Không gian lp (ω)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ HÀ KHÔNG GIAN L p (Ω) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Không gian L p (Ω)” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hà Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất sơ cấp 1.2.3 Chuyển qua giới hạn dấu tích phân Chương Không gian L p (Ω) 10 2.1 Định nghĩa tính chất không gian L p (Ω) 10 2.2 Tính phản xạ.Tính tách Không gian đối ngẫu L p (Ω) 15 2.3 Tích chập phép chỉnh hóa 27 2.4 Tính compac mạnh L p (Ω) 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự phát triển Toán học có thăng trầm thời điểm lịch sử song kết mà đạt rực rỡ vào kỉ XX, phát triển ngành Giải tích toán học Với đời ngành Giải tích toán học, đặc biệt Giải tích hàm, nhiều toán thực tế sống, vật lý, khoa học kỹ thuật giải nhanh gọn, xác Những phương pháp kết mẫu mực Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành Giải tích hàm nhiệm vụ phải đúc kết kết ngành Toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tượng Giải tích hàm môn học chương trình Tuy nhiên thời gian lớp có hạn nên khó sâu nghiên cứu.Qua khóa luận này, em không dám có tham vọng tìm hiểu sâu môn Giải tích hàm mà mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu vấn đề hay không gian Giải tích hàm Chính mà em chọn đề tài "Không gian L p (Ω) " để có hội tìm hiểu sâu không gian có nhiều ứng dụng Nội dung đề tài gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Không gian L p (Ω) Do thời gian trình độ có hạn, em cố gắng tránh thiếu sót nên em mong thầy cô bảo, bạn sinh viên quan tâm góp ý Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian L p (Ω) Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian L p (Ω) bao gồm khái niệm tính chất Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Không gian L p (Ω) Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i) (∀x ∈ X) x ≥ 0; x = ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không θ ); ii)(∀x ∈ X)(∀α ∈ P) αx = |α| x ; iii)(∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn véctơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i), ii), iii) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = Kí hiệu n→∞ lim xn = x hay xn → x(n → ∞) n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X R Ta gọi không gian L(X, R) phiếm hàm tuyến tính liên tục X không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) X kí hiệu X ∗ Định nghĩa 1.6 Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai X kí hiệu X ∗∗ Định lý 1.1 Tồn phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ không gian X Định nghĩa 1.7 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X = X ∗∗ Định lý 1.2 Không gian đóng không gian phản xạ không gian phản xạ Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian Banach phản xạ M ⊂ X không gian đóng tuyến tính X Khi M phản xạ Hệ 1.1 Một không gian Banach X phản xạ không gian đối X ∗ phản xạ Định lý 1.3 (Milman-Pettis) Mọi không gian Banach lồi đều, phản xạ Định lý 1.4 (Hahn-Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định không gian tuyến tính Xo không gian định chuẩn X(Xo = X) thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa xây dựng phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định toàn không gian X cho: 1) F(x) = f (x)(∀x ∈ Xo ); 2) F X = f Xo Mệnh đề 1.2 Cho E không gian metric tách F ⊂ E tập Khi F tách Định lý 1.5 Giả sử X không gian Banach phản xạ (xn ) dãy bị chặn X Khi tồn dãy (xnk ) hội tụ theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ) Điều ngược lại Định lý 1.6 (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Cho E không gian Banach Hình cầu đơn vị đóng BX ∗ = { f ∈ X ∗ ; f ≤ 1} compac theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ) Định lý 1.7 Cho X không gian Banach cho X ∗ tách Khi BX khả metric theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ) Ngược lại, BX khả metric theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ) X ∗ tách Hệ 1.2 Cho X không gian Banach tách được, ( fn ) dãy bị chặn X ∗ Khi đó, tồn dãy ( fnk ) hội tụ theo tôpô yếu* σ (X ∗ , X) 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Định nghĩa a) Tích phân hàm đơn giản Định nghĩa 1.8 Trong không gian X, với σ - đại số F độ đo µ F , cho tập hợp A đo (tức A ∈ F ) hàm đơn n giản không âm tập hợp A : f (x) = ∑ αi χAi (x) (các tập hợp Ai đo được, i=1 n Ai = A) Nếu Ai đoạn ∆i Rk tích phân rời i=1 n f (x) số ∑ αi |∆i | i=1 Trong trường hợp tổng quát Ai tập hợp đo thay |∆i | µ (Ai ) Vì tích phân hàm đơn giản không âm f (x) tập hợp A độ đo µ số n f (x) dµ = ∑ αi µ (Ai ) i=1 + Tính chất: Nếu hai hàm đơn giản f , g ≥ f ≤ g tập hợp A f ≤ g A A b) Tích phân hàm đo * f (x) ≥ tập hợp A Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu tăng hội tụ tới f Ta gọi tích phân f (x) tập hợp A độ đo µ số (hữu hạn hay vô cực) f (x) dµ = lim fn (x) dµ n→∞ A A * f (x) có dấu tập hợp A Đặt: f = f+− f− f + − f − có nghĩa với f + = max { f , 0}, f − = max {− f , 0} Nếu hiệu số A A ta gọi tích phân f (x) tập hợp A độ đo µ: A f − (x) dµ f + (x) dµ − f (x) dµ = A A tích phân hữu hạn ta nói f (x) khả tích * Khi X = Rk , F = Lk , µ = µ k tích phân định nghĩa thường gọi tích phân Lebesgue ký hiệu f (x) dµ (x)hoặc (L) A f (x) dx A Kí hiệu.Với hàm f xác định RN ta đặt f v (x) = f (−x) Mệnh đề 2.1 Cho f ∈ L1 (RN ), g ∈ L p (RN ) h ∈ L p (RN ) Khi ta có: RN ( f ∗ g)h = RN g( f v ∗ h) Chứng minh Hàm F(x, y) = f (x − y)g(y)h(x) thuộc L1 (RN × RN ) |h(x)|dx | f (x − y)||g(y)|dy ≤ ∞ (theo định lý 2.10 bất đẳng thức Holder) Do ta có: ( f ∗ g)(x)h(x)dx = dx F(x, y)dy = = dy F(x, y)dx g(y)( f v ∗ h)(y) Giá tích chập Giá hàm f , kí hiệu supp f , phần bù tập mở lớn mà f triệt tiêu đó, nói cách khác, supp f bao đóng tập {x; f (x) = 0} Định nghĩa không phù hợp xét lớp tương đương không gian L p Ta cần định nghĩa cho: f1 = f2 h.k.n supp f1 supp f2 sai khác tập có độ đo không Mệnh đề cho ta cách định nghĩa thích hợp Mệnh đề 2.2 (và định nghĩa giá) Cho f : RN → RN hàm Xét họ (ωi )i∈I tất tập mở RN cho với i ∈ I, f = h.k.n ωi Đặt ω = ωi f = h.k.n ω Ta định nghĩa, supp f phần i∈I bù ω RN Chú ý 9: a) Giả sử f1 = f2 h.k.n RN , rõ ràng ta có supp f1 =supp f2 Do nói supp f , với f ∈ L p - không phụ thuộc vào phần tử đại diện mà ta chọn 29 lớp tương đương b) Nếu f hàm liên tục RN , dễ kiểm tra thấy định nghĩa supp f trùng với định nghĩa thông thường Chứng minh (Mệnh đề 2.2) Do tập I không đếm nên không hiển nhiên f = h.k.n ω Tuy nhiên có họ đếm (On ) tập mở RN cho tập mở RN hợp On Viết ωi = On ω = n∈Ai n∈B On B = i∈I Ai Vì f = h.k.n tập On với n ∈ B nên f = h.k.n ω Mệnh đề 2.3 Cho f ∈ L1 (RN ) g ∈ L p (RN ) với ≤ p ≤ ∞ Khi supp( f ∗ g) ⊂ supp f + suppg Chứng minh Cố định x ∈ RN cho hàm y → f (x − y)g(y) khả tích (xem Định lý 2.10) Ta có: ( f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy = f (x − y)g(y)dy (x−supp f )∩suppg Nếu x ∈ supp f + suppg, (x − supp f ) ∩ suppg = 0/ ( f ∗ g)(x) = Vì ( f ∗ g)(x) = h.k.n trên(supp f + suppg)c Nói riêng ( f ∗ g)(x) = h.k.n Int[(supp f + suppg)c ] supp( f ∗ g) ⊂ supp f + suppg Chú ý 10: Nếu f g có giá compac f ∗ g có giá compac Tuy nhiên, f ∗ g không thiết có giá compac số chúng có giá compac 30 Định nghĩa 2.4 Cho Ω ⊂ RN mở lấy ≤ p ≤ ∞ Ta nói hàm p f : Ω → RN thuộc Lloc (Ω) f χK ∈ L p (Ω) với tập compac K chứa Ω p (Ω) Chú ý f ∈ Lloc (Ω), f ∈ Lloc (RN ) Khi ( f ∗ g)(x) xác định Mệnh đề 2.4 Cho f ∈ Cc (RN ) g ∈ Lloc với x ∈ RN nữa, ( f ∗ g) ∈ C(RN ) Chứng minh Chú ý x ∈ RN hàm y → f (x − y)g(y) khả tích RN ( f ∗ g)(x) xác định ∀x ∈ RN Cho xn → x gọi K tập compac cố định RN cho (xn − supp f ) ⊂ K ∀n Do ta có f (xn − y) = ∀n, ∀y ∈ K Ta suy từ tính liên tục hàm f : | f (xn − y) − f (x − y)| ≤ εn χK (y) ∀n, ∀y ∈ RN với εn → Do |( f ∗ g)(xn ) − ( f ∗ g)(x)| ≤ εn |g(y)|dy → K hay f ∗ g liên tục x Kí hiệu Cho Ω ⊂ RN tập mở C(Ω) không gian hàm liên tục Ω Ck (Ω) không gian hàm khả vi liên tục k lần Ω (k ≥ số nguyên) C∞ (Ω) = ∩kCk (Ω) Cc (Ω) không gian hàm liên tục Ω với giá compac Ω, tức hàm triệt tiêu bên tập compac K ⊂ Ω Cck (Ω) = Ck (Ω) ∩Cc (Ω) Cc∞ (Ω) = C∞ (Ω) ∩Cc (Ω), (đôi viết D(Ω) Co∞ (Ω) thay cho Cc∞ (Ω)) 31 Nếu f ∈ C1 (Ω) gradiant xác định bởi: ∇f = ∂f ∂f ∂f , ,··· , ∂ x1 ∂ x2 ∂ xN Nếu f ∈ Ck (Ω) α = (α1 , α2 , , αN ) đa số với độ dài |α| = α1 + α2 + · · · + αN nhỏ k ta viết Dα f = ∂ α1 ∂ α2 ∂ αN f · · · ∂ xNαN ∂ x1α1 ∂ x2α2 (RN ) Khi Mệnh đề 2.5 Cho f ∈ Cck (RN )(k ≥ 1) cho g ∈ Lloc f ∗ g ∈ Ck (RN ) Dα ( f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g ∀α có |α| ≤ k (RN ), f ∗ g ∈ C∞ (RN ) Đặc biệt, f ∈ Cc∞ (RN ) g ∈ Lloc Chứng minh Nhờ phương pháp qui nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp k = Cho x ∈ RN ta khẳng định f ∗ g khả vi x ∇( f ∗ g)(x) = (∇ f ) ∗ g(x) Thật vậy, lấy h ∈ RN với |h| < Ta có, ∀ y ∈ RN : | f (x + h − y)− f (x − y) − h.∇ f (x − y)| [h.∇ f (x + sh − y) − h.∇ f (x − y)]ds ≤ |h|ε(|h|) = với ε(|h|) → h → (vì ∇ f liên tục RN ) Lấy K tập compac cố định RN đủ lớn để x + B(0, 1) − supp f ⊂ K Ta có : f (x + h − y) − f (x − y) − h.∇ f (x − y) = ∀y ∈ K, ∀h ∈ B(0, 1) 32 | f (x+h−y)− f (x−y)−h.∇ f (x−y)| ≤ |h|ε(|h|)χK (y) ∀y ∈ RN , ∀h ∈ B(0, 1) Từ suy với h ∈ B(0, 1), |( f ∗ g)(x + h) − ( f ∗ g)(x) − h.(∇ f ∗ g)(x)| ≤ |h|ε(|h|) |g(y)|dy K Vậy f ∗ g khả vi x ∇( f ∗ g)(x) = (∇ f ) ∗ g(x) DÃY CHỈNH HÓA Định nghĩa 2.5 Một dãy chỉnh hóa (ρn )n≥1 dãy hàm khả vi vô hạn RN cho: ρn ∈ Cc∞ (RN ), suppρn ⊂ B(0, 1/n), ρn = 1, ρn ≥ RN Sau ta kí hiệu ρn dãy chỉnh hóa Ta dễ dàng định dãy chỉnh hóa từ hàm ρ ∈ Cc∞ (RN ) có tính chất ρ ⊂ B(0, 1), ρ ≥ RN ρ ≡ O, chẳng hạn hàm:  e1/(|x|2 −1) |x| < 1, ρ(x) = 0 |x| > Bằng cách đặt ρn (x) = C nN ρ(nx) với C = 1/ ρ Mệnh đề 2.6 Giả sử f ∈ C(RN ) Khi (ρn ∗ f ) → f (n → ∞) tập compac RN Chứng minh Lấy K ⊂ RN tập compac cố định Với ε > 0, tồn δ > (phụ thuộc vào K ε) cho: | f (x − y) − f (x)| < ε ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ ) 33 Ta có, với x ∈ RN : (ρn ∗ f )(x) − f (x) = [ f (x − y) − f (x)]ρn (y)dy = B(0,1/n) [ f (x − y) − f (x)]ρn (y)dy Với n > 1/δ x ∈ K ta thu được: |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| ≤ ε ρn = ε Định lý 2.11 Giả sử f ∈ L p (RN ) với ≤ p < ∞ Khi (ρn ∗ f ) → f (n → ∞)trong L p (RN ) Chứng minh Với ε > 0, ta cố định hàm f1 ∈ Cc (RN ) cho f − f1 < ε (xem định lý 2.7) Theo Mệnh đề 2.6, (ρn ∗ f1 ) → f1 tập compac RN Mặt khác, ta có (theo Mệnh đề 2.3): supp(ρn ∗ f1 ) ⊂ B(0, 1/n) + supp f1 ⊂ B(0, 1) + supp f1 Đó tập compac cố định Do vậy: (ρn ∗ f1 ) − f1 p → 0(n → ∞) Cuối ta viết: (ρn ∗ f ) − f = [ρn ∗ ( f − f1 )] + [(ρn ∗ f1 ) − f1 ] + [ f1 − f ] (ρn ∗ f ) − f p ≤ f − f1 p+ (ρn ∗ f1 ) − f1 (do định lý 2.10) Ta kết luận là: lim sup (ρn ∗ f ) − f n→∞ lim (ρn ∗ f ) − f n→∞ p = 34 p ≤ 2ε ∀ε > p Hệ 2.1 Cho Ω ⊂ RN tập mở Khi Cc∞ (Ω) trù mật L p (Ω) với ≤ p < ∞ Chứng minh Với f ∈ L p (Ω), đặt:   f (x) x ∈ Ω, ¯f (x) = 0 x ∈ RN \Ω f¯ ∈ L p (RN ) Giả sử (Kn ) dãy tập compac RN cho: ∞ Kn = Ω dist(Kn , Ωc ) ≥ 2/n ∀n n=1 [chẳng hạn, Kn = {x ∈ RN ; |x| ≤ n dist(x, Ωc ) ≥ 2/n}] Đặt: gn = χKn f¯ fn = ρn ∗ gn thì: supp fn ⊂ B(0, 1/n) + Kn ⊂ Ω Do fn ∈ Cc∞ (Ω) Mặt khác, ta có: fn − f L p (Ω) = fn − f¯ L p (RN ) ≤ (ρn ∗ gn ) − (ρn ∗ f¯) ≤ gn − f¯ L p (RN ) L p (RN ) + (ρn ∗ f¯) − f¯ + (ρn ∗ f¯) − f¯ L p (RN ) L p (RN ) Cuối ta ý gn − f¯ L p (RN ) → Định lý hội tụ trội (ρn ∗ f¯) − f¯ p N → theo Định lý 2.11 nên fn − f p → L (Ω) L (R ) (Ω) hàm Hệ 2.2 Cho Ω ⊂ RN tập mở giả sử u ∈ Lloc cho: u f = ∀ f ∈ Cc∞ (Ω) Khi u = h.k.n Ω 35 Chứng minh Giả sử g ∈ L∞ (RN ) hàm cho suppg tập compac chứa Ω Đặt gn = ρn ∗ g, gn ∈ Cc∞ (Ω) với n đủ lớn Do ta có: ugn = ∀n (2.19) Do gn → g L1 (RN ) (theo Định lý 2.11) nên có dãy kí hiệu gn - cho gn → g h.k.n RN (xem Định lý 2.4) Hơn ta có gn L∞ (RN ) ≤ g L∞ (RN ) Chuyển qua giới hạn (2.19) (do Định lý hội tụ trội ) ta thu được: ug = (2.20) Giả sử K tập compac Ω Chọn hàm g xác định bởi:  signu trênK, g= 0 trênRN \K Theo (2.20), K |u| = u = h.k.n K Vì điều với tập compac K ⊂ Ω nên u = h.k.n Ω 2.4 Tính compac mạnh L p (Ω) Có vấn đề quan trọng đặt họ hàm L p (Ω) có bao đóng L p (Ω) (đối với tôpô mạnh) Ta nhớ lại, Định lý Ascoli-Arzela trả lời câu hỏi tương tự C(K)-không gian hàm liên tục không gian metric compac K với giá trị RN Định lý 2.12 (Ascoli-Arzela) Cho K không gian metric compac H tập bị chặn C(K) Giả sử H đồng liên tục đều, nghĩa là: ∀ε > ∃δ > cho d(x1 , x2 ) < δ ⇒ | f (x1 ) − f (x2 )| < ε ∀ f ∈ H (2.21) Khi bao đóng H C(K) compac 36 Kí hiệu(phép dịch chuyển hàm) Ta đặt (τh f )(x) = f (x + h), x ∈ RN , h ∈ RN Định lý sau hệ “L p −mô hình” Định lý Ascoli-Arzela Định lý 2.13 (Kolmogorov-M.Riesz-Frechet) Cho F tập bị chặn L p (RN ) với ≤ p < ∞ Giả sử: lim τh f − f |h|→0 = theo f ∈ F , p Tức ∀ε > ∃δ > cho τh f − f p 1/δ L p (RN ) (2.23) Thật vậy, ta có: |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| ≤ | f (x − y) − f (x)|ρn (y)dy 1/p ≤ p | f (x − y) − f (x)| ρn (y)dy bất đẳng thức Holder Do ta thu được: |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| p dx ≤ = B(0,1/n) | f (x − y) − f (x)| p ρn (y)dxdy ρn (y)dy | f (x − y) − f (x)| p dx ≤ ε p , 1/n < δ Bước 2: Ta khẳng định: ρn ∗ f L∞ (RN ) ≤ Cn f 37 L p (RN ) ∀f ∈ F, (2.24) |(ρn ∗ f )(x1 ) − (ρn ∗ f )(x2 )| ≤ Cn f p |x1 − x2 | ∀ f ∈ F , ∀x1 , x2 ∈ RN (2.25) Cn phụ thuộc vào n Bất đẳng thức (2.24) suy từ bất đẳng thức Holder với Cn = ρn p Mặt khác, ta có ∇(ρn ∗ f ) = (∇ρn ) ∗ f đó: ∇(ρn ∗ f ) L∞ (RN ) ≤ ∇ρn Vì ta thu (2.25) với Cn = ∇ρn f L p (RN ) L p (RN ) L p (RN ) Bước 3: Với ε > Ω ⊂ RN có độ đo hữu hạn, tồn tập đo bị chặn ω Ω cho: f L p (Ω\ω) < ε ∀f ∈ F (2.26) Thật vậy, ta viết: f L p (Ω\ω) ≤ f − (ρn ∗ f ) L p (RN ) + ρn ∗ f L p (Ω\ω) Theo (2.24) ta cần chọn ω cho |Ω\ω| đủ nhỏ Bước 4: Kết luận Vì L p (Ω) đủ nên ta cần chứng minh F|Ω hoàn toàn bị chặn, tức với ε > có phủ hữu hạn F|Ω gồm hình cầu bán kính ε Với ε > ta cố định tập đo bị chặn ω cho (2.26) thỏa mãn Đồng thời ta cố định n > 1/δ Họ H = (ρn ∗ F )|ω¯ thỏa mãn giả thiết định lý Ascoli – Arzela (do bước 2) Do H có bao đóng compac ¯ kéo theo H có bao đóng compac L p (ω) Vậy ta có C(ω), thể phủ H số hữu hạn hình cầu có bán kính ε L p (ω), tức là: H ⊂ B(gi , ε) với gi ∈ L p (ω) i 38 Xét hàm g¯i : Ω → R xác định bởi:  gi g¯i = 0 ω, Ω\ω hình cầu B(g¯i , 3ε) L p (Ω) Ta khẳng định chúng phủ F|Ω Thật vậy, với f ∈ F , có số i cho: (ρn ∗ f ) − gi L p (ω) < ε Vì f − g¯i p L p (Ω) | f |p + = Ω\ω | f − gi | p ω nên theo (2.26) ta có: f − g¯i L p (Ω) ≤ ε + f − gi L p (ω) ≤ ε + f − (ρn ∗ f ) L p (R) + (ρn ∗ f ) − gi L p (ω) < 3ε Vậy F|Ω có bao đóng compac L p (Ω) Chú ý 11: Trong trình chứng minh họ F có bao đóng compac L p (Ω), với Ω bị chặn ta thường thác triển hàm lên RN , áp dụng Định lý 2.13 xét hạn chế Ω Chú ý 12: Dưới giả thiết Định lý 2.13 nói chung ta kết luận F có bao đóng compac L p (RN ) Để có điều ta cần thêm giả thiết: Hệ 2.3 Cho F tập bị chặn L p (RN ) với ≤ p < ∞ Giả sử có (2.22) ∀ε > ∃Ω ⊂ RN , bị chặn, đo cho f L p (RN \Ω) < ε ∀f ∈ F (2.27) Khi F có bao đóng L p (RN ) 39 Chứng minh Với ε > ta cố định tập đo bị chặn Ω ⊂ RN cho (2.27) thỏa mãn Theo Định lý 2.13, F|Ω có bao đóng compac L p (Ω) Do ta phủ F|Ω số hữu hạn hình cầu bán kính ε L p (Ω), tức là: F|Ω ⊂ B(gi , ε) với gi ∈ L p (Ω) i Đặt  gi (x) Ω, g¯i (x) = 0 RN \Ω Rõ ràng F phủ hình cầu B(g¯i , 2ε) L p (RN ) Chú ý 13: Phần đảo Hệ 2.3 Do ta có đặc trưng đầy đủ tập compac L p (RN ) Ta kết thúc với ứng dụng hữu ích Định lý 2.13 Hệ 2.4 Cho G hàm cố định L1 (RN ) F = G ∗ B, B tập bị chặn L p (RN ) với ≤ p < ∞ Khi F|Ω có bao đóng compac L p (Ω) với tập đo Ω có độ đo hữu hạn Chứng minh Rõ ràng F bị chặn L p (RN ) Mặt khác f = G ∗ u với u ∈ B thì: τh f − f p = (τh G − G) ∗ u p ≤ C τh G − G Nên ta có điều phải chứng minh nhờ bổ đề sau: Bổ đề 2.2 Giả sử G ∈ Lq (RN ) với ≤ q < ∞ Khi đó: lim τh G − G h→0 40 q = 1, Chứng minh Với ε > 0, tồn (theo Định lý 2.7) hàm G1 ∈ Cc (RN ) cho G − G1 τh G − G q q ≤ ε Ta viết: ≤ τh G − τh G1 q+ ≤ 2ε + τh G1 − G1 Do lim τh G1 − G1 h→0 q τh G1 − G1 q+ q = nên lim sup τh G − G h→0 41 q ≤ 2ε ∀ε > G1 − G q KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp em Trong khóa luận em tập trung nghiên cứu Không gian L p (Ω) với hệ thống cách chi tiết khái niệm, tính chất, từ làm bật ứng dụng hữu ích không gian Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán đặc biệt thầy Trần Văn Bằng Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Viện Toán Học , NXB Đại học QGHN, 2005 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 43 [...]... một tập mở C(Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω Ck (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục k lần trên Ω (k ≥ 1 là một số nguyên) C∞ (Ω) = ∩kCk (Ω) Cc (Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω với giá compac trong Ω, tức là các hàm triệt tiêu bên ngoài tập compac K ⊂ Ω Cck (Ω) = Ck (Ω) ∩Cc (Ω) Cc∞ (Ω) = C∞ (Ω) ∩Cc (Ω), (đôi khi viết D(Ω) hoặc Co∞ (Ω) thay cho Cc∞ (Ω)) 31 Nếu f ∈ C1 (Ω) thì gradiant... là đẳng cấu và đẳng cự với không gian C(K; C) các hàm phức liên tục trên không gian tôpô compac K (K là phổ của đại số L∞ , K không khả metric trừ khi Ω chỉ gồm một số hữu hạn nguyên tử) Như vậy (L∞ (Ω; C))∗ được đồng nhất với không gian các độ đo Radon phức trên K và L∞ (Ω; C)∗ có thể được đồng nhất với không gian các độ đo Radon thực trên K Chú ý 8: Không gian L∞ (Ω) là không tách được trừ khi Ω chỉ... nguyên tử) Với mỗi tập số nguyên, A ⊂ N, ta xác định ωA = an Rõ ràng, (ωA ) là một họ không đếm được n∈A 26 các tập đo được phân biệt Bảng dưới đây tóm tắt một số tính chất cơ bản của không gian L p (Ω) khi Ω là một tập con đo được của RN : Phản xạ Tách được Có Có Lp L1 Không Có L∞ L∞ Không Không L p với 1 < p < ∞ Không gian đối ngẫu Lớn hơn thực sự L1 2.3 Tích chập và phép chỉnh hóa Đầu tiên ta xác định... (Ω), 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý 6: Không gian L1 (Ω) không là phản xạ ngoại trừ trường hợp tầm thường khi Ω bao gồm một số hữu hạn phần tử - và khi đó L1 (Ω) là hữu hạn chiều Thật vậy, giả sử ngược lại, L1 (Ω) là phản xạ và xét hai trường hợp: i) ∀ε > 0 ∃ω ⊂ Ω đo được với 0 < (ω) < ε, ii) ∃ε > 0 sao cho (ω) ≥ ε với mỗi tập đo được ω ⊂ Ω có (ω) > 0 Trong trường hợp (i), có một dãy giảm... Ω1 Ω2 dµ2 Ω2 = Ω1 ×Ω2 9 F(x, y)dµ1 Ω1 F(x, y)dµ1 dµ2 Chương 2 Không gian L p(Ω) 2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian L p (Ω) Định nghĩa 2.1 Cho p ∈ R với 1 < p < ∞ Ta đặt: L p = { f : Ω → R; f là đo được và | f | p ∈ L1 (Ω)} với 1/p f Ta sẽ kiểm tra p Lp = f p p | f (x)| dµ = Ω là một chuẩn sau Định nghĩa 2.2 Ta đặt: L∞ (Ω) = { f : Ω → R, f là đo được và có một hằng số C để | f (x)|... Cc (RN ) là không gian tất cả các hàm liên tục trên RN với giá compac, tức là: Cc (RN ) = { f ∈ C(RN ); f (x) = 0 ∀x ∈ RN \K, K là tập compac} Định lý 1.10 (Tính trù mật) Không gian Cc (RN ) là trù mật trong L1 (RN ), tức là: ∀ f ∈ L1 (RN ) ∀ε > 0 ∃ f1 ∈ Cc (RN ) sao cho f − f1 1 ≤ ε Cho (Ω1 , M1 , µ1 ) và (Ω2 , M2 , µ2 ) là hai không gian đo σ − hữu hạn Khi đó ta có thể xác định không gian đo (Ω,... hợp của các En Tổng quát hơn, nếu Ω là một không gian metric tách được và M bao gồm các tập Borel (tức là M là σ - đại số sinh bởi các tập mở trong Ω) thì Ω là một không gian đo tách được Định lý 2.8 Giả sử Ω là một không gian đo tách được Khi đó L p (Ω) là tách được với mọi p, 1 ≤ p < ∞ Ta chỉ xét trường hợp Ω = RN , vì nếu L p (RN ) tách được thì L p (Ω) cũng tách được với mọi tập đo được Ω ⊂ RN... và Định lý 2.8) Tuy nhiên, L∞ (Ω) không phản xạ, ngoại trừ trường hợp Ω chỉ gồm một số hữu hạn nguyên tử, nói cách khác L1 (Ω) là phản xạ (theo Hệ quả 1.1) Như ta đã biết L1 là không phản xạ (theo chú ý 6) Do đó không gian đối ngẫu (L∞ )∗ của L∞ chứa L1 (do đó L∞ = (L1 )∗ ) và (L∞ )∗ lớn hơn thực sự L1 Nói cách khác, có các phiếm hàm tuyến tính liên tục φ trên L∞ mà không thể biểu diễn dưới dạng:... RN Thật vậy, có một phép đẳng cự chính tắc từ L p (Ω) vào L p (RN ) (thác triển bằng 0 bên ngoài Ω) Do vậy L p (Ω) sẽ được đồng nhất với một không gian con của L p (RN ) và do đó L p (Ω) là tách được (theo Mệnh đề 1.2) Chứng minh Định lý 2.8 khi Ω = RN Gọi R là họ đếm được các tập trong RN có dạng: R = ∏Nk=1 (ak , bk ) với ak , bk ∈ Q Gọi ε là không gian véctơ trên Q sinh bởi các hàm (χR )R∈R , có... trong L p và vì vậy f = f ∗ h.k.n Ngoài ra, ta còn có | fk (x)| ≤ | f ∗ (x)| + g(x), nên ta có điều phải chứng minh 2.2 Tính phản xạ.Tính tách được Không gian đối ngẫu của L p (Ω) Ta sẽ xét ba trường hợp : A) 1 < p < ∞, B) p = 1, C) p = ∞ A Không gian L p (Ω) với 1 < p < ∞ Trường hợp này là “thuận” nhất: L p là phản xạ, tách được và đối ngẫu của L p là L p Định lý 2.5 L p là phản xạ với mỗi p, 1 < p ... ∗∗ không gian X Định nghĩa 1.7 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X = X ∗∗ Định lý 1.2 Không gian đóng không gian phản xạ không gian phản xạ Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian Banach... Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X R Ta gọi không gian L(X, R) phiếm hàm tuyến tính liên tục X không gian liên hợp (không gian. .. 1.6 Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai X kí hiệu X ∗∗ Định lý 1.1 Tồn phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ không