PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ pot

PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ VD1: Tìm GTNN của A = 2 1 4 4 x x   + 2 4 12 9 x x   Giải: A = 2 (1 2 ) x  + 2 (2 3) x  = 1 2 x  + 2 3 x   1 2 2 3 x x    = 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3)  0 Lập bảng xét dấu: x 1 2 3 2 1 – 2x + 0 - - 2x - 3 - - 0 + (1 – 2x)(2x – 3) - 0 + 0 - Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3)  0   1 2  x  3 2 Vậy GTNN của A bằng 2 với 1 2  x  3 2 VD2: Tìm GTNN của hàm số f(x) = 1 x  + 2 4 x  + 3 9 x  + 4 16 x  + 5 25 x  Giải: Ta có: f(x) = ( 1 x  + 2 4 x  + 3 9 x  + 4 x  + 25 5 x  ) + 3 4 x   ( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 ) x x x x x          + 3 4 x  = 15 + 3 4 x   15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 + c 2  0).Giá trị đó đạt được khi nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 )  (ax + by + cz) 2 . Do đó S = x 2 + y 2 + z 2  222 c b a P   . S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi c z b y a x  , hay nói cách khác S min = 222 c b a P   . Khi x= 222 c b a aP   ; y = 222 c b a bP   ; z = 222 c b a cP   . VD4: Tìm GTLN của: a) A = 1 x  + 2 y  biết x + y = 4 b) B = 1 x x  + 2 y x  Giải: Điều kiện x  1, y  2 Ta có 1 x  = 1.( 1) x  2 y  = 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x        2.( 2) 2 y  Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x        2 2.( 2) 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 y y y y y y         Max B = 1 2 2 2 2 4 4     1 1 2 2 2 4 x x y y              VD5: Tìm GTLN, GTNN của A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y 2  5 Giải: Ta xét biểu thức A 2 = (2x + 3y) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: A 2 =   2 2. 2 3. 3 x y   2 1 2 3 x           2 2 2 2 2 3 2 3x y               = (2 + 3) (2x 2 + 3y 2 )  5.5 = 25 A 2 = 25 1 2 3 5 x y x y x y            2 3 2 3 x y x y    Do A 2  25 nên -5  A  5 MinA = -5 1 2 3 5 x y x y x y             MaxA = 5 1 2 3 5 x y x y x y           VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x xbxa ))((   . Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: xba x ab x xxbaab x xbxa     2 )())(( Đối với hai số dương x ab và x, ta có bất đẳng thức Cô-si: abx x ab x x ab 22  Khi đó: 2 )(2 ))(( baabba x xbxa    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( 2 )ba  đạt được khi abx  VD7: Tìm giá trị lớn nhất của: a) )53)(12()( xxxf    ; b) )1()1()( 3 xxxf  ; c) 2 )( 2   x x xf ; d) 32 2 )3( )(   x x xf . Giải: a) Do 2 )( 4 1 baab  , nên ta có: 40 1 4 1 . 4 1 . 5 2 )53( 2 5 5 4 1 . 5 2 )53)( 2 5 5( 5 2 )53)(12()( 2                xxxxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 40 1 khi 20 1 x . b) )1()1()( 3 xxxf  *) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0  *) Nếu -1 < x < 1 thì 3 1 . 2 3 4 11133 3 1 )1)(1)(1)(33( 3 1 )( 44                xxxx xxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 16 27 khi 2 1 x c) 2 )( 2   x x xf Ta có: xxx 22222 22  suy ra 22 1 2 2  x x Vậy f(x) lớn nhất là 22 1 khi 2x d) f(x) = 32 2 )2( x x . Ta có: 27 1 )(27)2(311 232 3 22  xfxxxx . Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là 27 1 , khi 1   x . VD8: Tìm giá trị dương nhỏ nhất của x x xf 32 )( 2   . Giải: Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: 62 3 .22 3 2)(  x x x xxf Vậy f(x) dương bé nhất là 62 khi 2 6 x VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 444 ),,( zyxzyxf  . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:   2 222444222 ))(111( zyxzyx      2222222222 )( zxyzxyxzyzyx  Từ đó suy ra     2 444 3 zxyzxyzyx  Suy ra     3 16 ,,16,,3  zyxfzyxf Vậy   zyxf ,, bé nhất bằng 3 16 , khi 3 2   zyx Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: 2 1 A x y     trong đó 5 x y   Bài 2. Tìm GTNN của: 2 2 1 2 5 A x x x      Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 5 A x x    Bài 4. Tìm GTNN của: A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn 1 a b x y   (a và b là hằng số dương) Bài 5. Tìm GTLN của: A x y   biết rằng 2 2 4 1 x y   . PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ VD1: Tìm GTNN của A = 2 1 4 4 x x   + 2 4 12 9 x x   Giải: A = 2 (1 2 ) x  + 2 (2 3) x. trị nhỏ nhất của biểu thức x xbxa ))((   . Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: xba x ab x xxbaab x xbxa     2 )())(( Đối với hai số dương x ab và x, ta có bất. VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 444 ),,( zyxzyxf  . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:   2 222444222 ))(111(