Dạng toàn phương trong không gian thực

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thựcChương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toànphương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương.. Chương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ LOAN

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN THỰC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

TH.S ĐINH THỊ KIM THUÝ

HÀ NỘI, 2012

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực 3

1.1 Định nghĩa dạng toàn phương 3

1.1.1 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương 3

1.1.2 Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau 7

1.1.3 Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 8

1.2 Hạng và hạch của dạng toàn phương 8

1.2.1 Định nghĩa hạch 8

1.2.2 Định nghĩa hạng 10

1.2.3 Mệnh đề 10

1.3 Luật quán tính của dạng toàn phương 12

1.3.1 Định lí (Luật quán tính) 12

1.3.2 Định nghĩa chỉ số quán tính 13

1.3.3 Dạng toàn phương xác định 13

Bài tập chương 1 19

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 23 2.1 Định lí 23

2.2 Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 25

2.2.1 Phương pháp Lagrange 25

2.2.2 Phương pháp biến đổi trực giao 28

2.2.3 Phương pháp Jacobi 38

Bài tập chương 2 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

LỜI CẢM ƠN

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của

cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính

trọng và biết ơn sâu sắc đến cô, người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệttình, chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thựchiện khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học và cácthầy cô bộ môn trường ĐHSP HN2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập đểthuận lợi cho việc nghiên cứu

Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việcnghiên cứu khoa học và do năng lực còn có hạn nên khó tránh khỏi những saisót Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô, để chobài khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan

LỜI CAM ĐOAN

Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáoTh.S Đinh Thị Kim Thúy em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận của mình

Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với sựhướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề trùng với bất cứ đềtài nào Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là một môn học nghiên cứu về không gian véctơ, matrận, định thức, hệ phương trình tuyến tính và được coi như môn học cơ sởgiúp chúng ta học tốt hơn những môn như: Hình Affin, Hình Euclide, Hình

Xạ ảnh, Giải tích hàm… Ngoài ra nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựckhoa học khác

Một phần quan trọng không thể thiếu của Đại số tuyến tính là dạngtoàn phương trong không gian thực Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứusâu hơn về mảng kiến thức này, đồng thời được sự động viên của cô giáo

Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Dạng toàn phương trong không gian thực” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học

cho mình

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: dạng toàn phương trong không gian thực

- Phạm vi: những kiến thức liên quan đến dạng toàn phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dạng toàn phương

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dạng toàn phương để cung cấp những kiến thức cơ bản choviệc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một số môn thuộc bộ môngiải tích trong chương trình Đại học

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu

có liên quan

6 Nội dụng khóa luận

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

5

Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực

Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toànphương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Nhữngđịnh nghĩa về hạng và hạch, luật quán tính của dạng toàn phương

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Chương này trình bày một số phương pháp đưa dạng toàn phương vềdạng chính tắc của nó như một số phương pháp: Lagrange, biến đổi trựcgiao, Jacobi và áp dụng phương pháp biến đổi trực giao để đưa đường vàmặt bậc hai về dạng chính tắc

NỘI DUNG Chương 1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN THỰC

1.1 Định nghĩa dạng toàn phương

Giả sử V là một không gian véctơ trên trường số thức

Giả sử η: V × V → □ là dạng song tuyến tính đối

xứng trên khônggian véctơ V Khi đó ánh xạ H : V → □ xác định bởi

v  H(v) = η(v, v) Được gọi là một dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính η

Nói cách khác một dạng toàn phương H : V → □ là mộthàm số xác định trong không gian véctơ V có công thức xác định ảnhH(v) là một đa thức thuần nhất bậc 2 đối với các tọa độ của véctơ v trong

chỉ sinh ra một dạng toàn phương H(x) = η(x, x) = 2x2

Tuy nhiên, với mỗi dạng toàn phương H(x) thì chỉ có duy nhất mộtdạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó

Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là dạng cực của H

1.1.1 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương

Giả sử H là dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính đối xứng

{

η: V × V → □ , và (ε) = ε1, ,εn là một cơ sở của V, thìvới các véctơ:

Như vậy việc nghiên cứu các dạng toàn phương thực chất là nghiêncứu những ma trận trong các cơ sở khác nhau, hay cụ thể hơn là nghiên cứunhững lớp ma trận toàn đẳng.

Khi nói đến ma trận A của một dạng toàn phương nào đó ta luôn hiểu rằng A là ma trận đối xứng Ngược lại, mọi ma trận đối xứng A đều là ma trận của một dạng toàn phương nào đó

Nhận xét:

n 

1 Do A

là ma trận đối xứng nên với

v

=

∑ x

Hcóthểviếtlà:

H(v)

=

n aiix2 + 2n

aijxix j

∑i





 

 

=η(α,α)+2η(α,β)+η(β,β))

⇒

H)

H(

α

=2x

− 2x1

x2 + 4x1

x3

− x2

+

3x

3

, α

□ trong cơ sở chính tắc

Giải:

Biểu thức tọa độ của dạng cực

η tương ứng với dạng toàn phương H là:

=(0,1,0),ε3

=(0,0,1)

dụ 2 : Tìm ma trận của dạng toàn phương có biểu thức tọa độ sau

trên □ với cơ sở chính tắc:

 2 0 −1 2 



Vậy

ma trận của dạng toàn phươn

phần a) ta tìmđược ma trận B

=  92

4



của dạng toàn phương trong các cơ sở khác

của V Nếu T là ma trận chuyển từ

cơ sở (ε) sang cơ sở (µ)

Chứng minh:

thì

B

= TtAT

cơ sở (ε) sang cơ sở

=

1 i , j

Vậy B

= TtAT

1.1.3 Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc

tính đối xứng trênkhông gian véctơ V và H là dạng toàn phương ứng với η

Đối với các véctơ  

Ta dễ dàng thấy được ma trận của dạng toàn phương chính tắc là một

ma trận đường chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là các hệ số chínhtắc của dạng toàn phương đó

Đặc biệt nếu các ai = {0, ±

1},∀i = 1, , n

thì khi đó biểu thức tọa độ (1.1)

được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H Ma trận của dạng toàn phương chuẩn tắc là ma trận chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là

là hạch hay hạt nhân của η ( hoặc của dạng toàn phương H tương ứng với

η) và kí hiệu là Kerη ( hay KerH )

xtAy = 0 với mọi y nếu và chỉ nếu:

là nghiệm của phương trình

dụ 2: Trong không gian

□ cho dạng toàn phương:

H(α) = x + y + z + 4xy + 4xz + 4yz,α = (x, y, z)

Tìm hạch của dạng toàn phương đã cho

3

Giải:

1 2 2 

Ta có ma trận của dạng toànphương đã cho là: A =  21

2 

 2 2 1 

12

2  x 

Ta giải hệ phương trình Aα = 0

⇔ 



y

=zChọn y

= a ta được

−4a,a, a)

là nghiệmcủa hệ phương trình

Ta có rankH = dim

V − dim(kerη)Nếu rankH =dimV thì dạng toàn phương H (hay dạngcực tương ứng) được gọi là không suy biến

Trái lại, nếu rankH < dimV thì H (hay dạng cực tương ứng) được gọi là suy biến

1.2.3 Mệnh đề

Hạng của dạng toàn phương H (hay dạng song tuyến tính đối xứng η

tương ứng) bằng hạng của ma trận của H trong một cơ sở bất kỳ

Nói riêng, mệnh đề trên cho thấy hạng của ma trận của dạng songtuyến tính η không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở Như vậy, nếu C làmột ma trận khả nghịch thì luôn có cùng hạng với ma trận A.

Áp dụng công thức: dim(kerA) + rankA = n

= dim V − dim(Kerη)

= dim V − dim(KerH)

= rankHVậy rankA=rankH

trận trong một cơ sở cố định nào đó lần lượt là A, B, Ct , C Vì C khả nghịchnên h và k là các tự đẳng cấu Hơn nữa, g = h f k Từ đẳng thức này, ta

dễ dàng suy ra các không gian con Im(f) và Im(g) đẳng cấu với nhau Nóiriêng, chúng có cùng số chiều Như vây B và A có hạng bằng nhau

1.3 Luật quán tính

1.3.1 Định lý (Luật quán tính)

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của mộtdạng toàn phương H là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộcvào việc lựa chọn cơ sở)

Nếu cần thì đánh số lại thứ tự các véctơ của các cơ sở đang xét, ta cóthể giả thiết rằng đối với hai cơ sở (I) và (II) dạng toàn phương H lần lượt cóbiểu thức tọa độ

1 −

− cry2 < 0

Mâu thuẫn chứng tỏ giả sử là sai, vậy L ∩ M = {θ}

Ta lại có: dim(L ⊕ M) = dim L − dim(L ∩ M)

= dim L + dim M

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương Số các hệ số

âm gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương

Giả sử (p, q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toànphương H trong không gian n chiều V thì: p + q = r(H)

dương (âm) đối với η tương tự như đối với dạng toàn phương H

1.3.3.2 Mệnh đề

Dạng toàn phương H trên R-không gian véctơ n-chiều V xác địnhdương (hoặc xác định âm) khi và chỉ khi chỉ số quán tính dương (hoặc chỉ sốquán tính âm) bằng n Tức là nếu H có dạng chính tắc:

(

Vậy các hệ số chính tắc bi > 0 với mọi i=1, ,n

Ngược lại giả sử các hệ số

bi > 0,i = 1, , n Khi đó nếu x ≠ 0

Vậy dạng toàn phương H xác định dương

 Tóm lại mệnh đề được phát biểu lại như sau:

H là dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi p = n

H là dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi q = n

b) Dạng toàn phương H xác định âm khi và chỉ khi ma trận A có các địnhthức con góc trên bên trái cấp chẵn dương, cấp lẻ âm

1 2 2 n n

i

{

Chứng minh:

  

a) Giả sử trong cơ sở η-trực giao (ε) = ε1, ε2 , , εn , H có ma

ma trận

A

và

B

khi đó

A

k ,B

k

là

ma trận của

ứng trong các cơk





sởe

1,e

2

,

, e

ε1,

ε2 ,

., εk

của

Vk .Gọi

Ck

là ma trận chuyển

xy + xz + yz

H :

chỉsốquántínhdương

p và chỉ số quán tính âm q

Giải:

 01

1 

2

2 

Ta có ma trận của dạng toàn phương là: A

0 



22







Giải phương trình đặc trưng: A

ởchínhtắclà

A =  m 1 2  .Với giá trị nào của tham số m thì dạng

 −1 2 5 

toàn phương H xác định dương

G i ả i :

Từ định lí, để dạngtoàn phương đã cho xác định dương thì định thức con chính của A luôn dương



Điều đó tương tương với:

− 4m

y,z ) = −4x 2

− y 2 + 4mz 2 + 2mxy − 4mxz + 4yz

Dạng toàn phương H đã cho xác định âm khi định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm.

Điều này tương đương với:

Vậy những giá trị của m thỏa mãn hệ phương trình trên là giá trị cần tìm

1.3.3.4 Định nghĩa: Hai dạng toàn phương H1,

H2

trên không gian véctơ

thực V được gọi là tương đương nếu có một tự đẳng cấu tuyến tính

1.3.3.5 Định lí: Hai dạng toàn phương trên không gian véctơ thực V tương đương

với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số quán tính

Thì hệ (ε) = ε1 = ϕ(e1),ε2 = ϕ(e2 ), ,εn = ϕ(en ) cũng là cơ sở của V

 n    

Khi đó mỗi α = ∑xi ei = x1e1 + x2 e2 + + xn en , thì:

xnϕ(en )



= x1ε1 + x2 ε2 + + xn

εn(do ánh

xạϕ là tuyến tính)

2

(ϕ(α)) = x1 + + xk

5 : Cho dạng toàn phương H : □ 4 → □ xác định bởi

H(x, y, z, t) = −4x2 − y2 + 4mz2 + 2mxy − 4mxz + 4yz

Tìm m để dạng toàn phương H xác định âm

7: Tìm biểu thức tọa độ của mỗi dạng toàn phương dưới đây sau khi

thực hiện phép biến đổi tọa độ tương ứng

a) H(α) = 5x1 − 3x2 + 6x1x2 , α = (x1, x2 )

x = −y + 2yPhép biến đổi tọa độ: 

1: Dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng với dạng toàn phương đã

 3 2 

Bài 3: a) ma

2



2

−1

b)ma trận

A =  32

toàn phương và phép biến đổi tọa độ Ta có biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H

có thể viết ở dạng



ma trận là H(α) = x Ax Tương ứng vớiphép biến đổi x=By, ta có biểu thức

t

 −2 0 −4 



KerH = {x = (0,0, 0) ∈□ 3}rankH=rankB=3

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

j = 1

aix2được gọi là phương pháp đưa

ii i ij i j

2 ≤ i, j ≤ n

i ≠ j 2

= a (x + a12 x

+ + a

1n x )2 −n 1i 2

x2−2 a1ia1j

x x11 1

2 n

∑i

x

+

+ a1n x )2 + (a

2

−1i

)x

2

11 1 2 n

a

1 j i j

−)

a

a

n

=

1i

= n

=

a

− ,2

≤ i,i

≠ j



i j

2

Tacó

H ( α )

= a

1 1

y

i i

=

2

+ 2

∑

≤

≤i

− a

1 2

y

−

− a

1 n

y

12 n

Côngthứcđộthành:

a

1 1

a

1 1

1 n

= 1

.



0 0

sang cơ sở

( ξ )

= ξ

Gọi

W là khôn

g gian con sinh bởi các véc

tơ

ξ , i=1 n

tac

ó biể

u thức

H ' ( β )

=

∑ k

j

địnhd

ạn

g toà

n phươngth

n n

2a

xx = 2a (y 2 − y2)

cho nên:

H = a x x =

byy

trongThì 12 1

ij

i j

∑ij ij

đó

hệ

số của

i, j

=

1 i, j

=

1

2 là 2a

12 ≠ 0 Ta trở về trường hợp đã xét ở trên

c)Trườn

g

hợpmọi

chínhtắc trongbất

kì cơ

sở nàocủa không gian V

2.2 M ột s

ố p h ư ơ n

g p h á

p đ ư

a d ạ n

g to à

n p h ư ơ n

g



y1

v ề d ạ n g c h í n h t ắ c

2.2.1 Phươn

g pháp Lagran ge

Phương pháp Lagrange tiến hành theo các bước như sau:

n n

Cho dạng toàn phương H(x)

∑aij

xix j

i = 1 j = 1

Bước 1 : Nhóm tất cả các số hạng có chứa thừa số x1và thêm bớt vào tổng

đó

các

số

hạng

dạng

được:

bk

x2 ,

ck

xi

x j

để được một bình phương

Khi

đó H(x)

=

1

x '2 +

+3

x

)2 + 6x2 + 6x2 + 12x x

9

1 2 3

3 2 3

2 3

= 1(9x−3

x − 3x )2

− x2 − x2 + 6x2 + 6x2

2 3 2 3 2 3

2 3

= 1(9x−3

x − 3x )2 + 5x2 + 5x2 + 10x x

2 3 2 3

2 3



'

1

y1 = 9x1 − 3x 2 − 3x3Đặt y2 = x 2

y

3 = x 3





Suy ra dạng chính tắc là: H(x) = z2 − 1 z2 + 5z2

1 2 2 3

2.2.2 Phương pháp biến đổi trực giao

• Mọi không gian véctơ Euclide n-chiều đều có cơ sở trực chuẩn

Thật vậy: Vì E là không gian Euclide n-chiều nên E có một cơ sở gồm n

 2





n của E

2.2.2.1 M

ệ n h

đ ề

{





Mỗi dạng toàn phương H trên không gian véctơ hữu hạn chiềuEuclide E đều có một cơ sở chính tắc là cơ sở trực chuẩn của E.Các véctơ của cơ sở chính tắc đó gọi là các phương chính của dạngtoàn phương.

đối xứng nên tồn tại ma trận trực giao T

AT

có dạng đường

λ1

B = TtAT

= λ2

 

ε1, ,εn

 

(II)xác định bởi (ε1 εn

)= (e1 en )T, khi đó

B chính là ma trận củadạng toàn

phương H đối với cơ

sở trực chuẩn (II) Vì

B có dạng đường chéo nên H có dạng chính tắc, (II) là cơ sở chính tắc của dạng toàn phương H

 Chú ý: Trong

cơ sở các phương chính (II) biểu thức tọa độ củadạ

ng toà

n phươ

ng

H là

H(x)

= λ1t2 + λ2t2 +

+ λnt2 , trong đó

λ ,λ

, , λ

là những giá trị riêng của

ma trận A

1 2 n

2.2.2.2 Định lí:

Cho dạngtoàn phương

H(x)

= xt Ax ,

A là ma trậnvuông

đối xứng cấp n

vớicácgiá

trịriêng

{

63