Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Xuân XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Xuân XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 -1- LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người tận tình hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tìm tòi tài liệu nghiên cứu Vì kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong bảo chân thành thầy, cô bạn Footer Page of 258 Header Page of 258 -2- MỤC LỤC Trang MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN §2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 12 §3 PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 16 CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 24 §1 PHÂN LỚP CÁC DÃY KHỚP NGẮN 24 §2 TÍCH DÃY KHỚP NGẮN VỚI CÁC CẤU XẠ 28 §3 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C,A) 48 §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 Footer Page of 258 -3- Header Page of 258 MỞ ĐẦU Trong Homology, việc tính toán cụ thể phần tử, Saunders MacLane xây dựng hàm tử Ext phạm trù môđun Bây ta thay phạm trù môđun phạm trù không gian Banach liệu ta xây dựng hàm tử Ext hay không? Với ý tưởng này, cố gắng phân tích, đánh giá đường chứng minh MacLane góc độ phạm trù tìm cách chứng minh kết phạm trù không gian Banach mục đích luận văn Bố cục luận văn chia làm ba chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày cách khái quát đường xây dựng hàm tử Ext phạm trù môđun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Xây dựng phạm trù không gian Banach trình bày số kết liên quan tới cấu trúc không gian Banach với ánh xạ tuyến tính ♦ Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Dựa sở phép tính Berơ, vốn trình bày lý thuyết môđun Chúng đưa số kết xem tương tự lý thuyết môđun, vậy, việc chứng minh có phần phức tạp đặc trưng riêng phạm trù xét Footer Page of 258 -4- Header Page of 258 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN Giả sử A C môđun trái vành R Ta gọi mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn R-môđun trái R-đồng cấu: = E χ σ → B  →C → ( χ ,σ ) : → A  Tập hợp mở rộng A nhờ C ta kí hiệu £(C,A) Bây ta xây dựng hàm tử Ext qua ba giai đoạn chính: phân lớp tập £(C,A) thành Ext(C,A) → trang bị cho Ext(C,A) phép toán hai để Ext(C,A) trở thành nhóm Aben (nhóm giao hoán) → xây dựng hàm tử Ext Đầu tiên ta thực phân lớp tập £(C,A) Định nghĩa 1.1.1 χ σ Trong tập £(C,A) cho hai mở rộng E : → A  → B  → C → χ' σ' E ' : → A '  → B '  →C ' → Cấu xạ toàn đẳng E E ' (nếu có) ba đồng cấu môđun = T (1A , β ,1C ) : E → E ' làm cho biểu đồ sau giao hoán: χ σ → B  →C → E : → A  ↓β ↓ 1A χ' ↓ 1C σ' E ' : → A ' → B ' → C ' → Khi ta nói E toàn đẳng với E ' kí hiệu E ≡ E ' Nhận xét : Nhờ bổ đề ngắn ta dễ dàng kiểm tra quan hệ toàn đẳng £(C,A) quan hệ tương đương Do thực phân lớp tập £(C,A) Ta gọi tập thương £(C,A) theo quan hệ toàn đẳng Ext(C,A) Đó tập lớp toàn đẳng lớp mở rộng A nhờ C Lớp chứa mở rộng E ta kí Footer Page of 258 -5- Header Page of 258 hiệu E đơn giản E không sợ nhầm lẫn Tiếp theo ta trang bị cho Ext(C,A) phép toán cộng để trở thành nhóm giao hoán Để làm điều trước tiên ta cần đưa định nghĩa tích bên trái tích bên phải mở rộng với đồng cấu Định nghĩa 1.1.2 χ σ Cho E : → A  → B  → C → mở rộng A nhờ C đồng cấu χ' σ' γ : C ' → C Mở rộng E ' : → A  → B '  → C ' → gọi tích bên phải cấu xạ Tγ mở rộng E đồng cấu γ tồn tại= ta có biểu đồ sau giao hoán : (1A , β , γ ) : E → E ' Tức χ' σ' E ' : → A  → B '  →C ' → ↓ 1A ↓β ↓γ χ σ E : → A  → B  →C → Khi ta kí hiệu E ' = Eγ Mệnh đề 1.1.3 χ σ Cho mở rộng E : → A  → B  → C → đồng cấu γ : C ' → C Khi luôn tồn (chính xác tới toàn đẳng) mở rộng χ' σ' → B '  → C ' → thỏa E ' = Eγ E ' : → A '  Chứng minh : Để chứng minh tồn E ' ta cần tìm môđun B ' đồng cấu χ ' : A → B ',σ ' : B ' → C ', β ' : B ' → B cho biểu đồ χ' σ' E ' : → A  → B '  →C ' → ↓β ↓γ χ σ E : → A  → B  →C → (1) giao hoán dòng khớp Ta lấy B ' tập B ⊕ C ' xác định: B ' = ( b, c ' ) σ ( b ) {= γ ( c ')} Ta chọn β , σ ' phép chiếu từ môđun B ' xuống môđun thành phần B β ( b, c ') b= , σ ' ( b, c ' ) c ' C ' tương ứng, tức là:= Footer Page of 258 -6- Header Page of 258 Đồng cấu χ xác định: χ ' ( a ) = ( χ ( a ) ,0 ) Với cách xây dựng ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (1) giao hoán dòng khớp Hơn nữa, tồn E ' xác tới toàn đẳng, nghĩa tồn E " = Eγ E " ≡ E Nhận xét 2: Với cách xây dựng B ' cấu xạ σ ' : B ' → C ', β : B ' → B σ' B '  →C ' biểu đồ ↓ β (2) ↓ γ níu xét theo cấp độ phạm trù σ B  →C Chứng minh: Theo cách xây dựng β , σ ' hiển nhiên biểu đồ (2) giao hoán Giả sử f : X → C ' g : X → B cặp đồng cấu thỏa γ f = σ g Khi ∀x ∈ X ta có γ f ( x ) = σ g ( x ) Suy ( g ( x ) , f ( x ) ) ∈ B ' Do ta xây dựng cấu xạ h : X → B ' sau: x  h ( x ) = ( g ( x ) , f ( x ) ) βh g Ta có: β h= ( x) β ( g ( x), f = ( x ) ) g ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= σ ' h= σ 'h f ( x ) σ '( g ( x ) , f = ( x ) ) f ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= β h = g Ta cần chứng minh h đồng cấu thỏa  = σ ' h f  β h = g Gọi h1 : X → B ' đồng cấu thỏa  Ta có σ ' h1 = f   β h1 ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ X mà  = ' h x f x σ ( ) ( )   ' nên h1 ( x ) β , σ ' hai cấu xạ chiếu từ B ' lên B C = Suy h1 = h ( g ( x ) , f ( x ) ) , ∀x ∈ X σ' B '  →C ' Vậy biểu đồ ↓ β ↓ γ níu σ B  →C Tương tự với cách xây dựng mệnh đề 1.1.3, ta có kết sau: Footer Page of 258 -7- Header Page of 258 Mệnh đề 1.1.4 C' Trong phạm trù môđun biểu đồ ↓ nâng lên thành níu B→C Mệnh đề 1.1.5 (1A , β , γ ) : Eγ → E có tính chất phổ dụng Tức cấu xạ (α , β1 , γ ) : E1 → E với γ = γ phân tích cách qua T = Cấu xạ T = T1 ( ) ( ) → Eγ  →E dạng: E1  α , β ',1 T = 1, β ,γ Định nghĩa 1.1.6 χ σ Cho mở rộng E : → A  → B  → C → đồng cấu α : A → A ' Mở rộng χ' σ' E ' : → A ' → B ' → C → gọi tích bên trái mở rộng E đồng cấu α tồn tại= cấu xạ Tα (α , β ,1C ) : E → E ' Tức ta có biểu đồ sau giao hoán: χ σ E : → A  → B  →C → ↓α ↓β ↓ 1C χ' σ' E ' : → A  → B '  →C → Khi ta kí hiệu E ' = α E Mệnh đề 1.1.7 χ σ Cho mở rộng E : → A  → B  → C → đồng cấu α : A → A ' Khi luôn tồn (chính xác tới toàn đẳng) mở rộng χ' σ' E ' : → A '  → B '  → C → thỏa E ' = α E Chứng minh : Để chứng minh tồn mở rộng E ' ta cần tìm môđun B ' đồng cấu χ ' : A ' → B ', σ ' : B ' → C , β : B → B ' cho biểu đồ χ σ E : → A  → B  →C → ↓α ↓β χ' σ' E ' : → A '  → B '  →C → Footer Page of 258 (3) giao hoán dòng khớp -8- Header Page 10 of 258 { } Gọi N = ( −α ( a ) , χ ( a ) ) a ∈ A ⊂ A '⊕ B Lấy B=' A '⊕ B N Ta xây dựng đồng cấu β , χ ', σ ' sau: β (= b) ( 0, b ) + N , ∀b ∈ B χ ' ( a= ') ( a ',0 ) + N , ∀a ' ∈ A ' σ ' ( ( a ', b ) + N = ) σ ( b ) , ∀ ( ( a ', b ) + N ) ∈ B ' Với cách xây dựng trên, ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (2) giao hoán dòng khớp Hơn tồn E ' (chính xác tới toàn đẳng) Nhận xét 3: Với cách xây dựng B ' , cấu xạ β χ ' biểu đồ χ A  →B ↓α ↓ β (4) buông xét theo cấp độ phạm trù χ' A '  →B' Chứng minh: Giả sử f : B → D g : A ' → D cặp đồng cấu thỏa f χ = gα +N Lấy ( a '1 , b1 ) = ( a '2 , b2 ) + N ∈ B ' Khi ( a '2 − a '1 , b2 − b1 ) ∈ N , tức tồn phần   −α ( a ) a '2 + α ( a ) a '2 − a '1 = a '1 = tử a ∈ A thỏa  Khi ta có: ⇔ b2 − b1 = χ ( a ) b1 = b2 + χ ( a )   g ( a '1 ) + f ( b1 ) = g ( a '2 + α ( a ) ) + f ( b2 − χ ( a ) ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) + gα ( a ) − f χ ( a ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) Vì ta xây dựng đồng cấu h : B → D sau: N) ( a ', b ) + N  h ( ( a ', b ) + = g ( a ') + f ( b ) , ∀a ' ∈ A ', ∀b ∈ B Khi đó: hχ ' ( a= ') h ( ( a ',0 ) + N = ) g ( a ') , ∀a ' ∈ A hay h= χ' g ) g ( a ') + f (= hβ (= b ) h ( ( 0, b ) + N = b ) f ( b ) , ∀b ∈ B hay h= β f ) g ( ) + f (= Footer Page 10 of 258 - 48 - Header Page 50 of 258 §3 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C,A) Trong mục ta trang bị cho Ext(C,A) phép toán để biến thành nhóm abel Định nghĩa 2.3.1 Cho E1 , E2 ∈£(C,A) tổng E1 E2 , kí hiệu E1 + E2 , dãy khớp ngắn ∇ A ( E1 + E2 ) ∆ C cho công thức: E1 + E2 = Mệnh đề 2.3.2 Nếu E1 ≡ E2 , E1 ' ≡ E2 ' E1 ⊕ E2 ≡ E1 '⊕ E2 ' Chứng minh: Giả sử E1 ≡ E2 , E1 ' ≡ E2 ' nhờ biểu đồ sau giao hoán: χ1 σ1 → B1  → C1 → E1 : → A1  ↓ β1 ↓ 1A ↓ 1C χ2 σ2 → B2  → C2 → E2 : → A2  ↓ 1A , χ1 ' σ1 ' → B1 '  →C → E1 ' : → A  ↓ β2 ↓ 1C2 χ2 ' σ2 ' → B2 '  →C → E1 ' : → A  Ta cần chứng minh biểu đồ sau giao hoán: χ1 ⊕ χ σ ⊕σ E1 ⊕ E2 : → A ⊕ A  → B1 ⊕ B2  →C ⊕ C → ↓ 1A⊕ A ↓ β1 ⊕ β ↓ 1C ⊕C χ1 ' ⊕ χ ' σ ' ⊕σ ' E1 '⊕ E2 ' : → A ⊕ A → B1 '⊕ B2 ' → C ⊕C → Ta có: ( β1 ⊕ β )( χ1 ⊕ χ ) = ( β1χ1 ⊕ β χ ) = ( χ1 '⊕ χ ') (σ '⊕ σ ')( β1 ⊕ β ) =(σ ' β1 ⊕ σ ' β ) =σ ⊕ σ Vậy biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E1 ⊕ E2 ≡ E1 '⊕ E2 ' Mệnh đề 2.3.3 Cho dãy khớp ngắn E1 , E2 , E1 ', E2 ' ∈£(C,A) với E1 ≡ E2 , E1 ' ≡ E2 ' Khi E1 + E2 ≡ E1 '+ E2 ' Chứng minh: Footer Page 50 of 258 Header Page 51 of 258 - 49 - Theo mệnh đề ta có E1 ⊕ E2 ≡ E1 '⊕ E2 ' Theo hệ 2.2.4 ( E1 + E2 ) ∆ C= ( E1 '+ E2 ') ∆C ∇ A ( ( E1 '+ E2 ') ∆ C ) hay Lại theo hệ 2.2.10 ∇ A ( ( E1 + E2 ) ∆ C ) = ∇ A ( E1 + E2 ) ∆ C ≡ ∇ A ( E1 '+ E2 ') ∆ C Vậy E1 + E2 ≡ E1 '+ E2 ' Như phép cộng đưa bảo đảm mối quan hệ toàn đẳng nhờ ta xây dựng phép cộng cho Ext(C,A), sau: Định nghĩa 2.3.4 Cho E1 , E2 ∈Ext(C,A) Lớp chứa mở rộng E1 + E2 gọi tổng E1 E2 hay E1 + E2 = E1 + E2 Mệnh đề 2.3.2 cho ta định nghĩa tốt hay nói cách khác tổng E1 + E2 không phụ thuộc vào mở rộng đại diện E1 + E2 Trong trường hợp không sợ nhầm lẫn, ta viết E1 + E2 thay cho E1 + E2 Phép cộng Ext(C,A) gọi phép cộng Berơ Chúng ta Ext(C,A) với phép cộng Berơ lập thành nhóm abel Đề chứng minh điều ta cần chứng minh số bổ đề: Bổ đề 2.3.5 Cho A không gian Banach, δ A : A ⊕ A → A ⊕ A, ( a1 , a2 )  ( a2 , a1 ) Ta luôn có: a) ∇ A =∇ Aδ A : A ⊕ A → A b) ∆ A = δ A ∆ A : A → A ⊕ A Chứng minh: a1 + a2 a) Với ( a2 , a1 ) ∈ A ⊕ A ta có: ∇ A ( a1 , a2 ) = ∇ A ( a2 , a1 ) = a2 + a1 = a1 + a2 Vậy ∇ A =∇ Aδ A ∇ Aδ A ( a1 , a2 ) = Footer Page 51 of 258 - 50 - Header Page 52 of 258 b) Với a ∈ A ∆ A ( a ) = ( a, a ) δ A∆ A ( a=) δ A ( a, a=) Bổ đề 2.3.6 ( a, a ) Vậy ∆ A = δ A∆ A Cho A không gian Banach ta có: a) ( ∆ A ⊕ 1A ) ∆= A b) (1A ⊕ ∆ A ) ∆ A : A → A ⊕ A ⊕ A ∇ A ( ∇ A ⊕ 1A ) = ∇ A (1A ⊕ ∇ A ) : A ⊕ A ⊕ A → A Chứng minh: a) Với a ∈ A ta có: ( ∆ A ⊕ 1A ) ∆ A ( a ) = ( ∆ A ⊕ 1A )( a, a ) = ( ∆ A ( a ) ,1A ( a ) ) = ( a, a, a ) và: (1A ⊕ ∆ A ) ∆ A ( a= ) (1A ⊕ ∆ A )( a, a=) (1A ( a ) , ∆ A ( a )=) Vậy ( ∆ A ⊕ 1A ) ∆= (1A ⊕ ∆ A ) ∆ A A ( a, a, a ) b) Với ( a1 , a2 , a3 ) ∈ A ⊕ A ⊕ A ta có: ∇ A ( ∇ A ⊕ 1A )( a1 , a2 , a3 ) =∇ A ( ∇ A ( a1 , a2 ) ,1A ( a3 ) ) =∇ A ( a1 + a2 , a3 ) =a1 + a2 + a3 và: ∇ A (1A ⊕ ∇ A )( a1 , a2 , a3 ) = ∇ A (1A ( a1 ) , ∇ A ( a2 , a3 ) ) = ∇ A ( a1 , a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 Vậy ∇ A ( ∇ A ⊕ 1A ) = ∇ A (1A ⊕ ∇ A ) Mệnh đề 2.3.7 Cho E1 , E2 ∈Ext(C,A), α : A → A ', γ : C ' → C ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó: α ( E1 + E2 ) = α E1 + α E2 ( E1 + E2 ) γ =E1γ + E2γ Chứng minh: Trước tiên ta cần chứng minh: α∇ A =∇ A ' (α ⊕ α ) ∆ C γ = ( γ ⊕ γ ) ∆ C '  Với ( a1 , a2 ) ∈ A ⊕ A thì: α∇ A ( a1 , a2 ) = α ( a1 + a2 ) = α ( a1 ) + α ( a2 ) (1) ∇ A ' (α ⊕ α )( a1 , a2 ) = ∇ A ' (α ( a1 ) , α ( a2 ) ) = α ( a1 ) + α ( a2 ) Footer Page 52 of 258 ( 2) - 51 - Header Page 53 of 258 Từ (1) (2) ta có α∇ A =∇ A ' (α ⊕ α ) ∆C ( γ ( c ') ) =  Với c ' ∈ C ' ta có: ∆ C γ ( c ') = ( γ ( c ') , γ ( c ') ) (γ ⊕ γ ) ∆C ' ( c ') = (γ ⊕ γ )( c ', c ') = (γ ( c ') , γ ( c ') ) ( ) ( 3) Từ (3) (4) ta có ∆ C γ = ( γ ⊕ γ ) ∆ C ' Do ta có α ( E1 + E2 ) = α∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C = ∇ A ' (α ⊕ α )( E1 ⊕ E2 ) ∆ C =∇ A ' (α E1 ⊕ α E2 ) ∆ C =α E1 + α E2 ( E1 + E2 ) γ = ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C γ = ∇ A ( E1 ⊕ E2 )( γ ⊕ γ ) ∆ C ' = ∇ A ( E1γ ⊕ E2γ ) ∆ C ' =E1γ + E2γ Định lý 2.3.8 Tập Ext(C,A) với phép cộng định nghĩa lập thành nhóm giao hoán Chứng minh:  Tính giao hoán: Lấy E1 , E2 ∈ Ext(C,A) ta chứng tỏ E1 + E2 = E2 + E1 χ1 σ1 χ2 σ2 → B1  → C → 0, E2 : → A  → B2  →C → Giả sử E1 : → A  Xét biểu đồ: χ1 ⊕ χ σ ⊕σ E1 ⊕ E2 : → A ⊕ A  → B1 ⊕ B2  →C ⊕ C → ↓ δA ↓ δB ↓ δC χ ⊕ χ1 σ ⊕σ E2 ⊕ E1 : → A ⊕ A  → B2 ⊕ B1  →C ⊕ C → Trong đó: δ A : A ⊕ A → A ⊕ A, ( a1 , a2 )  ( a2 , a1 ) δ B : B1 ⊕ B2 → B2 ⊕ B1 , ( b1 , b2 )  ( b2 , b1 ) δ C : C ⊕ C → C ⊕ C , ( c1 , c2 )  ( c2 , c1 ) Footer Page 53 of 258 - 52 - Header Page 54 of 258 Dễ dàng chứng minh δ A , δ B , δ C ánh xạ tuyến tính liên tục Ta chứng minh ba T = biểu đồ giao hoán (δ A , δ B , δ C ) : E1 ⊕ E2 → E2 ⊕ E1 cấu xạ, tức Với ( a1 , a2 ) ∈ A ⊕ A ta có: δ C ( χ1 ⊕ χ )(= a1 , a2 ) δ C ( χ1 ( a1 ) , χ= ( a2 ) ) ( χ ( a ) , χ ( a )) 2 1 = ( χ ⊕ χ1 )( a2 , a1 ) = ( χ ⊕ χ1 ) δ A ( a1 , a2 ) Tức δ C ( χ1 ⊕ χ ) = ( χ ⊕ χ1 ) δ A hay hình vuông thứ biểu đồ giao hoán Tương tự ta chứng minh δ C (σ ⊕ σ ) = (σ ⊕ σ ) δ B hay hình vuông thứ hai biểu đồ giao hoán Vậy T = (δ A , δ B , δ C ) : E1 ⊕ E2 → E2 ⊕ E1 cấu xạ Theo bổ đề 2.2.13 ta có: δ A ( E1 ⊕ E2 ) = ( E1 ⊕ E2 ) δ C Từ áp dụng hệ 2.2.4 2.2.10 ta có: ∇ Aδ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C =∇ A ( E1 ⊕ E2 ) δ C ∆ C (*) Theo bổ đề 3.3.5 thay ∇ Aδ A = ∇ A δ C ∆ C =∆ C vào (*) ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C Ta có: ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C = Hay E1 + E2 ≡ E2 + E1 Từ ta có E1 + E2 = E2 + E1 tức phép cộng Berơ Ext(C,A) có tính chất giao hoán  Phần tử không Ext(C,A) Phần tử trung hòa phép cộng: lớp toàn đẳng với dãy khớp ngắn tự phân i1 p2 → A ⊕ C  →C → rã E0 : → A  Thật vậy: lấy E ∈ Ext(C,A) Xét biểu đồ sau: Footer Page 54 of 258 - 53 - Header Page 55 of 258 χ σ E : → A  → B  → C →0 ↓β ↓0 ↓ 1C i1 p2 E0 : → B  → A ⊕ C  →C →0 Trong A : A → A ánh xạ không, β : B → A ⊕ C , β ( b ) = ( 0, σ ( b ) ) Dễ dàng chứng tỏ β ánh xạ tuyến tính liên tục thực chất β = i1σ i1 : B → A ⊕ C phép nhúng, nữa: = = Với a ∈ A βχ ( a ) βχ (a) i i= ( a ) ) ( 0, ) = ( ) ( 0, ) ( 0, σχ= A Vậy βχ = i1 A tức hình vuông thứ biểu đồ giao hoán Với b ∈ B p2 β= ( b ) p2 ( 0, σ = ( b ) ) σ= ( b ) 1C σ ( b ) Vậy p2 β = 1C σ tức hình vuông thứ hai biểu đồ giao hoán = Do T ( 0, β ,1C ) : E → E0 cấu xạ nên E0 = A E Sử dụng mệnh đề 2.3.7 ta có: E0 + E = E A + A E = (1A + A ) E = 1A E = E Vậy phần tử không phép cộng Berơ Ext(C,A) lớp E0 với i1 p2 E0 : → A  → A ⊕ C  →C →  Phần tử đối Với E ∈ Ext(C,A) phần tử đối E là lớp toàn đẳng với ( −1A ) E 1A E + ( −1A ) E = Thật vậy: E + ( −1A ) E = (1A + −1A ) E =0 A E =E0  Tính chất kết hợp: Với lớp chứa mở rộng E1 , E2 , E3 ∈ Ext ( C , A ) ta cần chứng tỏ: (E + E ) + E Trong Footer Page 55 of 258 ( ) =E1 + E2 + E3 hay ( E1 + E2 ) + E3 =E1 + ( E2 + E3 ) - 54 - Header Page 56 of 258 χ1 σ1 E1 : → A  → B1  → C → 0, χ2 σ2 E2 : → A  → B2  → C → 0, χ3 σ3 E3 : → A  → B3  →C → Từ biểu đồ giao hoán: E1 ⊕ E2 : → A ⊕ A  → B1 ⊕ B2  → C ⊕C → ↑β ↑ 1A⊕ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆C :0 → A⊕ A  →  → B C →0 ↓ β1 ↓ ∇A ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C : → A ↑ ∆C  → B' ↓ 1C  → C →0 Ta thành lập biểu đồ giao hoán sau: E1 ⊕ E2 ⊕ E3 : → A ⊕ A ⊕ A  → B1 ⊕ B2 ⊕ B3  → C ⊕C ⊕C → ↑ β ⊕ 1B3 ↑ 1A⊕ A⊕ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆C ⊕ E3 :0 → A⊕ A⊕ A  → ↓ ∇ A ⊕ 1A ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 (∇ ( E ⊕ E ) ∆ A C :0 → A⊕ A ⊕ E3 ) ∆ C  → ∇ A ( ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 ) ∆ C : → A⊕ A  → ↓ β1 ⊕ 1B3 B '⊕ B3 C ⊕C → ↓ 1C ⊕C  → C ⊕C → ↑ β2 ↑ 1A⊕ A :0 → B ⊕ B3 ↑ ∆ C ⊕ 1C  →  → C →0 ↓ β3 ↓ ∇A A B '' ↑ ∆C  → B ''' ↓ 1C  → C →0 Từ biểu đồ giao hoán ta có:  ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3= ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )( ∆C ⊕ 1C )  ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 = ( ∇ A ⊕ 1A )( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 = ( ∇ A ⊕ 1A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )( ∆ C ⊕ 1C )  ( ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 ) ∆ C = ( ∇ A ⊕ 1A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )( ∆ C ⊕ 1C ) ∆ C Cuối ta có: ∇ A ( ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ⊕ E3 ) ∆ C =∇ A ( ∇ A ⊕ 1A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )( ∆ C ⊕ 1C ) ∆ C Footer Page 56 of 258 (1) - 55 - Header Page 57 of 258 Hoàn toàn tương tự ta có biểu đồ giao hoán sau: E2 ⊕ E3 : → A ⊕ A  → B2 ⊕ B3  → C ⊕C → ↑γ ↑ 1A⊕ A ( E2 ⊕ E3 ) ∆C :0 → A⊕ A  →  → B C →0 ↓ γ1 ↓ ∇A ∇ A ( E2 ⊕ E3 ) ∆ C : → A ↑ ∆C  → D1 ↓ 1C  → C →0 Ta thành lập biểu đồ giao hoán sau: E1 ⊕ E2 ⊕ E3 : → A ⊕ A ⊕ A  → B1 ⊕ B2 ⊕ B3  → C ⊕C ⊕C → ↑ 1B1 ⊕ γ ↑ 1A⊕ A⊕ A E1 ⊕ ( E2 ⊕ E3 ) ∆ C :0 → A⊕ A⊕ A  → B ⊕ B3 (E ⊕ ∇ (E A :0 → A⊕ A ⊕ E3 ) ∆ C ) ∆ C  → B1 ⊕ D1 A⊕ A  → ∇ A ( E1 ⊕ ∇ A ( E2 ⊕ E3 ) ∆ C ) ∆ C : →  →  → ↓ γ3  → A C ⊕C → ↑ ∆C D2 ↓ ∇A C ⊕C → ↓ 1C ⊕C ↑ γ2 ↑ 1A⊕ A :0 →  → ↓ 1B1 ⊕ γ ↓ 1A ⊕ ∇ A E1 ⊕ ∇ A ( E2 ⊕ E3 ) ∆ C ↑ 1C ⊕ ∆ C C →0 ↓ 1C  → D3 C →0 Tương tự ta rút được: ∇ A ( E1 ⊕ ∇ A ( E2 ⊕ E3 ) ∆ C ) ∆ C = ∇ A (1A ⊕ ∇ A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )(1C ⊕ ∆ C ) ∆ C Và theo bổ đề 2.3.6 ( ∆ A ⊕ 1A ) ∆= A (1A ⊕ ∆ A ) ∆ A ( ∇ A ⊕ 1A ) ∇=A (1A ⊕ ∇ A ) ∇ A Áp dụng vào (1) (2) ta có: ∇ A ( ∇ A ⊕ 1A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )( ∆ C ⊕ 1C ) ∆ C ≡ ∇ A (1A ⊕ ∇ A ) ( E1 ⊕ E2 ⊕ E3 )(1C ⊕ ∆ C ) ∆ C ( ) ( ) Vậy ( E1 + E2 ) + E3 =E1 + ( E2 + E3 ) hay E1 + E2 + E3 =E1 + E2 + E3 Footer Page 57 of 258 Header Page 58 of 258 - 56 - Như tập hợp Ext(C,A) với phép cộng Berơ xác định lập thành nhóm abel Đến ta nâng số kết phạm trù môđun lên cho phạm trù không gian Banach Ta kết thúc luận văn việc xây dựng hàm tử biến Ext(C,-) Ext(-,A) phạm trù không gian Banach §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH Mệnh đề 2.4.1 Cho ánh xạ tuyến tính liên tục α : A → A ', γ : C ' → C Các qui tắc: = α* Ext (α ,1C ) : Ext ( C , A ) → Ext ( C , A ') , E  α E , = γ * Ext (1A , γ ) : Ext ( C , A ) → Ext ( C ', A ) , E  Eγ Là đồng cấu nhóm Chứng minh: ▪ Ta chứng tỏ α * đồng cấu nhóm Cách xây dựng α * hợp lý theo mệnh đề 2.2.9 mở rộng E tồn mở rộng α E Với E1 + E2 ∈ Ext ( C , A ) ta có: α* ( E1 + E2 ) = α ( E1 + E2 ) = α ( E1 ) + α ( E2 ) = α* ( E1 ) + α * ( E2 ) Vậy α * đồng cấu nhóm ▪ Ta chứng tỏ γ * đồng cấu nhóm Footer Page 58 of 258 - 57 - Header Page 59 of 258 Cách xây dựng γ * hợp lý theo mệnh đề 2.2.3 mở rộng E tồn mở rộng Eγ Với E1 + E2 ∈ Ext ( C , A ) ta có: γ * ( E1 + E2 ) = γ ( E1 + E2 ) = γ ( E1 ) + γ ( E2 ) = γ * ( E1 ) + γ * ( E2 ) Vậy γ * đồng cấu nhóm Bây xây dựng hàm tử biến Ext ( −, A ) Ext ( A, − ) a) Cho A không gian Banach Khi ta định nghĩa Ext ( −, A ) hàm tử từ phạm trù 𝔅 không gian Banach vào phạm trù nhóm abel Ab cách: Đặt tương ứng không gian Banach C với nhóm Ext(C,A) đặt ánh xạ tuyến tính liên tục γ : C ' → C cấu xạ: = γ * Ext (1A , γ ) : Ext ( C , A ) → Ext ( C ', A ) , E  Eγ Hàm tử Ext ( −, A ) hàm tử phản biến thỏa mãn hai tính chất sau:  (1C ) = 1Ext (C , A) *  ( γ 2γ ) = γ 1*γ 2* * Thật vậy:  ∀E ∈ Ext ( C , A ) ta có : (1C )= E E= 1C E * Suy (1C ) = 1Ext (C , A) * γ1 γ2  Cho cấu xạ : C ''  → C '  → C Ta có : γ 2γ ) ∀E ∈ Ext ( C , A ) , ( γ 2γ )= ( E ) E (= * Suy : ( γ 2γ ) = γ 1*γ 2* γ 1* (= Eγ ) γ 2*γ 1* ( E ) ( Eγ= )γ1 * Vậy hàm tử Ext ( −, A ) hàm tử phản biến Footer Page 59 of 258 - 58 - Header Page 60 of 258 b) Cho C không gian Banach Khi ta định nghĩa Ext ( C , − ) hàm tử từ phạm trù 𝔅 không gian Banach vào phạm trù nhóm abel Ab cách: Đặt tương ứng không gian Banach A với nhóm Ext(C,A) đặt ánh xạ tuyến tính liên tục α : A → A ' cấu xạ: = α* Ext (α ,1A ) : Ext ( C , A ) → Ext ( C , A ') , E  α E , Hàm tử Ext ( A, − ) hàm tử hiệp biến thỏa mãn hai tính chất sau:  (1A )* = 1Ext (C , A)  (α α1 )* = (α )* (α1 )* Chứng minh : E ) 1= E  Với E ∈ Ext ( C , A ) , ta có : 1A* (= AE Suy : (1A )* = 1Ext (C , A) α1 α2  Cho cấu xạ A  → A '  → A '' Ta có : ∀E ∈ Ext ( C , A ) , (α 2= α1 ) E α1 ) E α = (α 2= (α1E ) α 2*α1* (α1E ) Suy : (α α1 )* = (α )* (α1 )* Vậy hàm tử Ext ( A, − ) hàm tử hiệp biến Mệnh đề 2.4.2 Hàm tử Ext ( −, A ) hàm tử Ext ( A, − ) hàm tử cộng tính Chứng minh: a) Chứng minh Ext ( A, − ) hàm tử cộng tính Giả sử α1 : A → A ', α : A → A ' ánh xạ tuyến tính liên tục cho mở rộng E ∈ Ext ( C , A ) ta có: Footer Page 60 of 258 Header Page 61 of 258 Ext (α1 + α ,1C ) ( E ) = (α1 + α )( E ) - 59 - (1) Ext (α1 ,1C ) ( E ) + Ext (α ,1C ) ( E ) = α1 E + α E = ∇ A ' (α1 ⊕ α )( E ⊕ E ) ∆ C Theo mệnh đề 2.2.14 ta có ( E ⊕ E ) ∆ C =∆ A E Suy ∇ A ' (α1 ⊕ α ) ∆ A : A → A ' phân tích sau: ∆A α1 ⊕α ∇A' → A ⊕ A  → A '⊕ A ' → A  A' Lúc với a ∈ A ta có: ∇ A ' ( α1 ⊕ α ) ∆ A ( a ) = ∇ A ' ( a, a ) = ∇ A ' ( α1 ( a ) , α ( a ) ) = α1 ( a ) + α ( a ) = (α1 + α )( a ) Suy ∇ A ' (α1 ⊕ α ) ∆ A = α1 + α : A → A ' Vậy ( ∇ A ' (α1 ⊕ α ) ∆ A ) ( E ) = (α1 + α )( E ) ( 2) Từ (1) (2) ta có: Ext (α1 + α ,1= Ext (α1 ,1C ) + Ext (α ,1C ) C) Vậy hàm tử Ext ( A, − ) hàm tử cộng tính b) Chứng minh Ext ( −, A ) hàm tử cộng tính Giả sử γ : C ' → C , γ : C ' → C ánh xạ tuyến tính liên tục cho mở rộng E ∈ Ext ( C , A ) ta có: Ext (1A , γ + γ )( E ) = E ( γ + γ ) = Eγ + Eγ (1) Ext (1A , γ )( E ) + Ext (1A , γ )( E ) = Eγ + Eγ (1) = ∇ A ( Eγ ⊕ Eγ ) ∆ C ' = ∇ A ( E ⊕ E )( γ ⊕ γ ) ∆ C ' Theo mệnh đề 2.2.14 ta có ∆ A ( E ⊕ E ) =E ∆ C Vậy ∇ A ( E ⊕ E )( γ ⊕ γ ) ∆ C ' =E∇C ( γ ⊕ γ ) ∆ C ' Trong ∇C ( γ ⊕ γ ) ∆ C ' : C ' → C phân tích sau: ∆C ' ∇C γ ⊕γ → C ⊕ C  →C C ' → C '⊕ C '  Footer Page 61 of 258 - 60 - Header Page 62 of 258 Lúc với c ' ∈ C ' ta có: ∇C ( γ ⊕ γ ) ∆C ' ( c ') = ∇C ( γ ⊕ γ )( c ', c ') = ∇C ( γ ( c ') , γ ( c ') ) = γ ( c ') + γ ( c ') = (γ + γ )( c ') Suy ∇C ( γ ⊕ γ ) ∆ C ' = (γ + γ ) : C ' → C Vậy E∇C ( γ ⊕ γ ) ∆ C=' E ( γ + γ 2= ) Ext (1C , γ + γ ) ( E ) ( 3) Kết hợp (1), (2) (3) ta có: Ext (1C , γ + γ ) = Ext (1C , γ ) +Ext (1C , γ ) Vậy hàm tử Ext ( −, A ) hàm tử cộng tính Mệnh đề 2.4.3 1) Ext ( C , A1 ⊕ A2 ) ≅ Ext ( C , A1 A2 ) ⊕ Ext ( C , A2 ) 2) Ext ( C1 ⊕ C2 , A ) ≅ Ext ( C1 , A ) ⊕ Ext ( C2 , A ) Chứng minh: 1) Gọi j1 : A1 → A1 ⊕ A2 , j2 : A2 → A1 ⊕ A2 phép nhúng π : C1 ⊕ C2 → C1 , π : C1 ⊕ C2 → C2 phép chiếu j1 π2  → A1 ⊕ A2 ←  → A2 (*) Từ hệ thức đặc trưng tổng trực tiếp A1 ←   π j Ta có: = π j1 1= 1A2 A1 , π j2 (**) = π j1 0,= π j2 π j1 + π j2 = 1A ⊕ A Tác động hàm tử Ext ( C , − ) biểu đồ (*) hệ thức (**) Ta có: j1* π 2*  → Ext ( C , A1 ⊕ A2 ) ←  → Ext ( A2 ) Ext ( C , A1 ) ←  π1* Footer Page 62 of 258 j2* - 61 - Header Page 63 of 258 = π 1* j1* 1= , π j2 1Ext (C , A2 ) Ext ( C , A1 ) = π 2* j1* 0,= π 1* j2* π 1* j1* + π 2* j2* = 1Ext (C , A ⊕ A ) Vậy Ext ( C , A1 ⊕ A2 ) ≅ Ext ( C , A1 A2 ) ⊕ Ext ( C , A2 ) 2) Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: Ext ( C1 ⊕ C2 , A ) ≅ Ext ( C1 , A ) ⊕ Ext ( C2 , A ) KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù không gian Banach cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau: 1) Ta xây dựng tích dãy khớp ngắn với cấu xạ, nhờ xây dựng phép cộng Berơ phạm trù không gian Banach 2) Tập Ext(C,A) gồm lớp toàn đẳng dãy khớp ngắn có dạng χ σ →•  → C → phạm trù không gian Banach với → A  phép cộng Berơ hình thành nên nhóm giao hoán 3) Với A C vật cố định phạm trù không gian Banach hàm tử Ext(C,-) hàm tử hiệp biến hàm tử Ext(-,A) hàm tử phản biến từ phạm trù không gian Banach vào phạm trù nhóm aben Footer Page 63 of 258 Header Page 64 of 258 - 62 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] : Mac Lane, S., Homology, Springer – Verlag, Berlin, GÖttingen, Heidelberg, 1963 [2]: Cartan H and Eilenberg S (1956), Homological abgebra, Princeton Tiếng Việt [3] : Bary Mitchell (1981), Lý thuyết phạm trù, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, Hà nội [4] : Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng đều, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [5] : Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [6] : Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [7]: Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại Footer Page 64 of 258 ... HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN §2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 12 §3 PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 16 CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH. .. xây dựng hàm tử Ext phạm trù môđun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Xây dựng phạm trù không gian Banach trình bày số kết liên quan tới cấu trúc không gian Banach. .. ĐẦU Trong Homology, việc tính toán cụ thể phần tử, Saunders MacLane xây dựng hàm tử Ext phạm trù môđun Bây ta thay phạm trù môđun phạm trù không gian Banach liệu ta xây dựng hàm tử Ext hay không?