Xây dựng hàm tử exit trong phạm trù các không gian vevstơ tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồng Ngọc Huệ XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Huyên Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới tồn thầy trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn học viên lớp đại số lý thuyết số khóa 19 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 08 năm 2011 Học viên Hồng Ngọc Huệ Mục lục LỜI NĨI ĐẦU Chương Đồng điều phạm trù không gian vectơ tôpô 1.1 Phạm trù không gian vectơ tôpô 1.1.1 Tập cân tập hút không gian vectơ 1.1.2 không gian vectơ tôpô 1.1.3 Phạm trù không gian vectơ tôpô 13 1.2 Phức đồng điều phạm trù không gian vectơ tôpô 15 1.2.1 Phạm trù phức 15 1.2.2 Đồng luân dây chuyền 16 1.2.3 Các hàm tử đồng điều 18 1.2.4 Đối đồng điều 20 Chương Hàm tử Ext phạm trù không gian vectơ tôpô 23 2.1 Không gian tôpô ánh xạ quy 23 2.1.1 Không gian tôpô 23 2.1.2 Ánh xạ quy 28 2.1.3 Vật xạ ảnh tương đối vật tự tương đối 30 2.2 Hàm tử Ext phạm trù không gian vectơ tôpô 41 2.2.1 Phép giải xạ ảnh tương đối 41 2.2.2 Xây dựng hàm tử Ext phép giải xạ ảnh tương đối 45 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đại số đồng điều tràn ngập hầu khắp lĩnh vực toán học thập kỷ trở lại Hàm tử Ext với hàm tử Hom, hàm tử Ten xơ hàm tử Torn bốn trụ cột lý thuyết đại số đồng điều Để ứng dụng lý thuyết đại số đồng điều cho phạm trù phải xây dựng cho hàm tử phạm trù Trong bốn trụ cột đó, tơi quan tâm tới hàm tử Ext Trong phạm trù mơđun có nhiều cách xây dựng hàm tử Ext: cách phân hoạch dãy khớp ngắn, phép giải xạ ảnh, phép giải nội xạ Để xây dựng phép giải xạ ảnh phạm trù môđun ta cần dựa vào tính đủ nhiều vật tự Trong luận văn này, mong muốn xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian vectơ Tôpô Phạm trù không gian vectơ Tôpô với vật không gian vectơ Tôpô xạ ánh xạ tuyến tính liên tục phạm trù tiền Abel, phạm trù không đủ nhiều vật tự Do đó, tơi xây dựng vật tự tương đối chứng minh tính đủ nhiều phạm trù khơng gian vectơ tơpơ Trên sở xây dựng hàm tử Ext Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày phạm trù không gian vectơ tôpô, đồng điều, đối đồng điều phạm trù không gian vectơ tơpơ Chương 2: Trước hết trình bày khơng gian tơpơ ánh xạ quy, bao gồm khái niệm, ví dụ, tính chất Sau đó, đưa khái niệm vật xạ ảnh tương đối, vật tự tương đối chứng minh tính đủ nhiều vật tự tương đối phạm trù khơng gian vectơ tơpơ Từ xây dựng hàm tử Ext phạm trù Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Đồng điều phạm trù không gian vectơ tơpơ Trong chương này, ta trình bày nội dung không gian vectơ tôpô, xây dựng khái niệm đồng điều đối đồng điều phạm trù khơng gian vectơ tơpơ Trong đó, chúng tơi muốn nói tới định lý 1.1.8 tiêu chuẩn hệ sở lân cận không gian vectơ tôpô Dựa vào tiêu chuẩn đó, chương xây dựng vật tự tương đối sinh không gian tôpô 1.1 Phạm trù không gian vectơ tôpô 1.1.1 Tập cân tập hút không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho A tập không gian vectơ X trường K Tập hợp A gọi cân với x thuộc A ta có λx ∈ A với |λ| ≤ Tập hợp A gọi hút, với x ∈ X tồn λ > cho x ∈ µA với µ thỏa mãn điều kiện |µ| ≥ λ Từ định nghĩa ta thấy: A tập cân X αA ⊂ A với α thỏa mãn điều kiện α ∈ K |α| ≤ Ví dụ 1.1.1 1) Trong không gian vectơ R trường R Với r > khoảng (-r, r) tập cân hút, khoảng (-r, r+1) hút không cân 2) Trong không gian vectơ R2 trường R Với r > tập hợp {( x; 0) ∈ R2 : −r < x < r } tập cân khơng hút Một số tính chất tập cân hút không gian vectơ nhắc lại hai mệnh đề Mệnh đề 1.1.1 Cho A, B tập không gian vectơ X trường K α ∈ K Khi đó: 1) Nếu A tập cân αA tập cân Nếu B tập cân A + B tập cân; 2) Nếu A tập cân với α ∈ K mà |α| = αA = A Với α, β ∈ K mà |α| ≤ | β| αA ⊂ βA; 3) Cho ( Ai )i∈ I họ tập cân X A = ∩ i∈ I Ai tập cân; 4) Nếu A tập hút αA hút Nếu B tập X chứa A + B hút; 5) Cho ( Ai )in=1 họ tập hút X A = n ∩ i =1 Ai tập hút; 6) Nếu A tập hút ∈ A Hơn nữa, (rn )n dãy số khơng bị chặn X= ∞ ∪ rn A n =1 Chứng minh Dưới ta trình bày chứng minh 2) 6) 2) Nếu A cân |α| = Khi |α| = |α−1 | = ≤ nên αA ⊂ A α−1 A ⊂ A Do đó, αA = A Bây giả sử A tập cân X |α| ≤ | β| Nếu β = α = αA ⊂ βA Nếu β ̸= | αβ | ≤ nên α βA ⊂ A Vậy αA ⊂ βA 6) Hiển nhiên ta có ∞ ∪ n =1 rn A ⊂ X Ngược lại, với x ∈ X Do A hút nên tồn t > cho x ∈ sA với s ∈ K mà |s| > t Mặt khác dãy {rn } không bị chặn tồn n0 cho |rn0 | > t nên x ∈ rn0 A Vậy nên X ⊂ ∞ ∪ n =1 rn A Mệnh đề 1.1.2 Cho f: X → Y ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vectơ X vào không gian vectơ Y 1) Nếu A ⊂ X B ⊂ Y cân f(A) f −1 (B) cân; 2) Nếu B ⊂ Y hút f −1 (B) hút; 3) Nếu A ⊂ X hút f tồn ánh f(A) hút Chứng minh 1) Nếu A ⊂ X A cân λA ⊂ A với |λ| ≤ Tác động ánh xạ tuyến tính f vào ta có λ f ( A) ⊂ f ( A) Do f(A) cân Nếu B ⊂ Y cân λB ⊂ B với |λ| ≤ Suy f −1 (λB) ⊂ f −1 ( B), f tuyến tính nên λ f −1 ( B) ⊂ f −1 ( B) Do f −1 ( B) cân 2) Với x ∈ X f ( x ) ∈ Y Do B hút Y nên tồn t > cho f(x) ∈ sB với |s| ≥ t Suy x ∈ s f −1 ( B) Vậy f −1 ( B) hút 3) Với y ∈ Y, f toàn ánh nên tồn x ∈ X cho f(x) = y Lại A hút X nên tồn t > cho x ∈ sA với |s| ≥ t Suy f(x) = y ∈ s f ( A) Vậy f(A) hút 1.1.2 không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian vectơ trường K (K trường số thực phức) Một tôpô τ khơng gian vectơ X gọi tương thích với cấu trúc đại số phép toán đại số X liên tục tơpơ Nói cách khác, điều kiện sau cần thỏa mãn: T1 : Phép cộng "+" : X × X → X ((x, y) → x + y ) liên tục Nghĩa là, lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho Ux + Uy ⊂ V T2 : Phép nhân "." : K × X → X ((λ, x) → λ.x) liên tục Nghĩa là, với lân cận V λ.x có số ϵ > lân cận U x cho ∀λ′ , |λ′ − λ| < ϵ ta có λ′ U ⊂ V (ta thường viết gọn phép nhân λ.x = λx ) Một khơng gian vectơ X có tơpơ tương thích với cấu trúc đại số gọi không gian vectơ tôpô Trong không gian vectơ tôpô ta có hai phép tốn: phép cộng phép nhân ngồi liên tục nên ta có số kết sau: Định lí 1.1.3 Với a ∈ X, phép tịnh tiến f : X → X; f(x) = x + a phép đồng phôi X lên Đặc biệt, U sở lân cận điểm gốc U + a sở lân cận a Do tồn cấu trúc tôpô X xác định sở lân cận điểm gốc Như ta làm việc chủ yếu với lân cận điểm gốc không xảy hiểu lầm ta gọi lân cận điểm gốc vắn tắt "lân cận" Nếu U lân cận (của điểm gốc) U + a lân cận tương ứng a, x ∈ U + a x - a ∈ U Định lí 1.1.4 Với số khác khơng α ∈ K, ánh xạ f : f ( x ) = αx phép đồng phơi X lên Đặc biệt, U lân cận, với α ̸= 0, αU lân cận Chứng minh Nếu f(x) = α x = y f −1 (y) = x = α−1 y Do f đồng phơi X lên Mà f(U) = αU nên U lân cận với α ̸= 0, ta có αU lân cận Trong không gian tôpô để kiểm tra tính liên tục ánh xạ ta phải kiểm tra liên tục điểm Tuy nhiên không gian vectơ tôpô ánh xạ cho tuyến tính ta cần kiểm tra liên tục điểm gốc 0, nội dung định lý sau: Định lí 1.1.5 Cho f : X → Y ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y, f liên tục X f liên tục điểm gốc Chứng minh Giả sử f liên tục điểm gốc Gọi x phần tử X V lân cận f(x) Y Do f tuyến tính nên ta có V - f(x) ={y − f ( x )|y ∈ V} lân cận Y, lại f liên tục nên tồn lân cận U X cho f(U) ⊂ V − f ( x ) hay f(U)+ f ( x ) ⊂ V Vậy ta có U+ x lân cận x thỏa mãn f(U+ x ) ⊂ V Mệnh đề 1.1.6 Nếu U X sở lân cận (của điểm gốc) khơng gian vectơ tơpơ X ta có với U ∈ U X : 1) U hút; 2) Tồn V ∈ U X cho V + V ⊂ U ; 3) Tồn lân cận cân W ⊂ U Chứng minh 1) Với x ∈ X Do phép nhân λx liên tục (0, x ) nên tồn lân cận {λ : |λ| ≤ ε} K cho λx ∈ U, x ∈ µU |µ| ≥ ε−1 2) Với U ∈ U X Do phép cộng x + y liên tục (0, 0) nên tồn hai lân cận V1 V2 cho V1 +V2 ⊂ U Mặt khác, tồn lân cận V ⊂ V ∩ V2 Vậy tồn lân cận V cho V + V ⊂ U 3) Với U ∈ U X Do phép nhân liên tục (0, 0) nên tồn ε > lân cận V X cho λV ⊂U với |λ| ≤ ε Do εV⊂ µU |µ| ≥ Nên ta có ε V ⊂W= ∩ |µ|≥1 µ U Vì εV lân cận nên W lân cận Lấy x ∈W < |λ| ≤ ta có x ∈ µ λ U, nên λx ∈ µU |λ| ≤ Suy λx ∈W Vậy W lân cận cân chứa U Bây giờ, nhắc lại tiên đề tập hợp tất lân cận không gian tôpô: Mệnh đề 1.1.7 Nếu U x họ tất lân cận điểm x thuộc không gian tôpô X, U x có tính chất sau: N1: x ∈ U với U ∈ U x ; 36 Do tính ánh xạ tuyến tính liên tục α nên ta có ψφ = 1F = α Chứng minh tương tự, ta có φψ = L(X ) Vậy F L(X) đẳng xạ với Nội dung định lý khẳng định "tính đủ nhiều vật tự tương đối sinh khơng gian vectơ tơpơ" Định lí 2.1.13 Mỗi khơng gian vectơ tôpô X đẳng xạ với không gian thương vật tự tương đối Chứng minh Gọi L(X) vật tự tương đối không gian vectơ tôpô X với ánh xạ nhúng jX : X → L( X ) Do jX có tính phổ dụng 1X : X → X nên tồn ánh xạ tuyến tính liên tục φ : L( X ) → X cho φjX = 1X , hay biểu đồ sau giao hoán: jX / L( X ) ③ ③③ ③ 1X ③φ  ③} ③③ X X Bây giờ, ta chứng minh X đẳng xạ với L( X )/Kerφ cách xây dựng cấu xạ h : X → L( X )/Kerφ cấu xạ g : L( X )/Kerφ → X thỏa mãn hg = L(X )/Kerφ gh = 1X • Ta xây dựng g : L( X )/Kerφ → X sau: với x ∈ L( X )/Kerφ, đặt g ( x ) = φ ( x ) Trước hết ta chứng minh g định nghĩa ánh xạ Thật vậy: x1 = x2 x1 − x2 ∈ Kerφ, φ( x1 ) = φ( x2 ) hay g( x1 ) = g( x2 ) 37 Hơn nữa, φ ánh xạ tuyến tính nên g ánh xạ tuyến tính Cuối cùng, ta g xây dựng liên tục Thật vậy: với V lân cận X, φ tuyến tính liên tục nên tồn lân cận U L(X) cho φ(U ) ⊂ V, g(U) = φ(U ) ⊂ V Như vậy, ta xây dựng cấu xạ g • Ta xây dựng h : X → L( X )/Kerφ sau: với x ∈ X, đặt h(x) = j( x ) Trước hết, ta chứng minh h ánh xạ tuyến tính Thậy vậy, với x, y ∈ X với a, b ∈ R ta có : φjX ( ax + by) = 1X ( ax + by) = ax + by = 1X ( ax ) + 1X (by) = φjX ( ax ) + φjX (by) Từ ta có jX ( ax + by) − [ jX ( ax ) + jX (by)] ∈ Kerφ Suy h(ax + by) = jX ( ax + by) = jX ( ax ) + jX (by) = jX ( ax ) + jX (by) = ah( x ) + bh(y) Do h tuyến tính Hơn nữa, jX liên tục nên dễ thấy h liên tục Vậy h ánh xạ tuyến tính liên tục • Bây giờ, với x ∈ X, gh(x) = g(h(x)) = g(jX ( x )) = φjX ( x ) = 1X ( x ) = x Do gh = 1X • Cuối cùng, với x ∈ L( X )/Kerφ, hg(x) = h(φ( x )) = jX ( φ( x )) Mặt khác, ta có φ( jX ( φ( x ))) = φjX ( φ( x )) = 1X ( φ( x )) = φ( x ) nên jX ( φ( x )) − x ∈ Kerφ Do jX ( φ( x )) = x Vậy hg = L(X )/Kerφ Mệnh đề 2.1.14 Vật tự tương đối không gian tôpô vật xạ ảnh tương đối Chứng minh Gọi L(X) vật tự tương đối không gian tôpô X với j: X → L( X ) ánh xạ nhúng liên tục Với toàn ánh quy σ : Y → Z ánh xạ tuyến tính f : L( X ) → Z, Y Z khơng gian vectơ tôpô, ta cần chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính φ : L( X ) → Y cho σφ = f , đẳng thức cuối tương đương với điều kiện để biểu đồ sau giao hoán: L( X ) ④ ∃ φ ④④ ④ f ④④ ④  }④ σ /Z Y 38 Do σ : Y → Z tồn ánh quy nên tồn ánh xạ liên tục σ′ : Z → Y cho σ′ σ = 1Y Do ta có ánh xạ liên tục g = σ′ f jX : X → Y Do tính phổ dụng ánh xạ nhúng jX : X → L( X ) nên tồn ánh xạ tuyến tính liên tục φ : L( X ) → Y cho φjX = g Thế nên biểu đồ ta có tam giác lớn tam giác nhỏ trên, bên phải giao hoán ta cần chứng minh tam giác nhỏ dưới, bên trái giao hoán: X✶ ✶✶ ✶✶ jX ✶✶  ′ ✶ L( X ) ✶✶g=σ f jX ❈❈ ✶ φ ④④④ ❈❈ ✶✶ ❈❈ ✶ ④ f ④ ❈❈✶ ④ ∃ φ ④  }④ ! /Y /Z Y ′ σ σ Thật vậy, φjX = g = σ′ f jX suy σφjX = σσ′ f jX = f jX Khi với ei thuộc sở X ta có σφjX (ei ) = f jX (ei ) Từ suy σφ( jX (ei )) = f ( jX (ei )) Như σφ f hai ánh xạ tuyến tính từ L(X) vào Y có ảnh sở nên Vậy σφ = f Mệnh đề 2.1.15 Mỗi không gian vectơ tôpô X cảm sinh dãy khớp ngắn: /Y i / L( X ) π /X /0 i π cịn ánh xạ quy Chứng minh Gọi L(X) vật tự tương đối sinh X jX : X → L( X ) ánh xạ nhúng liên tục Do tính phổ dụng ánh xạ nhúng liên tục jX : X → L( X ) ánh xạ 1X : X → X nên tồn ánh xạ tuyến tính liên tục π : L( X ) → X cho πjX = 1X , đẳng thức cuối tương đương với điều kiện biểu đồ giao hoán: jX / L( X ) ③ ③③ ③ 1X ③π  ③} ③③ X X 39 Đặt Y = Kerπ Y không gian vectơ tôpô L(X), gọi i: Kerπ → L( X ) ánh xạ nhúng Dễ thấy π tồn ánh quy, i ánh xạ nhúng nên đơn ánh quy Imi = Kerπ nên ta có dãy khớp ngắn: /Y / L( X ) i π /X /0 Trong đó, i đơn ánh quy π tồn ánh quy Mệnh đề 2.1.16 Trong phạm trù không gian vectơ tôpô, cho biểu đồ: A f X α  /Y β /Z Trong dịng khớp; α ánh xạ quy A vật xạ ảnh tương đối Hơn β f = Khi tồn cấu xạ g : A → X cho biểu đồ giao hoán, nghĩa αg = f Chứng minh Do α : X → Y ánh xạ quy nên α có phân tích qua ảnh là: α:X α / α( X ) i /Y Trong α tồn ánh quy Mặt khác, β f = X → Y → Z khớp nên f(A) ⊂ Ker β = α( X ) Do tồn ánh xạ tuyến tính f ′ : A → α( X ) xác định sau: với a ∈ A f’(a) = f(a) Ta thấy f’ liên tục, với U lân cận α( X ) tồn lân cận V Y cho U = α( X )∩ V, lại f liên tục nên tồn lân cận W A cho f(W) ⊂ V Hiển nhiên f(W) ⊂ f(A) ⊂ α( X ) Khi ta có f’(W) = f(W) ⊂ α( X )∩ V = U Do f’ liên tục Như vậy, ta có biểu đồ: A ④ ④ ∃ g ④④ f′ ④④ ④  }④④ α / X α( X ) 40 Trong α tồn ánh quy; f’ ánh xạ tuyến tính liên tục A vật xạ ảnh tương đối Do tồn cấu xạ g: A → X thỏa mãn αg = f ′ Hơn nữa, với a∈ A : αg( a) = α( g( a)) = α( g( a)) = αg( a) = f ′ ( a) = f ( a) Vậy αg = f Mệnh đề 2.1.17 Trong phạm trù không gian vectơ tơpơ, cho biểu đồ có hình vng giao hốn: X1 α1 β1 / Y1 g f X2 α2  / Y2 / Z1 β2  / Z2 Trong dịng khớp, dòng khớp với α2 ánh xạ quy X1 vật xạ ảnh tương đối Khi tồn cấu xạ h : X1 → X2 làm cho biểu đồ giao hoán, nghĩa α2 h = f α1 Chứng minh Do dòng khớp nên ta có β α1 = 0, tác động g vào gβ α1 = Mặt khác, biểu đồ giao hoán nên gβ = β f Do β f α1 = 0, ta có biểu đồ X1 α1  Y1 f X2 α2  / Y2 β2 / Z2 Trong đó: dịng khớp; α2 ánh xạ quy; X1 vật xạ ảnh tương đối β f α1 = Do theo mệnh đề 1.1.12 tồn cấu xạ h: X1 → X2 cho α2 h = f α1 Vậy ta có biểu đồ giao hốn: X1 α1 β1 α2  / Y2 / Z1 g f h  X2 / Y1 β2  / Z2 41 2.2 Hàm tử Ext phạm trù không gian vectơ tôpô 2.2.1 Phép giải xạ ảnh tương đối Định nghĩa 2.2.1 Cho A không gian vectơ tôpô tùy ý, ta gọi phép giải xạ ảnh tương đối (phép giải tự tương đối) A dãy khớp vật xạ ảnh tương đối (vật tự tương đối) ánh xạ quy: ··· / Xn ∂n / Xn −1 / ··· ∂1 / X1 / X0 ∂0 /A /0 Định lý khẳng định tồn phép giải xạ ảnh tương đối Định lí 2.2.1 Mọi khơng gian vectơ tơpơ A có phép giải tự tương đối Chứng minh Ta biết với không gian vectơ tôpô cảm sinh dãy khớp ngắn: / X0 α0 / L0 β0 /0 /A L0 vật tự tương đối sinh A α0 , β ánh xạ quy Lại X0 khơng gian vectơ tơpơ nên cảm sinh dãy khớp ngắn: / X1 α1 / L1 β1 / X0 /0 L1 vật tự tương đối sinh X0 α1 , β ánh xạ quy Bằng quy nạp tốn học ta có dãy khớp ngắn: / Xn αn / Ln βn / Xn −1 /0 với số nguyên n > 0, Ln vật tự tương đối αn , β n ánh xạ quy Bây ta lập dãy ··· / L n +1 ∂ n +1 / Ln ∂n / L n −1 / ··· / L1 ∂1 / L0 ∂0 /A Trong Ln vật tự tương đối xây dựng trên, { β0 n = ∂n = αn−1 β n n ≥ / (1) 42 Để chứng minh dãy (1) phép giải tự tương đối A ta cần chứng minh điều sau: Chứng minh (1) dãy khớp Thật tính khớp dãy khớp ngắn ta có αn đơn ánh quy β n tồn ánh quy với n≥ nên ta có: Im∂n+1 = Im(αn β n+1 ) = Imαn = Kerβ n = Kerαn−1 β n = Ker∂n Nghĩa Im∂n+1 = Ker∂n với n ≥ Do dãy (1) khớp Chứng minh ∂n ánh xạ quy với n Thật vậy, ta biết f: X → Y, g: Y → Z ánh xạ quy g đơn ánh f tồn ánh ta có gf: X → Z ánh xạ quy Mặt khác, lại có αn−1 đơn ánh quy β n tồn ánh quy nên αn−1 β n ánh xạ quy với n > Hơn nữa, β ánh xạ quy Vậy nên ∂n ánh xạ quy với n Theo định lý trên, chứng minh tồn phép giải xạ ảnh tương đối Trong phần tiếp theo, chứng minh tính phép giải xạ ảnh tương đối theo nghĩa hai phép giải xạ ảnh tương đối khơng gian vectơ tôpô tương đương đồng luân Trước hết, thiết lập hai mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.2 Cho h : A → B ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian vectơ tôpô A vào không gian vectơ tơpơ B X : ··· / Xn ∂n / Xn −1 / ··· / X1 ∂1 ∂0 / X0 /A /0 phép giải xạ ảnh tương đối A Y : ··· / Yn ∂′n / ··· / Yn−1 / Y1 ∂1′ / Y0 ∂0′ /B /0 phép giải xạ ảnh tương đối B Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f n : Xn → Yn , cho biểu đồ sau giao hoán n≥0 43 ··· / Xn ···  / Yn ∂n / Xn −1 ∂′n  fn / ··· / X1 / ···  / Y1 f n −1 ∂1 / X0 ∂1′  / Y0 f1 / Yn−1 ∂0 /A ∂0′  /B f0 /0 h /0 Các ánh xạ tuyến tính liên tục f n , n ≥ h lập thành phép biến đổi dây chuyền X → Y Chứng minh Do X0 vật xạ ảnh tương đố ∂0′ : Y0 → B tồn ánh quy nên theo định nghĩa vật xạ ảnh tương đối, tồn đồng cấu f : X0 → Y0 cho biểu đồ sau giao hoán X0 ∂0 f0  Y0 /A /0 h ∂0′  /B /0 nghĩa ∂0′ f = h∂0 Giả sử với ≤ m < n ta xây dựng đồng cấu f m : Xm → Ym cho biểu đồ giao hoán ∂m Xm / Xm −1 fm  Ym f m −1 ∂′m  / Ym−1 f −1 = h, X−1 = A, Y−1 = B Xét biểu đồ Xn Yn ∂ ∂′ / Xn −1  ∂ f n −1 / Yn−1 ∂′ / Xn −2  f n −2 / Yn−2 Vì Xn vật xạ ảnh tương đối, dịng khớp ∂′ ánh xạ quy nên theo mệnh đề 2.1.17 tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f n : Xn → Yn cho biểu đồ giao hoán Như vậy, ta xây dựng biến đổi dây chuyền từ X vào Y Ngồi ra, có 44 Mệnh đề 2.2.3 Cho X Y phép giải xạ ảnh tương đối không gian vectơ tôpô A, B f = { f n , h|n ≥ 0} phép biến đổi dây chuyền từ X vào Y Khi f đồng luân với g Chứng minh Ta phải xây dựng ánh xạ tuyến tính liên tục k n : Xn → Yn+1 cho ∂′ k n + k n−1 ∂ = f n − gn với n Trước hết ta đặt k −1 = : A → Y0 Giả sử với n ≥ giả thiết xây dựng ánh xạ tuyến tính liên tục k m : Xm → Ym+1 , ≤ m < n cho ∂ ′ k m + k m −1 ∂ = f m − gm Xét biểu đồ Xn j Yn+1 ∂′  / Yn ∂′ / Yn−1 j ánh xạ tuyến tính liên tục j = f n − gn − k n −1 ∂ n Khi ta có ∂′n j = ∂′n f n − ∂′n gn − ∂′n k n−1 ∂n = ∂′n f n − ∂′n gn − ( f n−1 − gn−1 − k n−2 ∂n−1 )∂n = ( ∂ ′ f n − f n −1 ∂ ) − ( ∂ ′ g n − g n −1 ∂ ) + k n −2 ∂ n −1 ∂ n = Do dòng khớp, ∂′n+1 ánh xạ quy, ∂′n j = Xn vật xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.1.16 tồn ánh xạ tuyến tính liên tục k n : Xn → Yn+1 45 cho ∂′ k n = j = f n − gn − k n−1 ∂ Suy ∂ ′ k n + k n −1 ∂ = f n − gn Vậy f đồng luân với g Từ hai mệnh đề ta có kết sau Mệnh đề 2.2.4 Hai phép giải xạ ảnh tương đối khơng gian vectơ tôpô A tương đương đồng luân Chứng minh Giả sử X : ··· / Xn X′ : ··· / Xn′ ∂n ∂′n / Xn −1 / ··· / X1 / X′ n −1 / ··· / X′ ∂1 ∂1′ / X0 / X′ ∂0 ∂0′ /A /0 /A /0 hai phép giải xạ ảnh tương đối không gian vectơ tôpô A Khi đó, tồn phép biến đổi dây chuyền f = { f n : Xn → Xn′ |n ≥ −1} g = { gn : Xn′ → Xn |n ≥ −1} X−1 = A = X ′ −1 f −1 = g−1 = A Khi theo mệnh đề 2.2.3 ta có gf đồng luân với 1X fg đồng luân với 1X ′ Vậy X X’ tương đương đồng luân 2.2.2 Xây dựng hàm tử Ext phép giải xạ ảnh tương đối Định nghĩa 2.2.2 Cho A B không gian vectơ tôpô X : ··· / Xn ∂n / Xn −1 / ··· / X1 ∂1 / X0 ∂0 /A /0 phép giải xạ ảnh tương đối A Phức thu gọn tương ứng với X X : ··· / Xn ∂n / Xn −1 / ··· / X1 ∂1 / X0 ∂0 /0 46 Xét dãy nửa khớp Hom( X, B) : / Hom( X0 , B) δ / Hom( X1 , B) / ··· ··· / Hom( Xn , B) δ / Hom( Xn+1 , B) / ··· Trong đó, đồng cấu δ = Hom(∂, i ), với i tự đồng cấu đồng không gian vectơ tôpô B Với số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều H n ( Hom( X, B)) gọi tích mở rộng n-chiều khơng gian vectơ tôpô A B cho kí hiệu Extn ( A, B) Với n = 1, ta kí hiệu Ext( A, B) gọi tích mở rộng khơng gian vectơ tơpơ A B Ngồi ta định nghĩa Ext0 ( A, B) = Hom( A, B) Để chứng minh định nghĩa tích mở rộng hợp lý ta phải chứng minh nhóm đối đồng điều H n ( Hom( X, B)) không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh tương đối không gian vectơ tôpô A, nghĩa X’ phép giải xạ ảnh tương đối A H n ( Hom( X, B)) ∼ = H n ( Hom( X ′ , B)) Thật vậy, X X’ hai phép giải xạ ảnh tương đối không gian vectơ tôpô A nên theo mệnh đề 2.2.4 X X’ tương đương đồng luân, từ suy X X ′ tương đương đồng luân Từ theo định lý 1.2.6 ta có nhóm đối đồng điều H n ( Hom( X, B)) ∼ = H n ( Hom( X ′ , B)) Định nghĩa 2.2.3 Cho A không gian vectơ tôpô cố định, hàm tử Extn ( A, −) hàm tử từ phạm trù không gian vectơ tơpơ đến phạm trù nhóm Aben xây dựng cách cho tương ứng: • Mỗi khơng gian vectơ tơpơ B với nhóm Extn ( A, B) 47 • Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục α : B → B′ với đồng cấu α∗ : Extn ( A, B) → Extn ( A, B′ ) mà α∗ (clsc) = cls(αc) với clsc ∈ Extn ( A, B) Mệnh đề 2.2.5 Hàm tử Extn ( A, −) hàm tử hiệp biến, tức thỏa mãn hai tính chất: 1) (1B )∗ = 1Extn ( A,B) 2) (α2 α1 )∗ = (α2 )∗ (α1 )∗ Chứng minh Với clsc ∈ Extn ( A, B) (1B )∗ (clsc) = cls(1B c) = clsc Do (1B )∗ = 1Extn ( A,B) Cho ánh xạ tuyến tính liên tục B α1 / B2 α2 / B3 Khi với clsc ∈ Extn ( A, B), ta có: (α2 α1 )∗ (clsc) = cls(α2 α1 c) = (α2 )∗ (cls(α1 c)) = (α2 )∗ (α1 )∗ (clsc) Vậy hàm tử Extn ( A, −) hàm tử hiệp biến Định nghĩa 2.2.4 Cho A không gian vectơ tôpô cố định, hàm tử Extn (−, B) hàm tử từ phạm trù không gian vectơ tôpô đến phạm trù nhóm Aben xây dựng cách cho tương ứng: • Mỗi khơng gian vectơ tơpơ A với nhóm Extn ( A, B) • Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục γ : A′ → A với đồng cấu γ∗ : Extn ( A, B) → Extn ( A′ , B) mà γ∗ (clsc) = cls(cγ) với clsc ∈ Extn ( A, B) Mệnh đề 2.2.6 Hàm tử Extn (−, B) hàm tử phản biến, tức thỏa mãn hai tính chất: 48 1) (1 A )∗ = 1Extn ( A,B) 2) (γ2 γ1 )∗ = (γ1 )∗ (γ2 )∗ Chứng minh.Với clsc ∈ Extn ( A, B) (1 A )∗ (clsc) = cls(c1 A ) = clsc Do (1 A )∗ = 1Extn ( A,B) Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A1 γ1 / A2 γ2 /A Khi với clsc ∈ Extn ( A, B), ta có: (γ2 γ1 )∗ (clsc) = cls(cγ2 γ1 ) = (γ1 )∗ (cls(cγ2 )) = (γ1 )∗ (γ2 )∗ (clsc) Vậy hàm tử Extn (−, B) hàm tử phản biến 49 KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù không gian vectơ tôpô cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau: Phạm trù không gian vectơ tôpô phạm trù tiền Aben ví dụ chứng tỏ phạm trù khơng gian vectơ tơpơ khơng có tính Aben Xây dựng khái niệm đồng điều, đối đồng điều chứng minh số tính chất chúng phạm trù không gian vectơ tôpô Tập Hom(X, Y) ánh xạ tuyến tính liên tục từ khơng gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y nhóm Aben Từ đó, Hom(X, -) hàm tử hiệp biến Hom(- , Y ) hàm tử phản biến Đưa khái niệm không gian nhất, ánh xạ nhất, không gian tơpơ nhất, tốn tử quy xây dựng số ví dụ minh họa nhận xét số tính chất chúng Đưa khái niệm vật xạ ảnh tương đối, vật tự tương đối Sau chứng minh "tính đủ nhiều vật tự tương đối" từ dẫn đến tính đủ nhiều vật xạ ảnh tương đối nhờ mệnh đề 2.1.12, Định lý 2.1.13 mệnh đề 2.1.14 Trên sở đó, xây dựng hàm tử Ext 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt A.P.Robertson W.J.Robertson (1977), Không gian vectơ tôpô, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp (bản dịch tiếng việt Phan Đức Chính) Nguyễn Viết Đơng, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà cuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956), Homological abgebra - Princeton Saunder Maclane (1975), Homology ... Vậy hàm tử Extn ( A, −) hàm tử hiệp biến Định nghĩa 2.2.4 Cho A không gian vectơ tôpô cố định, hàm tử Extn (−, B) hàm tử từ phạm trù không gian vectơ tơpơ đến phạm trù nhóm Aben xây dựng cách... (clsc) Vậy hàm tử Extn (−, B) hàm tử phản biến 49 KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù không gian vectơ tôpô cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau: Phạm trù không gian vectơ tôpô phạm trù tiền... vật tự Trong luận văn này, mong muốn xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian vectơ Tôpô Phạm trù không gian vectơ Tôpô với vật không gian vectơ Tơpơ xạ ánh xạ tuyến tính liên tục phạm trù tiền