Phương pháp giải bất đẳng thức doc

NỘI DUNG 1. Kỹ thuật thêm bớt Sử dụng: A A A B B B B = + − = × để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc nhất Hướng dẫn: 2 2 4 a b c a b c + + ≥ + Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc hai - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc hai Hướng dẫn: 3 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 9 3 a a b c a b c ab bc ca a b c + + ≥ + + + ≤ + + Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 3 3 3 2 2 2 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )a b c ab bc ca + + + ≥ + + + Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 (1 )(1 )(1 ) 1 1a b b a b c ab + + + ≥ + = + Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2) 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 3) 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + + + 4) 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 5) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 6) 5 5 5 4 4 4 1 a b c b c a + + ≥ 7) 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 8) 1 1 1 6 osA osB osBc c c + + ≥ 9) 1 1 1 6 2 os2A 2 os2B 2 os2B 5c c c + + ≥ + + − 10) 1 1 1 27 osA+cosB+cosC osAcosB osBcosC osCcosA 2 c c c c + + + ≥ 2. Kỹ thuật “san sẽ” Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có: 2 2 1 1 4 7xy x y xy + + ≥ + Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y= 1 2 - Đại lượng “lớn”: 1 xy ; Đại lượng “bé”: 2 2 1 ;4xy x y + Hướng dẫn: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 2 4 4 (1 1) 1 1 2 .4 7 2 4 ( ) xy xy x y xy x y xy xy xy xy x y xy xy x y + + = + + + + + + + ≥ + + = + + + Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 1 1 1 15 osA+cosB+cosC osA osB osB 2 c c c c + + + ≥ Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60 0 - Đại lượng “lớn”: 1 1 1 osA osB osCc c c + + ; Đại lượng “bé”: osA+cosB+cosCc Hướng dẫn: 1 1 1 osA+cosB+cosC osA osB osC 1 1 1 4 osA +4cosB 4cosC osA osB osC 9 15 -3( osA cosB cosC) 4 4 4 2 2 c c c c c c c c c + + + = + + + + + + ≥ + + − = Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 3 3 3 3 2 2 2 2( ) 9( ) 33 a b c a b c abc a b c + + + + + ≥ + + 2) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + + 3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 3 2 1 1 4 ;P xy Q x y xy x y xy = + + = + + + 3. Kỹ thuật nhóm đối xứng Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế kia. Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: 2 . 2 bc ca bc ca b a b a b + ≥ = Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: A B C sin sin sin os os os 2 2 2 A B C c c c + + ≤ + + Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60 0 Hướng dẫn: sin sin 2(sin sin ) C 4sin 2 os 2 2 A B A B A B c + ≤ + + ≤ = Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 3 3 3 sin sin sin sin sin sin 4 4 4 A B B C C A A B C + + + ≤ Hướng dẫn: 3 3 4 4 3 1 1 3 sin sin sin sin sin 4 2 2 4 4 1 .4. sin sin sin sin 4 A B A B B A B A B A B + +   ≥ + ≥ +  ÷   ≥ = Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + 2) 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + + + ≤ + + + Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 3) sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sinA B C A B C + + ≤ + + 4) cos cos os sin sin sin 2 2 2 A B C A Bc C ≤ 5) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin sin sin os os os 2 2 2 A B C A A A c c c + + ≥ + + 6) A B C sin sin sin os os os 2 2 2 n n n n n n A B C c c c + + ≤ + + 4. Kỹ thuật đ ồng bậc hoá Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có: 2 2 1 ( ) 8 ab a b + ≤ Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: 2 2 4 4 2 2 4 1 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) 0 ( ) 0 ab a b a b a b ab a b a b + ≤ + ⇔ + − + ≥ ⇔ − ≥ Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 3 1a b c abc + + + ≤ Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1 3 - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca + + + + + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + Bài tập: 1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện: 2 2 2 3 3 3 3a a a + + = Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c + + ≥ + + 2) Cho a,b>0, thoả điều kiện: 2a b + = Chứng minh rằng : 2 2 3 3 4 4 2 a b a b a b ≤ + ≤ + ≤ + 3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có: 16 16 16 2 2 2 a b c a b c + + ≥ + + 5. Kỹ thuật chuẩn hoá Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá. Việc chọn đối tượng để chuẩn hoá là rất quan trọng. Các ví dụ: Bài 1: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 5 a b c b c a c a b b c a c a b a b c + + + + + ≤ + + + + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a + b + c = 1 Hướng dẫn: 222 221 )1( 221 )1( 221 )1( cc cc bb bb aa aa +− − + +− − + +− − Theo Côsi: 2a(1-a) ≤ 2 2 12       −+ aa = ( ) 4 1 2 +a => 1- 2a + 2a 2 = 1 - 2a (1- a) ≥ 1- ( ) 4 1 2 +a = ( )( ) 4 31 +− aa > 0 =>       + −= + = +− − ≤ +− − 3 3 14 3 4 )3)(1( )1(4 221 )1( 2 aa a aa aa aa aa => VT ≤ 4       + −+ + −+ + − ) 3 3 1() 3 3 1() 3 3 1( cba = 4 1 1 1 6 3 3( 3 3 3 5a b c   − + + ≤   + + +   Bài 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: 6(a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 27abc + 10 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3/2 (1) Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a 2 + b 2 + c 2 =9 Hướng dẫn: (1) <=> 2(a + b + c) - abc ≤ 10 VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c) VT 2 ≤ [a 2 + (b+c) 2 ] [(2- bc) 2 + 4] G/s: a b c ≥ ≥ do a 2 + b 2 + c 2 = 9 => a 2 ≥ 3 Đặt t = bc do 2 2 2 9 3 2 2 b c a bc + − ≤ = ≤ Nên VT 2 ≤ (9+2bc) [(2-bc) 2 + 4] = (9 + 2t) [(2-t) 2 + 4] = f(t) với -3 ≤ t ≤ 3 Khảo sát f(t) => f(t) ≤ max f(t) = 100 => VT ≤ 10 đpcm 1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc ≤ 3 1 (a + b + c) 3 ; a, b, c > 0 2) cabcab cba ++ ++ 222 + 2 ))()(( 8 ≥ +++ accbba abc ; a, b, c > 0 3) a, b, c > 0:         ++ ++ − ++ − ++ ++ cabcab cba abc cba cba cba 222333 222 2 2 1)( ≤ 2 4) a, b, c > 0: (a + b + c) ( accbba + + + + + 111 )+ 5 ))()(( 4 ≤ +++ accbba abc 6. Kỹ thuật lượng giác hoá Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác và các đẳng thức lượng giác liên quan. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 3( (1 )(1 ) 2a b b a ab a b − + − + − − − ≤ Phân tích: - ĐK: 1 , 1a b − ≤ ≤ - Công thức lượng giác liên quan 2 2 sin os 1c α α + = - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: sin sin a b α β =   =  ; [ ] , 0; α β π ∈ VT= 2 sin( ) 2 3 π α β + − ≤ Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 1 1 1 2 x y z x y z + + ≤ − − − Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg + + = - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: t ; t ; t 2 2 2 A B C a g b g c g = = = ; ABC l à tam giác nhọn ( ) 1 3 3 2 2 VT tgA tgB tgC = + + ≥ Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6 2 3a b c + + = Chứng minh rằng: 1 36 9 4 27 a b c a bc b ca c ab ≤ + + + Hướng dẫn: 1 1 1 36 9 4 1 1 1 VT bc ca ab a b c = + + + Đặt 2 36 , 2 bc A cotg a = 2 9 2 ca B cotg b = , 0 ,A B π < < Từ giả thiết ta có: 6 3 2 6 3 2 bc ca ab bc ca ab a b c a b c = + + Suy ra, 2 2 2 2 2 1 2 2 A B cotg cotg ab A B C tg cotg A B c cotg cotg + +   = = =  ÷   − với A,B,C là ba góc của một tam giác Vậy 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 VT A B C cotg cotg cotg = + + + 2 2 2 2 2 3 1 A-B A+B sin sin sin os os sin 2 2 2 4 2 2 2 1 A-B 1 C os sin sin 1 sin sin 4 2 2 2 4 2 2 C C C 1 sin 1 sin 2sin 1 C C 1 1 2 2 2 1 sin 1 sin 2sin 8 2 2 2 8 3 27 A B C C c c C C C c C   = = −  ÷       = − ≤ −  ÷  ÷             − + − +  ÷  ÷  ÷  ÷           ÷ = − − ≤ =  ÷ ÷  ÷     ÷   Bài t ập: 1) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 1abc a b c + − − − < 2) Chứng minh rằng: 2 2 ( )(1 ) 1 (1 )(1 ) 2 a b ab a b + − ≤ + + 3) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a − − − + ≥ + + + + + + 4) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN 2 2 2 2 2 3 1 1 1 P a b c = − + + + + [...]...KẾT LUẬN Bài viết trình bày một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, các ý tưởng, ví dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không . 3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 3 2 1 1 4 ;P xy Q x y xy x y xy = + + = + + + 3. Kỹ thuật nhóm đối xứng Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là. hình thức của bài toán chứng minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác và các đẳng thức. b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 6) 5 5 5 4 4 4 1 a b c b c a + + ≥ 7) 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + +