Định lý 2.2.1
Ánh xạ tuyến tính
f :V W
xa Ax
là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi A là khả nghịch. Khi đó f có ánh xạ ngược -1 -1 f :W V x a A x Định nghĩa 2.2.2
Ta gọi hạng của ma trận A= (a )ji mn là hạng của hệ vectơ cột
m
j ji j 1
26
Nhận xét
Hạng của ma trận A= (a )ji mn cũng bằng hạng của hệ vectơ dòng
n ji i 1
(a ) trong Kn, tức là rank( A )= rank( A )t .
Định lý 2.2.2
Cho V, W là hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ tuyến tính, dimV = dimW = n , A= (a ) là ma trận của ji nn f đối với các cơ sở
1 2 n
{e ,e ,..,e }r r r của V và { r r1, 2,..,rm} của W . Khi đó f là một phép đẳng cấu khi và chỉ khi rank A= n.
Vận dụng đẳng cấu vào vài toán tìm ma trận nghịch đảo Bài toán
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Hãy tìm ma trận nghịch đảo -1
A
của A (giả thiết A-1 tồn tại).
Phân tích
Ta có thể coi A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính
n n
f : K K trong cơ sở chính tắc. Khi đó ma trận A-1 chính là ma trận của ánh xạ ngược f-1 của ánh xạ f .
Ta xét các ví dụ cụ thể
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
.. .. .. ... ... 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 A= 1 1 1 0 Giải Nhận xét A-1 tồn tại.
27 Vì ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 detA= = = (-1) 0 1 1 1 ... 0 0 0 0 ... - 1
Nên A không suy biến, do đó A-1 tồn tại. Coi A là ma trận của phép biến đổi
tuyến tính f : Kn Kn trong đó cơ sở chính tắc {e ,e ,..,e }r r1 2 rn của Kn. Ta có n n 1 2 n 1 n x = (x ,x ,..x ) K , f(x)= (y ,.., y )r r K . Suy ra .... ... ... ... .. .. ... .. 1 2 n 1 1 3 n 2 1 2 4 n 3 1 2 n 1 n x + x + .... + x = y x + x + x = y x + x + x + x = y x + x + ... ...+ x = y 2.2.4. Định lý cơ bản
Định lý 2.2.3 (ba điều kiện tƣơng đƣơng)
Giả sử V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và f :V W là một tự đồng cấu của V . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
a) f là một đẳng cấu. b) f là một đơn cấu. c) f là một toàn cấu.
Chứng minh
Ta có f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}r . Lại có f là tòan cấu khi và chỉ khi dim(Imf)= dimV. Mặt khác dimV = dim(Imf)+ dim(Kerf) . Suy ra
28
dimV = dim(Imf) f là toàn cấu.
Vậy b) tương đương với c) và do đó chúng có cùng tương đương với a).
Nhận xét
f là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi Kerf = {0} hoặc Imf = V.
Định lý 2.2.4
Cho V, W là không gian vectơ hữu hạn chiều. Ánh xạ tuyến tính
f : V W là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ tuyến tính
g : W V sao cho fg = idV và gf = idW .
Chứng minh
Thật vậy, nếu f là một đẳng cấu thì f-1f id V và
-1
ff id
W. Ngược lại, nếu có một đồng cấug = W V sao cho gf = id , gf = idV W , thì f vừa là một đơn cấu vừa là một toàn cấu. Vì thế, f là một đẳng cấu. Khi đó, nhân hai vế của đẳng thức gf = id
V với -1
f từ bên phải ta thu được g = f-1.