luận văn tốt nghiệp đề tài không gian lp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TR KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN -  - LU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài : KHÔNG GIAN L p  Giảng viên hướng ớng dẫn: Th.s Lê Hồng Đức ức SVTH : Nguyễn n Tuấn Tuấ Anh MSSV : 1110004 Lớp : Sư Phạm m Toán K37 K3 Cần Thơ, tháng năm 2015 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trên đường chinh phục thành công, phần động lực lớn cho em vượt lên khó khăn, thử thách quan tâm, giúp đỡ thầy, cô - người trang bị cho em kiến thức, kĩ vững vàng suốt trình học tập, rèn luyện Qua bốn năm đại học, dạy, động viên thầy, cô Bộ môn Toán- Khoa Sư phạm – Trường Đại học Cần Thơ, em nhận thức rõ lực thân cố gắng phát huy để tiếp tục hành trình lập nghiệp Đến đây, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô – đặc biệt thầy Lê Hồng Đức tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Kính chúc thầy, cô nhiều sức khỏe, thành công sống! 04/2015 Sinh viên Nguyễn Tuấn Anh SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Mục lục A PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………1 B PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG ……………………………………………………………….3 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bổ túc lý thuyết độ đo ……………………………………………………………3 1.1.1 Đại số ……………………………………………………………………3 1.1.2 σ − đại số …………………………………………………………………4 1.1.3 σ − đại số Borel ……………………………………………………………4 1.1.4 Độ đo ………………………………………………………………………5 1.1.5 Định nghĩa …………………………………………………………………6 1.1.6 Hàm đo ………………………………………………………………6 1.1.7 Khái niệm hầu khắp nơi ………………………………………………… 1.1.8 Hàm đơn giản …………………………………………………………… 1.1.9 Đinh lý ……… ……………………………………………………………8 1.1.10 Hội tụ theo độ đo …………………………………………………………8 1.1.11 Định lý …………………………………………………………………….8 1.1.12 Định lý (Egoroff ) ……………………………………………………… 1.2 Bổ túc lý thuyết tích phân Lebesgue …………………………………………….9 1.2.1 Khả tích ……………………………………………………………………9 1.2.2 Các tính chất tích phân Lebesgue……………………… ……9 SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 1.2.3 Bổ đề Fatou ……………………………………………………………… 10 1.2.4 Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue …………………………………….10 1.3 Bổ túc giải tích hàm ………….………………………………………………….10 1.3.1 Định nghĩa chuẩn …………………………………………………….….10 1.3.2 Hội tụ theo chuẩn ……………………………………………………… 12 1.3.3 Không gian Banach ………………………………………………………12 1.3.4 Định lý …………………………………………………………………….13 CHƯƠNG KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ ) 2.1 Không gian l p với p ∈ (0; + ∞ ) …………………………………………………14 2.1.1 Định nghĩa ……………… ………………………………… ………….14 2.1.2 Định nghĩa hàm khả tích cấp p ……… ………………………………15 2.1.3 Định nghĩa f p với p ∈ ( 0; +∞ ) ……… …………………………………16 2.1.4 Định lý (Không gian l p ( X , F , µ ) không gian tuyến tính)………… 16 2.2 Không gian tuyến tính l p với p ∈ [1; + ∞ ) ………………………………………17 2.2.1 Định nghĩa ………………………….……………………………………17 2.2.2 Bổ đề …………………………………………………………………… 18 2.2.3 Định lý (Bất đẳng thức Holder) ……………………………………… 18 2.2.4 Các hệ ……………………………………………………………….20 SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 2.2.5 Định lý (Bất đẳng thức Minkowski) ……………………………………21 KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞) CHƯƠNG 3.1 Định nghĩa quan hệ tương đương……………………………………………… 24 3.2 Định nghĩa Lp ( X , F , µ) … ……………………………………………………….24 3.2.1 Định lý (Không gian Lp ( X , F , µ) không gian tuyến tính)………… 25 3.2.2 Định lý (Không gian Lp ( X , F , µ) không gian Banach)…………… 26 3.2.3 Định lý ………………………………………………………………….28 3.2.4 Định lý ………………………….……………………………………30 3.2.5 Định lý …………………………….………………………………… 30 3.2.6 Định lý …………………………….………………………………… 33 3.3 Định nghĩa hội tụ yếu…………………………………………….………………34 3.3.1 Định lý (Điều kiện đủ để dãy hội tụ yếu)….…… …………….34 3.3.2 Định lý …………………………………….………………………….35 KHÔNG GIAN L∞ CHƯƠNG 4.1 Định nghĩa chặn cốt yếu.……………………………………………………… 40 4.2 Định nghĩa f ∞ …………………………………….……………………………40 4.3 Định nghĩa l ∞ ( X , F , µ ) ……………………………….…………………………41 4.3.1 Định lý 12 (Không gian l ∞ ( X , F , µ ) không gian tuyến tính) ………41 SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 4.3.2 Định lý 13 (BĐT Holder với p = q = +∞ ) ………………………….42 4.3.3 Định lý 14 (BĐT Minkowski với p = +∞ ) …………….…………………43 4.4 Định nghĩa L∞ ( X , F , µ) ….………………………………………………………44 4.4.1 Định lý 15 ( L∞ ( X , F , µ) không gian Banach)….…………………… 44 4.4.2 Định lý 16 ……………………………………………………………… 45 4.5 Định nghĩa hội tụ yếu……………………………………………………………46 4.5.1 Định lý 17 ………………………………………….…………………… 47 4.5.2 Định lý 18 …………………………………………………………… …48 4.5.3 Định lý 19 …………………………………………………………………48 KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ ( 0;1) CHƯƠNG 5.1 Định nghĩa hàm ρ ………………………………………………………………51 5.1.1 Bổ đề …………………………………….……………………………….51 5.1.2 Định lý 20 ( Lp ( X , F , µ ) đầy đủ với mêtric ρ )……………………… 52 5.2 Định nghĩa g q với q ∈ ( −∞;0 ) ………………………… ………………………54 5.2.1 Định lý 21 (BĐT Holder với p ∈ ( 0;1) q ∈ ( −∞;0 ) ) …………………55 5.2.2 Định lý 22 (BĐT Minkowski với p ∈ ( 0;1) ) …………………………… 56 CHƯƠNG BÀI TẬP 58 C PHẦN KẾT LUẬN ………………………………………….……………………68 SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Luận văn tốt nghiệp Không gian Lp TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….……………………… 69 SVTH: Nguyễn Tuấn Anh Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Để tiếp thu kiến thức toán học đại kiến thức “Độ đo tích phân Lebesgue” “Giải tích hàm” cần thiết Trong trình học lý chủ quan khách quan kiến thức em hai phần nhiều hạn chế đặc biệt “Giải tích hàm”, với mục tiêu hoàn thiện kiến thức cho thân trước trường, em chọn làm luận văn phần Giải tích “Không gian Lp ” Đề tài Thầy hướng dẫn em gợi ý chọn, làm việc với không gian Lp em tính chất không gian phục vụ cho việc học tập nghiên cứu sau này, mà quan trọng hết em ôn lại kiến thức mà em chưa vững II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn bổ sung lại kiến thức mảng Giải tích, tìm hiểu tính chất Không gian Lp Đồng thời, thực luận văn bước đầu tạo đà cho nghiên cứu khoa học sau Với cách trình chi tiết, rõ ràng, hi vọng luận văn trở thành tài liệu tham khảo cho bạn đọc đam mê nghiên cứu toán học III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Lp , tính chất không gian đó, mối liên hệ không gian ứng với giá trị p cụ thể IV Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa trừu tượng hóa Phân loại, hệ thống kiến thức, chứng minh làm rõ vấn đề V Tóm tắt nội dung nghiên cứu Luận văn gồm chương: SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, trình bày kiến thức đại số, σ − đại số, hàm đo được, định lý quan trọng tích phân Lebesgue, định lý tính chất quan trọng chuẩn giải tích hàm phục vụ cho mục sau luận văn CHƯƠNG KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ ) Trình bày khái niệm ban đầu, xây dựng không gian tuyến tính l p từ thấy hạn chế không gian ta xây dựng cho chuẩn CHƯƠNG KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞) Dựa tảng không gian l p xây đựng lớp tương đương từ hình thành không gian Lp , với không gian với chuẩn xây dựng ta tìm thấy nhiều tính chất đặc biệt như: Không gian Lp không gian Banach, mối quan hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo chuẩn không gian này, tính hội tụ yếu… CHƯƠNG KHÔNG GIAN L∞ Ở phần trình bày cách xây dựng không gian L∞ , tính chất không gian Từ ta thấy không gian Lp với p ∈ [1; + ∞) không gian L∞ dù có cách xây dựng khác nhưng có nhiều tính chất giống nhau, đồng thời trình bày mối liên L∞ với Lp CHƯƠNG KHÔNG GIAN L VỚI p ∈ ( 0;1) p Khác với không gian Lp với p ∈ [1; + ∞) , không gian Lp với p ∈ (0;1) xây dựng chuẩn giống Lp với p ∈ [1; + ∞) Ở trình bày cách xây dựng chuẩn không gian đồng thời trình bày số tính chất CHƯƠNG BÀI TẬP Trình bày tập chọn lọc, nhằm vận dụng bổ sung cho lý thuyết đồng thời xuất tính chất không gian Lp SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp B PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bổ túc lý thuyết độ đo 1.1.1 Đại số Cho X tập tùy ý khác rỗng, A tập hợp tập tập X gọi đại số nếu: a) X ∈ A b) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A c) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A Tính chất a) ∅ ∈ A n b) A1 ; A2 ; ; An ∈ A ⇒ ∪ Ai ∈ A i =1 n c) A1 ; A2 ; ; An ∈ A ⇒ ∩ Ai ∈ A i =1 d) A; B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A e) A; B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A Ví dụ: A = {∅; X } ; A = { A : A ⊂ X } ; A = { X ; A; Ac ; ∅} đại số X SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 5.2.1 Định lý (BĐT Holder với p ∈ ( 0;1) q ∈ ( −∞;0 ) ) Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , với p ∈ ( 0;1) ; q ∈ ( −∞;0 ) cho 1 + =1 f ;g p q hai hàm F − đo X thỏa mãn f < +∞;0 < g < +∞ hầu khắp nơi X < g q < +∞ thì: fg ≥ f < fg < +∞ < g p g q < +∞ BDT xảy dấu tồn q A; B > cho: A f p =Bg q hầu khắp nơi X Chứng minh: 1 ∈ (1; +∞ ) , đặt r ∈ (1; +∞ ) liên hợp tức p + = Áp p p r Với p ∈ ( 0;1) dụng định lý 2.2.3 cho hai hàm p f g p g −p hai số liên hợp p r: ∫ f p  ⇔ ∫ f X p X 1 ( dµ = ∫ f X p    r −p − pr g dµ ≤ ∫ f g dµ ∫ g dµ X  X  p g p ) p    pr − pr dµ  ≤ ∫ f g dµ  ∫ g dµ   X  X     p + r = r =  nên  − p , đó: p q =  pr = − q  p −1  SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 55 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp  ⇔ ∫ f X tức là: f p ≤ fg g −1 q −1 p   q p − pr dµ  ≤ ∫ f g dµ  ∫ g dµ   X  X  ⇔ fg ≥ f p g q Đẳng thức xảy tồn a; b > cho: ( a f p g p ) p ( =b g ) −p r q ⇔a f g =b g ⇔a f =b g q −1 hầu khắp nơi X Vì < g < +∞ hầu khắp nơi X nên: a f =b g q −1 ⇔ ap f p = bp g p( q −1) ⇔ ap f p q = bp g ⇔ A f p =Bg q đó: A = a p > 0; B = b p > 5.2.2 Định lý (BĐT Minkowski với p ∈ ( 0;1) ) Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , với p ∈ ( 0;1) Hai hàm f ; g đo X thỏa mãn < f < +∞ ; < f + g < +∞ hầu khắp nơi X < f + g f + g = f + g hầu khắp nơi X f + g p ≥ f p + g p < +∞ Nếu p Chứng minh: Đặt 1 p + = ⇔ p −1 = p q q p Khi đó: f + g = f + g f + g p −1 =  f + g  f + g p q hầu khắp nơi X Vì vậy: ∫ p q p q f + g dµ = ∫ f f + g dµ + ∫ g f + g dµ X p X X Áp dụng định lý 5.2.1 cho f f + g SVTH: Nguyễn Tuấn Anh p q với hai số p; q ta được: trang 56 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 1  p  q p    p p  f f + g q dµ ≥ f d µ f + g d µ ∫  ∫  ∫ X X  X   1  p  p  q p p ∫ g f + g q d µ ≥ ∫ g d µ   ∫ f + g d µ   X X  X  p q p         p p p p p ⇒ ∫ f + g dµ ≥ ∫ f dµ  ∫ f + g dµ  + ∫ g dµ  ∫ f + g dµ  X X  X  X  X  1   p   p  q p p p  =  ∫ f d µ  +  ∫ g d µ    ∫ f + g d µ    X  X  X   ⇒ f +g p p ≥ { f Chi hai vế cho f + g + g p p q p p } f +g p q p ta được: f +g ⇔ f +g SVTH: Nguyễn Tuấn Anh q p− p p p q ≥ f ≥ f trang 57 p p + g + g p p Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG BÀI TẬP Bài 1: Cho f hàm đo Lebesgue [ 0;1] < f ( x) < +∞ với x ∈ [ 0;1] Chứng minh : 1 0 ∫ f ( x)dx.∫ f ( x) dx ≥ Giải 2 1 = = f ( x ) dx f ( x ) dx f ∫ ∫0 0 Ta thấy rằng:  1    = = dx dx   ∫0 f ( x)  ∫ f ( x) f ( x)   0 ( ) 2 Áp dụng định lý 2.2.3 với p = q = ta được: ∫ 1 f ( x)dx ∫ dx = f ( x ) f ( x) Dấu xảy f ( x) = k 2 f ( x) ≥ f ( x) f ( x) =1 1 ; k > f ( x) Bài 2: Chứng minh tập hợp hàm đơn giản khả tích X trù mật không gian Lp ( X , F , µ ) với ≤ p < +∞ Giải Gọi S tập hợp hàm đơn giản khả tích X Hiển nhiên S ⊂ Lp ( X , F , µ ) với ≤ p < +∞ Để chứng minh S trù mật Lp ( X , F , µ ) ta với hàm f ∈ Lp ( X , F , µ ) tồn dãy hàm đơn giản khả tích {sn } hội tụ f ∈ Lp ( X , F , µ ) Thật vậy: SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 58 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Trước hết ta chứng minh cho hàm f hàm thực thỏa f ≥ Vì f ≥ nên tồn dãy đơn điệu tăng hàm đo không âm {s n } cho lim {sn ( x)} = f ( x) ∀x ∈ X n→+∞ Mặt khác sn ( x) ≤ f ( x) ∀x ∈ X nên với n ta có : ∫s p n dµ ≤ ∫ f X p d µ < +∞ X p  sn ∈ L ( X , F , µ ) tức   sn ∈ S ∀n  f − sn p ≤ f − sn −1 ∀n  Hơn  theo định lý hội tụ đơn điệu ta được: p lim f − s =  n→+∞ n lim n →+∞ ⇔ lim f − sn n →+∞ p ∫ p f − sn d µ = lim n→+∞ X ∫ lim X n →+∞ p f − sn d µ = = Ta chứng minh cho hàm thực Ta có f f = f+− f− với f + , f − ∈ Lp ( X , F , µ ) định nghĩa sau: f ( x) ≤ f ( x) ≤ 0 − f ( x) f − ( x)  f + ( x)   f ( x) f ( x) > 0 f ( x) > Theo chứng minh ta được: Tồn hai dãy hàm đơn điệu tăng hàm đơn giản đo không âm {kn } {ln } ε  + f − k < n  p ∀n > n0 cho ∀ε > 0; ∃n0 :  ε  f − −l < n p  Khi đặt sn = kn − ln thì: f − sn p = (f + − kn ) − ( f − − ln ) SVTH: Nguyễn Tuấn Anh p ≤ f + − kn trang 59 p + f − − ln p ≤ ε ∀n > n0 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Hiển nhiên sn = kn − ln hàm đơn giản khả tích vậy: ⇔ lim f − sn n →+∞ p = Cuối ta chứng minh cho f hàm phức Ta có: f = ℜf + iℑf ℜf ; ℑf hàm số thực thuộc Lp ( X , F , µ ) , theo trường hợp hai tồn hai dãy hàm đơn điệu tăng hàm đơn giản đo không âm {an } {bn } cho ε   ℜf − an p < ∀ε > 0; ∃n0 :  ∀n > n0 ε  ℑf − b < n p  Khi ta đặt sn = an + ibn hàm đơn giản khả tích và: f − sn p = ( ℜf − an ) + i ( ℑf − bn ) tức ⇔ lim f − sn n →+∞ p p ≤ ℜ f − an p + ℑf − bn p ≤ ε ∀n > n0 =0 Vậy từ trường hợp xét cho ta S trù mật Lp ( X , F , µ ) Bài 3: Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) với µ ( X ) < +∞; f < +∞ hầu khắp nơi X Chứng minh rằng: ≤ p < q < +∞ f p ≤ f q µ(X ) 1 − p q Lq ( X , F , µ ) ⊂ Lp ( X , F , µ ) ⊂ L1 ( X , F , µ ) Giải Ta có q q ; liên hợp f < +∞ hầu khắp nơi X , áp dụng định p q− p lý 2.2.3 (BĐT Holder) ta được: SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 60 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp f p p =∫ X  p f dµ ≤ ∫ f  X p ( ) p q p q   d µ   ∫ 1d µ    X  q− p q p q− p  q q =  ∫ f d µ  [ µ ( X )] q X  = f Vì vậy: f p ≤ f [ µ ( X )] q p q− p q 1 − q µ(X )p q Ta lại có: f ∈ Lq ( X , F , µ ) f q < +∞ f p < +∞ tức f ∈ Lp ( X , F , µ ) Lq ( X , F , µ ) ⊂ Lp ( X , F , µ ) ⊂ L1 ( X , F , µ ) Bài 4: Cho < p < q < r < +∞ Chứng minh rằng: Lq ( X , F , µ ) ⊂ Lp ( X , F , µ ) + Lr ( X , F , µ ) Giải Để chứng minh Lq ( X , F , µ ) ⊂ Lp ( X , F , µ ) + Lr ( X , F , µ ) , ta chứng minh hàm không gian Lq ( X , F , µ ) tổng hàm không gian Lp ( X , F , µ ) không gian Lr ( X , F , µ ) Thật vậy,  g ( x) = f ( x) χ E Giả sử f ∈ Lq ( X , F , µ ) ta gọi E = { x : f ( x) > 1} Đặt  χ E  h( x) = f ( x) χ E c hàm đặc trưng tập E Khí ta có: f ( x) = g ( x) + h( x) Ta chứng minh g ∈ Lp ( X , F , µ ) h ∈ Lr ( X , F , µ ) p p q Ta có: g ( x) = f ( x) χ E ≤ f ( x) χ E (do p < q f ( x) > ∀x ∈ E ) SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 61 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Lấy tích phân hai vế X ta ∫ g ( x) p d µ = ∫ f ( x) χ E < +∞ g q X p < +∞ X tức g ∈ Lp ( X , F , µ ) Tương r r q h( x) = f ( x) χ E c ≤ f ( x) χ E c < +∞ ∀x tự, h r < +∞ tức h ∈ Lr ( X , F , µ ) Vậy Lq ( X , F , µ ) ⊂ Lp ( X , F , µ ) + Lr ( X , F , µ ) Bài 5: Cho < p < q < r < +∞ Chứng minh rằng:  Lp ( X , F , µ ) ∩ Lr ( X , F , µ )  ⊂ Lq ( X , F , µ ) f q λ ≤ f f p 1− λ r λ 1− λ = + ,0 < r < q p r Giải  p  λq > p r λ 1− λ λ q (1 − λ ) q  ; Ta có = + ⇔1= + mà  nên liên r λ q (1 − λ ) q q p r p r  >1  (1 − λ )q hợp Áp dụng định lý 2.2.3 (BĐT Holder) ta được: f q q = ∫ f dµ = ∫ f q X Suy f q ≤ f λ p f 1− λ r f (1−λ ) q dµ ≤ f λq p p λq (1− λ ) q p r    r dµ   ∫ f dµ   X  f p λq f (1− λ ) q r (1− λ ) q (1− λ ) q r Do f ∈  Lp ( X , F , µ ) ∩ Lr ( X , F , µ )  f SVTH: Nguyễn Tuấn Anh λq X  =∫ f X = f λq trang 62 r < +∞ tức f ∈ Lq ( X , F , µ ) vậy: Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp  Lp ( X , F , µ ) ∩ Lr ( X , F , µ )  ⊂ Lq ( X , F , µ ) Bài 6: Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) với µ ( X ) < +∞; f ∈ L1 ( X , F , µ ) Chứng minh rằng: p   f d µ f   ≤ ∫ µ ( X ) X∫  µ(X ) X  p dµ ; p >1 Giải Vì p > nên tồn q > liên hợp p , áp dụng định lý 2.2.3 (BĐT Holder) ta được: ∫ f dµ ≤ f p [ µ ( X )] q X ⇒ f dµ ≤ f µ ( X ) ∫X [ µ ( X )]q p ⇒ f dµ ≤ f µ ( X ) X∫ [ µ ( X )] p p −1 −1 p   f d µ ≤ f ⇒  ∫ ∫ µ ( X ) µ ( X )  X  X p dµ Nhận xét: BĐT trường hợp cụ thể BĐT Jensen tích phân Nhưng ta không dùng tính chất hàm lồi để chứng minh Bài 7: Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) hàm f1 , f , , f n thỏa mãn f1 , f , , f n < +∞ hầu khắp nơi X Các số thực p1 , p2 , , pn > thỏa mãn 1 + + + = Chứng minh rằng: p1 p2 pn f1 f f n ≤ f1 p1 f2 p2 f n pn Giải Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp theo n SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 63 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Với n = , theo định lý 2.2.3 (BĐT Holder) kết luận toán Giả sử kết luận với n ≥ , ta chứng minh với n + , có nghĩa p1 , p2 , , pn +1 > thỏa 1 + + + = ta cần chứng minh: p1 p2 pn+1 f1 f f n+1 ≤ f1  1  + +  Đặt q =  + pn   p1 p2 p1 f2 −1 p2 f n +1 pn 1 + = , áp dụng định lý 2.2.3 q pn +1 q > (BĐT Holder) ta được: ∫ f1 f f n +1 X  q  q d µ ≤  ∫ f1 f f n d µ   ∫ f n+1 X  X  pn +1 pn +1 dµ   1   p1 + p2 + + pn =  q q Ta lại có:  q , áp dụng giả thiết quy nạp ta được:  pi  >1 q q ∫ X q p p   p1   p2  q q q q f1 f f n d µ ≤  ∫ f1 d µ   ∫ f q d µ   ∫ f n X  X  X  ≤  ∫ f1 X p1 q p1   d µ   ∫ f2  X p2 q p2   d µ   ∫ f n  X pn q p q n q  pn dµ    dµ   q pn Do : ∫ X f1 f f n+1  q  q d µ ≤  ∫ f1 f f n d µ   ∫ f n+1 X  X  ≤  ∫ f1 X SVTH: Nguyễn Tuấn Anh p1 p1   d µ   ∫ f2  X p2  pn +1 pn +1 dµ   p2   d µ   ∫ f n  X trang 64 pn pn   d µ   ∫ f n+1  X p n +1  dµ   pn +1 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Vậy kết luận toán với n + Theo nguyên lý quy nạp ta điều phải chứng minh Bài 8: Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) hàm f1 , f , , f n thỏa mãn f1 , f , , f n < +∞ hầu khắp nơi X Các số thực p1 , p2 , , pn ; r > thỏa mãn 1 1 + + + = Chứng minh rằng: p1 p2 pn r f1 f f n r ≤ f1 f2 p1 p2 f n pn Giải Vì 1 1 1 + + + = nên + + + = áp dụng kết tập ta p1 p2 pn p1 p2 pn r r r r được: f1 f f n Với i = 1; 2; ; n ta có fi r r pi r r ≤ f1 p1  =  ∫ fi X f2 r p2 r ( ) r pi r f n r r  dµ  r pi pn  =  ∫ fi X r  pi dµ  r pi = fi r pi f1 f f n ⇔ f1 f f n r r ≤ f1 ≤ f1 ⇔ f1 f f n ≤ f1 Bài 9: Tìm phản ví dụ để thấy p ∈ [1; +∞ ) thỏa mãn lim f n − f n→+∞ p r r p1 f2 r p1 f2 p1 f2 { fn } r r p2 p2 f n p2 f n f n r r pn r r pn pn gồm phần tử thuộc Lp ( X , F , µ ) với = không suy lim f n = f n→+∞ hầu khắp nơi X Giải SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 65 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Xét ( X , F , µ ) = ([ 0;1) , A L ∩ [ 0;1) , µ L ) với A L ∩ [ 0;1) σ − đại số tập đo Lebesgue [ 0;1) (α n ;α n +1 ) α n < α n +1 1  Đặt α n = 1 + + +  (hàm phần lẻ) Dn =  n  [α n ;1) ∪ [ 0;α n +1 ) α n > α n +1 µ ( Dn ) = với n ∈ ℕ n  f n = 1Dn Ta xác định dãy { f n } sau:  ∀n  f = [ 0;1) Do với { fn } hội tụ đến f theo độ đo µ p ∈ [1; +∞ ) ta có: fn − f p = ∫ fn − f p d µL = [0;1) ∫ [0;1) p  p fn d µL =   n Vì lim f n − f = lim f n ≠ f theo điểm [ 0;1) n →+∞ n→+∞ Bài 10: Tìm phản ví dụ để thấy { f n } gồm phần tử thuộc Lp ( X , F , µ ) với p ∈ [1; +∞ ) thỏa mãn lim f n = f n→+∞ lim f n − f n→+∞ p hầu khắp nơi X , không suy = Giải Trong ( X , F , µ ) = ( ℝ, A L , µ L ) đặt f n = 1[ n −1;n ) f = ℝ , với p ∈ [1; +∞ )  fn p d µL =  ℝ∫ ta có:  nên f n , f ∈ Lp ( X , F , µ ) ∀n ∈ ℕ lim f n = f hầu khắp p n→+∞ ∫ f d µL =  ℝ nơi X , nhưng: SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 66 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp fn − f SVTH: Nguyễn Tuấn Anh p  p p =  ∫ fn d µL  = ≠ ℝ  trang 67 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp C PHẦN KẾT LUẬN Luận văn “Không gian Lp ” trình bày khái niệm, cách xây dựng, tính chất mối liên hệ không gian với Từ đó, cho ta cách nhìn tổng quan không gian Lp Bằng phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa, lý thuyết phần tập luận văn trình bày chi tiết, rõ ràng thể tính liên kết làm bật tính chất quan trọng không gian Lp Do hạn chế kiến thức thân thời gian luận văn chưa sâu vào khai thác tính chất, vấn đề thú vị không gian Lp Vì tương lai hướng nghiên cứu thân sâu vào tính chất không gian Lp với mục tiêu tìm hiểu kỹ không gian phục vụ cho việc học tập bổ túc lại kiến thức tích phân Lebesgue giải tích hàm Luận văn tốt nghiệp bước đầu cho việc tập dợt chuẩn bị cho nghiên cứu khoa học sau em Mặc dù cố gắng việc hoàn thành, tránh khỏi sai sót, em mong thầy, cô bạn góp ý để đề tài hoàn thiện SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 68 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dương Minh Đức (2005),Giải Tích Hàm, NXB ĐHQG TPHCM [2] Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG HN [4] Lê Hồng Đức (2000), Giáo trình Giải Tích Hàm, NXB ĐH Cần Thơ [5] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm Tập II, NXB Giáo dục [6] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm - tập 1, NXB ĐHTHCN [7] Trần Thị Thanh Thúy (2009), Giáo trình độ đo tích phân Lebesgue, NXB ĐH Cần Thơ Tiếng Anh [1] J Yeh (2006), Real analysis theory of measure and integration, Word Scientific SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 69 Lớp: Sư phạm toán học K37 [...]... là không gian Banach nếu X với mêtric p ( x, y ) = x − y là không gian mêtric đầy đủ Ví dụ: a) Không gian ℝ n với chuẩn x = n ∑x 2 i là không gian Banach i =1 b) Không gian Lp ( X , F , µ) với p ≥ 1 là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa trong chương 3 (xem định lý 3.2.2) SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 12 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 1.3.4 Định lý a) Trong không gian. .. phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 1  p    p ⇔  ∫ f + g d µ ≤  ∫ f  X   X  SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 23 1 1  p p     p p d µ +  ∫ g d µ      X  (đpcm) Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞) Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , với p ∈ [1; +∞) khi đó không gian tuyến tính... lý a) Trong không gian Banach một chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ b) Nếu trong không gian định chuẩn ( X , thì ( X , ) , mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ ) là một không gian Banach SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 13 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ ) 2.1 Không gian l p với p ∈ (0 ; + ∞ ) Hàm f nhận giá trị trên tập phức... → ℝ xác định trên không gian tuyến tính X được gọi là một chuẩn nếu nó thỏa mãn các tính chất: a) p( x) = 0 ⇒ x = 0 b) p (λ x) = λ p( x) c) p ( x + y ) ≤ p ( x) + p ( y ) SVTH: Nguyễn Tuấn Anh ∀x ∈ X ; ∀k ∈ K ∀x; y ∈ X trang 10 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Khi đó X cùng với chuẩn p được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hay gọi tắt là không gian định chuẩn) Ký... h Vì vậy quan hệ ∼ là quan hệ tương đương 3.2 Định nghĩa Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , với p ∈ [1; +∞) , gọi Lp ( X , F , µ) là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các phần tử thuộc không gian l p ( X , F , µ) SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 24 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Đặt f là một phần tử của Lp ( X , F , µ) , là một lớp tương đương ứng với f ∈ l p ( X ,... trong không gian tuyến tính Lp ( X , F , µ) với trường vô hướng ℂ 3.2.2 Định lý Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) Với p ∈ [1; +∞) , thì Lp ( X , F , µ) là một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như trên Chứng minh: Để chứng minh Lp ( X , F , µ) là một không gian Banach với chuẩn , ta sẽ chứng minh mỗi chuỗi hội tụ tuyệt đối (theo chuẩn) đều hội tụ Tức là với mỗi chuỗi ∑ fn n∈ℕ với f n ∈ Lp. .. X , F , µ ) Vậy l p ( X , F , µ ) là một không gian tuyến tính trên ℂ Chú ý: Ta thấy rằng p không phải là một chuẩn trong không gian l p ( X , F , µ ) vì khi f = 0 ta chỉ có thể kết luận f = 0 hầu khắp nơi trên X không thỏa điều kiện của chuẩn 2.2 Không gian tuyến tính l p với p ∈ [1; + ∞) Trong 2.1 ta đã biết l p ( X , F , µ ) với p ∈ (0 ;+∞) là không gian tuyến tính, trong phần này ta sẽ tìm hiểu... Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 1.1.12 Định lý (Egoroff ) Nếu µ là độ đo hữu hạn , ε > 0 { f n }n∈ℕ hội tụ hầu khắp nơi về f trên A thì tồn tại một tập đo được E sao cho µ ( E ) < ε và { f n }n∈ℕ hội tụ đều về f trên E c 1.2 Bổ túc lý thuyết tích phân Lebesgue Trong mục này, ( X , F , µ ) là không gian độ đo với F là σ − đại số, các tập và hàm đều là đo được 1.2.1 Khả tích... phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp b) x là một chuẩn trong ℝ Với x = ( x1 ; x2 ) ∈ ℝ 2 hàm hàm p được xác định như sau: p : ℝ2 → ℝ x = ( x1; x2 ) ֏ x1 + x2 là một chuẩn 1.3.2 Hội tụ theo chuẩn Một dãy { xn }n∈ℕ gồm các phần tử trong X , được gọi là hôi tụ theo chuẩn đến phần tử x0 ∈ X nếu: lim xn − x0 = 0 n→+∞ ký hiệu là lim xn = x0 n →+∞ 1.3.3 Không gian Banach Không gian tuyến tính... tra là một chuẩn trong không gian tuyến tính Lp ( X , F , µ) với trường vô hướng ℂ , ta kiểm tra bốn điều kiện sau: f p ≥ 0 với f ∈ Lp ( X , F , µ) : Thật vậy: ta có f f p p  =  ∫ f  X 1 p p dµ ≥ 0  = 0 nếu và chỉ nếu f = 0 (ta chú ý rằng f = 0 là phần tử 0 ∈ Lp ( X , F , µ) ): SVTH: Nguyễn Tuấn Anh trang 25 Lớp: Sư phạm toán học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp  Thật vậy f p = 0 ⇔  ... học K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞) Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , với p ∈ [1; +∞) không gian tuyến tính l p ( X , F , µ ) với ánh xạ p không lập... K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp Khi X với chuẩn p gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay gọi tắt không gian định chuẩn) Ký hiệu ( X , p) , chuẩn p ký hiệu tức p ( x) = x không gian. .. K37 Không gian Lp Luận văn tốt nghiệp 3.2.6 Định lý Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) Với p ∈ (0 ; +∞) , xét không gian tuyến tính Lp ( X , F , µ) Đặt { f n }n∈ℕ dãy gồm phần tử thuộc Lp (