Dạng toàn phương trong không gian euclid và unita

Đại số tuyến tính là một môn rất quan trọng trong Hình học, chuyênnghiên cứu về Không gian vecto, hệ phương trình tuyến tính và các phépbiến đổi tuyến tính.Với mong muốn được tìm hiểu sâ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập,tích lũy kinh nghiệm, là sự hướng dẫn chỉ đạo tận tình của Ths PhạmThanh Tâm.

Em tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Đồng thời em xinchân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và đặc biệt là thầy côgiáo trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gianhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Vũ Thị Dương

Lời cam đoan

Khóa luận của em hoàn thành nhờ sự cố gắng lỗ lực của bản thân,cùng sự chỉ bảo tận tình của Ths Phạm Thanh Tâm, những ý kiến đónggóp của thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm

Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này

em hoàn thành nhờ tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu thamkhảo

Sinh viên

Vũ Thị Dương

2

Sau bốn năm đại học, bộ môn "Hình học" đã thực sự cuốn hút đốivới em mặc dù đó là bộ môn không phải dễ để tiếp cận Các đối tượngtrong hình học là các đối tượng có tính chặt chẽ và tính trừu tượng hóacao Đại số tuyến tính là một môn rất quan trọng trong Hình học, chuyênnghiên cứu về Không gian vecto, hệ phương trình tuyến tính và các phépbiến đổi tuyến tính.

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về Đại số tuyến tính, đặcbiệt là những vấn đề về dạng toàn phương áp dụng vào không gian Euclid

và không gian Unita Dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trongphạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của Ths PhạmThanh Tâm, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đềtài: "DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID VÀ UNITA."

Mục lục

1.1 Ánh xạ tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính 5

1.1.1 Ánh xạ tuyến tính 5

1.1.2 Ánh xạ đa tuyến tính 5

1.2 Dạng toàn phương 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Định nghĩa 6

1.2.3 Ma trận của dạng song tuyến tính 6

1.3 Không gian vecto Euclid 8

1.3.1 Tích vô hướng và không gian vecto Euclid 8

1.3.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 9

1.4 Không gian afin 9

1.5 Không gian Ơclid 9

1.6 Không gian vecto Unita 10

2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN EU-CLID VÀ UNITA 11 2.1 Định lý cơ bản về Dạng toàn phương trong một không gian Euclide 11

2.2 Tính cực trị của một dạng toàn phương 14

2.3 Sự rút gọn đồng thời của hai dạng toàn phương 22

2.4 Sự rút gọn phương trình tổng quát của mặt bậc hai 25

2.5 Tính chất hình học của một mặt bậc hai 28

2.5.1 Tâm của một mặt 28

2.5.2 Một số mặt trọng tâm 29

2.5.3 Các mặt hình nón 33

2.5.4 Các mặt Paraboloic 35

2.5.5 Các mặt suy biến 37

4

2.6 Sự phân loại của một mặt bậc hai từ phương trình tổng quát 392.7 Dạng toàn phương Hermite 46

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Ánh xạ tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính.

1.1.1 Ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa 1.1 Cho V,W là hai không gian vecto trên trường K Ánh

xạ f :V→W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

Định nghĩa 1.2 Giả sử V và W là những không gian vecto trên trường

K, k là một số nguyên dương Ta gọi ánh xạ:

với mọi λ, µ ∈K và với mọi α ~1, , ~ αk, ~ βi∈V, i = 1, , k

Khi W =K thì ϕ được gọi là một dạng k - tuyến tính trên V

Khi k = 2 thì ϕ được gọi là một ánh xạ song tuyến tính

6

Định nghĩa 1.3 Giả sử V là một không gian trên trường số thực.

Ta gọi ánh xạ η :V×V→R là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó

tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến còn lại

Dạng song tuyến tính η được gọi là đối xứng nếu:

η(~ α, ~ β) = η(~ β, ~ α), ∀ ~ α, ~ β ∈V1.2.2 Định nghĩa

Định nghĩa 1.4 Giả sử η : V×V → R là một dạng song tuyến tính đối

xứng trên V Khi đó, ánh xạ:

~

α 7−→ H(~ α) = η(~ α, ~ α)

gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η

1.2.3 Ma trận của dạng song tuyến tính

Giả sử V là không gian vecto thực n-chiều và (ε) = { ~ ε1, , ~ εn} là một cơ

sở của V, η :V×V→R là một dạng song tuyến tính trên V.

Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 1.1 Giả sử A = (aij)n×n là ma trận của dạng song tuyến tính η

trên không gian vecto V trong cơ sở (ε) = { ~ ε1, , ~ εn} Khi đó, η là một dạngsong tuyến tính đối xứng khi và chỉ khi ma trận A bằng ma trận chuyển vịcủa nó: A = AT, nghĩa là A là một ma trận đối xứng

Mệnh đề 1.2 Giả sử A và B là ma trận của dạng song tuyến tính η trên

V tương ứng trong cơ sở (ε) = { ~ε1 , , ~ ε n } và (µ) = {µ 1 , , µ n } của V, gọi C

là ma trận chuyển từ cơ sở ε sang cơ sở µ thì ta có:

B = CTAC.

Định nghĩa 1.6 Cho A = (aij)m×n là ma trận của dạng song tuyến tínhđối xứngη: V×V→R trong cơ sở(ε) = { ~ ε1, , ~ εn} H là dạng toàn phươngứng với η

Kí hiệu các cột tọa độ của các vecto ~ α, ~ β trong cơ sở (ε) tương ứng bởi

gọi là biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H trong cơ sở (ε)

1.3 Không gian vecto Euclid

1.3.1 Tích vô hướng và không gian vecto Euclid

Định nghĩa 1.7 Cho V là một không gian vecto trên trường số thực R.a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng η trên V là một tích vôhướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn phươngxác định dương

b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó

là một không gian vecto Euclid Người ta thường kí hiệu một không gianvecto Euclid là E

Định nghĩa 1.8 Cho E là một không gian vecto Euclid với tích vôhướng của hai vecto ~ α, ~ β kí hiệu là ~ α.~ β Khi đó ta gọi số thực không âm

√

~

α.~ α =

p− →α2

là chuẩn (hay độ dài) của vectoα ~ và kí hiệu là k~ αk Vecto có

độ dài bằng 1 được gọi là vecto đơn vị

Định nghĩa 1.9 Giả sử α, ~ ~ β là hai vecto khác không của không gianvecto Euclid E được gọi là vuông góc (hay trực giao) với nhau và kí hiệu

là ~ α⊥~ β nếu α.~ ~ β = 0

Như vậy ~ α⊥~ β khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một trong hai vecto ~ α, ~ β làvecto không, hoặc ϕ~ α, ~ β= π

2.Mệnh đề 1.3 Cho ~ α, ~ β ∈ E Khi đó, ~ α trực giao với β~ khi và chỉ khi

a) Hệ vecto { ~ e 1 , , ~ ek} của không gian vecto Euclid E được gọi là một

hệ trực giao nếu các vecto của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là

~

ei ~ ej = 0 với i 6= j

b) Hệ vecto { ~ e1, , ~ ek} của không gian vecto Euclid E được gọi là một

hệ trực chuẩn nếu nó là một hệ vecto trực giao gồm toàn vecto đơn vị,nghĩa là

Khóa luận tốt nghiệp

c) Một cơ sở của không gian vecto Euclid hữu hạn chiều E đồng thời làmột hệ trực chuẩn được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E

A là một hệ trực chuẩn trong Rn với tích vô hướng chính tắc

1.4 Không gian afin

Định nghĩa 1.13 Cho không gian vecto V trên trường K, tập A 6= ∅

mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A → V Kí hiệu

1.5 Không gian Euclid

Định nghĩa 1.14 Không gian Euclid là không gian afin liên kết với khônggian vecto Euclid hữu hạn chiều

Không gian Euclid sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vecto Euclidliên kết với nó có số chiều bằng n

Không gian Euclid thường được kí hiệu là E

1.6 Không gian vecto Unita

Định nghĩa 1.15 Cho V là một không gian vecto trên trường số phức C

Ta gọi ánh xạη :V×V→C là một dạng Hermite trên V nếu nó thỏa mãn

điều kiện sau đây:

a) η tuyến tính với biến thứ nhất, nghĩa là:

Một không gian vecto phức V cùng với một tích vô hướng xác định trên

nó được gọi là không gian Unita

Ta kí hiệu một không gian Unita bởi U Giá trị của tích vô hướngη~ α, ~ β

trên U kí hiệu là h~ α, ~ β

i

và được gọi là tích vô hướng của α ~ với vecto β~

Ví dụ 1.2 Không gianCn là một không gian Unita với tích vô hướng chínhtắc định nghĩa như sau:

h

~

α, ~ βi= x1¯1+ + xn¯n

trong đó α = (x ~ 1, x2, , xn) , ~ β = (y1, y2, , yn) ∈Cn.

Định nghĩa 1.17 Tự đồng cấu f : U→U của không gian Unita U được

gọi là một tự đồng cấu Unita nếu f bảo toàn tích vô hướng nghĩa là

là ma trận của dạng song tuyến tínhη (x, y), trực chuẩn hóa cơ sở trực giaovừa tìm được ta được một cơ sở chính tắc của η (x, y) gồm các vecto trựcchuẩn.

2.1.2 Bây giờ chúng ta áp dụng kết quả này để nghiên cứu dạng toànphương Cho một dạng toàn phương, η(x, x) xác định bởi:

12

Tương ứng với các dạng toàn phương (1) Bởi định lý (2.1), dạng này

có một cơ sở trực chuẩn f1, f2, , fn Nếu các tọa độ của vecto x và y là

τ1, τ2, , τn và θ1, θ2, , θn tương ứng trong cơ sở, thì ta có thể viết dạngsong tuyến tính η (x, y) như sau:

ở đó Q = q(j)i là một ma trận trực giao Mối quan hệ giữa các tọa độ

τ1, τ2, , τn và ξ1, ξ2, , ξn được cho bởi hệ phương trình

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.2 Mọi dạng toàn phương (1) trong không gian Euclid n-chiều

Rn có thể chuyển về dạng chính tắc (2) nhờ phép biến đổi tọa độ đẳng cựdạng (3)

2.1.3 Chúng ta đi xây dựng công thức chuyển đổi tọa độ từ dạng (3) vềdạng chính tắc (2) của dạng toàn phương (1) Bây giờ chúng ta đưa ra kếtquả có được:

a Sử dụng dạng toàn phương (1) để xây dựng ma trận đối xứng A = (aik)

b Xác định đa thức đặc trưng ∆ (λ) = det (A − λE) và tìm các giá trịriêng là các nghiệm của nó Đây là đa thức có n nghiệm thực (không nhấtthiết khác nhau)

c Trên cơ sở thông tin về nghiệm của đa thức ∆ (λ), chúng ta có thểviết dạng toàn phương (1) trong dạng chính tắc (2) Đặc biệt, chúng ta cóthể xác định được chỉ số quán tính dương và chỉ số quán tính âm của dạngtoàn phương

d Thay thế nghiệm λ1 vào hệ

n } của không gian vecto Euclid n chiều E

f Thực hiện các phép toán cho mỗi nghiệm, cuối cùng ta có được một

hệ n vecto trực giao Sau đó, chúng ta chuẩn hóa chúng bằng cách chia mỗivecto cho độ dài của nó Khi đó hệ vecto

g Sử dụng các số qi(j), chúng ta có thể viết biến đổi tọa độ (3)

h Để biểu diễn các thành phần mới τ 1 , τ 2 , , τ n theo các thành phần cũ

2.2 Tính cực trị của một dạng toàn phương.

2.2.1 Cho một dạng toàn phương η (x, x) trong không gian Euclid Rn,chúng ta kiểm tra các giá trị của η (x, x) trên mặt cầu đơn vị (x, x) = 1 củakhông gian Rn, và tọa độ điểm của hình cầu đơn vị làm cho giá trị của

η (x, x) là dừng

Nhắc lại định nghĩa của một hàm số khả vi f (x), xác định tại các điểmtrên mặt U, f (x) có một giá trị dừng tại điểm x0 ∈ U nếu đạo hàm củahàm f (x) theo hướng bất kỳ trên mặt U triệt tiêu tại điểm x0 Đặc biệt,hàm f (x) là dừng tại những điểm mà nó đạt cực đại hoặc cực tiểu

Vấn đề xác định giá trị dừng của một dạng toàn phương trên mặt cầuđơn vị là vấn đề liên quan đến điều kiện có cực trị Phương pháp giải quyếtvấn đề là sử dụng phương pháp Lagrange, cụ thể như sau: Chúng ta xâydựng một cơ sở trực chuẩn trong không gian Rn và biểu thị các tọa đọ củavecto x trong cơ sở {ξ1, ξ2, , ξn} Trong hệ tọa độ này, dạng toàn phươngcủa chúng ta trở thành:

Khóa luận tốt nghiệp

a n1 ξ 1 + a n2 ξ 2 + · · · + (a nn − λ)ξn = 0

để xác định các vecto riêng của toán tử đối xứng tương ứng với dạng toànphương η (x, x) Nó kéo theo dạng toàn phương η (x, x) có giá trị dừng tạicác vecto của mặt cầu đơn vị đó là các vecto riêng của toán tử đối xứng f.2.2.2 Bây giờ chúng ta tính các giá trị của dạng đã cho tại điểm dừng

Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu toán tử đối xứngf và viết dạng toànphương như sau:

η (x, x) = (f x, x)

Giả sử là η (x, x) có giá trị dừng tại vecto ei Khi đó, ta đã chỉ ra rằng ei

là một vecto riêng của toán tử f, f ei = λiei, chúng ta có:

η (ei, ei) = (f ei, ei) = λi(ei, ei) = λi. (4)

Do đó, giá trị dừng của dạng η (x, x)tại x = ei bằng giá trị riêng tương ứngcủa toán tử f đối với vecto riêng ei Do giá trị riêng của toán tử f xác địnhcác hệ số chính tắc của dạng η (x, x) nên chúng ta có thể kết luận rằng cácgiá trị dừng của dạng η (x, x) trùng với hệ số chính tắc của nó Đặc biệt,giá trị cực đại của dạng η (x, x) trên mặt cầu đơn vị bằng với hệ số chínhtắc lớn nhất của nó, và giá trị cực tiểu của dạng η (x, x) trên mặt cầu đơn

vị bằng với hệ số chính tắc nhỏ nhất của nó

2.2.3 Dạng toàn phương và dạng song tuyến tính có thể được xem xéttrên toàn bộ không gian n-chiều Rn, nhưng cũng có thể xem xét trên khônggian con k-chiều Rk ⊂Rn Chúng ta có thể tìm một cơ sở trực chuẩn trong

Rk Cho dạng toàn phương η (x, x) có dạng chính tắc:

Như chúng ta đã biết,λ1 là đạt giá trị cực đại của dạng toàn phươngη (x, x)

trong mặt cầu đơn vị của không gian Rn; tương tự, µ1 là đạt giá trị cựcđại của dạng toàn phương η (x, x) trong mặt cầu đơn vị của không giancon Rk , do đó µ1 ≤ λ1 Hơn thế, chúng ta cũng có µ1 ≥ λn−k+1 Thật vậy,cho e1, e2, · · · , en là cơ sở chính tắc sao cho η (x, x) có dạng (4) Xem xéttrong (n − k + 1) - chiều không gian con R0 có các vecto e1, e2, · · · , en−k+1

Từ k + (n − k + 1) > n và từ kết quả đã biết (hệ quả: Cho Rp và Rq là haikhông gian con tương ứng của p-chiều và q-chiều, một không gian n-chiều

Rn Giả sử p + q > n thì giao của Rp và Rq có số chiều không nhỏ hơn

p + q − n), không gian con R0 và Rk có ít nhất một vecto khác không Chovecto

Khóa luận tốt nghiệp

Cho R0 là không gian con k-chiều sinh bởi {e1, e2, · · · , ek}của cơ sở chínhtắc của dạng η (x, x) Khi đó η (x, x) là

Như vậy hệ số λn−k+1 trong biểu diễn chính tắc của dạng toàn phương

η (x, x) bằng giá trị nhỏ nhất của cực đại của η (x, x) trong mặt cầu đơn vịcủa tất cả k-chiều các không gian con của không gian Rn

2.2.5 Chúng ta có thể ước tính các hệ số chính tắc khác của dạng toànphương η (x, x) trong không gian con Rk

Nếu không gian con Rk cố định, thì µ2 = min

η (x, x) Tuy nhiên, giao của mỗi không gian con (n − 1)

-chiều với không gian con Rk là một không gian con có số chiều không nhỏhơn (n − 1) + k − n = k − 1, nên có λ 2 không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất củacực đại của η (x, x) trong mặt cầu đơn vị của tất cả các không gian con;

Đặc biệt λ2 ≥ µ2 với µ2 = min

hệ số µ1, µ2, · · · , µn−1 bằng cách sử dụng phương pháp M G Krein Theogiả thiết, nhất một trong những hệ số α1, α2, · · · , αn là khác không Khôngmất tính tổng quát, giả sử αn 6= 0 Khi đó (8) có nghĩa :

Khóa luận tốt nghiệp

Ma trận hệ số của hệ này là tổng của hai ma trận: Ma trận thứ nhất

có đường chéo là các số λk− λ(k = 1, 2, , n − 1) dọc theo đường chéo, matrận thứ hai có dạng

λn− λ

α 2 n

α 2 n

Khi mà hai

cột của ma trận tỉ lệ, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp một cột củađịnh thức của ma trận đầu tiên là thay thế bằng cột tương ứng của matrận thứ hai

Đặc biệt, nếu cột thứ k của ma trận đầu tiên là được thay thế bằng cộtthứ k của ma trận thứ hai, định thức có kết quả dạng

= α

2 k

2.2.7 Phương trình (10) cho phép ta xây dựng số µ1, µ2, · · · , µn−1 thỏamãn bất đẳng thức (7) của không gian con Rn−1 trong dạng η (x, x) có hệ

số chính tắc µ1, µ2, · · · , µn−1 (Giả sử các số λ1, λ2, · · · , λn−1 là phân biệt).Bây giờ chúng ta chỉ ra việc đếm cácµ1, µ2, · · · , µn−1 là hoàn toàn thực hiệnđược

Chúng ta thấy (10) có thể viết dưới dạng:

α2nD (λ)G(λ) = α

2 n

F (λ) G(λ) +

Khóa luận tốt nghiệp

Do đó các số α21, α22, · · · , α2n tỉ lệ với các hệ số thu được khi chúng ta biểudiễn phân thức hữu tỷ D (λ)

G(λ) bằng tổng các phân thức thực sự đơn Bâygiờ giả sử chúng ta có các số µ1, µ2, · · · , µn−1 đáp ứng bất đẳng thức

λ1 ≥ µ1 > λ2,

λ2 ≥ µ2 > λ3,

D1(λ) G(λ) =

và thêm tối đa với 1 Sau đó chúng ta có thể xác định các số α1, α2, , αn

bởi công thức:

α21 = c 1 , α22 = c 2 , , α2n = c n , (14)trong đó mỗi αk có thể có một trong hai dấu

Cuối cùng chúng ta thấy không gian con Rn−1 xác định bởi phương trình

thức D1(λ) đã xây dựng Nhưng khi đó nghiệm của D(λ) trùng với các số

µ1, µ2, , µn−1

Nhận xét Có thể chỉ ra các sốα1, , αn phụ thuộc trong các sốλ1, , λn,

µ1, µ2, , µn−1 Trên thực tế, chúng ta có thể giải quyết vấn đề nếu các số

λ1, , λn, µ1, µ2, , µn−1 thỏa mãn các bất đẳng thức (7) thay vì bất đẳngthức (12) hoặc nếu các số λ 1 , , λ n là không khác nhau

2.3 Sự rút gọn đồng thời của hai dạng toàn phương.

2.3.1 Cho hai dạng toàn phương η (x, x) và η0(x, x) xác định trong khônggian afin n-chiều Rn tìm cơ sở của Rn sao cho η (x, x) và η0(x, x) có cùngdạng chính tắc? (Tức là, tổng của bình phương các tọa độ của x với hệ sốbất định)

Ví dụ trong phẳng (n = 2)dưới đây cho thấy vấn đề này không phải chỉ

có một cách giải quyết Xét hai dạng:

Từ đây ta thấy việc rút gọn đồng thời hai dạng toàn phương là khôngthực hiện được, giả sử ta bổ sung thêm là dạng η0(x, x) là xác định dương.Tức là, cho η0(x, x) > 0 với x 6= 0 Trong trường hợp này, sự tồn tại củagiải pháp này có thể được chứng minh như sau: Cho η0(x, y) là dạng songtuyến tính đối xứng tương với dạng toàn phương η0(x, x), và chúng ta giớithiệu một metric Euclide trong không gian afin Rn như sau:

Khóa luận tốt nghiệp

(x, y) = η0(x, y)

Thực tế cho η0(x, y) đối xứng và xác định dương đảm bảo cho (x, y) thỏamãn các tiên đề về vô hướng Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn (đối vớicác metric này) trong đó η (x, x) có dạng chính tắc:

η (x, x) = λ1ξ12+ λ2ξ22+ · · · + λnξn2, (15)trong đó ξ1, ξ2, , ξn là các tọa độ của vecto x trong cơ sở tìm được Trong

cơ sở đó, dạng toàn phương thứ hai η0(x, x) trở thành:

Như trong phần (2.2.1), các vecto e 1 , , e n của cơ sở phải thỏa mãn điềukiện:

hệ phương trình có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức sausuy biến:

Từ (18) chúng ta tìm được n giá trị µ = µk(k = 1, 2, , n) Sau đó thế µk

vào hệ (17) chúng ta tìm ξ1(k), ξ2(k), , ξn(k) của tọa độ tương ứng vecto ek.Kết quả của (2.3.1) chỉ ra (18) có n nghiệm thực, nếu có r nghiệm thựckhông kể bội thì r phương trình của hệ (17) là độc lập tuyến tính

2.3.3 Chuyển sang việc tính các hệ số chính tắc chúng ta thấy các hệ

số λ 1 , λ 2 , , λ n trong biểu diễn cơ sở (15) của dạng η (x, x) trùng với cácnghiệm tương ứng sau µ 1 , µ 2 , , µ n của định thức (18) Sử dụng tham sốgiống trong phần (2.2.2), ta tính trực tiếp Cho nghiệm µm, chúng ta nhânphương trình thứ (i) của hệ (16) với ξim (tọa độ thứ i của phương trình với

µm ) cho i = 1, 2, , n và sau đó cộng tất cả các phương trình lại ta được:

2.3.4 Vấn đề đặt ra trong phần (2.3.1) đó là đưa đồng thời hai dạng toànphương η (x, x) và η0(x, x) về dạng chính tắc vớiη0(x, x) là xác định dương.Giả sử cho η (x, x) và η0(x, x) được đưa đồng thời về dạng chính tắc vớihai cách khác nhau Tức là, giả sử đối với các biến (tọa độ) ξ1, ξ2, , ξn

...

2.3.4 Vấn đề đặt phần (2.3.1) đưa đồng thời hai dạng toànphương η (x, x) η0(x, x) dạng tắc vớiη0(x,... nhânphương trình thứ (i) hệ (16) với ξim (tọa độ thứ i phương trình với

µm ) cho i = 1, 2, , n sau cộng tất phương. .. bội r phương trình hệ (17) độc lập tuyến tính

2.3.3 Chuyển sang việc tính hệ số tắc thấy hệ

số λ , λ , , λ n biểu diễn sở (15) dạng η (x, x)