Tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯƠNG NGỌC THANH TÍCH TENXƠ CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯƠNG NGỌC THANH TÍCH TENXƠ CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY HÀ NỘI, 2017 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Phụ Hy – người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới phòng Sau đại học; thầy, giáo giảng dạy cao học chun ngành Tốn Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Lương Ngọc Thanh ii Lời cam đoan Dưới hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, ln văn thạc sỹ chun nghành Tốn giải tích với đề tài “Tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục” hoàn thành nhận thức thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Lương Ngọc Thanh iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu Chương Tích tenxơ khơng gian Hilbert tách 1.1 Đại cương không gian Hilbert 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Một số định lý quan trọng 1.2 Tích tenxơ hai không gian Hilbert tách 12 1.2.1 Sơ đồ tổng qt Berezanxki tích tenxơ hai khơng gian Hilbert 12 1.2.2 Tích tenxơ hai khơng gian Hilbert tách 12 1.3 Ví dụ tích tenxơ không gian Hilbert tách 24 1.3.1 Tích tenxơ hai khơng gian Eukleides Rn ⊗ Rs 24 1.3.2 Tích tenxơ hai khơng gian L2 (G) ⊗ L2 (G ) 26 Chương Tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 31 2.1 Khái niệm tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 31 2.1.1 Sơ đồ tổng quát Berezanxki tích tenxơ hai tốn tử tuyến tính liên tục 31 2.1.2 Một số tính chất tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 35 2.2 Ví dụ 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Tenxơ (tensor) đối tượng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính đại lượng vectơ, vô hướng, tenxơ với Những ví dụ liên hệ bao gồm tích vơ hướng, tích vectơ, ánh xạ tuyến tính Đại lượng vectơ vô hướng theo định nghĩa tenxơ Các khái niệm liên quan đến giải tích tenxơ xuất phát từ nghiên cứu Carl Friedrich Gauss hình học vi phân, hình thức luận bị ảnh hưởng nhiều lý thuyết dạng đại số bất biến phát triển kỷ 19 Thuật ngữ "tenxơ" nhà toán học William Rowan Hamilton đặt vào năm 1846 Woldemar Voigt người sử dụng thuật ngữ cho tên gọi thức vào năm 1898 Nhà tốn học Ucraina Yu.M.Beredanxki phát triển lí thuyết tích Tenxơ khơng gian Hilbert tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục có nhiều kết nghiên cứu quan trọng ứng dụng vào phương trình đạo hàm riêng vào kỉ 20 Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, sở sơ đồ tích tenxơ nhận xét tích tenxơ khơng gian Hilbert Giáo sư-Viện sĩ Yu.M.Berezanxki, nhằm trình bày lại kết cách tổng quan, nghiên cứu thêm tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, tơi chọn đề tài: "Tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert tách Các ứng dụng kết vào không gian Hilbert: Rn , L2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cách hệ thống tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục tác dụng tích tenxơ khơng gian Hilbert tách Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu “tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu liên quan tới tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục tích tenxơ khơng gian Hilber tách Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Trong luận văn chúng tơi trình bày cách hệ thống tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục tác dụng tích tenxơ khơng gian Hilbert tách áp dụng kết vào tích tenxơ không gian Hilbert tách: Rn , L2 Chương Tích tenxơ khơng gian Hilbert tách Trong chương tơi trình bày cách khái qt khơng gian Hilbert, khái niệm vài tính chất quan trọng dùng cho chương sau, sau tơi trình bày sơ đồ tổng qt tích tenxơ hai khơng gian Hilbert tách tích tenxơ khơng gian Hilbert tách Rn , L2 Tài liệu dùng để viết chương chủ yếu tài liệu [2,3] 1.1 Đại cương không gian Hilbert 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian tuyến tính X trường P (P trường số thực R trường số phức C) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (., ), thỏa mãn tiên đề sau: 1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y); 2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y); 4) (∀x ∈ X) (x, x) > x = θ, (x, x) = x = θ, (θ phần tử không không gian X) Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vơ hướng Số (x, y) gọi tích vơ hướng hai nhân tử x y Các tiên đề 1),2),3),4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Định nghĩa 1.2 Khơng gian tuyến tính X trường P với tích vơ hướng X gọi không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.3 Ta gọi tập hợp H = ∅ gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: 1) H khơng gian tuyến tính trường P ; 2) H trang bị tích vơ hướng (·, ·); 3) H khơng gian Banach với chuẩn x = (x, x), x ∈ H Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Định lý 1.1 (Bất đắng thức Schwarz) Với x ∈ X ta đặt x = (x, x) (1.1) Khi đó, ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz: |(x, y)| ≤ x y (1.2) Chứng minh Nếu (x, y) = bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên Nếu (x, y) = 0, ∀λ ∈ R ta có ≤ (x − λ(x, y)y, x − λ(x, y)y) = x ¯ y)(x, y)(y, y) − λ(x, y)(y, x) − λ(x, y)(y, x) + λλ(x, = x − 2λ|(x, y)|2 + λ2 |(x, y)|2 y Từ bất đẳng thức ta nhận tam thức bậc hai λ không âm với λ ∈ R Do |(x, y)|4 −|(x, y)|2 x y ≤ ⇔ |(x, y)|2 ≤ x y ⇔ |(x, y)| ≤ x Vậy, |(x, y)| ≤ x y (x, y ∈ X) Định lý chứng minh y Hệ 1.1 Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn xác định công thức (1.1) Chứng minh Thật vậy, ta kiểm tra tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) x = (x, x) ≥ 0, (x, x) = ⇔ (x, x) = ⇔ x = θ (θ kí hiệu phần tử khơng x = khơng gian tiền Hilbert X) (Do tiên đề 4); 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = (αx, αx) = α(x, αx) = α(αx, x) = αα(x, x) = αα ¯ (x, x) = αα ¯ (x, x) = |α|2 3) (∀x, y ∈ X) x + y = (x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y) = = (x, x) + (y, x) + (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, x) + (x, y) + (y, y) = x + 2Re(x, y) + y ≤ x + 2|Re(x, y)| + y ≤ x + 2|(x, y)| + y ≤ x +2 x y + y = (x, x) = |α| x ; (x + y, x) + (x + y, y) 2 2 ( x + y )2 = x + y Vậy không gian tiền Hilbert X không gian định chuẩn Chuẩn sinh công thức (1.1) gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Hệ 1.2 Tích vơ hướng (x, y) hàm liên tục hai biến x y theo chuẩn (1.1) Chứng minh Giả sử dãy điểm (xn ) ∈ X hội tụ đến x, dãy điểm (yn ) ∈ Y hội tụ tới y theo chuẩn (1.1) Khi đó, (∃C > 0)(∀n ∈ N ∗ ) yn ≤ C, |(xn , yn ) − (x, y)| ≤ |(xn , yn ) − (x, yn )| + |(x, yn ) − (x, y)| 30 = (x ⊗ x + x ⊗ y )(t, t ) ⇒ x ⊗ (x + y ) = x ⊗ x + x ⊗ y T3 : ((λx) ⊗ x )(t, t ) = (λx(t)) x (t ) = λ(x(t)x (t ) = λ(x ⊗ x )(t, t ) ⇒ (λx) ⊗ x = λ(x ⊗ x ) T4 : (x ⊗ (λx ))(t, t ) = x(t)(λx (t )) = x(t)λx (t ) = λx(t).x (t ) = λ(x ⊗ x )(t, t ) ⇒ x ⊗ (λx ) = λ(x ⊗ x ) nên (λx) ⊗ x = x ⊗ (λx ) = λ(x ⊗ x ) Vậy tích hình thức (1.17) thỏa mãn điều kiện (1.5) Ta ký hiệu khơng gian tuyến tính thực ký hiệu L2 (G) ⊗ L2 (G ) Với cặp tích hình thức khơng gian tuyến tính nhận đây, x ⊗ x , y ⊗ y , đặt (x ⊗ x , y ⊗ y ) = (x, y)H (x , y )H (1.18) Theo Định lý 1.7, ánh xạ (1.18) tích vơ hướng khơng gian L2 (G) ⊗ L2 (G ) Không gian L2 (G) ⊗ L2 (G ) với tích vơ hướng (1.18) lập thành không gian tiền Hilbert Làm đầy không gian tiền Hilbert này, ta nhận không gian Hilbert, ký hiệu L2 (G) ⊗ L2 (G ) gọi tích tenxơ L2 (G) ⊗ L2 (G ) 31 Chương Tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 2.1 Khái niệm tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 2.1.1 Sơ đồ tổng quát Berezanxki tích tenxơ hai tốn tử tuyến tính liên tục Giả sử A tốn tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert G , A” tốn tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Hilbert H” vào không gian Hilbert G” Tích tenxơ hai tốn tử A A” ký hiệu: A ⊗ A”, ánh xạ không gian H ⊗ H” vào không gian G ⊗ G” xác định sau: fj ⊗ f ”j → (A ⊗ A”) j≥1 f j ⊗ f ”j j≥1 (A fj ) ⊗ = j≥1 (A”f ”j ), j≥1 (2.1) đó, fj ∈ H , f ”j ∈ H”, tổng hữu hạn Định lý 2.1 a) Tốn tử A ⊗ A” tuyến tính, b) Tốn tử A ⊗ A” liên tục’ c) A ⊗ A = A A” , 32 d) Toán tử A ⊗ A” không phụ thuộc phương pháp biểu diễn phần tử fj ⊗ f ”j ∈ H ⊗ H” dạng tổng hữu hạn tích dạng j h ⊗ h” (với h ∈ H , h” ∈ H”) Chứng minh a) Lấy f ⊗ f ” g ⊗ g” thuộc không gian H ⊗ H” Ta có f ⊗ f ” + g ⊗ g” = = fj f ”k ej ⊗ e”k + gj g”k ej ⊗ e”k (fj f ”k + gj g”k )(ej ⊗ e”k ) Khi đó, ta có A ⊗ A”(f ⊗ f ” + g ⊗ g”) = = (fj f ”k + gj g”k )(A ej ⊗ A”e”k ) = (fj f ”k (A ej ⊗ A”e”k ) + (gj g”k (A ej ⊗ A”e”k ) = A ⊗ A”(f ⊗ f ”) + A ⊗ A”(g ⊗ g”) Suy toán tử A ⊗ A” cộng tính Tính chất suy sau: (∀α ∈ P )(∀f ∈ H )(∀f ” ∈ H”), ta có (αf ) ⊗ (f ”) = (αfj ).f ”k ej ⊗ e”k Khi đó, A ⊗ A”(αf ⊗ f ”) = A ⊗ A” [(αf ) ⊗ f ”] = (αfj ).f ”k (A ej ⊗ A”e”k ) = α(fj f ”k )(A ej ⊗ A”e”k ) =α fj f ”k (A ej ⊗ A”e”k ) = α(A ⊗ A”) fj f ”k ej ⊗ e”k = α(A ⊗ A”)(f ⊗ f ”) Vậy, toán tử A ⊗ A” tốn tử tuyến tính ánh xạ khơng gian H ⊗ H” vào không gian G ⊗ G” 33 b) Giả sử (ej )j≥1 (e”k )k≥1 sở trực chuẩn tương ứng không gian H , H” Theo Định lý 1.8, tập hợp (ej ⊗ e”k )j,k≥1 sở trực chuẩn không gian H ⊗ H” Với vector F ∈ H ⊗ H”, ∞ |Fjk |2 < +∞ Fjk ej ⊗ e”k , F = j,k j,k=1 Đặt A = A ⊗ A”, theo (2.1) ∞ Fjk (A ej ) ⊗ (A”e”k ) AF = (A ⊗ A”)F = (2.2) j,k=1 Ta chứng minh chuỗi (2.2) hội tụ yếu khơng gian G ⊗ G” tốn tử A tác dụng liên tục từ không gian H ⊗ H” vào không gian G ⊗ G” Thật vậy, giả sử (lα )α≥1 (l”β )β≥1 sở trực chuẩn tương ứng không gian G G” Theo Định lý 1.8, tập hợp (lα ⊗ l”β )α,β≥1 sở trực chuẩn không gian G ⊗ G” Lấy phần tử tùy ý U ∈ G ⊗ G” cho α,β≥1 Kí hiệu Fk = |Uαβ |2 < +∞ Uαβ lα ⊗ l”β , U= ∞ j=1 Fjk ej α,β≥1 ∞ β=1 Uαβ l”β ∈ H , Uα = ∈ G” Giả sử A”∗ toán tử liên hợp với toán tử A”, nghĩa (A”f ”, g”)G” = (f ”, A”∗ g”)G” (f ” ∈ H”, g” ∈ G”) tổng hữu hạn mà Fjk = khơng có mặt tổng Kí hiệu j,k Ta có   Fjk (A ej ) ⊗ (A”e”k ), U   j,k = G ⊗G” ∞ Fjk U αβ (A ej , lα )G (A”e”k , l”β )G” = j,k α,β=1 ∞ (A ej , lα )G Fjk (A”∗ l”β , e”k )H” Uαβ = j,k α,β=1 34 ∞ (A Fk , lα )G (A”∗ Uα , e”k )H” = k α=1 ∞ ∞ |(A”∗ Uα , e”k )H” |2 |(A Fk , lα )G | ≤ k α=1 α=1 k ∞ ∞ = A Fk 2G A” ∗ Uα 2H” ≤ A A” ∗ α=1 k Fk 2H Uα G” α=1 k ∞ = A |Uαβ |2 |Fjk |2 A” α,β=1 j,k Bất đẳng thức nhận chứng tỏ tính hội tụ yếu chuỗi (2.2) đánh giá AF G ⊗G” ≤ A A” F H ⊗H” Suy ra, toán tử A liên tục Thác triển toán tử A từ bao tuyến tính L{f ⊗ f ”} lên tồn khơng gian H ⊗ H” ta nhận tốn tử trùng với toán tử A xây dựng từ (2.1) A ≤ A A” (2.3) c) Bây coi A tham gia vào chứng minh toán tử xác định hệ thức (2.1), ta nhận   ∞ fvj f ”vk AF = A  ej ⊗ e”k  v j,k=1 ∞ = fvj f ”vk j,k=1 (A ej ) ⊗ (A”e”k ) v (A fv ) ⊗ (A”f ”v ) = (A ⊗ A”)F = v Từ từ (2.1) ta nhận (A ⊗ A”)(f ⊗ f ”) G ⊗G” = Af Vậy, A ⊗ A” = A A” G A”f ” G” (2.4) 35 d) Dễ dàng chứng minh khẳng định d) Định lý 2.1, nhờ tính tuyến tính liên tục tốn tử A ⊗ A” 2.1.2 Một số tính chất tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục Giả sử H , H”, G , G”, T , T ” không gian Hilbert tách trường K (trường số thực trường số phức), (ej )j≥1 , (e”k )k≥1 , (lα )α≥1 , (l”β )β≥1 sở trực chuẩn tương ứng không gian H , H”, G , G”, toán tử tuyến tính liên tục A , B ánh xạ khơng gian H vào khơng gian G , tốn tử tuyến tính liên tục A”, B” ánh xạ khơng gian H” vào khơng gian G”; C : G → T , C” : G” → T ” Theo Định lý 1.5, tập hợp (ej ⊗ e”k )j,k≥1 , (lα ⊗ l”β )α,β≥1 sở trực chuẩn tương ứng không gian H ⊗ H”, G ⊗ G”, theo Định lý 2.1, tích tenxơ hai tốn tử tuyến tính liên tục tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian tương ứng Tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục có số tính chất sau: Tính chất a): (A + B ) ⊗ A” = A ⊗ A” + B ⊗ A” Chứng minh Lấy phần tử F ∈ H ⊗ H”, ta có Fjk ej ⊗ e”k = F = i,k≥1 (Fjk ej ) ⊗ e”k , j,k≥1 ta có [(A + B ) ⊗ A”]F = (A + B )Fjk ej ⊗ A”e”k j,k≥1 Fjk (A + B )ej ⊗ A”e”k = j,k≥1 Fjk (A ej + B ej ) ⊗ A”e”k = j,k≥1 Fjk (A ej ⊗ A”e”k ) + (B ej ⊗ A”e”k ) = j,k≥1 Fjk (A ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) + (B ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) = j,k≥1 36 Fjk (A ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) = j,k≥1 Fjk (B ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) + j,k≥1 Fjk ej ⊗ e”k Fjk ej ⊗ e”k + (B ⊗ A”) = (A ⊗ A”) j,k≥1 j,k≥1 = (A ⊗ A” + B ⊗ A”)F Suy (A + B ) ⊗ A” = A ⊗ A” + B ⊗ A” Tính chất b): A ⊗ (A” + B”) = A ⊗ A” + A ⊗ B” Chứng minh Lấy phần tử F ∈ H ⊗ H”, ta có Fjk ej ⊗ e”k = F = i,k≥1 (Fjk ej ) ⊗ e”k , j,k≥1 ta có A ⊗ (A” + B”) F = A Fjk ej ⊗ (A” + B”)e”k j,k≥1 Fjk [A ej ⊗ (A” + B”)e”k ] = j,k≥1 Fjk (A ej ⊗ A”e”k ) + (A ej ⊗ B”e”k ) = j,k≥1 Fjk (A ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) + (A ⊗ B”)(ej ⊗ e”k ) = j,k≥1 Fjk (A ⊗ A”)(ej ⊗ e”k ) + = j,k≥1 Fjk (A ⊗ B”)(ej ⊗ e”k ) + j,k≥1 = (A ⊗ A”) Fjk ej ⊗ e”k + (A ⊗ B”) j,k≥1 = (A ⊗ A” + A ⊗ B”)F Suy ra, A ⊗ (A” + B”) = A ⊗ A” + A ⊗ B” Tính chất c): λ(A ⊗ A”) = (λA ) ⊗ A” = A ⊗ (λA”) Fjk ej ⊗ e”k j,k≥1 37 Chứng minh Ta có (λA ⊗ A”)F = A ⊗ A”(λF ) (λFjk ej ) ⊗ e”k = A ⊗ A” j,k≥1 A (λFjk ej ) ⊗ A”e”k = j,k≥1 (λA )(Fjk ej ) ⊗ A”e”k = j,k≥1 (Fjk ej ) ⊗ e”k = (λA ) ⊗ A” j,k≥1 = (λA ) ⊗ A”)F Suy ra, λ(A ⊗ A”) = (λA ) ⊗ A” Chứng minh tương tự ta có: λ(A ⊗ A”) = A ⊗ (λA”) Vậy λ(A ⊗ A”) = (λA ) ⊗ A” = A ⊗ (λA”) Tính chất d): (C ⊗ C”)(A ⊗ A”) = (C A ) ⊗ (C”A”) Chứng minh Lấy phần tử F ∈ H ⊗ H”, ta có Fjk ej ⊗ e”k = F = i,k≥1 (Fjk ej ) ⊗ e”k , j,k≥1 (C ⊗ C”)(A ⊗ A”)F = (C ⊗ C”)[(A ⊗ A”)F ]  = (C ⊗ C”)  A (Fjk ej ) ⊗ A”e”k  j,k≥1 (C (A Fjk ej )) ⊗ (C”(A”e”k )) = j,k≥1 =  (C A )(Fjk ej ) ⊗ (C”A”)e”k j,k≥1 = (C A ) ⊗ (C”A”) Fjk ej ⊗ e”k j,k≥1 38 = (C A ) ⊗ (C”A”)F Nên (C ⊗ C”)(A ⊗ A”) = (C A ) ⊗ (C”A”) Tính chất e: (A ⊗ A”)∗ = A ∗ ⊗ A”∗ Chứng minh Theo Định lý 2.1, tốn tử tích tenxơ A ⊗ A” tuyến tính liên tục ánh xạ khơng gian H ⊗ H” vào không gian G ⊗ G”, nên theo định lý Riesz, tồn toán tử liên hợp (A ⊗ A”)∗ : G ⊗ G” → H ⊗ H” (A ⊗ A”)∗ = A ⊗ A” ∀F ∈ H ⊗H”, F = Fjk ej ⊗e”k , ∀U ∈ G ⊗G”, U = Uαβ lα ⊗l”β j,k≥1 α,β≥1 Ta có (F, (A ⊗ A”)∗ U )H ⊗H” =   Fjk ej ⊗ e”k , (A ⊗ A”)∗  j,k≥1 Uαβ lα ⊗ l”β  α,β≥1 H ⊗H”   = (A ⊗ A”) (Fjk ej ) ⊗ e”k , j,k≥1 Uαβ lα ⊗ l”β  α,β≥1 H ⊗H”   A (Fjk ej ) ⊗ A”e”k , = j,k≥1 Uαβ lα ⊗ l”β  α,β≥1 Fjk Uαβ (A ej ⊗ A”e”k ), lα ⊗ l”β = H ⊗H” G ⊗G” j,k,α,β≥1 Fjk Uαβ (A ej , lα )G (A”e”k , l”β )G” = j,k,α,β≥1 Fjk Uαβ (ej , A ∗ lα )H (e”k , A”∗ l”β )H” = j,k,α,β≥1 Fjk Uαβ (ej ⊗ e”k , A ∗ lα ⊗ A”∗ l”β )H ⊗H” = j,k,α,β≥1 39   Fjk ej ⊗ e”k , (A ∗ ⊗ A”∗ ) = α,β≥1 j,k≥1 ∗ Uαβ lα ⊗ l”β  H ⊗H” ∗ = (F, A ⊗ A” U )H ⊗H” Nên (A ⊗ A”)∗ = A ∗ ⊗ A”∗ Tính chất g): Nếu tốn tử A có tốn tử ngược A −1 tốn tử A” có tốn tử ngược A”−1 tốn tử A ⊗ A” có tốn tử ngược (A ⊗ A”)−1 = A −1 ⊗ A”−1 Chứng minh ∀F ∈ H ⊗ H”, F = Fjk ej ⊗ e”k , (A −1 ⊗ A”−1 )(A ⊗ A”)F = = (A −1 ⊗ A”−1 )(A ⊗ A”) Fjk ej ⊗ e”k j,k≥1 = (A −1 ⊗ A”−1 ) A (Fjk ej ) ⊗ A”e”k j,k≥1 = (A −1 ⊗ A”−1 ) Fjk (A ej ) ⊗ (A”e”k ) j,k≥1 Fjk A −1 (A ej ) ⊗ A”−1 (A”e”k ) = = j,k≥1 Fjk ej ⊗ e”k = F j,k≥1 Nên ∃(A ⊗ A”)−1 (A ⊗ A”)−1 = A −1 ⊗ A”−1 2.2 Ví dụ Ví dụ tích tenxơ hai tốn tử tuyến tính liên lục Cho hai tốn tử: A : Rn → Rn x → A(x) = (a1 x1 , a2 x2 , , an xn ) B : Rs → Rs y → B(y) = (b1 y1 , b2 y2 , , bs ys ) Với a = (a1 , , an ) b = (b1 , , bs ) phần tử cố định tương ứng khơng gian Rn , Rs , có sở trực chuẩn Rn , Rs 40 là: ei = (0, 0, , , , 0), fj = (0, 0, , , , 0) vị trí thứ i vị trí thứ j với i= 1,2, ,n, j = 1,2, ,s Theo sơ đồ tổng quát (2.1), ta có n A ⊗ B((x ⊗ y) = A ⊗ B s xi ei ⊗ i=1 n j=1 s A(xi ei ) ⊗ = yj f j i=1 B(yj fj ) j=1 Chứng minh Xét toán tử A : Rn → Rn ∀x, u ∈ Rn ; α, β ∈ P , với x = (x1 , x2 , , xn ), u = (u1 , u2 , , un ) Ta có A(αx + βu) = A(αx1 + βu1 , αx2 + βu2 , , αxn + βun ) = [a1 (αx1 + βu1 ), a2 (αx2 + βu2 ), , a(αxn + βun )] = (a1 αx1 + a1 βu1 , , an αxn + an βun ) = (a1 αx1 , a2 αx2 , , an αxn ) + (a1 βu1 , a2 βu2 , , an βun ) = α(a1 x1 , a2 x2 , , an xn ) + β(a1 u1 , a2 u2 , , an un ) = αAx + βAu Vậy A tuyến tính Ta chứng minh A bị chặn Ta có x = x21 + x22 + + x2n Suy Ax = ≤ a21 x21 + a22 x22 + + a2n x2n a21 + a22 + + a2n x21 + x22 + + x2n ≤ max(|ai |)ni=1 x 41 Suy A bị chặn Đặt ai0 = max(|ai |)ni=1 , với ei0 = (0, 0, , , , 0), ta có vị trí thứ i0 (ai0 1)2 = ai0 ei0 = ai0 Aei0 = Suy ra, A = ai0 = max(|ai |)ni=1 Chứng minh tương tự: Xét toán tử B : Rs → Rs ∀y, v ∈ Rs ; λ, γ ∈ P với y = (y1 , y2 , , ys ), v = (v1 , v2 , , vs ) Ta có B(λy + γv) = B(λ1 y1 + γ1 v1 , , λs ys + γs vs ) = [b1 (λ1 y1 + γ1 v1 ), , bs (λs ys + γs vs )] = (b1 λ1 y1 + b1 γ1 v1 , , bs λs ys + bs γs vs ) = (b1 λ1 y1 , b2 λ2 y2 , , bs λs ys ) + (b1 γ1 v1 , b2 γ2 v2 , , bs γs vs ) = λ(b1 y1 , b2 y2 , , bs ys ) + γ(b1 v1 , b2 v2 , , bs vs ) = λBy + γBv Vậy B tuyến tính Ta chứng minh B bị chặn Ta có y = y12 + y22 + + ys2 Suy By = ≤ b21 y12 + + b2s ys2 b21 + + b2s y12 + + ys2 ≤ max(|bj |)sj=1 y Suy B bị chặn Đặt bj0 = max(|bj |)nj=1 , với fj0 = (0, 0, , , , 0) ta có vị trí thứ j0 Bfj0 = (bj0 1)2 = bj0 fj0 = bj0 42 Theo chứng minh Định lý 2.1, ta có A ⊗ B = A B = max(|ai |)ni=1 max(|bj |)sj=1 = ai0 bj0 43 Kết Luận Qua đề tài "tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" luận văn trình bày chi tiết vấn đề nghiên cứu sau: Hệ thống kiến thức không gian Hilbert Giới thiệu chứng minh số định lý quan trọng không gian Hilbert, có khơng gian Hilbert tách Rn , L2 Đưa khái niệm tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục phát biểu chứng minh tính chất "tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn thành 44 Tài liệu tham khảo [1] Akhieder N.I, Gladman I.M, Lý thuyết toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert(tập 1),Kharkov [2] Beredanxki Yu.M(1965), Khai triển theo hàm riêng toán tử tự liên hợp, (NXB Khoa Học),Kiev [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật Hà Nội ... Chương Tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 31 2.1 Khái niệm tích Tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục 31 2.1.1 Sơ đồ tổng quát Berezanxki tích tenxơ hai tốn tử tuyến tính liên tục. .. Trình bày cách hệ thống tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục tác dụng tích tenxơ khơng gian Hilbert tách Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" Phương... Nguyễn Phụ Hy, tơi chọn đề tài: "Tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích tenxơ tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert tách Các ứng dụng kết vào không gian