Phương pháp dùng hàm biến thực để nghiên cứu các không gian nội suy

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng thành kính đến Thầy Thầy không hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thông cảm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình làm luận văn Cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên trình học tập Tôi xin cảm ơn vợ tôi, người bên tôi, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tâp nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cô giáo viện Toán học Việt Nam thầy, cô giáo khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên dạy bảo em tận tình suốt trình em học tập trường Bản luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong góp ý thầy cô đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên Bùi Văn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết không gian nội suy bắt đầu nghiên cứu cách có hệ thống J.Peetre [6], J.L.Lions [5] A.P.Calderon [2] chuyên gia khác từ năm 1960 Những định lý Riesz - Thorin Marcinkiewicz kết sơ khai, tảng cho lý thuyết nội suy Lý thuyết nội suy ứng dụng nhiều nhánh Giải tích Gần công trình T.Tao, bất đẳng thức nội suy dùng [4] Trong luận văn giới thiệu phần sở lý thuyết nội suy Tài liệu tham khảo sử dụng sách [3] Trong sách nhiều định lý không chứng minh trọn vẹn, có nhiều chỗ phải chứng minh chi tiết chặt chẽ Luận văn gồm ba chương Trong Chương 1, trình bày khái niêm tính chất không gian Sobolev Trong Chương 2, trình bày khái niệm tính tính chất không gian nội suy Chương chương quan trọng luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực Chúng trình bày phương pháp - K phương pháp - J, Định lý tương đương hai phương pháp đó, tính chất không gian Aθ,q , Định lý quan hệ, Định lý đảo, công thức cho phương pháp nội suy - K, Định lý compact ứng dụng phương pháp nội suy vào không gian Sobolev, không gian Lp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục lục Chương Không gian Sobolev 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất Chương Những tính chất không gian nội suy 2.1.Phạm trù hàm tử 2.2 Không gian vectơ định chuẩn 2.3 Cặp không gian 10 2.4 Định nghĩa không gian nội suy 12 2.5 Định lý Aronszajn-Gagliardo 14 2.6 Một điều cần thiết cho không gian nội suy 17 2.7 Định lý đối ngẫu 18 Chương Phương pháp nội suy thực 21 3.1 Phương pháp - K 21 3.2 Phương pháp - J 26 3.3 Định lý tương đương 30 3.4 Những tính chất không gian Aθ,q 32 3.5.Định lý đảo 36 3.6 Một công thức cho phương pháp nội suy - K 41 3.7.Định lý đối ngẫu 45 3.8 Định lý compact 47 3.9 Một số ứng dụng 49 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn Sobolev Chúng ta định nghĩa hàm ||.||m,p , m số nguyên dương ≤ p ≤ ∞, sau ||u||m,p = ||D α u||pp p ≤ p < ∞ (1) 0≤|α|≤m ||u||m,∞ = max ||Dα u||∞ (2) 0≤|α|≤m với hàm u mà vế phải có nghĩa, ||.||p chuẩn Lp (Ω) Trong số trường hợp tránh nhầm lẫn ta sử dụng ||u||m,p,Ω thay cho ||u||m,p 1.1.2 Không gian Sobolev Với số nguyên dương m ≤ p ≤ ∞ xét ba không gian sau (a) H m,p (Ω) ≡ làm đầy {u ∈ C m (Ω) : ||u||m,p < ∞}, với chuẩn ||u||m,p , (b) W m,p (Ω) ≡ {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) với ≤ |α| ≤ m}, Dα u đạo hàm suy rộng, (c) W0m,p (Ω) bao đóng không gian C0∞ (Ω) không gian W m,p (Ω) Hiển nhiên W 0,p (Ω) = Lp (Ω), ≤ p < ∞ W00,p (Ω) = Lp (Ω) C0∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) Với m, có dãy phép nhúng W0m,p (Ω) → W m,p (Ω) → Lp (Ω) 1.2 Các tính chất 1.2.1 Định lý W m,p (Ω) không gian Banach Chứng minh Cho un dãy Cauchy không gian W m,p (Ω) Thì Dα un dãy Cauchy không gian Lp (Ω) với ≤ |α| ≤ m Vì Lp (Ω) không gian định chuẩn đầy đủ nên tồn hàm u uα , ≤ |α| ≤ m, cho un → u Dα un → uα Lp (Ω) n → ∞ Ta có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) un xác định dãy Tun ∈ D (Ω) Với φ ∈ D(Ω), theo bất đẳng thức H¨older ta có |Tutâm − liệu Tu (φ)| |unNguyên (x) − u(x)||φ(x)|dx ≤ ||φ|| Số hóa Trung Học - Đại≤ học Thái http://www.lrc-tnu.edu.vn p ||un − u||p , n (φ) Ω p số liên hợp p Do Tun (φ) → Tu (φ) với φ ∈ D(Ω) n → ∞ Tương tự, TDα un (φ) → Tuα (φ) với φ ∈ D(Ω) Do Tuα (φ) = lim TDα un (φ) = lim (−1)|α| Tun Dα (φ) với φ ∈ D(Ω) n→∞ n→∞ Do uα = Dα u với ≤ |α| ≤ m, u ∈ W m,p (Ω) Vì lim ||un − u||m,p = 0, n→∞ suy W m,p (Ω) không gian định chuẩn đầy đủ 1.2.2 Hệ H m,p (Ω) ⊂ W m,p (Ω) Chứng minh Xét tập hợp S = {φ ∈ C m (Ω) : ||φ||m,p < ∞}, S tập W m,p (Ω) Vì W m,p (Ω) đầy đủ, nên ánh xạ đồng S thác triển lên phép đẳng cự từ bao đóng S W m,p (Ω) đến H m,p (Ω)(làm đầy S) Vì ta đồng H m,p (Ω) với bao đóng 1.2.3 Định lý Cho A tập Rn cho A lớp tập mở Rn phủ A, nghĩa là, A ⊂ U ∈A U Thì có lớp Ψ hàm ψ ∈ C0∞ (Rn ) có tính chất (i) Với ψ ∈ Ψ với x ∈ Rn , ≤ ψ(x) ≤ (ii) Nếu K A, hàm ψ ∈ Ψ triệt tiêu K (iii) Với ψ ∈ Ψ tồn U ∈ A cho supp(ψ) ⊂ U (iv) Với x ∈ A, ta có ψ∈Ψ ψ(x) = Ta gọi Ψ C ∞ -phân hoạch đơn vị A theo phủ mở A Chứng minh Trước hết giả sử A compact Khi có lớp hữu hạn tập hợp A cho phủ A, tức A ⊂ N j=1 Uj Ta xây dựng tập compact Kj , j = 1, 2, , N mà Kj ⊂ Uj , j = 1, 2, , N cho A ⊂ N j=1 Kj Với j ta tìm hàm không âm φj ∈ C0∞ (Uj ) cho φj (x) > 0, ∀x ∈ Kj Một hàm φ C ∞ (Rn ) xây dựng cho φ(x) > Rn φ(x) = N j=1 φj (x), ∀x ∈ A Ta thấy Ψ = {ψj : ψj (x) = φj (x) ,1 φ(x) ≤ j ≤ N} thoả mãn tính chất định lý Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu A tập mở bất kì, A = ∞ j=1 Aj , Aj = {x ∈ A : |x| ≤ j, dist(x, ∂A) ≥ } tập compact j Đặt A0 = A−1 = ∅, với j ≥ chọn Aj = {U ∩ (Aj+1 ∩ Acj−2 )0 : U ∈ A}, đậy kí hiệu A0 phần tập A Hiển nhiên Aj phủ Aj có C ∞ - phân hoạch đơn vị Ψj Aj theo phủ mở Aj Tổng σ(x) = ∞ j=1 φ∈ψj φ(x) gồm hữu hạn số hạng khác không với x ∈ A Khi Ψ = {ψ : ψ(x) = φ(x) , σ(x) với φ ∈ Ψj x ∈ A, ψ(x) = 0, x ∈ / A} có tính chất định lý Cuối cùng, A bất kì, A ⊂ B, với B hợp tất tập U ∈ A, B tập mở Với phân hoạch đơn vị B phân hoạch đơn vị A 1.2.4 Bổ đề Cho Jε định nghĩa 2.28[1], ≤ p < ∞ u ∈ W m,p (Ω) Nếu Ω tập compact đóng Ω, limε→0+ Jε ∗ u = u W m,p (Ω ) Chứng minh Cho ε < dist(Ω , ∂Ω), u˜ mở rộng u bên Ω Nếu φ ∈ D(Ω ), Jε ∗ u(x)Dα φ(x)dx = u˜(x − y)Jε (y)Dα φ(x)dxdy Rn Ω Rn = (−1)|α| Dxα u(x − y)Jε (y)φ(x)dxdy Rn = (−1)|α| Ω Jε ∗ Dα u(x)φ(x)dx Ω α α Vì D Jε ∗ u = Jε ∗ D u đạo hàm suy rộng Ω Từ Dα u ∈ Lp (Ω) với ≤ |α| ≤ m Định lý 2.29(c)[1] ta có lim ||Dα Jε ∗ u − Dα u||p,Ω = lim ||Jε ∗ Dα u − Dα u||p,Ω = ε→0+ ε→0+ Vì limε→0+ ||Jε u − u||m,p,Ω = 1.2.5 Định lý Nếu ≤ p < ∞, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên H m,p (Ω) = W m,p (Ω) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Theo Hệ 1.4 ta cần chứng minh W m,p (Ω) ⊂ H m,p (Ω), tức phải chứng minh {φ ∈ C m (Ω) : ||φ||m,p < ∞} trù mật W m,p (Ω) Thật u ∈ W m,p (Ω) ε > 0, tồn φ ∈ C ∞ (Ω) cho ||φ − u||m,p < ε, C ∞ (Ω) trù mật W m,p (Ω) Với k = 1, xét Ωk = {x ∈ Ω : |x| < k dist(x, ∂Ω) > 1/k}, cho Ω0 = Ω−1 = ∅ Thì A = {Uk : Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1 )c , k = 1, 2, } lớp tập mở Ω mà phủ Ω Cho Ψ C ∞ - phân hoạch đơn vị Ω theo phủ mở A Cho ψk tổng hữu hạn hàm ψ ∈ Ψ mà giá chúng chứa ttrong Uk Thì ψk ∈ C0∞ (Uk ) Nếu < ε < , (k+1)(k+2) ∞ k=1 ψk (x) = Ω Jε ∗ (ψk u) có giá Vk = Ωk+2 ∩ (Ωk−2 )c ψk u ∈ W m,p (Ω) nên chọn εk thoả mãn < εk < , (k+1)(k+2) ||Jεk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Ω = ||Jεk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Vk < Đặt φ = ∞ k=1 Jεk ∗ (ψk u) Trên tập Ω Ω Vì cho ε 2k Ω có hữu hạn số hạng tổng khác không Vì φ ∈ C ∞ (Ω) Với x ∈ Ωk , ta có k+2 u(x) = k+2 Jεj ∗ ψj u(x) ψj (x)u(x), φ(x) = j=1 j=1 Vì k+2 ||u − φ||m,p,Ωk ≤ ||Jεj ∗ (ψj u) − ψj u||m,p,Ω < ε j=1 Theo Định lý 1.48[1] hội tụ ||u − φ||m,p,Ω < ε Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN NỘI SUY Trong chương đưa số định nghĩa kí hiệu Chúng ta thảo luận vài kết tổng quát không gian nội suy Một điều quan trọng định lý Aronszajn-Gagliardo 2.1 Phạm trù hàm tử Một phạm trù C cấu tạo từ vật A, B, C, cấu xạ R, S, T, Giữa vật cấu xạ có quan hệ định nghĩa, T : A → B S : B → C có cấu xạ ST tích S T, cho ST : A → C thoả mãn luật kết hợp sau (1) T (SR) = (T S)R Hơn nữa, với vật A C, có cấu xạ I = IA , cho với cấu xạ T : A → A ta có (2) T I = IT = T Trong phần thường làm việc với phạm trù không gian vectơ tôpô Cấu xạ ánh xạ liên tục, ST ánh xạ tích, I ánh xạ đồng Với phạm trù không gian vectơ tôpô chúng toán tử tuyến tính liên tục Cho C1 C hai phạm trù Hàm tử F từ C1 vào C, nghĩa là, vật A C1 F (A) C, cấu xạ T C1 tương ứng với cấu xạ F (T ) C Nếu T : A → B F (T ) : F (A) → F (B) (3) F (ST ) = F (S)F (T ), (4) F (IA ) = IF (A) 2.2 Không gian vectơ định chuẩn Trong phần xét phạm trù không gian vectơ tôpô Cho A không gian vectơ thực phức Thì A gọi không gian vectơ định chuẩn có hàm(một chuẩn) ||.||A xác định A cho (1) ||a||A ≥ ||a||A = a = 0, (2) ||λa||A = |λ|||a||A , (3) ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b|| λ số, A Số hóa Trung tâm A Học liệu - A Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu A không gian vectơ định chuẩn có tôpô A Một lân cận phần tử a tập hợp tất phần tử b thuộc A cho ||b − a||A < ε với số ε > Cho A B hai không gian vectơ định chuẩn Một ánh xạ T từ A vào B gọi toán tử tuyến tính bị chặn với a, b ∈ A λ ∈ K ta có T (λa) = λT (a), T (a + b) = T (a) + T (b) ||T ||A,B = sup a=0 ||T a||B ||a||A Hiển nhiên toán tử tuyến tính bị chặn liên tục ta dễ dàng chứng minh không gian tất toán tử tuyến tính bị chặn từ từ A vào B không gian vectơ định chuẩn với chuẩn ||.||A,B Chúng ta xét phạm trù N tất không gian vectơ định chuẩn Các vật N không gian vectơ định chuẩn cấu xạ toán tử tuyến tính bị chặn Hiển nhiên N phạm trù phạm trù không gian vectơ tôpô 2.2.1 Bổ đề Giả sử A không gian vectơ định chuẩn Thì A đầy đủ ∞ k=1 ||an ||A < ∞ kéo theo có phần tử a ∈ A cho ||a− N n=1 an ||A → N → ∞ ||an ||A hội tụ Xét dãy bν = Chứng minh Giả sử A đầy đủ ν n=1 an (bν ) dãy Cauchy A, A đầy đủ nên (bν ) hội tụ a ∈ A, suy ∞ n=1 an = a ∈ A Ngược lại, giả sử (aν ) dãy Cauchy A Khi với n ∈ N, tồn kn cho với l, m ≥ kn ta có ||al − am ||A < cho ||al − am ||A < 2j suy hội tụ, theo giả thiết ∞ j=1 ∞ j=1 , 2n ||aνj − aνj−1 ||A < ta dãy (aνj ) ∞ j=1 2j ∞ j=1 ||aνj − aνj−1 ||A aνj − aνj−1 thuộc A, suy dãy j aνk − aνk−1 = aνj − aν0 hội tụ, Sνj = k=1 Sốsuy hóa aTrung tâmtụ Học liệu - Đại học Thái Nguyên hội http://www.lrc-tnu.edu.vn νj 2.3 Cặp không gian Cho A0 A1 hai không gian vectơ tôpô Ta nói A0 A1 cặp so sánh có không gian vectơ tôpô Hausdorff A cho A0 A1 không gian A Thì có tổng A0 + A1 giao A0 ∩ A1 Tổng xét tất phần tử a ∈ A cho viết dạng a = a0 + a1 với a0 ∈ A0 a1 ∈ A1 2.3.1 Bổ đề Giả sử A0 A1 cặp không gian vectơ định chuẩn so sánh Thì A0 ∩ A1 không gian vectơ định chuẩn với chuẩn định nghĩa sau (1) ||a||A0 ∩A1 = max(||a||A0 , ||a||A1 ) Hơn nữa, A0 + A1 không gian vectơ định chuẩn với chuẩn, (2) ||a||A0 +A1 = inf a=a0 +a1 (||a0 ||A0 + ||a1 ||A1 ) Nếu A0 A1 đầy đủ A0 ∩ A1 A0 + A1 không gian đầy đủ Chứng minh *) Chứng minh A0 ∩ A1 không gian vectơ định chuẩn Với a ∈ A0 ∩A1 , ta có ||a||A0 ∩A1 ≥ ||a||A0 ∩A1 = ⇔ ||a||A0 = ||a||A1 = ⇔ a = Với a ∈ A0 ∩ A1 , λ ∈ K, ta có ||λa||A0 = |λ|||a||A0 ||λa||A1 = |λ|||a||A1 , suy ||λa||A0 ∩A1 = max(|λ|||a||A0 |λ|||a||A1 ) = |λ|||a||A0 ∩A1 Với a, b ∈ A0 ∩ A1 , ta có ||a + b||A0 ≤ ||a||A0 + ||b||A0 ||a + b||A1 ≤ ||a||A1 + ||b||A1 Từ suy ||a + b||A0 ∩A1 ≤ max(||a||A0 + ||b||A0 , ||a||A1 + ||b||A1 ) ≤ ||a||A0 ∩A1 + ||b||A0 ∩A1 Vậy A0 ∩ A1 không gian vectơ định chuẩn *)Chứng minh A0 + A1 không gian vectơ định chuẩn Hiển nhiên ||a||A0 +A1 ≥ với a ∈ A0 + A1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... chất không gian nội suy Chương chương quan trọng luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực Chúng trình bày phương pháp - K phương pháp - J, Định lý tương đương hai phương pháp đó, tính chất không. .. gian nội suy 12 2.5 Định lý Aronszajn-Gagliardo 14 2.6 Một điều cần thiết cho không gian nội suy 17 2.7 Định lý đối ngẫu 18 Chương Phương pháp nội suy thực 21 3.1 Phương pháp - K 21 3.2 Phương pháp. .. Chương Không gian Sobolev 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất Chương Những tính chất không gian nội suy 2.1.Phạm trù hàm tử 2.2 Không gian vectơ định chuẩn 2.3 Cặp không gian 10 2.4 Định nghĩa không gian