó x ∈ µU khi |µ| ≥ ε −1 . 2) Với mỗi U ∈ U X . Do phép cộng x + y liên tục tại (0, 0) nên tồn tại hai lân cận V 1 và V 2 sao cho V 1 +V 2 ⊂ U. Mặt khác, tồn tại lân cận V ⊂ V 1 ∩ V 2 . Vậy tồn tại lân cận V sao cho V + V ⊂ U. 3) Với mỗi U ∈ U X . Do phép nhân ngoài liên tục tại (0, 0) nên tồn tại ε > 0 và lân cận V của 0 trong X sao cho λV ⊂U với mọi |λ| ≤ ε. Do đó εV⊂ µU khi |µ| ≥ 1. Nên ta có ε V ⊂W=  |µ|≥1 µ U. Vì εV là một lân cận nên W cũng là một lân cận. Lấy x ∈W và 0 < |λ| ≤ 1 ta có x ∈ µ λ U, nên λx ∈ µU khi |λ| ≤ 1. Suy ra λx ∈W. Vậy W là lân cận cân được chứa trong U.  Bây giờ, chúng ta sẽ nhắc lại các tiên đề về tập hợp tất cả các lân cận của một không gian tôpô: Mệnh đề 1.1.7 Nếu U x là họ tất cả các lân cận của điểm x thuộc không gian tôpô X, thì U x có các tính chất sau: N1: x ∈ U với mọi U ∈ U x ; [...]... lớp tất cả các không gian vectơ tôpô và các ánh xạ tuyến tính liên tục thỏa mãn các tiên đề về phạm trù và ta gọi nó là phạm trù các không gian vectơ tôpô Trong đó, lớp các vật là các không gian vectơ tôpô và các cấu xạ là các ánh xạ tuyến tính liên tục và luật hợp thành là phép lấy tích hai cấu xạ Phạm trù các không gian vectơ tôpô được kí hiệu là TVS Trong phạm trù các không gian vectơ tôpô, đơn ánh... nhóm Aben với phần tử 0 là ánh xạ 0 : X → Y và phần tử đối của f : X → Y là − f : X → Y Từ đó ta có, hàm tử Hom( X, -) là hàm tử hiệp biến từ phạm trù các không gian vectơ tôpô vào phạm trù các nhóm Aben và hàm tử Hom(- , X) là hàm tử phản biến từ phạm trù các không gian vectơ tôpô vào phạm trù các nhóm Aben Định nghĩa 1.1.4 Trong phạm trù các không gian vectơ tôpô TVS, một dãy các cấu xạ ··· /A f... là họ các không gian vectơ tôpô: Hn ( X ) = Ker∂n /Im∂n+1 Không gian vectơ tôpô thương Hn ( X ) được gọi là không gian vectơ tôpô đồng điều thứ n của phức X Các phần tử của không gian vectơ tôpô con Cn ( X ) = Ker∂n được gọi là các chu trình n-chiều, còn các phần tử của không gian vectơ tôpô Bn ( X ) = Im∂n+1 được gọi là các bờ n-chiều Theo cách gọi đó thì Hn ( X ) = Cn /Bn là không gian vectơ tôpô. .. 2 Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian vectơ tôpô Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày về không gian tôpô thuần nhất, ánh xạ chính quy, vật xạ ảnh tương đối và vật tự do tương đối Từ đó, chứng minh được "tính đủ nhiều của các vật tự do tương đối sinh bởi các không gian vectơ tôpô" qua nội dung định lý 2.1.13 Cuối cùng, chúng tôi trình bày cách xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không. .. dây chuyền tới phạm trù các không gian vectơ tôpô Tương ứng mỗi phức X với không gian vectơ tôpô đồng điều Hn ( X ) và tương ứng mỗi biến đổi dây chuyền f : X → X ′ với ánh xạ tuyến tính liên tục f ∗ = Hn ( f ) : Hn ( X ) → Hn ( X ′ ) Ta gọi chúng là các hàm tử đồng điều Các hàm tử đồng điều Hn là các hàm tử hiệp biến Liên quan tới hàm tử đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô, ta cũng có... tính liên tục từ không gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y Khi đó Ker f = f −1 (0) và Im f = f ( X ) là các không gian vectơ tôpô với tôpô cảm sinh 1.1.3 Phạm trù các không gian vectơ tôpô Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm về phạm trù Định nghĩa 1.1.3 Một phạm trù P được cấu thành bởi một lớp các đối tượng nào đó mà ta gọi hình thức là các vật, sao cho mỗi cặp sắp thứ tự các vật (A, B)... nhiên do τ2 mạnh hơn τ1 nên i−1 không liên tục nên i không phải là đẳng xạ Qua ví dụ trên ta thấy phạm trù các không gian vectơ tôpô không phải là phạm trù Aben, tuy nhiên chúng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được phạm trù các không gian vectơ tôpô là phạm trù tiền Aben Đặc biệt, với X, Y là hai không gian vectơ tôpô bất kì trên cùng một trường K đặt Hom(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục... (1) được gọi là khớp tại không gian vectơ tôpô B nếu Imf = Ker g Một không gian vectơ tôpô được gọi là vật trung gian, nếu tại đó vừa có cấu 15 xạ vào, vừa có cấu xạ ra Dãy các cấu xạ (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi vật trung gian Định nghĩa 1.1.5 Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng: 0 1.2 /A f /B g /C /0 Phức và đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô Trong phần này, chúng tôi... không gian tôpô thuần nhất thì chưa hẳn là không gian vectơ tôpô Định nghĩa 2.1.5 Một ánh xạ thuần nhất f : X → Y từ không gian tôpô thuần nhất X đến không gian tôpô thuần nhất Y được gọi là ánh xạ thuần nhất liên tục nếu với mỗi lân cận V ∈ UY thì tồn tại một lân cận U ∈ U X sao cho f (U ) ⊂ V Ví dụ 2.1.4 Cho f: X → Y là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô. .. phức, đồng điều, đối đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô Từ đó, thu được kết quả là định lý 1.2.6 " Nếu hai phức tương đương đồng luân thì các nhóm đối đồng điều tương ứng của chúng đẳng cấu với nhau" Dựa vào định lý này và một số kết quả khác nữa được trình bày trong chương 2, chúng tôi chứng minh được tính hợp lý trong cách định nghĩa hàm tử Ext 1.2.1 Phạm trù các phức Định nghĩa 1.2.1 . điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô . . . . . . . 5 1.1. Phạm trù các không gian vectơ tôpô . . 5 1.1.1. Tập cân và tập hút trong không gian vectơ. chúng là các hàm tử đồng điều. Các hàm tử đồng điều H n là các hàm tử hiệp biến. Liên quan tới hàm tử đồng điều trong phạm trù các không gian vectơ tôpô, ta