Khung trong không gian banach

Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cô Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn, bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu, động viên tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ động viên gia đình, bạn bè, thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2011-2013 để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vi Thị Kim Tuyến Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành không trùng với luận văn khác Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vi Thị Kim Tuyến Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach 1.1.2 Phép chiếu tổng trực tiếp không gian 1.1.3 Cơ sở không gian Banach 11 1.2 Khung không gian Hilbert 13 1.2.1 Khung không gian Hilbert hữu hạn chiều 14 1.2.2 Khung không gian Hilbert tổng quát 17 1.2.3 Khung đối ngẫu thay phiên khung không gian Hilbert 24 1.2.4 Tính giãn nở khung đối ngẫu thay phiên không gian Hilbert 34 Chương KHUNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH 46 2.1 Khai triển nguyên tử 46 2.2 Khung không gian Banach 53 2.3 Khung đối ngẫu thay phiên khung không gian Banach 59 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 i Mở đầu Lí chọn đề tài Năm 1946, D Gabor [4] đưa cách tiếp cận để phân tích tín hiệu thông qua tín hiệu sở Năm 1952, nghiên cứu báo lý thuyết chuỗi Fourier không điều hoà, R J Duffin A C Schaeffer [3] trừu tượng hoá phương pháp Gabor để định nghĩa khung không gian Hilbert Tuy nhiên ý tưởng không nhận quan tâm nhà khoa học lĩnh vực báo I Daubechies, A Grossmann Y Meyer [2] đời vào năm 1986 Ngày nay, lý thuyết khung công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt phân tích tín hiệu Năm 1989, Grochenig [5] tổng quát hoá khái niệm khung cho không gian Banach gọi chúng khai triển nguyên tử Đặc trưng khung mà Grochenig cố gắng giữ lại không gian Banach mối tương quan một-một véc tơ không gian Hilbert với tập hệ số khung Grochenig định nghĩa khái niệm tổng quát gọi khung Banach Với mong muốn hiểu biết sâu sắc lý thuyết khung không gian Banach, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo, tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn nghiên cứu đề tài “Khung không gian Banach” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày khung không gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khung không gian Hilbert không gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, số khái niệm kết khung không gian Hilbert không gian Banach Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến khung không gian Hilbert không gian Banach Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề - Thu thập tài liệu báo khung không gian Banach - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách tổng quan lý thuyết khung không gian Banach Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm kiến thức giải tích hàm Trong mục nhắc lại số khái niệm kiến thức mà sử dụng phần sau Các kết tham khảo từ tài liệu [7], [8] 1.1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach X vào không gian Banach Y liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho T x ≤ c x , với x ∈ X (1.1) Ký hiệu B(X, Y ) tập hợp tất toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Khi X = Y B(X, Y ) ký hiệu đơn giản B(X) Chuẩn T ∈ B(X, Y ) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, T = sup { T x : x ∈ X, x ≤ 1} = sup { T x : x ∈ X, x = 1} Gọi X không gian tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X, X gọi không gian đối ngẫu không gian X Ký hiệu x ∈ X, x∗ ∈ X , x, x∗ := x∗ (x) Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X, Y, Z không gian Banach Nếu T ∈ B (X, Y ) tồn phần tử T ∗ ∈ B (Y , X ) cho T x, y ∗ = x, T ∗ y ∗ , (x ∈ X, y ∗ ∈ Y ) Hơn i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ iii) Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch T −1 ∗ = (T ∗ )−1 , S, T ∈ B(X, Y ) R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ B(X, Y ) S ∈ B(Y, Z) Khi i) T x ≤ T x , ∀x ∈ X ii) ST ≤ S T iii) T = T ∗ Giả sử X không gian Banach, M không gian X N không gian X Ta định nghĩa M ⊥ = {x∗ ∈ X : x, x∗ = 0, ∀x ∈ M } , ⊥ N = {x ∈ X : x, x∗ = 0, ∀x∗ ∈ N } Giả sử T ∈ B(X, Y ) Ta ký hiệu N (T ) = {x ∈ X : T x = 0} , R(T ) = {y ∈ Y : y = T x, x ∈ X} Mệnh đề 1.1.3 Giả sử X, Y không gian Banach, T ∈ B(X, Y ) Khi N (T ∗ ) = R(T )⊥ N (T )=⊥ R(T ∗ ) Trong trường hợp không gian Hilbert ta có Mệnh đề 1.1.4 Giả sử H, K, L không gian Hilbert Nếu T ∈ B(H, K) tồn phần tử T ∗ ∈ B(K, H) cho T ∗ x, y = x, T y , ∀x ∈ K, ∀y ∈ H Hơn i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ , ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ , iii) (T ∗ )∗ = T , iv) I ∗ = I, v) Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch T −1 ∗ = (T ∗ )−1 , S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1.4 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.1.5 Giả sử T ∈ B(H, K) S ∈ B(K, L) Khi i) T x ≤ T x , ∀x ∈ X ii) ST ≤ S T iii) T = T ∗ iv) T ∗ T = T Định lý 1.1.1 Nếu T ∈ B(H) N (T ∗ ) = R(T )⊥ N (T ) = R(T ∗ )⊥ Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian Hilbert T ∈ B(H) T gọi toán tử tự liên hợp T ∗ = T , đẳng cự T ∗ T = IH , unita T ∗ T = T T ∗ = IH , T gọi đối đẳng cự T ∗ đẳng cự, tức T T ∗ = IH Toán tử tự liên hợp T gọi dương (ký hiệu T ≥ 0) T x, x ≥ với x ∈ H T, K ∈ B(H), T ≥ K T − K ≥ Chú ý với T ∈ B(H) T ∗ T x, x = T x, T x ≥ với x ∈ H Do T ∗ T dương Mệnh đề 1.1.6 Cho H không gian Hilbert Giả sử T ∈ B(H) Khi điều kiện sau tương đương i) T dương ii) T = S S toán tử dương iii) T = V ∗ V V ∈ B(H) Toán tử S ii) gọi bậc hai T , ký hiệu T 1.1.2 Phép chiếu tổng trực tiếp không gian Cho V không gian véc tơ trường số phức C Toán tử tuyến tính E : V → V thỏa mãn E = E gọi phép chiếu V Khi tập Y = {x ∈ V : Ex = x } , Z = {x ∈ V : Ex = } (1.2) không gian tuyến tính V Cho x ∈ V y = Ex, z = x − Ex Khi x = y + z với y ∈ Y (do Ey = E x = Ex = y) z ∈ Z (vì Ez = Ex − E x = 0) Nếu x có biểu diễn khác x = y1 + z1 với y1 ∈ Y z1 ∈ Z Ey1 = y1 , Ez1 = y1 = E (y1 + z1 ) = Ex = y z1 = x − y1 = x − Ex = z Do phần tử x thuộc V biểu diễn dạng x = y + z với y ∈ Y z ∈ Z Y Z gọi không gian bù V Ta nói V tổng trực tiếp Y Z, ký hiệu • V = Y + Z Hai không gian Y Z không gian bù V Y + Z = V Y ∩ Z = {0} Định nghĩa ánh xạ E : V → V sau: với x ∈ V , x = y + z, y ∈ Y, z ∈ Z, ta định nghĩa Ex = y Khi Y Z liên hệ với E (1.2) Do Ex ∈ Y nên E(Ex) = Ex với x ∈ V Vậy E = E Ta kiểm tra E ánh xạ tuyến tính Định lý 1.1.2 Hai không gian tuyến tính Y Z không gian tuyến tính V bù Y + Z = V Y ∩ Z = {0} Khi điều kiện thỏa mãn, phương trình E(y + z) = y khung đối ngẫu thay phiên {xi }, ({xi } , {yi }) cặp khung X Phiên cuối khung không gian Banach đến từ Định lý 2.1.1 Định nghĩa 2.2.3 Một mô hình khung không gian Banach Z với sở cố định không điều kiện {ei } cho Z Một cặp khung mô hình (Z, {ei }) cho không gian Banach X cặp dãy {yi } X ∗ {xi } X để toán tử θ : X → Z xác định θu = u, yi ei đơn cấu Γ : Z → X cho Γ ei = x i i bị chặn Γθ = Ix Γθ trở thành toán tử khôi phục cho khung Nhận xét: Trong trường hợp khung thông thường không gian Hilbert Z = l2 , {ei } sở trực chuẩn tắc l2 , {xi } khung đối ngẫu thay phiên {yi }, θ toán tử phân tích tương ứng với {yi }, Γ toán tử tổng hợp Điều ta ba phương pháp để định nghĩa khung không gian Banach Định lý 2.2.3 Cho X không gian Banach {xi } dãy phần tử X Các điều kiện sau tương đương (1) {xi } khung cho X 56 (2) Tồn dãy yi ∈ X ∗ để ({xi } , {yi }) cặp khung cho X (3) Tồn dãy yi ∈ X ∗ mô hình khung (Z, {ei }) để ({xi } , {yi }) cặp khung mô hình (Z, {ei }) Chứng minh (1)⇒(3): Vì {xi } khung X, nên có không gian Banach Z với sở không điều kiện ({ei } , {e∗i }) phép chiếu tuyến tính bị chặn P : Z → X để P ei = xi Bây cho yi = P ∗ e∗i ta có với u ∈ X u, P ∗ e∗i P ei = u, yi xi = i u, e∗i P ei i i u, e∗i ei =P = P u = u i Vì cho θ phép nhúng i : X → Z cho Γ = P , ta thấy ({xi } , {yi }) cặp khung mô hình (Z, {ei }) X (3)⇒(2): Do Γ ( e i ) = xi với dãy vô hướng {ai } cho ak = aj = 0, ∀j = k, suy Γek = xk ∀k Do θu = u, yi ei , nên u = Γθu = Vậy u = u, yi Γei = u, yi xi 57 u, yi xi Gọi σ : N → N hoán vị tùy ý Khi u, yσ(i) xσ(i) = u, yσ(i) Γeσ(i) =Γ u, yσ(i) eσ(i) =Γ u, yi ei = u, yi Γei = Do chuỗi u, yi xi u, yi xi hội tụ không điều kiện (2)⇒(1): Đầu tiên ta cần xây dựng mô hình khung Để làm điều ta định nghĩa không gian Banach CX CX = {ai } : sup = εi =±1 ei đơn ánh Γ1 : Z → X định nghĩa Γ1 ( e i ) = x i bị chặn, Γ1 θ1 = IX , toán tử θ2 : Y → W định nghĩa θ2 v = v, wi fi đơn ánh Γ2 : W → Y định nghĩa Γ2 ( bi pi ) = bi zi bị chặn, Γ2 θ2 = IY Đặt P1 = θ1 Γ1 , P2 = θ2 Γ1 Khi P1 phép chiếu từ Z lên θ1 X Thật P12 = (θ1 Γ1 )(θ1 Γ1 ) = θ1 (Γ1 θ1 )Γ1 = θ1 IX Γ1 = θ1 Γ1 = P1 Tương tự, P2 phép chiếu từ W lên θ2 Y Ta có P1 ei = θ1 Γ1 ei = θ1 xi Tương tự P2 fi = θ2 zi Ta có θ1 xi ⊕ θ2 zi = (P1 ⊕ P2 )(ei ⊕ fi ), 62 (P1 ⊕ P2 )(P1 ⊕ P2 ) = P12 ⊕ P22 = P1 ⊕ P2 Vậy P1 ⊕ P2 phép chiếu từ Z ⊕ W lên θ1 X ⊕ θ2 Y P1 ⊕ P2 (ei ⊕ fi ) = θ1 xi ⊕ θ2 zi = θ1 ⊕ θ2 (xi ⊕ zi ) Ta có P1∗ e∗i , θ1 x = e∗i , P1 θ1 x = e∗i , θ1 x = e∗i , x, yj ej j x, yj = e∗i , ej j yj , x e∗i , ej = yi , x = yi , θ1−1 θ1 x = j ∗ = (θ1−1 ) yi , θ1 x = (θ1∗ )−1 yi , θ1 x , ∀x ∈ X Từ P1∗ e∗i = (θ1∗ )−1 yi , ∀i Với (x, y) ∈ X ⊕ Y ta có x ⊕ y, yi ⊕ wi xi ⊕ zi = i ( x, yi + y, wi ) xi ⊕ zi i x, yi xi ⊕ + ⊕ = i y, wi zi i = x ⊕ y Hơn nữa, chuỗi hội tụ không điều kiện Theo Định nghĩa 2.3.1 {xi ⊕ zi } {yi ⊕ wi } khung đối ngẫu thay phiên cho X ⊕ Y Bổ đề 2.3.1 Cho X không gian Banach P, Q phép chiếu X Nếu QP = P (vì Q|P X : P X → P X đẳng cấu), 63 có số C cho với x ∈ P X y ∈ (I − Q)X ta có ||x + y|| ≥ C max(||x||, ||y||) Hơn nữa, (I − Q)|(I−P )X : (I − P )X → (I − Q)X đẳng cấu Chứng minh Do QP x = P x ∈ P X, nên Q|P X : P X → P X Giả sử QP x = Khi P x = 0, nên Q|P X đơn ánh Giả sử y ∈ P X Khi P y = y Ta có QP y = P y = y Vậy Q|P X toàn ánh Do Q|P X : P X → P X song ánh Hiển nhiên, phép chiếu Q tuyến tính liên tục, nên Q|P X : P X → P X đẳng cấu Với x ∈ P X; x = Qx + (I − Q)x Q |P X đẳng cấu, có số B để ||x|| ≤ B.||Qx|| Do đó, với y ∈ (I − Q)X, x + y = 1, có hai trường hợp sau: 4.||I − P || Trường hợp ta có: Trường hợp 1: ||Qx|| ≥ x + y = Qx + [(I − Q)x + y] ≥ D Qx D I −P D = ||x + y|| 4.||I − P || ≥ 64 4.||I − P || Trong trường hợp này: Trường hợp 2: ||Qx|| ≤ = ||x + y|| ≥ ||y|| − ||x|| ≥ ||y|| − B.||Bx|| ≥ ||y|| − B 4.||I − P || Vì ||y|| ≤ + B B + 4.||I − P || = = A, 4.||I − P || 4.||I − P || nghĩa ||x + y|| ≥ ||y|| A Vì span (P X, (I − Q)X) ∼ = P X ⊕ (I − P ) X tổng trực tiếp Cuối (I − Q)(I − P ) = I − Q − P + QP = I − Q − P + P = I − Q Do I − Q đẳng cấu từ (I − P )X lên (I − Q)X Định lý 2.3.1 Cho ({xi } , {zi }) cặp khung cho X mô hình (Z, {ei }) với θ, Γ Định nghĩa 2.2.3 cho P = θΓ phép chiếu từ Z lên θX Khi tồn không gian Banach Y ∼ = (I − P )Z sở không điều kiện ({ui } , {u∗i }); cho Z ∼ = X ⊕ Y có dạng ui = xi ⊕ wi u∗i = zi ⊕ vi với wi ∈ Y ; vi ∈ Y ∗ Chứng minh Ký hiệu Γ, θ Định nghĩa 2.2.3 Ta làm theo bước sau: Bước 1: Ánh xạ θz : X → Z xác định θz x = x, zi ei phép i đơn cấu đưa X vào không gian bù Z Ngoài ra, Q = θzΓ phép chiếu Z lên không gian 65 Qθ = θz Vì QP = Q, cuối {zi } rời mạnh với {(I − Q)ei } Do ({xi } , {zi }) cặp khung nên với x ∈ X x= x, zi xi i chuỗi hội tụ không điều kiện Do ánh xạ θz đơn cấu Γθz = I với x ∈ X Γθz x = Γ x, zi ei = x, zi ei = i i x, zi xi = x i Vì Q = θz Γ phép chiếu Z lên θz X Bây Qθ = θz Γθ = θz I, suy QP = θz ΓθΓ = θz I = Q Cuối với x ∈ X ta có x, zi (I − Q)ei = (I − Q) i x, zi ei i = (I − Q)θz x = (I − Q)Qθz x = Vì {zi } rời mạnh với {(I − Q)ei } Bước 2: (I − Q)|(I−P )Z : (I − P )Z → (I − Q)Z phép đẳng cấu Do đó, cho A = (I − Q)|(I−P )Z −1 ta có A đẳng cấu từ (I − Q)Z lên (I − P )Z (I − Q)A = I|(I−Q)Z Theo bước 1, Q|P Z : P Z → QZ thỏa mãn Qθ = θz (vì P Z = θX) phép đẳng cấu Ta có bước nhờ áp dụng Bổ đề 2.3.1 66 Bước 3: {xi } rời mạnh với {A∗ (I − P )∗ e∗i } Với x ∈ X ta có x, A∗ (I − P )∗ e∗i xi = Ax, (I − P )∗ e∗i xi i i (I − P )Ax, e∗i ei =Γ i = Γ ((I − P )Ax) = Γ (I − P ) = Γ (I − θΓ) = Γ − ΓθΓ = Γ − Γ = Bước 4: {(I − Q)ei } {A∗ (I − P )∗ e∗i } khung đối ngẫu thay phiên Với x ∈ (I − Q)Z ta có x, A∗ (I − P )∗ e∗i (I − Q) ei = (I − Q) i Ax, (I − P )∗ e∗i ei i = (I − Q) Ax = x {(I − P )∗ e∗i } khung đối ngẫu thay phiên {(I − P )ei } Theo bước 1-4 Mệnh đề 2.3.2 ({ui } , {u∗i }) mô hình khung Bước 5: {Ui } sở không điều kiện Theo Bổ đề 2.3.1 ta biết {ui } căng X ⊕ Y Vì ta cần dãy w- độc lập Giả sử ta có xi ⊕ ui = i (I − Q)ei = i i Khi (I − P )ei xi = = i i 67 Do Γ e i = i xi = i Vì θΓ ei = i P ei = i Bây áp dụng bước 1: 0=Q P ei = i QP ei = Qθxi i i = θz xi = i Qei i Cuối ta có e i = i (I − Q)ei = Qei + i i Vì {ei } sở không điều kiện, nên ta có = với i Do {ui } w- độc lập Ta chứng minh xong Định lý 2.3.1 Trường hợp đặc biệt sau Định lý 2.3.1 tổng quát hóa tính chất giãn nở cho khung đối ngẫu thay phiên khung không gian Hilbert đưa Định lý 1.2.2 Hệ 2.3.1 Cho {yi } khung đối ngẫu thay phiên cho khung {xi } không gian Banach X Khi tồn không gian Banach Y sở không điều kiện {ui } X ⊕ Y cho xi = P ui yi = P ∗ u∗i , P phép chiếu từ X ⊕ Y lên X {u∗i } sở đối ngẫu không điều kiện {ui } 68 Kết luận Luận văn trình bày bổ sung số chứng minh chi tiết vấn đề sau Trình bày khái niệm tính chất khung không gian Hilbert không gian Banach Trình bày tính chất khung đối ngẫu thay phiên khung không gian Hilbert không gian Banach, đặc biệt tính chất giãn nở chúng 69 Tài liệu tham khảo [1] P Casazza, D Han and D Larson (1999), “Frames for Banach spaces”, Contemp Math.,Vol 24, 149-182 [2] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys., Vol 2, 1271-1283 [3] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans AMS.,Vol.72, 341-366 [4] D Gabor (1946), “Theory of communications”, J Inst Elec Eng.,Vol 93, 429-457 [5] K Grochenig (1991), “Describing functions: Atomic decompositions versus frames”, Monatshefte fur Math.,Vol 112, 1-41 [6] D Han and D Larson (2000), “Frames, bases and group representation”, Mem AMS.,Vol 147, No 697, 1-94 [7] E Hernendez and G Weiss(1996), A first course on Wavelets, CRC Press, Boca Raton, New York [8] R Kadison and J Ringrose(1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1, Academic Press, New York 70