Không gian lp (ω)

Chính vì vậy mà em đã chọn đề tài "Không gian LpΩ " để có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về một không gian có nhiều ứng dụng này.Nội dung của đề tài gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức chu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - người thầy

đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận củamình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích vàcác thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủnhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nênkhông tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mongnhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong

khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Không gian Lp(Ω)” không có sựtrùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Hà

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Tích phân Lebesgue 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Các tính chất sơ cấp 7

1.2.3 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân 8

Chương 2 Không gian Lp(Ω) 10

2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp(Ω) 10

2.2 Tính phản xạ.Tính tách được Không gian đối ngẫu của Lp(Ω)

15 2.3 Tích chập và phép chỉnh hóa 27

2.4 Tính compac mạnh trong Lp(Ω) 36

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của Toán học tuy có những thăng trầm ở từng thời điểmlịch sử song kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, đó là sựphát triển của ngành Giải tích toán học

Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là Giải tích hàm,nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống, trong vật lý, trong khoa học kỹ thuậtđược giải quyết nhanh gọn, chính xác Những phương pháp và kết quả rấtmẫu mực của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học cóliên quan Sự xâm nhập ấy một mặt đã mở ra những chân trời rộng lớn chongành Giải tích hàm nhiệm vụ phải đúc kết những kết quả của những ngànhToán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán họctổng quát và trừu tượng

Giải tích hàm là một môn học trong chương trình Tuy nhiên vì thời giantrên lớp có hạn nên khó có thể đi sâu nghiên cứu.Qua khóa luận này, emkhông dám có tham vọng tìm hiểu sâu về môn Giải tích hàm mà chỉ mongmuốn được nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về một vấn đề hay một không giancủa Giải tích hàm Chính vì vậy mà em đã chọn đề tài "Không gian Lp(Ω) "

để có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về một không gian có nhiều ứng dụng này.Nội dung của đề tài gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Không gian Lp(Ω)

Do thời gian và trình độ có hạn, mặc dù em đã rất cố gắng nhưng vẫnkhông thể tránh được những thiếu sót nên em rất mong các thầy cô chỉ bảo,các bạn sinh viên quan tâm góp ý

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Lp(Ω)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian Lp(Ω) bao gồm khái niệm và các tính chấtcủa nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luậngồm 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Không gian Lp(Ω)

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C)cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k.k và đọc là chuẩn,thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i) (∀x ∈ X ) kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );

ii)(∀x ∈ X )(∀α ∈ P) kαxk = |α| kxk;

iii)(∀x, y ∈ X ) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của véctơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là

X Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụtới điểm x ∈ X , nếu lim

n→∞kxn− xk = 0 Kí hiệulim

n→∞kxnk = x hay xn → x(n → ∞)

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy

cơ bản nếu lim

m,n→∞kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X trên R Ta gọi không gian

L(X , R) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp

(không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X∗

Định nghĩa 1.6 Không gian liên hợp của không gian X∗ được gọi là không

gian liên hợp thứ haicủa X và kí hiệu là X∗∗

Định lý 1.1 Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của không gian X

Định nghĩa 1.7 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu

X = X∗∗

Định lý 1.2 Không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian

phản xạ.

Mệnh đề 1.1 Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và M ⊂ X là

một không gian con đóng tuyến tính của X Khi đó M là phản xạ.

Hệ quả 1.1 Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi không gian

đối X∗ của nó là phản xạ.

Định lý 1.3 (Milman-Pettis) Mọi không gian Banach lồi đều, đều là phản

xạ.

Định lý 1.4 (Hahn-Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định

trên không gian tuyến tính con Xo của không gian định chuẩn X (Xo 6= X)

đều có thể thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là

có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn

không gian X sao cho:

Định lý 1.5 Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và (xn) là dãy bị

chặn trong X Khi đó tồn tại dãy con (xnk) hội tụ theo tôpô yếu σ (X , X∗).

Điều ngược lại cũng đúng.

Định lý 1.6 (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Cho E là một không gian

Banach Hình cầu đơn vị đóng BX∗ = { f ∈ X∗; k f k ≤ 1} là compac theo

tôpô yếu σ (X , X∗).

Định lý 1.7 Cho X là một không gian Banach sao cho X∗ là tách được Khi

đó BX là khả metric theo tôpô yếu σ (X , X∗).

Ngược lại, nếu BX khả metric theo tôpô yếu σ (X , X∗) thì X∗ là tách được.

Hệ quả 1.2 Cho X là một không gian Banach tách được, ( fn) là một dãy

bị chặn trong X∗ Khi đó, tồn tại một dãy con ( fnk) hội tụ theo tôpô yếu*

σ (X∗, X )

1.2 Tích phân Lebesgue

1.2.1 Định nghĩa

a) Tích phân của hàm đơn giản

Định nghĩa 1.8 Trong một không gian X , với một σ - đại sốF và một độ

đo µ trên F , cho một tập hợp A đo được (tức là A ∈ F ) và một hàm đơngiản không âm trên tập hợp A : f (x) = ∑n

i=1

αiχAi(x) (các tập hợp Ai đo được,

Trong trường hợp tổng quát khi mỗi Ai là một tập hợp đo được thì thay

|∆i| bằng µ (Ai) Vì vậy tích phân của hàm đơn giản không âm f (x) trên tậphợp A đối với độ đo µ là số

Z

f (x) dµ =

n

∑i=1

b) Tích phân các hàm đo được bất kỳ

* f (x) ≥ 0 trên tập hợp A Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu tăng

và hội tụ tới f Ta gọi tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với độ đo µ là

số (hữu hạn hay vô cực)

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f (x) khả tích.

* Khi X = Rk, F = Lk, µ = µk thì tích phân định nghĩa như trên thường

gọi là tích phân Lebesgue và được ký hiệu

Kí hiệu (Ω,M , µ) là một không gian đo, ở đó, Ω là một tập và

i) M là một σ-đại số trong Ω, tức là, M là một họ các tập con của Ω cótính chất:

µ (An) khi (An) là một họ đếm được các tập con đôimột rời nhau củaM

Các phần tử củaM được gọi là các tập đo được Đôi khi ta viết |A| thay cho

nó thỏa mãn tại ∀x ∈ Ω, trừ ra trên một tập có độ đo không

* Ta kí hiệu L1(Ω, µ) hoặc đơn giản L1(Ω) (hoặc chỉ là L1) là không giancác hàm khả tích từ Ω vào R

Af

1.2.3 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý 1.8 (Định lý về sự hội tụ đơn điệu, Beppo Levi) Cho ( fn) là một

dãy hàm trong L1 thỏa mãn:

Z

fn

| f (x)|pdµ

1/p

Ta sẽ kiểm tra kkp là một chuẩn sau

Chú ý 1:

Nếu f ∈ L∞ khi đó ta có:

| f (x)| ≤ k f k∞h.k.n trên Ω

Thật vậy: có tồn tại một dãy Cn thỏa mãn Cn → k f k∞ và với mỗi n,

| f (x)| ≤ Cn h.k.n trên Ω Do đó | f (x)| ≤ Cn ∀x ∈ Ω\En với |En| = 0

Bất đẳng thức Holder có thể mở rộng như sau:

Giả sử giả sử rằng f1, f2, , fk là các hàm thỏa mãn:

có ”bất đẳng thức nội suy” như sau:

kEk thì E là tập có độ đo không và ta thấy ∀x ∈ Ω\E, dãy fn(x)

là Cauchy (trong R) Vì vậy, fn(x) → f (x) ∀x ∈ Ω\E Chuyển qua giới hạntrong (2.5) khi m → ∞ ta được:

[Cụ thể ta làm như sau: chọn n1 sao cho k fm− fnkp ≤ 12 ∀m, n ≥ n1; sau đóchọn n2 ≥ n1 sao cho k fm− fnkp ≤ 1

Định lý 2.4 Cho fn là một dãy trong Lp và f ∈ Lp sao cho k fn− f kp → 0

Khi đó, tồn tại một dãy con ( fnk) và một hàm h ∈ Lp thỏa mãn:

a) fnk(x) → f (x) h.k.n trên Ω,

b) | fnk(x)| ≤ h(x) ∀k, h.k.n trên Ω.

Chứng minh. Kết luận là rõ ràng khi p = ∞.

Vì vậy ta giả sử 1 ≤ p < ∞ Do ( fn) là một dãy Cauchy nên theo chứng minhĐịnh lý 2.3, có một dãy con ( fnk) kí hiệu bởi ( fk) thỏa mãn (2.6) và fk(x)hội tụ h.k.n tới một hàm f∗(x) với f∗ ∈ Lp

Hơn nữa, từ (2.7) ta có | f∗(x) − fk(x)| ≤ g(x) ∀k, h.k.n trên Ω với g ∈ Lp.Theo Định lý hội tụ trội, fk → f∗ trong Lp và vì vậy f = f∗ h.k.n Ngoài ra,

ta còn có | fk(x)| ≤ | f∗(x)| + g(x), nên ta có điều phải chứng minh

2.2 Tính phản xạ.Tính tách được Không gian

đối ngẫu của L p (Ω)

Ta sẽ xét ba trường hợp :

A) 1 < p < ∞,

B) p = 1,

C) p = ∞

A Không gian Lp(Ω) với 1 < p < ∞.

Trường hợp này là “thuận” nhất: Lp là phản xạ, tách được và đối ngẫu của

p p

2

p p

a+ b2

p+

a− b2

2!p/2

= a2

b22

p/2

≤ 1

2(|a|

p+ |b|p)

( bất đẳng thức sau cùng suy ra từ tính lồi của hàm x → |x|p/2 vì p ≥ 2)

p

p

< 1 −

ε2

Vì vậy, Lp là lồi đều và do đó nó phản xạ theo Định lý 1.3

hTu, f i =

Z

u f ∀ f ∈ Lp0

Lp cũng lồi đều với 1 < p ≤ 2 Điều này là một hệ quả của bất đẳng thức

Clarkson thứ hai, với 1 < p ≤ 2:

Định lý 2.6 (Định lý về phép biểu diễn Riesz) Cho 1 < p < ∞ và

φ ∈ (Lp)∗ Khi đó tồn tại một hàm duy nhất u ∈ Lp0 mà:

Từ đây về sau ta sẽ luôn đồng nhất:

Lý luận như trong chứng minh Định lý 2.5 (bước 3) đã có:

kTuk(Lp0)∗ = kukp0 ∀u ∈ Lp0

Ta khẳng định rằng T là toàn ánh Thật vậy, đặt E = T (Lp0), vì E là mộtkhông gian con đóng nên ta chỉ cần chứng tỏ E là trù mật trong (Lp)∗ Lấy

h∈ (Lp)∗∗ sao cho hh, Tui = 0 ∀u ∈ Lp0 Do Lp là phản xạ nên h ∈ Lp vàthỏa mãnR

uh= 0 ∀u ∈ Lp0 Chọn u = |h|p−2h, ta suy ra h = 0

Định lý 2.7 Không gian Cc(RN) là trù mật trong Lp(RN) với 1 ≤ p < ∞.

Trước khi chứng minh Định lý 2.7 ta giới thiệu một số kí hiệu

Thật vậy, gọi χn là hàm đặc trưng của B(0, n) và đặt fn= χnTnf Theo Định

lý hội tụ trội, k fn− f kp → 0 nên ta có thể chọn g = fn với n đủ lớn Tiếptheo, với δ > 0, tồn tại (theo Định lý 1.10) một hàm g1 ∈ Cc(RN) sao cho:

δ1/p(2 kgk∞)1−(1/p) < ε

Định nghĩa 2.3 Không gian đo Ω được gọi là tách được nếu có một họ đếm

được (En) các phần tử củaM sao cho σ -đại số sinh bởi (En) trùng với M(tức là,M là σ- đại số nhỏ nhất chứa tất cả En)

Ví dụ: Không gian đo Ω = RN là tách được Thật vậy, ta sẽ chọn cho(En) một họ đếm được các tập mở sao cho mỗi tập mở trong RN đều là hợpcủa các En Tổng quát hơn, nếu Ω là một không gian metric tách được vàMbao gồm các tập Borel (tức làM là σ- đại số sinh bởi các tập mở trong Ω)thì Ω là một không gian đo tách được

Định lý 2.8 Giả sử Ω là một không gian đo tách được Khi đó Lp(Ω) là

tách được với mọi p,1 ≤ p < ∞

Ta chỉ xét trường hợp Ω = RN, vì nếu Lp(RN) tách được thì Lp(Ω) cũngtách được với mọi tập đo được Ω ⊂ RN Thật vậy, có một phép đẳng cự chínhtắc từ Lp(Ω) vào Lp(RN) (thác triển bằng 0 bên ngoài Ω)

Do vậy Lp(Ω) sẽ được đồng nhất với một không gian con của Lp(RN) và do

đó Lp(Ω) là tách được (theo Mệnh đề 1.2)

Chứng minh Định lý 2.8 khi Ω = RN. Gọi R là họ đếm được các tậptrong RN có dạng: R = ∏Nk=1(ak, bk) với ak, bk ∈ Q

Gọi ε là không gian véctơ trên Q sinh bởi các hàm (χR)R∈R, có nghĩa là,

ε bao gồm các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ của các hàm χR,

vì vậyε là đếm được

Ta chứng minh rằngε là trù mật trong Lp(RN) Thật vậy, với

f ∈ Lp(RN) và ε > 0, tồn tại hàm f1 ∈ Cc(RN) sao cho k f − f1kp < ε.Lấy R ∈ R là hình lập phương chứa supp f1 (giá của f1) Với δ > 0, dễdàng xây dựng được một hàm f2 ∈ ε sao cho k f1− f2k∞ < ε và f2 triệttiêu bên ngoài R Ta chỉ cần chia R thành các hình lập phương nhỏ thuộc

R sao cho trên đó, dao động (tức là sup-inf) của f1 bé hơn δ Khi đó ta

có k f1− f2kp ≤ k f1− f2k∞|R|1/p < δ |R|1/p Do vậy, k f − f2kp < 2ε, nếu

δ > 0 được chọn sao cho δ |R|1/p < ε

B Không gian L1(Ω).

Chúng ta bắt đầu với sự mô tả không gian đối ngẫu của L1(Ω)

Định lý 2.9 (Định lý phép biểu diễn Riesz) Giả sử φ ∈ (L1)∗ Khi đó, tồn tại một hàm duy nhất u ∈ L∞ sao cho:

Định lý 2.9 khẳng định rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1 đều

có thể biểu diễn “cụ thể” bởi một tích phân Ánh xạ biến φ 7→ u, là một phépđẳng cự, toàn ánh tuyến tính, nó cho phép ta đồng nhất không gian “trừutượng” (L1)∗ với L∞

Từ nay về sau ta luôn đồng nhất: (L1)∗ = L∞

Chứng minh. Giả sử (Ωn) là một dãy con các tập đo được trong Ω sao cho

Ánh xạ f ∈ L2(Ω) 7→ hφ , θ f i là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2(Ω).Theo Định lý 2.6 (áp dụng với p = 2), tồn tại một hàm υ ∈ L2(Ω) sao cho:

hφ , θ f i =

Z

Đặt u(x) = υ(x)/θ (x) Rõ ràng, u là xác định vì θ > 0 trên Ω, hơn nữa, u là

đo được và uχn ∈ L2(Ω) Ta chứng minh rằng u có tất cả tính chất cần tìm

Thật vậy, chọn g = Tnh(hàm cắt của h) trong (2.13) và để ý rằng χnTnh→ htrong L1(Ω) là ta có đẳng thức đó Để hoàn thành chứng minh Định lý 2.9

ta chỉ còn phải chứng minh kuk∞ = kφ k(L1 )∗ Do (2.15) ta có:

i) ∀ε > 0 ∃ω ⊂ Ω đo được với 0 < µ(ω) < ε,

ii) ∃ε > 0 sao cho µ(ω) ≥ ε với mỗi tập đo được ω ⊂ Ω có µ(ω) > 0.Trong trường hợp (i), có một dãy giảm (ωn) các tập đo được sao cho

µ (ωn) > 0 ∀n và µ(ωn) → 0 [đầu tiên chọn dãy (ωk0) sao cho 0 < µ(ωk0) < 1

2krồi đặt ωn =S ∞

k=nωk0 ]

Đặt χn = χωn và un = χn/ kχnk1 Vì kunk1= 1 nên có một dãy con – vẫn kíhiệu là un và u ∈ L1 sao cho un * u theo tôpô yếu σ (L1, L∞) (theo Định lý1.5), tức là:

uχj → 0 khi j → ∞ - mâu thuẫn

Trong trường hợp (ii) không gian Ω gồm đếm được nguyên tử Ω = (an).Trong trường hợp này L1(Ω) là đẳng cấu tới l1 nên ta chỉ cần chứng minh l1không là phản xạ

Xét cơ sở chính tắc:

en = (0, 0, , 1(n), 0, 0, )

Giả sử l1 là phản xạ Khi đó tồn tại một dãy con (enk) và x ∈ l1 sao cho

enk * x theo topo yếu σ (l1, l∞), tức là:

ϕ , enk → hϕ, xi (k → ∞) ∀ϕ ∈ l∞.Chọn

ii) Nếu Ω là một tập con đo được trong RN và ( fn) là một dãy bị chặn trong

L∞(Ω), thì tồn tại một dãy con ( fnk) và hàm f ∈ L∞(Ω) sao cho fnk * ftheo topo yếu* σ (L∞, L1) (đây là một hệ quả của Hệ quả 1.2 và Định lý 2.8).Tuy nhiên, L∞(Ω) không phản xạ, ngoại trừ trường hợp Ω chỉ gồm một

số hữu hạn nguyên tử, nói cách khác L1(Ω) là phản xạ (theo Hệ quả 1.1).Như ta đã biết L1 là không phản xạ (theo chú ý 6) Do đó không gian đốingẫu (L∞)∗ của L∞ chứa L1 (do đó L∞ = (L1)∗ ) và (L∞)∗ lớn hơn thực sự

L1 Nói cách khác, có các phiếm hàm tuyến tính liên tục φ trên L∞ mà khôngthể biểu diễn dưới dạng:

hφ , f i =

Z

u f ∀ f ∈ L∞và u ∈ L1

Thật vậy, ta minh họa một ví dụ “cụ thể” về một phiếm hàm như vậy

Gọi φo : Cc(RN) → R được xác định bởi:

φo( f ) = f (0) với f ∈ Cc(RN)

... class="page_container" data-page="25">

B Không gian L1(Ω).

Chúng ta bắt đầu với mô tả không gian đối ngẫu L1(Ω)

Định lý 2.9 (Định lý phép biểu... xạ.Tính tách Không gian< /b>

đối ngẫu L p (Ω)

Ta xét ba trường hợp :

A) < p < ∞,

B) p = 1,

C) p = ∞

A Không gian Lp(Ω)... L∞(Ω) không phản xạ, ngoại trừ trường hợp Ω gồm

số hữu hạn nguyên tử, nói cách khác L1(Ω) phản xạ (theo Hệ 1.1).Như ta biết L1 không phản xạ (theo ý 6) Do khơng gian