Dạng toàn phương trong không gian thực

2 Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toàn phương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương.. Đượ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ LOAN

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN THỰC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

TH.S ĐINH THỊ KIM THUÝ

HÀ NỘI, 2012

MỤC LỤC

Trang LỜI MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực 3

1.1 Định nghĩa dạng toàn phương 3

1.1.1 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương 3

1.1.2 Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau 7

1.1.3 Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 8

1.2 Hạng và hạch của dạng toàn phương 8

1.2.1 Định nghĩa hạch 8

1.2.2 Định nghĩa hạng 10

1.2.3 Mệnh đề 10

1.3 Luật quán tính của dạng toàn phương 12

1.3.1 Định lí (Luật quán tính) 12

1.3.2 Định nghĩa chỉ số quán tính 13

1.3.3 Dạng toàn phương xác định 13

Bài tập chương 1 19

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 23 2.1 Định lí 23

2.2 Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 25

2.2.1 Phương pháp Lagrange 25

2.2.2 Phương pháp biến đổi trực giao 28

2.2.3 Phương pháp Jacobi 38

Bài tập chương 2 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

LỜI CẢM ƠN

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của

cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính

trọng và biết ơn sâu sắc đến cô, người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học và các thầy cô bộ môn trường ĐHSP HN2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu

Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn có hạn nên khó tránh khỏi những sai sót Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô, để cho bài khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan

LỜI CAM ĐOAN

Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận của mình

Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề trùng với bất cứ đề tài nào Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan

Xạ ảnh, Giải tích hàm… Ngoài ra nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác

Một phần quan trọng không thể thiếu của Đại số tuyến tính là dạng toàn phương trong không gian thực Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này, đồng thời được sự động viên của cô giáo

Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Dạng toàn

phương trong không gian thực” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học

cho mình

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: dạng toàn phương trong không gian thực

- Phạm vi: những kiến thức liên quan đến dạng toàn phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dạng toàn phương

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dạng toàn phương để cung cấp những kiến thức cơ bản cho việc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một số môn thuộc bộ môn giải tích trong chương trình Đại học

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu

có liên quan

6 Nội dụng khóa luận

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

2

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực

Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toàn phương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Những định nghĩa về hạng và hạch, luật quán tính của dạng toàn phương

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Chương này trình bày một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc của nó như một số phương pháp: Lagrange, biến đổi trực giao, Jacobi và áp dụng phương pháp biến đổi trực giao để đưa đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc

3

NỘI DUNG Chương 1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN THỰC

1.1 Định nghĩa dạng toàn phương

Giả sử V là một không gian véctơ trên trường số thức

Giả sử : V V  là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véctơ V Khi đó ánh xạ H : V  xác định bởi

vH(v) (v, v)

Được gọi là một dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính  Nói cách khác một dạng toàn phương H : V  là một hàm số xác định trong không gian véctơ V có công thức xác định ảnh H(v) là một đa thức thuần nhất bậc 2 đối với các tọa độ của véctơ v trong cơ sở bất kì

Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là dạng cực của H

1.1.1 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương

Giả sử H là dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính đối xứng : V V

ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng  trong cơ sở ( ) của V

Khi đó A(a )ij n n cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng 

Do  đối xứng nên   ( , i j)   ( , ) j i

suy ra aijaji Suy ra ma trận A(a )ij n n là ma trận có các aijaji nên ma trận A đối xứng

Khi nói đến ma trận A của một dạng toàn phương nào đó ta luôn hiểu rằng A là ma trận đối xứng Ngược lại, mọi ma trận đối xứng A đều là ma trận của một dạng toàn phương nào đó

1.1.2 Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau

Giả sử H là dạng toàn phương trong không gian véctơ V , A và B là hai ma trận của H trong hai cơ sở ( )     1, 2, ,n

8

1.1.3 Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc

Giả sử : V V  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véctơ V và H là dạng toàn phương ứng với 

Đối với các véctơ ,   V

, nếu ( , ) 0    

thì ta nói véctơ 

-trực giao (hay -vuông góc) với véctơ 

Trong cở sở H-trực giao, biểu thức tọa độ của H có dạng:

n 2

Ta dễ dàng thấy được ma trận của dạng toàn phương chính tắc là một

ma trận đường chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là các hệ số chính tắc của dạng toàn phương đó

Đặc biệt nếu các ai 0, 1 , i 1, , n    thì khi đó biểu thức tọa độ (1.1) được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H Ma trận của dạng toàn phương chuẩn tắc là ma trận chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là

9

là hạch hay hạt nhân của  ( hoặc của dạng toàn phương H tương ứng với

) và kí hiệu là Ker  ( hay KerH )

Vậy Ker KerH  V |    ,   0,   V 

Nói cách khác, hạt nhân của  là tập hợp các véctơ x V và -trực

giao với không gian V Nếu cố định một cơ sở cho V , và giả sử A  (a )ij n

là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng  trong cơ sở này thì hạt nhân của  là tập hợp các véctơ x  1 n t

y z2x 2y z 0

là nghiệm của hệ phương trình

KerH    ( 4a,a,a) ,a

1.2.2 Định nghĩa hạng

Giả sử H là một dạng toàn phương trên không gian véctơ V có ma trận

là A trong một cơ sở nào đó của V, khi đó:

Ta gọi rankA là hạng của dạng toàn phương H (cũng gọi là hạng của dạng cực  của H) và kí hiệu là rankH hay r(H) (hay rank )

Ta có rankHdim Vdim(ker )

Nếu rankH =dimV thì dạng toàn phương H (hay dạng cực tương ứng) được gọi là không suy biến

Trái lại, nếu rankH < dimV thì H (hay dạng cực tương ứng) được gọi

là suy biến

1.2.3 Mệnh đề

Hạng của dạng toàn phương H (hay dạng song tuyến tính đối xứng  tương ứng) bằng hạng của ma trận của H trong một cơ sở bất kỳ

Vậy rankA=rankH

dễ dàng suy ra các không gian con Im(f) và Im(g) đẳng cấu với nhau Nói riêng, chúng có cùng số chiều Như vây B và A có hạng bằng nhau

H(x)a x1 12 a x p p2 ap 1 p 1 x2  a x r r2 (a)

và H(x)c y1 12 c y q q2cq 1 q 1 y2  c y r r2 (b) trong đó ai 0,ci 0,i 1, , r

Ta cần chứng tỏ p = q Xét các không gian con

Mâu thuẫn chứng tỏ giả sử là sai, vậy LM   

Ta lại có: dim(LM)dim Ldim(LM)dim M

= dim Ldim M

dim V

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương Số các hệ số

âm gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương

Giả sử (p, q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương H trong không gian n chiều V thì: p + q = r(H)

với mọi 0    V

Hệ quả: Nếu H là dạng toàn phương xác định dương (âm) trên không gian véctơ V, và W là không gian véctơ con của V thì thu hẹp của H trên W (kí hiệu là

W

H ) cũng là một dạng toàn phương xác định dương (âm) trên W Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương H thì định nghĩa xác định dương (âm) đối với  tương tự như đối với dạng toàn phương H

1.3.3.2 Mệnh đề

Dạng toàn phương H trên R-không gian véctơ n-chiều V xác định dương (hoặc xác định âm) khi và chỉ khi chỉ số quán tính dương (hoặc chỉ số quán tính âm) bằng n Tức là nếu H có dạng chính tắc:

H(x)b t b t  b t thì bi 0 (bi 0)  i 1, , n

có tọa độ đối với cơ

Vậy dạng toàn phương H xác định dương

 Tóm lại mệnh đề được phát biểu lại như sau:

H là dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi p = n

H là dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi q = n

1.3.3.3 Định lí (Sylvester)

Giả sử có dạng toàn phương H trên R-không gian véctơ n-chiều V, với

ma trận là A trong một cơ sở (e)e ,e , ,e 1 2 n

nào đó của V khi đó:

a) Dạng toàn phương H xác định dương khi và chỉ khi ma trận A có các định thức con góc trên bên trái của A đều dương

b) Dạng toàn phương H xác định âm khi và chỉ khi ma trận A có các định thức con góc trên bên trái cấp chẵn dương, cấp lẻ âm

Chứng minh:

a) Giả sử trong cơ sở -trực giao ( )    1, 2, ,n

, H có ma trận chéo

15

1 2

n

000

0

Ta có: det Bk det(C A C )tk k k det C det A det Ctk k k det C det A2 k k

Nên det Bk và det A cùng dấu do k det C2 k 0, k 1, , n

Từ đó suy ra:

H là xác định dương khi và chỉ khi các  i 0, i 1, , n  , suy ra

det B     0 suy ra det Ak 0, k 1, , n

Vậy H xác định dương khi và chỉ khi det Ak 0, k 1, , n

Vậy (p,q)=(1,2) Hay chỉ số quán tính dương p=1, chỉ số quán tính âm q=2

Ví dụ 2: Cho dạng toàn phương H : 3 có ma trận trong cơ

Với giá trị nào của tham số mthì dạng

toàn phương H xác định dương

Vậy những giá trị của m thỏa mãn hệ phương trình trên là giá trị cần tìm

1.3.3.4 Định nghĩa: Hai dạng toàn phương H , H trên không gian véctơ 1 2thực V được gọi là tương đương nếu có một tự đẳng cấu tuyến tính

  sao cho H ( )1   H ( ( ))2  

,  V

1.3.3.5 Định lí: Hai dạng toàn phương trên không gian véctơ thực V tương

đương với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số quán tính

Chứng minh:

Giả sử hai dạng toàn phương H , H1 2 tương đương với nhau, tức là có

tự đẳng cấu tuyến tính :V V sao cho H ( )1   H ( ( ))2  

,  V

Nếu (e)e ,e , ,e 1 2 n

là cơ sở của V mà trong cơ sở này H1 có dạng

Giả sử trong cơ sở ( ) này H2có dạng chuẩn tắc là:

, từ (1)(2) đồng nhất hệ số ta suy ra p=k Vậy H , H có cùng chỉ số quán tính suy ra chúng tương đương 1 2

Bài 2: Viết ma trận của dạng toàn phương H trong cơ sở chính tắc của 3:

Tìm m để dạng toàn phương H xác định âm

Bài 5: Tìm tất cả những giá trị của m sao cho các dạng toàn phương sau là

Bài 7: Tìm biểu thức tọa độ của mỗi dạng toàn phương dưới đây sau khi

thực hiện phép biến đổi tọa độ tương ứng

Phép biến đổi tọa độ:

Phép biến đổi tọa độ:

Phép biến đổi tọa độ:

Bài 7: Gọi A, B lần lượt là ma trận của dạng toàn phương và phép biến đổi

tọa độ Ta có biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H có thể viết ở dạng

ma trận là H( )  x Axt

Tương ứng với phép biến đổi x=By, ta có biểu thức

22

tọa độ của dạng toàn phương là H( )  y B AByt t

, đặt DB ABt Vậy biểu thức tọa độ của H sau khi thực hiện phép biến đổi tương ứng là

23

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Cho dạng toàn phương

Ta chứng minh định lí bằng quy nạp theo số chiều của V

 Nếu n=1, thì H có biểu thức tọa độ dạng H( )  a x1 12

là dạng chính tắc (đúng)

 Giả sử đúng với k=n-1, ta chúng minh đúng với k=n hơn nữa với cơ

sở ( ) của V, H có biểu thức tọa độ

24

i j

i j

2 n

định dạng toàn phương thu hẹp của H trên W

Theo giả thiết quy nạp H’ có thể đưa về dạng chính tắc

n 2

c) Trường hợp mọi aij0,i 1, , n khi đó H có dạng chính tắc trong bất

kì cơ sở nào của không gian V

2.2 Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2.2.1 Phương pháp Lagrange

Phương pháp Lagrange tiến hành theo các bước như sau:

Cho dạng toàn phương

26

Bước 1: Nhóm tất cả các số hạng có chứa thừa số x và thêm bớt vào tổng 1

đó các số hạng dạng b x , c x xk k2 k i j để được một bình phương đủ, khi đó được:

'

' x

11 i, j 2

1H(x) x ' a ' x ' x '

 Mọi không gian véctơ Euclide n-chiều đều có cơ sở trực chuẩn

Thật vậy: Vì E là không gian Euclide n-chiều nên E có một cơ sở gồm n véctơ, ta lấy một cơ sở tùy ý của E là a , ,a1 n

rồi thực hiện trực giao hóa

Gram-schmitd ta được một hệ trực giao b , , b1 n

, rồi sau đó tiếp tục trực

chuẩn hóa Gram-schmitd ta được một hệ trực chuẩn e , ,e1 n

Trong đó quá trình trực giao hóa Gram-schmitd hệ a , ,a1 n

được thực hiện như sau:

a , b

b , b

29

Quá trình thực hiện trực chuẩn hóa Gram - schmitd hệ b , , b1 n

này ta được:

Đặt

1 1

1

2 2 2

n n n

be

bbe

b

be

Mỗi dạng toàn phương H trên không gian véctơ hữu hạn chiều Euclide

E đều có một cơ sở chính tắc là cơ sở trực chuẩn của E Các véctơ của cơ sở chính tắc đó gọi là các phương chính của dạng toàn phương

1 2 t

dạng chính tắc, (II) là cơ sở chính tắc của dạng toàn phương H

 Chú ý: Trong cơ sở các phương chính (II) biểu thức tọa độ của

dạng toàn phương H là H(x) 1 1t2 2 2t2   n nt2, trong đó  1, 2, , n

là những giá trị riêng của ma trận A

2.2.2.2 Định lí: Cho dạng toàn phương H(x)  x Axt , A là ma trận vuông

đối xứng cấp n với các giá trị riêng  1, 2, , và T là ma trận trực giao n

làm chéo hóa A, T ATt có dạng chéo Khi đó bằng cách đổi biến xTy ta

đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc sau:

2.2.2.3 Phương pháp biến đổi trực giao

Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma

trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì khi đó ta có thể chuyển

dạng toàn phương về dạng chính tắc

31

Giả sử H là dạng toàn phương trong không gian véctơ Euclide V với

cơ sở trực chuẩn ( ) có ma trận là A (ma trận đối xứng) Khi đó ta có thể chéo hóa trực giao ma trận A, tức là ta tìm được ma trận trực giao T để

t

B T AT  là ma trận chéo T là ma trận chuyển từ cơ sở ( ) sang cơ sở ( ') gồm các véctơ riêng của A Khi đó biểu thức tọa độ của H có dạng chính tắc trong cơ sở ( ') , các hệ số chính tắc là các hệ số trên đường chéo của B

Ma trận T được tìm như sau:

Bước 1:Tìm các véctơ riêng của A

Bước 2: Dùng phép biến đổi trực giao hóa Gram-Schmitd để đưa về một cơ

sở trực chuẩn ( ') từ các véctơ riêng ấy

Bước 3: T là ma trận các cột tọa độ của hệ cơ sở trực chuẩn vừa tìm được Bước 4: Khi đó BT ATt chính là dạng chéo của ma trận A Khi đó trong

cơ sở ( ') thì H có dạng chính tắc, các hệ số chính tắc là các hệ số trên đường chéo chính của ma trận B

Ví dụ 1: Cho dạng toàn phương: H(x)2xy2xz2yz đưa về

dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

Với     1 2 1 VTR tương ứng là nghiệm của hệ phương trình: