hàm tử EXT trong phạm trù các không gian lồi địa phương

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phương An HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gởi đến TS Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình hồn thành luận văn lịng biết ơn chân thành sâu sắc Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập tìm tịi tài liệu cho việc nghiên cứu Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bảo chân thành thầy, cô bạn -2- MỞ ĐẦU Có cách khác để xây dựng hàm tử mở rộng Ext phạm trù mô đun cách xây dựng phép giải xạ ảnh Hơn nữa, ta biết không gian lồi địa phương xem mơ đun tự mà trang bị tơpơ lồi địa phương Bây ta thay phạm trù mô đun phạm trù không gian lồi địa phương, mà ta kí hiệu phạm trù L, liệu xây dựng hàm tử Ext hay khơng? Theo đuổi ý tưởng này, xây dựng hàm tử mở rộng Ext phạm trù L mục đích luận văn Bố cục luận văn chia làm hai chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày cách khái quát đường xây dựng hàm tử Ext phạm trù mô đun Đồng thời chúng tơi giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan đến không gian lồi đia phương Qua trình bày phạm trù khơng gian lồi địa phương L nhằm lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext L sau  Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian lồi địa phương Mục đích luận văn xây dựng hàm tử Ext L trình bày rõ chương hai Ở chương giới thiệu mơt số khái niệm tính chất khơng gian tôpô nhất, vật xạ ảnh tương đối từ đưa cách xây dựng hàm tử Ext phép giải xạ ảnh tương đối -3- Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương gồm hai phần chính: trình bày cách xây dựng hàm tử mở rộng Ext n phạm trù mô đun phép giải xạ ảnh số khái niệm, tính chất phạm trù không gian lồi địa phương Các chứng minh làm rõ 1 ,  2 , 3 nên việc trình bày nhằm mục đích nhắc lại khơng sâu vào chi tiết Trong suốt luận văn ta nói khơng gian tơpơ X kí hiệu T X nói khơng gian tơpơ X, nói khơng gian vectơ ta hiểu khơng gian vectơ trường số thực  Ta xác định R vành hệ tử cho mơ đun nói đến viết Để đơn giản ta gọi R  mô đun trái mô đun, R  đồng cấu đồng cấu §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1.1 Phạm trù phức Định nghĩa 1.1.1.1 Một phức hợp dây chuyền mô đun họ  X n ,  n  gồm mô đun X n đồng cấu  n : X n  X n 1 , cho theo tất số nguyên n,  n  n1  Như vậy, phức hợp X dãy vô tận hai đầu: n  n 1 X :  X n 1   X n   X n 1  , tích hai đồng cấu nối tiếp -4- Định nghĩa 1.1.1.2 Cho X   X n ,  n  X    X n , n  phức Một biến đổi dây chuyền f : X  X  họ đồng cấu  f n : X n  X n  cho n f n  f n 1 n n Điều kiện sau tương đương với điều kiện biểu đồ (1.1) sau giao hoán: n  n 1 X :  X n1   X n   X n1  f n 1  fn  f n 1  (1.1) n n 1 X  :  X n 1   X n   X n 1  Về sau này, để giản tiện không viết số đồng cấu,  n , n , f n viết cách đơn giản , , f Tuy nhiên hệ thức đồng cấu, phải ngầm định chúng phải đánh số theo số Dễ thấy tích hai biến đổi dây chuyền biến đổi dây chuyền tích biến đổi dây chuyền có tính chất kết hợp Để ý thêm rằng, với phức X   X n ,  n  , họ đồng cấu đồng   1X  1X n : X n  X n biến đổi dây chuyền có tính chất 1X f  f g 1X  g tích 1X f , g 1X xác định Từ điều ta thấy lớp tất phức lập thành phạm trù với cấu xạ biến đổi dây chuyền 1.1.2 Đồng luân dây chuyền Định nghĩa 1.1.2.1 Cho biến đổi dây chuyền f , g : X  X  từ phức X   X n ,  n  tới phức X    X n , n  Họ đồng cấu s  sn : X n  X n 1n gọi đồng luân dây chuyền hai biến đổi dây chuyền f , g cho n 1sn  sn 1 n  f n  g n n Khi ta viết: s : f  g -5- Định lí 1.1.2.2 Nếu s : f  g đồng luân dây chuyền biến đổi dây chuyền f , g : X  X  s : f   g  đồng luân dây chuyền biến đổi dây chuyền f , g  : X   X  , đồng cấu f s  sg : f f  g g đồng luân dây chuyền f f , g g : X  X  Có thể thấy quan hệ đồng luân dây chuyền biến đổi dây chuyền từ phức X tới phức X  quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.2.3 Cho X , X  phức, biến đổi dây chuyền f : X  X  gọi tương đương dây chuyền tồn biến đổi dây chuyền h : X   X đồng luân dây chuyền s : hf  1X t : fh  1X  Hai phức X X  mà có tương đương dây chuyền chúng f : X  X  gọi hai phức tương đương đồng luân với ta viết: X  X  Hiển nhiên rằng, quan hệ tương đương đồng luân phức quan hệ tương đương Nó thực phân hoạch lớp phức thành lớp phận, phận gồm phức tương đương đồng luân 1.1.3 Các hàm tử đồng điều Định nghĩa 1.1.3.1 Cho phức X   X n ,  n  , đồng điều H  X  họ mô đun: Hn  X   Ker  n  n 1 X n 1 (1.2) Mô đun thương H n  X  gọi mô đun đồng điều thứ n phức X Các phần tử mô đun Ker n gọi chu trình n – chiều, cịn phần tử mô đun  n 1 X n 1 gọi bờ n – chiều Khi H n  X  mô đun thương mô đun chu trình theo mơ đun bờ Lớp ghép chu trình c -6- H n  X  viết clsc hay c Ta nói chu trình n – chiều c c thuộc lớp đồng điều  clsc  clsc đồng điều với  c  c ; điều xảy c  c  X n 1 Cho phức X   X n ,  n  , X    X n , n  f : X  X  biến đổi dây chuyền Từ với số nguyên n, ánh xạ H n  f  : H n  X   H n  X   , mà H n  f   c  X n 1   f  c   X n 1 hay H n  f  clsc   cls  f  c   , đồng cấu cảm sinh biến đổi dây chuyền f Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng, đồng cấu cảm sinh thỏa hệ thức: H n 1X   1H n H n  gf   H n  g  H n  f  Do vậy, với n   , H n trở thành hàm tử hiệp biến từ phạm trù phức biến đổi dây chuyền tới phạm trù mô đun, tương ứng phức X với mô đun đồng điều H n  X  tương ứng với biến đổi dây chuyền f : X  X  với đồng cấu H n  f  : H n  X   H n  X  Ta gọi chúng hàm tử đồng điều Liên quan tới hàm tử đồng điều H n ta có: Định lí 1.1.3.2 Nếu f , g : X  X  biến đổi đồng luân dây chuyền từ phức X tới phức X  với n   ta có: H n  f   H n  g  : H n  X   H n  X   Hệ 1.1.3.3 Nếu f : X  X  tương đương dây chuyền với n   , đồng cấu H n  f  : H n  X   H n  X   đẳng cấu 1.1.4 Đối đồng điều Cho phức X   X n ,  n  mô đun G mô đun Ta xây dựng nhóm aben Hom  X n , G  mà phần tử đồng cấu mô đun f : X n  G ; gọi -7- đối dây chuyền n – chiều phức X Đối bờ đồng cấu f đối dây chuyền (n + 1) – chiều:  n  f    1 n 1 f  n1 : X n1  G Dễ thấy  n  n 1  nên dãy    Hom  X n 1 , G    Hom  X n , G    Hom  X n 1 , G   n 1 n phức hợp nhóm aben, gọi Hom  X , G  ; theo thông lệ nhóm viết theo số trên: Hom n  X , G   Hom  X n , G  Nếu phức X dương theo số phức Hom  X , G  dương theo số Định nghĩa 1.1.4.1 Đồng điều phức Hom  X , G  gọi đối đồng điều phức X với hệ số G Đó họ nhóm aben đánh số theo số trên: H n  X , G   H n  Hom  X , G    Ker n  Hom  X n1 , G  (1.3) Các phần tử Ker n gọi đối chu trình n – chiều, phần tử  Hom  X n1 , G  gọi đối bờ n – chiều Như đối chu trình n – chiều đồng cấu h : X n  G cho h  Mọi biến đổi dây chuyền f : X  X  cảm sinh biến đổi dây chuyền Hom  f ,1 : Hom  X , G   Hom  X , G  mà với số nguyên n ta có: Hom n  f ,1 : Hom  X , G   Hom  X , G  :    f n Để ý thêm rằng, biến đổi dây chuyền Hom  f ,1 cảm sinh, với n   , đồng cấu f * : H n  X , G   H n  X , G  mà: f *  c   Hom  X n 1 , G    cf   Hom  X n1 , G  hay f *  clsc   cls  cf  (1.4) Hơn nữa, với phức X đồng cấu h : G  G cảm sinh biến đổi dây -8- chuyền Hom 1, h  : Hom  X , G   Hom  X , G  mà với số nguyên n ta có: Hom n 1, h  : Hom  X , G   Hom  X , G  :   h Tương tự, biến đổi dây chuyền Hom 1, h  cảm sinh, với n   , đồng cấu h* : H n  X , G   H n  X , G  mà: h*  c   Hom  X n 1 , G    hc   Hom  X n1 , G  hay h*  clsc   cls  hc  (1.5) Vì Hom  X , G  H n  X , G  song hàm tử, hiệp biến theo G phản biến theo X Mệnh đề 1.1.4.2 Nếu s : f  g đồng luân cách đặt t n 1   1 n 1 sn* ta có đồng luân t : f *  g* Mệnh đề 1.1.4.3 Nếu X , X  hai phức tương đương đồng luân phức nhóm aben Hom  X , G  , Hom  X , G  tương đương đồng luân Mệnh đề 1.1.4.4 Nếu X , X  hai phức tương đương đồng luân với n   ta có đẳng cấu nhóm nhóm đối đồng điều: H n  X , G   H n  X , G  -9- §2 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔ ĐUN Có cách khác để xây dựng hàm tử Ext n (một hai trụ cột hàm số đồng điều), nhiên ta trình bày phép dựng hàm tử phép giải xạ ảnh Vì vậy, bắt đầu khái niệm tính chất phép giải xạ ảnh 1.2.1 Phép giải xạ ảnh Định nghĩa 1.2.1.1 Cho A mô đun tùy ý, ta gọi phép giải xạ ảnh A dãy khớp mô đun xạ ảnh đồng cấu:    X n   X n 1    X  X  A  (1.6) Nói riêng, X n mơ đun tự ( t.ư mô đun xạ ảnh) với n  (1.6) gọi phép giải tự (t.ư phép giải xạ ảnh) mô đun A Từ “tính đủ nhiều mơ đun tự do”, nghĩa “mỗi mô đun X đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự đó”, ta có định lí sau khẳng định tồn phép giải xạ ảnh Định lí 1.2.1.2 Mọi mơ đun A có phép giải tự Theo định lí 2.1.3 ta chứng minh tồn phép giải xạ ảnh mô đun A Sau chứng tỏ tính phép giải xạ ảnh, theo nghĩa hai phép giải xạ ảnh mơ đun A tương đương đồng luân Ta có điều nhờ mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.1.3 Cho h : A  B đồng cấu mô đun A vào mơ đun B    X n   X n 1    X  X  A  phép giải xạ ảnh A, - 51 - tương đối sinh X với ánh xạ nhúng liên tục j : X  F có tính phổ dụng ánh xạ liên tục j X : L  X   X ; nghĩa có ánh xạ tuyến tính liên tục  : F  L  X  cho  j  j X (2.15) Ngược lại ta có ánh xạ tuyến tính liên tục  : L  X   F cho  j X  j (2.16) Từ (2.15) (2.16) ta suy  j  j mà  : F  F ánh xạ tuyến tính liên tục Hơn nữa, 1F j  j nên theo tính phổ dụng j ánh xạ liên tục j : X  F có ánh xạ tuyến tính từ F đến F làm cho biểu đồ (2.17) giao hoán: j X  F j F (2.17) Do   1F Tương tự   1L X  Vậy F L  X  đẳng xạ với Do có vật tự tương đối sinh X nhận sở X làm sở Ta kí hiệu sở lân cận L  X  D X mà D X D xây dựng  Trước kết thúc phần ta đưa kết mà cịn gọi “tính đủ nhiều vật tự tương đối” làm sở cho việc xây dựng phép giải tự tương đối sau này: Mệnh đề 2.3.2.3 Mỗi không gian lồi địa phương X đẳng xạ với không gian thương vật tự tương đối Chứng minh: Xét vật tự tương đối L  X  sinh X D sở lân cận L  X  thỏa điều kiện mệnh đề 1.3.3.2 Do tính phổ dụng ánh xạ liên tục - 52 - j X : X  L  X  ánh xạ tuyến tính liên tục 1X : X  X nên tồn ánh xạ tuyến tính liên tục p : L  X   X cho pj X  1X (2.18) Dễ kiểm tra j đơn ánh p toàn ánh Từ (2.18) suy p tốn tử quy từ L(X) đến X Theo hệ 1.4.3.5, p phân tích sau:  p : L  X    p : L X  p 1   L X  p 1  0 p   X (2.19)  X : x  p  x  Ta có p  p , p toàn ánh nên p toàn ánh; suy p tồn xạ Tơpơ L X  p 1   tôpô thương xây dựng mệnh đề 1.4.1.3 Xét ánh xạ j X : X  L X  p 1   : x  j X  x  , j X Ta chứng minh j X liên tục gốc Lấy lân cận  U  L X  p 1   , với U D X ,do j X ánh xạ liên tục nên có V U X để j X V   U Suy j X V     j X V     U  Vậy j X liên tục gốc Giờ ta chứng minh j X ánh xạ tuyến tính Thật với x, y  X số  ,  , (2.18) ta có: pj X  x   y   1X  x   y    x   y  1X  x   1X   y   pj X  x   pj X   y   p  j X  x   j X   y    j X  x   y    j X  x   j X   y    p 1    j X  x   y   j X  x   y    j X  x   j X   y    j X  x   j X   y  Vậy j X ánh xạ tuyến tính liên tục - 53 -   Ngồi ra, với x  X ta có p j X  x   p j X  x   p  j X  x    1X  x  Vậy p j X  1X Và với y  L X  p 1     ta có j X p y  j X  p  y    j X p  y  Hơn nữa: p  y  j X p  y    p  y   pj X p  y   p  y   1X p  y   Suy y  j X p  y   p 1   hay y  j X p  y  Vậy j X p  1L X  p Như ta chứng minh X đẳng xạ với L X  1  0 p 1    Ví dụ vật xạ ảnh tương đối, ta có: Mệnh đề 2.3.2.4 Vật tự tương đối không gian vật xạ ảnh tương đối Chứng minh: Gọi L  X  vật tự tương đối sinh không gian tôpô X, gọi  ei iJ sở X nên có  j X  ei  iJ sở L  X  Ta chứng minh L  X  vật xạ ảnh tương đối Thật vậy, lấy toàn xạ quy  : A  B cấu xạ f : L  X   B jX f   L  X    B   A g ánh xạ liên tục Đặt g    fj : X  Nên theo tính phổ dụng ánh xạ j X : X  L  X  ánh xạ liên tục g tồn ánh xạ tuyến tính liên tục  : L  X   A cho  j X  g Suy  j X  g    fj X ; dẫn đến  j X    fj X  fj X (do  tồn xạ) Vì  j X  fj X nên   j X  ei     j X  ei   fj X  ei   f  j X  ei   với i  J Nhận thấy  f hai ánh xạ tuyến tính có ảnh sở nên Vậy   f , L  X  vật xạ ảnh tương đối  - 54 - Từ kết mệnh đề 2.3.2.4 từ “tính đủ nhiều lớp vật tự tương đối”, ta suy “tính đủ nhiều lớp vật xạ ảnh tương đối” Sau ta trình bày hệ mối liên hệ không gian lồi địa phương với dãy khớp ngắn “đặc biệt” sau: Mệnh đề 2.3.2.5 Mỗi không gian lồi địa phương X cảm sinh dãy khớp ngắn: i   Y   L  X   X 0 i  cịn tốn tử quy Chứng minh: Theo mệnh đề 2.3.2.3 , không gian lồi địa phương X đẳng xạ với L X  p 1   có tồn xạ quy p : L  X   X Khi ta có hạt nhân p, i : p 1    L  X  đơn xạ nên theo mệnh đề 2.2.2.5 ta có i quy Mặt khác, i đơn xạ nên theo mệnh đề 1.4.3.7 ta có Im i  i Từ Im i  i  Kerp Như ta có dãy khớp i p  L  X   X  ngắn sau:  p 1    Đây điều cần phải chứng minh  Mệnh đề 2.3.2.6 Trong phạm trù không gian lồi địa phương, cho biểu đồ giao hoán: A f  (2.20)   X   Y  Z dịng khớp ,  ,  toán tử quy A vật xạ ảnh tương đối Hơn  f  Khi tồn cấu xạ g : A  X cho biểu đồ giao hoán; nghĩa  g  f Chứng minh: - 55 -  i    X    Y Do dòng Giả sử  có phân tích qua ảnh  : X  biểu đồ (2.10) khớp nên i :   X   Y hạt nhân  ; dẫn đến   X    1   Mà theo giả thiết  f  nên ta suy f  A    1      X  Do ta xây dựng ánh xạ tuyến tính  : A    X  : a  f  a   i    X    Y , f  i (2.21) Nhận thấy f phân tích dạng f : A  Theo bổ đề 2.2.2.6 ta có đơn xạ i tốn tử quy theo mệnh đề 2.2.2.3 tồn ánh xạ liên tục i cho ii  1  X  Từ đẳng thức (2.21), suy ra: i f  ii   cho thấy  ánh xạ liên tục nên theo mệnh đề 2.2.2.4 ta có  liên tục Khi ta có biểu đồ (2.22) ánh xạ tuyến tính liên tục sau: A   (2.22)  X    X  Mà  toàn ánh tuyến tính liên tục, quy (theo mệnh đề 2.2.2.6) A vật xạ ảnh tương đối nên tính phổ dụng vật xạ ảnh tương đối, tồn cấu xạ g : A  X cho biểu đồ (2.11) giao hoán, nghĩa  g   dẫn đến  g  i g  i  f , điều cần phải chứng minh  Mệnh đề 2.3.2.7 Trong phạm trù không gian lồi địa phương, cho biểu đồ (2.23) giao hoán: 1 1 X   Y1   Z1 f  g  (2.23) 2 2 X   Y2   Z2 dịng khớp, dịng khớp với  ,  tốn tử quy, X vật xạ ảnh tương đối Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục h : X  X làm cho biểu đồ (2.23) giao hoán - 56 - Chứng minh: Do biểu đồ (2.12) giao hoán hai dòng khớp nên  f 1  g  11   g  Vì dòng biểu đồ (2.12) khớp,  ,  tốn tử quy, X vật xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.6 tồn cấu xạ h : X  X cho  h  f 1 Và điều ta cần phải chứng minh  §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG 2.4.1 Phép giải xạ ảnh tương đối Định nghĩa 2.4.1.1 Cho A không gian lồi địa phương tùy ý, ta gọi phép giải xạ ảnh tương đối A dãy khớp vật xạ ảnh tương đối tốn tử quy:    X n   X n 1    X  X  A  (2.24) Nói riêng, X n vật tự tương đối ( t.ư vật xạ ảnh tương đối) với n  (2.24) gọi phép giải tự tương đối (t.ư phép giải xạ ảnh tương đối) không gian lồi địa phương A Từ “tính đủ nhiều lớp vật tự tương đối”, ta có định lí sau khẳng định tồn phép giải xạ ảnh tương đối Định lí 2.4.1.2 Mọi khơng gian lồi địa phương A có phép giải tự tương đối Chứng minh: Theo mệnh đề 2.3.2.5 ta biết với không gian lồi địa phương A tồn dãy khớp ngắn quy sau: 0 0  X   L0  A0 - 57 - với đơn xạ 0 , tồn xạ 0 tốn tử quy; L0 vật tự tương đối Lại X khơng gian lồi địa phương nên ta có dãy khớp ngắn : 1 1  X   L1   X0  L1 vật tự tương đối đơn xạ 1 , toàn xạ 1 tốn tử quy Như phép quy nạp toán học ta thu dãy khớp ngắn: n n  X n   Ln   X n 1  với số nguyên n  , Ln vật tự tương đối đơn xạ  n , tồn xạ n tốn tử quy Bây ta lập dãy  n 1 n Ln1   Ln   Ln1   L1  L0  A  (2.25) Ln vật tự tương đối xây dựng trên, còn: n  0 n    n 1 n n  Để chứng minh (2.25) phép giải tự tương đối A ta phải chứng minh dãy khớp  tốn tử quy Với n  , ta có  n ,  n tốn tử quy nên có ánh xạ liên tục  n ,  n cho  n n  1X n  n  n  1X n 1 Do với ánh xạ liên tục  n   n 1 n : Ln  Ln 1 , ta có ánh xạ liên tục  n n 1 : Ln 1  Ln mà:  n  n n 1 n   n 1   n  n  n 1 n 1   n   n 1 n Vậy  tốn tử quy Do  n đơn xạ, quy  n tồn xạ , quy với n  nên theo mệnh đề 2.2.2.7 mệnh đề 1.4.3.2 ta có: Im  n 1  Im  n  n 1   Im  n  Ker  n  Ker  n 1 n   Ker n tức Im  n 1  Ker n với n  Đó điều cần phải chứng minh  Theo định lí 2.4.1.2 ta chứng minh tồn phép giải xạ ảnh tương đối không gian lồi địa phương A Sau chứng tỏ tính phép giải - 58 - xạ ảnh tương đối, theo nghĩa hai phép giải xạ ảnh tương đối không gian lồi địa phương A tương đương đồng luân Ta có điều nhờ mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.1.3 Cho h : A  B ánh xạ tuyến tính liên tục không gian lồi địa phương A vào không gian lồi địa phương B    X n   X n 1    X  X  A  phép giải xạ ảnh tương đối A,    Yn   Yn 1    Y1  Y0  B  phép giải xạ ảnh tương đối B Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f n : X n  Yn , n  cho biểu đồ (2.26) giao hoán:    X n   X n 1    X  X  A  fn  f n 1  f1  f0  h (2.26)    Yn   Yn 1    Y1  Y0  B  Các ánh xạ tuyến tính liên tục f n , n  h lập thành phép biến đổi dây chuyền X Y Chứng minh: Vì X vật xạ ảnh tương đối  : Y0  B tồn xạ, quy nên theo tính phổ dụng vật xạ ảnh tương đối, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f : X  Y0 cho biểu đồ sau giao hoán:  X  A0 f0  h   Y0  B  tức f  h - 59 - Giả sử với  m  n xây dựng ánh xạ tuyến tính liên tục f m : X m  Ym cho biểu đồ sau giao hoán:  X m   X m 1 fm  fm 1   Ym   Ym 1 f 1  h , m  0, m  n Xét biểu đồ giao hoán (2.27) sau:   X n   X n 1   X n2 fn 1  fn   (2.27)   Yn   Yn 1   Yn  hai dòng khớp với ánh xạ ,  tốn tử quy khơng gian lồi địa phương (2.27) vật xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.7 tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f n : X n  Yn cho biểu đồ (2.27) giao hoán  Như thế, ta hoàn thành phép xây dựng cấu xạ phép biến đổi dây chuyền từ X đến Y Hơn nữa, cịn có kết sau: Mệnh đề 2.4.1.4 Cho X , Y phép giải xạ ảnh tương đối không gian lồi địa phương A, B mệnh đề 2.1.4 f   f n , h | n  0 , g   g n , h | n  0 phép biến đổi dây chuyền X  Y Khi f đồng luân với g Chứng minh: Ta phải xây dựng cấu xạ: kn : X n  Yn 1 cho: kn  kn 1  f n  g n với n Trước hết ta đặt k1  : A  Y0 Giả sử n  ta dựng ánh xạ tuyến tính liên tục km : X m  Ym 1 với  m  n cho: km  km 1  f m  g m - 60 - Xét biểu đồ (2.28): Xn j  (2.28)  Yn 1   Yn  Yn 1 j ánh xạ tuyến tính liên tục: j  f n  g n  kn 1 Khi ta có: n j  n f n  n g n  n kn 1 n  n f n  n g n   f n 1  g n 1  kn  2 n 1   n  n f n  n g n   f n 1 n  g n 1 n  kn  2 n 1 n   n f n  n g n   n f n  n g n    Do dòng (2.28) khớp với ánh xạ  tốn tử quy, X n vật xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.6 tồn ánh xạ tuyến tính liên tục kn : X n  Yn 1 cho: kn  j  f n  g n  kn 1 Suy kn  kn 1  f n  g n Mệnh đề chứng minh  Từ hai mệnh đề ta thu định lí sau: Định lí 2.4.1.5 Hai phép giải xạ ảnh tương đối không gian lồi địa phương A tương đương đồng luân Chứng minh:  n 1 n   X n   X n1   X  X  A  Giả sử X : X n1  n 1 n X  : X n 1    X n   X n 1   X 1  X 0  A  hai phép giải xạ ảnh tương đối khơng gian lồi địa phương A Khi tồn phép biến đổi dây chuyền: f   f n : X n  X n | n  1 g   g n : X n  X n | n  1 - 61 - f 1 , g 1 cấu xạ 1A Khi theo mệnh đề 2.4.1.4 ta có gf đồng luân với tự đồng cấu đồng X, fg đồng luân với tự đồng cấu đồng X  Vậy X X  tương đương đồng luân với nhau. Vậy với không gian lồi địa phương A ta chứng minh tồn theo nghĩa tương đương đồng luân phép giải xạ ảnh tương đối A Sau ta trình bày cách xây dựng hàm tử Ext n phép giải xạ ảnh tương đối phạm trù không gian lồi địa phương 2.4.2 Xây dựng hàm tử mở rộng Ext n Định nghĩa 2.4.2.1 Cho A B không gian lồi địa phương    X n   X n 1    X  X  A  phép giải xạ ảnh tương đối A   Hom  X n 1 , B   Xét dãy: Hom  X , B  :  Hom  X n , B   Khi với số nguyên dương n, đối đồng điều H n  Hom  X , B   gọi tích mở rộng n – chiều khơng gian lồi địa phương A B cho kí hiệu Ext n  A, B  Với n = 1, ta dùng kí hiệu Ext  A, B  gọi tích mở rộng không gian lồi địa phương A B Ngoài ra, ta định nghĩa Ext  A, B   Hom  A, B  Theo mệnh đề 2.4.1.5 định lí 2.1.3.4 ta chứng minh nhóm đối đồng điều H n  Hom  X , B   không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh tương đối không gian lồi địa phương A Nghĩa X  phép giải xạ ảnh A ta có: H n  Hom  X , B    H n  Hom  X , B   Do định nghĩa tích mở rộng hợp lí - 62 - Định nghĩa 2.4.2.2 Cho A không gian lồi địa phương cố định, hàm tử Ext n  A,   hàm tử từ phạm trù không gian lồi địa phương đến phạm trù nhóm aben xây dựng cách cho tương ứng:  Mỗi khơng gian lồi địa phương B với nhóm Ext n  A, B   Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục  : B  B với đồng cấu  * : Ext n  A, B   Ext n  A, B  mà *  clsc   cls  c  với clsc  Ext n  A, B  Mệnh đề 2.4.2.3 Hàm tử Ext n  A,   hàm tử hiệp biến, tức thỏa hai tính chất: i) 1B *  1Ext  A,B  ii)  1 *   * 1 * n Chứng minh: Với clsc  Ext n  A, B  1B *  clsc   cls 1B.c   clsc nên suy 1B *  1Ext n  A, B  1 2  B1   B2 Cho ánh xạ tuyến tính liên tục B  Khi với clsc  Ext n  A, B  thì:  1 *  clsc   cls  1.c    * cls 1.c    * 1 *  clsc  Do hàm tử Ext n  A,   hàm tử hiệp biến. Định nghĩa 2.4.2.4 Cho B không gian lồi địa phương cố định, hàm tử Ext n  , B  hàm tử từ phạm trù không gian lồi địa phương đến phạm trù nhóm aben xây dựng cách cho tương ứng: - 63 -  Mỗi không gian lồi địa phương A với nhóm Ext n  A, B   Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục  : A  A với đồng cấu  * : Ext n  A, B   Ext n  A, B  mà  *  clsc   cls  c  với clsc  Ext n  A, B  Mệnh đề 2.4.2.5 Hàm tử Ext n  , B  hàm tử phản biến, tức thỏa mãn hai tính chất: iii) 1A  iv)  1.  *  1Ext n  A, B  *      * * Chứng minh: Với clsc  Ext n  A, B  1A   clsc   cls  c.1A   clsc nên suy 1B *  1Ext n  A, B  * 2 1  A1  A Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A2  Khi với clsc  Ext n  A, B  thì:  1.   clsc   cls  c. 1.     * * cls  c.           clsc  Do hàm tử Ext n  , B  hàm tử phản biến. * * - 64 - KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù không gian lồi địa phương cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau đây: Phạm trù không gian lồi địa phương phạm trù tiền aben phạm trù khơng gian lồi địa phương khơng có tính aben Nếu A không gian B mà B khơng gian lồi địa phương có tơpơ cảm sinh A tơpơ T B để A B A A trở thành không gian lồi địa phương Kiểm chứng phạm trù không gian lồi địa phương phạm trù tiền aben Ngồi cho thấy phạm trù khơng gian lồi địa phương phạm trù có ảnh nên đưa khái niệm dãy khớp Đưa khái niệm không gian nhất, ánh xạ nhất, khơng gian tơpơ nhất, tốn tử quy Đưa khái niệm vật xạ ảnh tương đối, vật tự tương đối sinh không gian X Qua ta xây dựng vật tự tương đối sinh không gian X; chứng minh vật tự tương đối vật xạ ảnh tương đối Sau ta chứng minh “tính đủ nhiều lớp vật tự tương đối”, từ cho thấy “tính đủ nhiều lớp vật xạ ảnh tương đối” - 65 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh A.P Robertson W.J Robertson (1977), Không gian véctơ tôpô, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Saunder Maclane (1975), Homology ...  2  Như phạm trù không gian lồi địa phương phạm trù cộng tính 1.4.3 Phạm trù không gian lồi địa phương phạm trù tiền aben Muốn chứng tỏ phạm trù không gian lồi địa phương L phạm trù tiền aben... f đồng phôi Không gian lồi địa phương e xây dựng gọi vành hệ tử 1.4.2 Phạm trù không gian lồi địa phương phạm trù cộng tính Muốn chứng tỏ phạm trù không gian lồi địa phương L phạm trù cộng tính... DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Ở chương trước ta trình bày cách xây dựng hàm tử mở rộng Ext n phạm trù mô đun phép giải xạ ảnh Để xây dựng hàm tử Ext n phạm trù không