PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ pot

PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ

VD1:

1 4  x 4x + 2

4x  12x 9

Giải:

(1 2 )  x + 2

(2x 3)

= 1 2x + 2x 3  1 2  x 2x 3 = 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3)  0

Lập bảng xét dấu:

2

3 2

Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3)  0   1

2  x  3

2 Vậy GTNN của A bằng 2 với 1

2  x  3

2

VD2:

Tìm GTNN của hàm số

f(x) = x 1 + 2x 4 + 3x 9 + 4x 16 + 5x 25

Giải:

Ta có:

f(x) = ( x 1 + 2x 4 + 3x 9 + 4 x + 25 5x ) + 3 x 4

(x 1) (2  x 4) (3  x 9) (4  x) (25 5 )   x + 3 x 4

= 15 + 3 x 4  15

Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15

VD3:

Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 + c 2 0).Giá trị đó đạt được khi nào?

Giải:

Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:

( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2)  (ax + by + cz)2

Do đó

S = x2 + y2 + z2  2 2 2

c b a

P



S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi

c

z b

y a

x



 , hay nói cách

khác Smin = 2 2 2

c b a

P



c b a

aP



c b a

bP



c b a

cP



VD4:

Tìm GTLN của:

a) A = x 1 + y 2 biết x + y = 4

b) B = x 1

x



+ y 2

x



Giải:

Điều kiện x  1, y  2

Ta có x 1 = 1.(x 1)

y 2 = 1 1.( 1) 1 1 1

x



2

y 

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

1.( 1)

x



4





VD5:

Tìm GTLN, GTNN của

A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y 2  5

Giải:

Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

A2 =  2 2x 3 3y 2 

2

1

2  3 x  2 2  3 2   x 2 2y 32 

= (2 + 3) (2x2 + 3y2)  5.5 = 25

A2 = 25 1

x y

x y

x y







x y

Do A2  25 nên -5  A  5

x y

x y

x y





  



x y

x y

x y







VD6:

Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

x b x

Khi nào đạt giá trị đó?

Giải: Biểu thức có dạng:

x

ab x

x x b a ab x

x b x a

















(

Đối với hai số dương

x

ab

và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:

x

ab x

x

ab

2





Khi đó: ( )( ) a b 2 ab ( a b)2

x

x b x a















Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( 2

)

b

a  đạt được khi x  ab

VD7:

Tìm giá trị lớn nhất của:

a) f(x)  ( 2x 1 )( 3  5x);

b) f(x)  ( 1 x) 3 ( 1 x);

c)

2 )





x

x x

2 ) 3 (

)

(





x

x x

Giải:

4

1

b a

ab  , nên ta có:

1 4

1 4

1 5

2 ) 5 3 ( 2

5 5 4

1 5

2 ) 5 3 )(

2

5 5 ( 5

2 ) 5 3 )(

1

2

(

)









































x

f

Vậy f(x) lớn nhất là

40

1 khi

20

1



b) f(x)  ( 1 x)3( 1 x)

*) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0

*) Nếu -1 < x < 1 thì

3

1 2

3 4

1 1

1 3 3 3

1 ) 1 )(

1 )(

1 )(

3 3

(

3

1

)

(

4 4



































x

f

Vậy f(x) lớn nhất là

16

27 khi

2

1



x

c)

2 )





x

x

x

f Ta có: 2 x2  2 2x2  2 2x suy ra

2 2

1 2



x x

Vậy f(x) lớn nhất là

2 2

1

khi x 2

d) f(x) = 2 3

2 ) 2 (x 

x

Ta có:

27

1 ) ( 27

) 2 ( 3

1

2















Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là

27

1 , khi x   1

VD8:

Tìm giá trị dương nhỏ nhất của

x

x x

f( ) 2 3

2



Giải:

Do f(x) > 0 nên x > 0 ta có: ( ) 2  3 2 2 3 2 6

x

x x

x x f

Vậy f(x) dương bé nhất là 2 6 khi

2

6



x

VD9:

Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

f(x,y,z) x4  y4 z4

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:

2 2 2 4 4 4  2 2 22

) )(

1 1

1

(   x  y  z  x  y  z

) (xy yz zx x

z y z y

3 x  y z  xy  yz zx

3

16 ,

, 16

, ,

3f x y z   f x y z 

Vậy fx,y,z bé nhất bằng

3

16 , khi

3

2







 y z x

Bài tập đề nghị:

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của:

A x  y trong đó x  y  5

Bài 2 Tìm GTNN của:

A x   x  x

Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của:

2

A x x

Bài 4 Tìm GTNN của:

A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn a b 1

x y  (a và b là hằng số dương)

Bài 5 Tìm GTLN của:

A xy biết rằng x2  4y2  1