luận văn tốt nghiệp đề tài mêtric trên r “

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MÊTRIC TRÊN Giảng viên hướng dẫn n Sinh viên thực ThS Trần Thị Thanh Thúy Nguyễn Anh Khoa MSSV: 1110032 Lớp: SP Toán K37 Cần Thơ, năm 2015 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Trần Thị Thanh Thúy, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em nhiều suốt trình làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô hƣớng dẫn, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho em suốt trình đào tạo Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tập thể bạn lớp Sƣ phạm Toán học khóa 37 động viên tinh thần giúp em hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Cần thơ, tháng năm 2015 Ngƣời viết Nguyễn Anh Khoa MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ MÊTRIC TRÊN MỘT TẬP HỢP KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC TẬP, ĐƢỜNG KÍNH CỦA MỘT TẬP HỢP KHÔNG GIAN CON KHÔNG GIAN MÊTRIC TÍCH SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC 6 LÂN CẬN, CÁC LOẠI ĐIỂM, TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG 6.1 Lân cận 6.2 Các loại điểm 6.3 Tập mở, tập đóng 7 KHÔNG GIAN ĐẦY 7.1 Dãy 7.2 Không gian đầy 8 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 8.1 Ánh xạ liên tục 8.2 Liên tục 10 ÁNH XẠ CO – NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 10 9.1 Ánh xa co 10 9.2 Nguyên lý điểm bất động 10 10 KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT 10 10.1 Không gian compact 10 10.2 Tập bị chặn tập hoàn toàn bị chặn 11 10.3 Liên hệ tính compact, hoàn toàn bị chặn đóng 11 11 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 12 CHƢƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN CÁC MÊTRIC TRÊN 13 13 ĐIỂM GIỚI HẠN 17 TẬP MỞ - TẬP ĐÓNG 19 TẬP ĐẦY – TẬP COMPACT – TẬP LIÊN THÔNG 24 4.1 Tập đầy 24 4.2 Tập compact 27 4.3 Tập liên thông 30 ÁNH XẠ CO – ĐIỂM BẤT ĐỘNG 33 CHƢƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN n , n  ……….……………… 35 KHÔNG GIAN MÊTRIC 35 HAI MÊTRIC TƢƠNG ĐƢƠNG ĐỀU 43 TẬP ĐÓNG - TẬP MỞ - BIÊN 44 TẬP ĐẦY - TẬP COMPACT – KHÔNG GIAN KHẢ LY 53 4.1 Tập đầy 53 4.2 Tập compact 58 4.3 Không gian khả ly 62 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 66 CHƢƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC TỔNG QUÁT… ……………………… 69 KHÔNG GIAN MÊTRIC 69 LÂN CẬN – ĐIỂM GIỚI HẠN – TẬP BỊ CHẶN – TẬP MỞ - TẬP ĐÓNG 81 2.1 Lân cận 81 2.3 Điểm giới hạn 84 2.3 Tập bị chặn 85 2.4 Tập mở - Tập đóng 86 TẬP ĐẦY – TẬP COMPACT – KHÔNG GIAN KHẢ LY 90 3.1 Tập đầy 90 3.2 Tập compact 94 3.3 Không gian khả ly 100 DÃY TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC 102 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 106 ÁNH XẠ CO 113 PHẦN KẾT LUẬN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiều vấn đề quan trọng giải tích thật dựa tính chất khoảng cách Trong chƣơng trình học đại học, em đƣợc học Chƣơng “KHÔNG GIAN MÊTRIC” môn “TÔPÔ ĐẠI CƢƠNG” Do thời lƣợng chƣơng trình có hạn nên em nghiên cứu đƣợc số nội dung không gian mêtric Điều gợi cho em niềm đam mê nghiên cứu không gian mêtric để mở rộng thêm kiến thức Toán học đặc biệt mảng “Giải tích” liên quan đến không gian mêtric Bên cạnh đó, nhu cầu xã hội việc thi lên cao học mà đó, kiến thức mêtric lại chiếm phần nhiều đề thi Vì vậy, để vƣợt qua đƣợc kỳ thi thí sinh phải có số kiến thức định không gian mêtric Từ đó, đƣợc hƣớng dẫn gợi ý cô Trần Thị Thanh Thúy, em chọn đề tài “Mêtric n ” ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Đối tƣợng đƣợc nghiên cứu luận văn không gian mêtric n , n  với số tính chất quan trọng có liên quan MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đính nghiên cứu luận văn giúp em nâng cao kiến thức không gian mêtric, đặt biệt không gian mêtric n , n  Bên cạnh đó, việc nghiên cứu số kiến thức thúc đẩy tinh thần học hỏi từ giúp cho em có thêm đam mê Toán học nhiều Ngoài ra, qua việc thực luận văn này, giúp em bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tạo tảng kiến thức cần thiết cho việc học sau PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sƣu tầm, tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài Phƣơng pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày kiến thức dƣới dạng định lý, mệnh đề Phƣơng pháp hệ thống hóa đƣợc sử dụng để săp xếp kiến thức theo trình tự phù hợp TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhắc lại số khái niệm không gian mêtric đƣợc sử dụng thƣờng xuyên nghiên cứu CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN Phần này, luận văn đƣa số toán không gian mêtric , dạng tập hợp không gian mêtric, không gian đặc biệt nhƣ không gian đầy, không gian compact, không gian khả ly, ánh xạ liên tục, ánh xạ co CHƢƠNG 3: KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN n ,n2 Phần luận văn đƣa số dạng toán liên quan đến không gian mêtric, dạng tập hợp, không gian đầy, không gian compact, không gian khả ly,…trên n , n  CHƢƠNG 4: KHÔNG GIAN MÊTRIC TỔNG QUÁT Trình bày dạng toán tƣơng tự nhƣ hai chƣơng trƣớc nhƣng với mêtric đƣợc cho tập PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng luận văn đƣa kiến thức không gian mêtric nhƣ: định nghĩa mêtric, không gian con, không gian mêtric tích, loại điểm,…và số không gian đặc biệt nhƣ: không gian đầy, không gian compact, không gian khả ly,…để nhằm phục vụ kiến thức cho tập ba chƣơng phía sau MÊTRIC TRÊN MỘT TẬP HỢP Định nghĩa Cho tập hợp X   Ánh xạ d : X  X  đƣợc gọi mêtric (khoảng cách) X d thỏa ba tiên đề sau đây: i) d  x, y   x, y  X d  x, y    x  y ii) d  x, y   d  y, x  (tiên đề đồng nhất) x, y  X iii) d  x, y   d  x, z   d  z , y  (tiên đề đối xứng) x, y, z  X (tiên đề tam giác) Tập X với mêtric d trang bị X đƣợc gọi không gian mêtric Kí hiệu:  X , d  Phần tử x  X đƣợc gọi điểm không gian mêtric X Số thực không âm d  x, y  đƣợc gọi khoảng cách hai điểm x, y KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC TẬP, ĐƢỜNG KÍNH CỦA MỘT TẬP HỢP Định nghĩa Cho d mêtric X Khoảng cách điểm x  X tập A  X số: d  x, A   inf d  x, a  : a  A tức cận dƣới tập hợp khoảng cách từ điểm x đến điểm thuộc A Khoảng cách hai tập khác rỗng A B X đƣợc ký hiệu định nghĩa số: d  A, B   inf d  a, b  : a  A, b  B tức cận dƣới khoảng cách từ điểm thuộc A đến điểm thuộc B Đƣờng kính tập A đƣợc ký hiệu định nghĩa nhƣ sau: d  A   sup d  a, a ' : a, a '  A tức cận tập khoảng cách điểm thuộc A KHÔNG GIAN CON Cho không gian mêtric  X , d  E  X , E   Với x, y  E , đặt: d E  x, y   d  x , y  Khi d E mêtric E d E đƣợc gọi mêtric cảm sinh mêtric d   Ta có E C     C tập mở Nếu E không rỗng có x  E   sở Nên có số n cho x Vn  E   thuẫn xn  E  xn  E  xn  E   Do E C C   suy xn  E C C Vì Vn  Điều mâu C   Vậy, E  K Hay E tập trù mật K Vậy, K khả ly DÃY TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Bài 99 Giả sử  pn  qn  dãy Cauchy không gian mêtric X Chứng minh dãy d  pn , qn  hội tụ Giải Với m, n Ta có: d  pn , qn   d  pn , pm   d  pm , qm    qm , qn   d  pn , qn   d  pm , qm   d  pn , pm    qm , qn  Lập luận tƣơng tự nhƣ ta có: d  pm , qm   d  pn , qn   d  pm , pn    qn , qm  Do đó, d  pn , qn   d  pm , qm   d  pn , pm    qm , qn  Với   ,  pn  dãy Cauchy , ta có N1  m, n  N1 , d  pn , pm    102 cho Vì qn  dãy Cauchy , ta tìm N  m, n  N , d  qn , qm    cho Do đó, với m, n  N  max  N1 , N  , ta có : d  pn , qn   d  pm , qm   d  pn , pm    qm , qn       Vì vậy, d  pn , qn  dãy Cauchy Vì không gian mêtric đầy nên d  pn , qn  dãy Cauchy hội tụ Bài 100 Cho dãy  xn  n1 dãy Cauchy không gian mêtric  X , d  x  X Chứng minh dãy  d  xn , x  n1 hội tụ Giải Ta có  d  xn , x  n1 dãy Cauchy Thật vậy,   0, N  0, m, n  N : d  xm , xn    Điều cho ta, d  xm , x   d  xn , x   d  xn , xn    Do đó,  d  xn , x  n1 dãy Cauchy Vì đầy nên dãy hội tụ 103 Bài 101 Cho B  0,1 tập hợp hàm số thực bị chặn 0,1 với mêtric thông thƣờng d  f , g   sup f  x   g  x  Lấy f n : 0,1  0 x 1 f n  x   x  xác định f n  x   x  n Chứng minh n a) f n  B 0,1 b)  f n  dãy hội tụ c) Lấy   B 0,1 đƣợc xác định   x   ,  x  Chứng minh B  ,1 tập đóng, bị chặn đầy nhƣng không compact Giải a) sup f n  x   Do f n  B 0,1 0 x 1     b) Nếu f nk dãy  f n  d f nk , f nl  , k  l   Do đó, f nk không hội tụ c) B  ,1 tập đóng B  ,1 tập bị chặn với   diam B  ,1  f , g  B  ,1 , d  f , g   d  f ,    d  , g   d  f , g   với f  x   , g  x   1 ,  x  B  ,1 tập đầy Cuối B  ,1 không tập compact (do b)) 104 với Bài 102 Cho dãy  xn  n1 không gian mêtric  X , d  cho d  xn , xn1   2 n , n  Chứng minh  xn  n1 dãy Cauchy Giải Với n, k  ta có: d  xn , xn k   d  xn , xn1   d  xn1 , xn    d  xn k 1 , xn k   1   n k 1 n 2 1  1 1  2k   n 1    k 1   n  2   2n Với   tồn N  cho d  xm , xn     Với m  n  N , ta có: 2n 2  N  n 2 Suy ra,  xn  n1 dãy Cauchy Bài 103 Cho  X , d  không gian mêtric xn  ,  yn  dãy X Giả sử tồn x, y  X cho xn  x yn  y Chứng minh d  xn , yn   d  x, y  Giải Lấy   Theo định nghĩa, tồn N1 cho n  N1 d  xn , x    tồn N cho n  N d  yn , y    Lấy N  max  N1 , N  , với n  N 105 d  xn , yn   d  x, y   d  xn , yn   d  xn , y   d  xn , y   d  x, y   d  xn , yn   d  xn , y   d  xn , y   d  x, y   d  yn , y   d  xn , x   2 Vậy, ta có điều phải chứng minh ÁNH XẠ LIÊN TỤC Bài 104 Cho X, Y không gian mêtric f : X  Y Chứng minh f liên tục x  X f 1 ( B( f ( x),  )) lân cận x với   Giải Gọi d  lần lƣợt hai mêtric X Y () Vì x  f 1  f  x   f 1  f  x    f 1  B  f  x   nên x  f 1  B  f  x   Vì B  f  x   tập mở f liên tục nên f 1  B  f  x   tập mở chứa x lân cận x () Cho   Nếu f 1  B  f  x   lân cận x tồn   cho B ( x)  f 1  B  f  x   Nhƣng đó, x '  B ( x)  f 1  B  f  x   f ( x ')  B  f  x   Điều cho thấy  ( f ( x), f ( x '))   d ( x, x ')   Vậy, f liên tục x  X 106 Bài 105 Cho tập A   không gian mêtric  X ,d  Xác định hàm f : X  f ( x)  d ( x, A) Chứng minh f liên tục Giải Cách Lấy x  X , d  y, A   inf aA d  y, a  nên   0, a  A : d ( y, a )  d  y, A    Lấy   giả sử y  X : d  x, y      Không tính tổng quát, ta giả sử d  x, A   d  y , A  Khi đó: f  x   f  y   d  x, A   d  y , A   d  x, A   d  y , A   inf aA d  x, a   d  y, A   d  x, a   d  y, A   d  x, y   d  y, a   d  y, A     Vì   tùy ý nên ta có f  x   f  y    f liên tục Cách ta có f 1 U  tập mở X Ta chứng minh với tập mở U  Lấy x  f 1 U  Vì U mở nên tồn   cho  z   , z     U , z : d  x, Y  Mỗi điểm x '  B  x,   , ta có: d  x ', Y   d  x ', x   d  x, Y     z Ngƣợc lại, ta z  d  x, Y   d  x ', x   d  x ', Y     d  x ', Y   z    d  x ',Y  107 có: Suy x '  f 1 U  Điều cho ta điều cần phải chứng minh Bài 106 Cho f :  X , d   Y , d ' ánh xạ hai không gian mêtric giả sử tồn số thực L  cho d '  f  x  , f  y    Ld  x, y  , x, y  X ( f đƣợc gọi hàm liên tục Lipschitz) Chứng minh f ánh xạ liên tục Giải Lấy x  X   Chọn    Khi đó, L d  x, y   d  f  x  , f  y    Ld  x, y   L   Điều có nghĩa f liên tục x Do f liên tục nơi Bài 107 Cho C  a, b đƣợc trang bị với mêtric supremum Chứng minh ánh xạ F : C  a, b  C  a, b , f t F  f  t    f  s ds , t   a, b liên tục a Giải Với f , g  C  a, b , ta có: 108 F  f  đƣợc cho d  F  f  , F  g    sup F  f  t   F  g  t  t a ,b t  sup   f  s   g  s   ds t a ,b  a t  sup  f  s   g  s  ds t a ,b a  sup  t  a  sup f  s   g  s  t a ,b t a ,b   sup  t  a  d  f , g    b  a  d  f , g  t a ,b Điều nghĩa F liên tục Lipschitz Do đó, F liên tục Bài 108 Cho f : X  Y hàm hai không gian mêtric X, Y Chứng minh f liên tục Giải Nếu f : X  Y hàm ta có yo  Y : f ( x)  yo , x  X  yo U Nếu lấy tập mở U Y thì: f 1 U     X yo U Trong hai trƣờng hợp ta có f 1 U  mở Vậy, f liên tục Bài 109 Cho I  [0,1] , X  C ( I ) không gian tất hàm liên tục, f : I  109 sup-mêtric xác định d ( f , g )  sup  f ( x)  g ( x) : x  I  Chứng minh hàm  : X  xác định  ( f )   f ( x) dx liên tục Giải Ta cần chứng minh  1 ((a, b)) mở với a  b Lấy f thuộc  1 ((a, b)) Ta có f  ((a, b)) a   f ( x) dx  b 1 Xét với   Rõ ràng, d ( f , g )   f ( x)  g ( x)   , x  0,1 Do đó: f ( x)    g ( x)  f ( x)   (vì   dx   ) Theo BĐT tam giác, ta có: 1   ( f )      f ( x) dx      ( f ( x)   )dx 0    g ( x) dx 1    ( f ( x)   )dx    f ( x) dx      ( f )   0  Chọn   cho ( ( f )   , ( f )   )  (a, b) Khi đó, ta có: B ( f )   1 ((a, b)) Vậy,  1 ((a, b)) mở với a  b Do đó, hàm  ( f )   f ( x) dx liên tục 110 Bài 110 Cho X, Y Z không gian mêtric f : X  Y g : Y  Z hàm liên tục Chứng minh g f : X  Z liên tục Giải Nếu U tập mở Z : ( g f )1 (U )  x  X : g ( f ( x)) U   f 1 ( g 1 (U )) Vì g liên tục nên g 1 (U ) mở f liên tục nên ( g f )1 (U )  f 1 ( g 1 (U )) mở Vậy, g f liên tục Bài 111 Cho X tập hàm liên tục f : a, b  d * mêtric X đƣợc xác định b b a a d ( f , g )   f (t)  g (t) dt , với f , g  X Với f  X I ( f )   f (t )dt * Chứng minh ánh xạ I : ( X , d * )  ( , d ) liên tục Giải Lấy f  X   , chọn     Khi g  X ta có : d *( f , g)   b nghĩa là, với  f (t)  g (t) dt   ta có: a 111 d  I ( f ), I ( g )   b b a a  f (t )dt   g (t )dt b    f (t )  g (t )dt  a b   f (t )  g (t ) dt a  Vì vậy, I liên tục f f tùy ý nên I : ( X , d * )  ( , d ) liên tục Bài 112 Cho T , d  không gian mêtric compact, giả sử f : T  T ánh xạ liên tục cho với x  T , f  x   x Chứng minh tồn   cho d  f  x  , x    , x  T Giải Ta giả sử điều ngƣợc lại Khi tồn dãy điểm  xn  T cho: g  xn   , g : T  R với g  x   d  f  x  , x    Vì T tập compact nên tồn dãy xn j cho xn j  x , x  T g liên tục g  x   g  y   d  f  x  , x   d  f  y  , y   d  f  x  , f  y    d  x, y  Nên f liên tục Do đó, g  x   nghĩa f  x   x Điều mâu thuẫn Vậy, ta có điều phải chứng minh 112 Bài 113 Cho  X i , di  , Yi , d 'i  , i  1,2, , n không gian mêtric fi : X i  Yi , i  1,2, , n n n i 1 i 1 hàm liên tục Gọi X   X i Y   Yi , X Y không gian mêtric tích Xác định F : X  Y F ( x1 , , xn )   f1 ( x1 ), , f n ( xn )  Chứng minh F liên tục Giải Với ( x1 , , xn )  X   Vì fi : X i  Yi liên tục i  1,2, , n nên  i  cho yi  X i với di  xi , yi   i  d 'i  fi ( xi ), fi (yi )    Gọi   i  i Khi   y1 , , yn   X với d  ( x1 , , xn ),(y1 , , yn )    , ta có : max i di  xi , yi    Do đó: di  xi , yi      i ta có d 'i  fi ( xi ), fi (yi )    Vậy, d '  F ( x1 , , xn ), F (y1, , yn )   max i d 'i  fi ( xi ), fi (yi )    Do đó, F liên tục ÁNH XẠ CO Bài 114 Ánh xạ co M hàm f từ không gian mêtric  M , d  vào cho c   0,1 : d  f  x  , f  y    c.d  x, y  , x, y  M Chứng minh ánh xạ co M hàm liên tục M Giải Giả sử f ánh xạ co M, với   , chọn    113 Khi đó, d  x, y    ta có: d  f  x  , f  y    c.d  x, y   c  c   Do đó, f liên tục M Bài 115 Chứng minh ánh xạ co toàn ánh từ không gian mêtric compact (với nhiều điểm) vào Giải Giả sử f : M  M ánh xạ co từ không gian mêtric compact vào nó, M tập điểm Lấy x  y  M tùy ý Vì f toàn ánh nên ta có x  f  x ' y  f  y ' với x'  y ' M Ta có d  x, y   d  f  x ' , f  y '   c.d  x ', y '  d  x ', y '  diamM Do đó, d  x, y   diamM , x, y  M Vì M compact nên điều Do ánh xạ co toàn ánh từ không gian mêtric compact (với nhiều điểm) vào 114 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn “Mêtric n ” trình bày khái niệm, tính chất quan trọng không gian mêtric, phân loại đƣợc số dạng tập Từ cho thấy đƣợc tính chất, mối liên hệ tập nhƣ không gian với Qua tập ta có đƣợc nhìn toàn diện không gian mêtric Mặc dù mong muốn thân nhiều nhƣng hạn chế thời gian kiến thức, luận văn trình bày không gian mêtric mức độ đại cƣơng Vì lần thân làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên thiếu sót tránh khỏi Vì em mong nhận đƣợc nhận xét, bảo quý thấy, cô góp ý bạn sinh viên Em tin ý kiến quý báu hỗ trợ cho em nhiều trình nghiên cứu khoa học em sau 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2003 [2] Đỗ Đức Thái, Bài tập Tôpô đại cương- Độ đo tích phân, NXB Đại học Sƣ Phạm, 2002 [3] M.van den Berg, Metric Spaces, School of Mathematics, University of Bristol [4] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, NXB Giáo dục, 1994 [5] Trần Thị Thanh Thúy Giáo trình Tôpô Đại cương, Cần Thơ, 2003 [6] Vern I Paulsen, Introduction to Real Analysis, 2014 Cùng số tài liệu Internet ebooks 116 [...]... tiên đề còn lại của mêtric Do đó,  , d  là không gian metric 16 Bài 5 Xác định d :  Chứng minh r ng bởi d  x, y   arctanx  arctany   , d  là không gian mêtric Giải Ta có: * 0  arctanx  arctany   * d  x, y   0  arctanx  arctany  x  y * d  x, y   arctanx  arctany  arctany  arctanx  d  y, x  * Theo BĐT tam giác của các số thực ta có: d  x, y   arctanx  arctany  arctanx... M 11 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG Tập E trong không gian mêtric  X ,d  là liên thông nếu không tồn tại các tập mở G1 , G2 sao cho G1  E   , G2  E   , G1  G2  E , G1  G2  E   Nếu X là liên thông thì  X , d  gọi là không gian mêtric liên thông 12 CHƢƠNG 2 KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN Trong chƣơng này luận văn đƣa ra một hệ thống các bài tập về không gian mêtric trên với mức độ cơ bản Đầu tiên là... gian mêtric  E , d E  đƣợc gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric  X ,d  4 KHÔNG GIAN MÊTRIC TÍCH Cho hai không gian mêtric  X , d X  , Y , dY  Xét X  Y   x, y  : x  X , y  Y  X  Y là một không gian mêtric với mêtric d đƣợc xác định nhƣ sau: d   x1 , y1  ,  x2 , y2    d X2  x1 , x2   dY2  y1 , y2  với  x1 , y1   X  Y ,  x2 , y2   X  Y Không gian mêtric. .. độ cơ bản Đầu tiên là các bài toán chứng minh không gian metric, tiếp theo là mối liên hệ của mêtric với các bài toán về các loại điểm, các loại không gian đặc biệt… 1 CÁC MÊTRIC TRÊN Bài 1 Chứng minh r ng tập các số thực R là không gian mêtric với mêtric đƣợc xác định bởi d  x, y   min 1, x  y  , x, y  R Giải * Do x  y  0 , x, y  R nên min 1, x  y   0 * Nếu x  y thì min 1, x  y ... x, y, z  R , d  x, z   min 1, x  z  Nếu min 1, x  z   1 Vì x  z  x  y  y  z nên 13   min 1, x  z   min 1,  x  y  y  z   min 1, x  y   min 1, y  z  Nếu min 1, x  z   x  z thì min 1, x  z   min 1, x  y   min 1, y  z  Cả hai trƣờng hợp trên ta đều có d  x, z   d  x, y   d  y, z  Do đó, d là mêtric trên R hay  R, d  là không gian mêtric Bài 2... arctanx  arctanz  arctanz  arctany  arctanx  arctanz  arctanz  arctany  d  x, z   d  z , y  Vậy,  , d  là không gian mêtric 2 ĐIỂM GIỚI HẠN Bài 6 Cho với mêtric thông thƣờng Tìm tập hợp các điểm giới hạn của các tập con sau đây của a) b) \ 17 : c) d) (1,1)  (1,2) 1  e)  : n   n  f) 3  [   , 1.7]  (  (0,1])  17,18,19 Giải Cho tập con A của không gian mêtric X Để... n là tập mở trong  n n 22 nhƣng  Un  n 1   1 1   ,   0 không mở trong n 1  n n  Bài 12 Chứng minh r ng trong với mêtric thông thƣờng ta có  a, b    x : a  x  b là tập mở Giải Lấy x   a, b  và đặt r  min  x  a, b  x Nếu y  B  x, r  thì x  r  y  x  r Vì y  x  r  x   b  x   b và y  x  r  x   x  a   a ta có a  y  b Do đó, B  x, r    a, b... 20 Cho tập đƣợc trang bị với mêtric Euclide Tập 0, 2    có là tập đóng, bị chặn, compact hay không ? Giải 1 Tập A  0, 2   là tập đóng trong Điều này là do phần bù của A trong không gian con trên (nhƣng không đóng trong là  ,0    2,   ) là tập mở trong 2 Tập A bị chặn vì 0, 2  bị chặn 1  3 Tập A không là tập compact Lấy U n   , 2    n  tập mở trên 27 , n  1 là... tập đóng trong  X , d  nếu X \ F là tập mở Ví dụ: Trong mọi không gian mêtric, hình cầu mở là tập mở 7 7 KHÔNG GIAN ĐẦY 7.1 Dãy cơ bản Cho không gian mêtric  X , d  Dãy  xn n  X đƣợc gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu lim d  xn , xm   0 n , m Vậy,  xn n cơ bản    0, N :n, m  N  d  xn , xm    7.2 Không gian đầy Không gian mêtric  X ,d  đƣợc gọi là không gian mêtric đầy nếu... y   arctanx  arctany Chứng minh r ng a) Dãy  xn  với xn  n là dãy Cauchy trong b)   , d  và nó không hội tụ , d  không là không gian đầy Giải a) Với   0 , ta có: m dx  * d  xn , xm   arctann  arctanm   2 x 1 n 26 m dx x n 2  1 1 1 1     n m n m với n, m  2  Do đó,  xn  là dãy Cauchy * Giả sử xn  x Khi đó, d  xn , x   arctann  arctanx  arctan  x  1  arctanx ... không gian mêtric liên thông 12 CHƢƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN Trong chƣơng luận văn đƣa hệ thống tập không gian mêtric với mức độ Đầu tiên toán chứng minh không gian metric, mối liên hệ mêtric với... GIAN MÊTRIC TRÊN n ,n2 Phần luận văn đƣa số dạng toán liên quan đến không gian mêtric, dạng tập hợp, không gian đầy, không gian compact, không gian khả ly, trên n , n  CHƢƠNG 4: KHÔNG GIAN MÊTRIC... gian mêtric  X , d  E  X , E   Với x, y  E , đặt: d E  x, y   d  x , y  Khi d E mêtric E d E đƣợc gọi mêtric cảm sinh mêtric d Không gian mêtric  E , d E  đƣợc gọi không gian mêtric