Toán tử tuyến tính liên tục

GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư LỜI CẢM ƠN  Đến thời điểm này, luận văn tốt nghiệp đại học em hoàn thành Để có luận văn tốt nghiệp này, cố gắng từ thân có hướng dẫn tận tình thầy Lê Hồng Đức – cán hướng dẫn, quý thầy cô đến từ môn Toán khoa Sư phạm truyền đạt kiến thức khoa học quý báu cho em bốn năm học vừa qua Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Lê Hồng Đức, thầy trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành đề tài Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, bạn đến từ lớp Sư Phạm Toán học 01 Khóa 38 giúp đỡ em, ủng hộ tinh thần cho em Mặc dù cố gắng thực đề tài cẩn trọng trình trình bày luận văn chắn tránh khỏi sai sót Rất mong nhận bảo quý thầy cô ý kiến đóng góp từ bạn để luận văn hoàn chỉnh Lê Thị Anh Thư GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: Kiến thức chuẩn bị § Không gian định chuẩn § Không gian Hilbert 11 Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn 17 § Toán tử tuyến tính liên tục 17 § Toán tử compact 35 § Phiếm hàm tuyến tính không gian định chuẩn 43 § Phổ toán tử tuyến tính 49 § Bài tập 52 Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 67 § Phiếm hàm tuyến tính liên tục song tuyến tính liên tục không gian Hilbert 67 § Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 73 § Bài tập 91 KẾT LUẬN 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 110 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Giải tích hàm đóng vai trò vô quan trọng giải tích nhiều lĩnh vực khác Toán học Một hướng nghiên cứu giải tích hàm lí thuyết toán tử Lí thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu không gian định chuẩn đặc biệt không gian Hilbert Theo việc mở rộng kết ánh xạ (toán tử) liên tục không gian cụ thể phát triển thêm bước đưa cho nhiều kết thú vị Vậy toán tử tuyến tính liên tục không gian có đặc trưng, tính chất riêng biệt, vấn đề hay mà tìm hiểu nghiên cứu sâu Qua gợi ý thầy Lê Hồng Đức, em định lựa chọn đề tài “Toán tử tuyến tính liên tục không gian” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm giúp tìm hiểu sâu kiến thức lí thuyết toán tử toán tử tuyến tính liên tục không gian, đặc biệt không gian tuyến tính định chuẩn không gian Hilbert Qua đó, đưa nhận xét giống khác tính tuyến tính liên tục hai không gian Đồng thời, em tìm xây dựng hệ thống tập phù hợp với nội dung trình bày góp phần để khắc sâu củng cố lại kiến thức cho người đọc III Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính chất đặc trưng toán tử tuyến tính liên tục không gian, đặc biệt không gian định chuẩn không gian Hilbert IV Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu tham khảo tổng hợp kiến thức từ nguồn tài liệu khác nhau, từ phân tích, so sánh để tìm hiểu làm sáng tỏ vấn đề, sau trình bày lại theo hệ thống logic GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư V Nội dung nghiên cứu Luận văn tìm hiểu qua chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Ở chương này, luận văn trình bày cách khái quát kiến thức lí thuyết giải tích hàm, đặc biệt định lí tính chất không gian định chuẩn không gian Hilbert nhằm làm sở cho việc nghiên cứu đặc trưng “Toán tử tuyến tính liên tục không gian” chương sau Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn Ở chương này, luận văn trình bày định nghĩa tính chất quan trọng toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn Đồng thời, tìm hiểu sâu toán tử compact phổ nó, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử hữu hạn chiều, không gian liên hợp, Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Ở chương này, luận văn thể ảnh hưởng tích vô hướng đến toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Đồng thời, chương cho ta tính chất định nghĩa đặc trưng mà có toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert có GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư PHẦN NỘI DUNG    Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § 1: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính trường vô hướng K (K trường số thực trường số phức) Một hàm số thực : X  gọi chuẩn không gian X thỏa mãn tính chất sau: i) x  x  X x   x  ; ii)  x    x , x  X ,   K ; iii) x  y  x  y , x, y  X Không gian tuyến tính X với chuẩn xác định X gọi không gian định chuẩn Kí hiệu:  X ,  Nếu trường K  ) ta gọi  X ,  không gian định chuẩn (hay K  thực (hay phức) Giả sử  X ,  không gian định chuẩn, ta đặt d  x, y   x  y với x, y  X khoảng cách X Vậy không gian định chuẩn không gian mêtric Do lý thuyết không gian mêtric áp dụng cho không gian định chuẩn Nhận xét n a) n  x i 1 i i   i xi , với xi  X , i  K , i  ; i 1 b) x  y  x  y với x, y  X 1.1.2 Ví dụ a) Tập n n Khi đó, với chuẩn x   n x i 1 n i , x   x1 , x2 , , xn   n gọi chuẩn ,  gọi không gian định chuẩn n chiều b) Tập hợp C a ,b hàm số liên tục  a, b  không gian định chuẩn với chuẩn x  max x  t  t a ,b GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư c) B(T )  x : T  K với x số, sup x (t )   không gian định tT chuẩn với chuẩn xác định x  sup x(t ) tT    d) Gọi l2   x  1 ,  , , i ,  , i  K :  i    , l2 không gian định i 1    2 chuẩn với chuẩn x    i  với x  i   l2  i 1  1.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Dãy  xn  dãy phần tử X gọi hội tụ x0  X nếu:  lim xn  x0  n  Kí hiệu: lim xn  x0 hay xn  x0  n    n 1.2.2 Các tính chất Trong không gian tuyến tính định chuẩn  X ,  a) Nếu dãy  xn  hội tụ tới x, dãy chuẩn  x  hội tụ tới n x Nói cách khác, chuẩn hàm liên tục theo biến x b) Nếu dãy điểm  xn  hội tụ không gian định chuẩn X tồn M cho xn  M , n c) Nếu dãy  xn  hội tụ tới x, dãy  yn  hội tụ tới y dãy số  n  hội tụ tới số  thì: xn  yn  x  y  n     n xn   x  n    1.2.3 Định nghĩa Cho  xn n dãy không gian định chuẩn X Dãy  xn n gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim xm  xn  m , n  Tức   0, N  : n, m  N ta có: xm  xn   1.3 Không gian Banach 1.3.1 Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn  X ,  gọi không gian Banach X không gian mêtric đầy với mêtric d  x, y   x  y , tức dãy Cauchy X hội tụ 1.3.2 Ví dụ a) Không gian n không gian Banach với chuẩn xác định: GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  n 2 x    xi  với x  ( x1 , x2 , , xn )   i 1  n b) Tập hợp C a ,b hàm số liên tục  a, b  không gian Banach với chuẩn x  max x  t  t a ,b Ta dễ dàng chứng minh không gian n C a ,b hai không gian Banach c) B(T ) không gian Banach với chuẩn xác định x  sup x(t ) tT Thật vậy, + Dễ thấy, B(T) không gian định chuẩn + Lấy dãy Cauchy  xn  B(T), đó:   0, N0  0, n, m  N0  xn  xm    sup xn (t )  xm (t )   tT  xn (t )  xm (t )   , t  T (1.1)  t T ta có: xn (t )  xm (t )   Vậy với t T dãy xn  t  dãy Cauchy K, K không gian đầy nên xn  t  hội tụ K   lim xn  t  n Đặt x0  t  : T  K x0  t   lim xn  t  s t n Từ 1.1  lim xn  t   xm  t    , n  N m   xn  t   lim xm  t    m   xn  t   x0  t    , t  T (1.2) Nên sup  xn  x0   t    tT Vậy hàm số  xn  x0  thuộc B(T ) , x0  xn  ( xn  x0 ) thuộc B(T ) Mặt khác, từ 1.2  xn  t   x0  t      xn  x0   t     lim sup  xn  x0   t   nên lim xn  x0  n  tT n  Vậy B(T ) không gian Banach 1.4 Định nghĩa Trên không gian tuyến tính X xác định hai chuẩn Ta nói: GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư - Chuẩn mạnh chuẩn tồn số dương M cho x  M x - Chuẩn chuẩn tương đương tồn hai số thực dương m M cho m x  x  M x 1.5 Chuỗi không gian định chuẩn 1.5.1 Định nghĩa Giả sử  xn n dãy phần tử không gian tuyến tính định chuẩn X Tổng vô hạn x1  x2   xk  gọi chuỗi không gian định  chuẩn X Kí hiệu:  xk k 1 n Phần tử Sn   xk gọi tổng riêng thứ n chuỗi Nếu dãy Sn  hội k 1  x tụ đến phần tử S X ta nói chuỗi k 1 k hội tụ có tổng S Kí hiệu:  S   xk k 1   Chuỗi x k 1 k  gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi k 1 xk hội tụ 1.5.2 Định lí Nếu chuỗi   x n 1 n    n 1 n 1 n 1  xn ,  yn hội tụ có tổng x, y chuỗi   xn  yn  , hội tụ có tổng x  y ,  x 1.5.3 Định lí  Giả sử X không gian Banach Khi đó, chuỗi x n 1 n hội tụ khi:   0, N  cho n  N , p ta có: xn 1  xn    xn  p   1.5.4 Định lí  Nếu X không gian Banach x n 1  chuỗi  xn hội tụ có n 1   n 1 n 1 n chuỗi hội tụ tuyệt đối X  xn   xn 1.5.5 Định lí Nếu không gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ X không gian Banach GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư 1.6 Không gian 1.6.1 Định nghĩa Giả sử  X ,  không gian tuyến tính định chuẩn L không gian tuyến tính X Khi hàm số L:X  x x L  x , x  L chuẩn L Không gian tuyến tính định chuẩn  L, L  gọi không gian không gian tuyến tính định chuẩn  X ,  1.6.2 Nhận xét - Không gian đóng không gian Banach không gian Banach - Không gian đầy đủ không gian tuyến tính định chuẩn X không gian đóng X 1.6.3 Định lí Riesz Giả sử L không gian đóng thật không gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó, với số  mà    1, tồn phần tử z X cho z  x  z   với x  L 1.7 Không gian thương 1.7.1 Định nghĩa Giả sử L không gian đóng không gian tuyến tính định chuẩn X   Kí hiệu X / L  x  x  L : x  X tập thương X theo quan hệ tương đương Trên X/L ta trang bị chuẩn sau: :X /L x x  inf y  inf x  u yX uL Khi đó, X/L không gian định chuẩn Không gian gọi không gian định chuẩn thương không gian định chuẩn X theo không gian đóng L 1.7.2 Định lí Cho X không gian Banach L không gian đóng X X/L không gian Banach 1.8 Tích không gian tuyến tính định chuẩn 1.8.1 Định nghĩa Giả sử  X ,  , ,  X m , m  m không gian tuyến tính định chuẩn, tích m m không gian tuyến tính X , , X m không gian tuyến tính X   X k với phép cộng k 1 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư phép nhân vô hướng xác định cách thông thường Với m x   x1 , , xm   X , ta có: x   xk k 1 (1.3) k m Không gian tuyến tính X   X k với chuẩn (1.3) gọi tích không gian k 1 tuyến tính định chuẩn  X ,  , ,  X m , m     Nhận xét: Dãy phần tử x n  x1 n , , xm n , n  1, 2, hội tụ đến phần tử   m 0     x   x1  , , xm  không gian X   X k lim xk  xk k 1 n n không gian X k , (với k  1,2, , m ) 1.8.2 Định lí Giả sử  X ,  ,  k  1, 2, , m không gian tuyến tính định chuẩn k k k m Khi đó, X   X k không gian Banach X k ,(k  1, 2, , m) k 1 không gian Banach 1.9 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 1.9.1 Định nghĩa Cho không gian tuyến tính định chuẩn X Nếu X có số chiều hữu hạn X gọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều 1.9.2 Ví dụ n không gian định chuẩn n – chiều với sở e1 , e2 , , en  , e1  1,0, ,0  , e2   0,1,0, ,0  , , en   0, ,0,1 10 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Và z *  u Xét phiếm hàm x* : X  K x x, u Ta có x* phiếm hàm tuyến tính liên tục X x*  u Chứng minh x* Giả sử tồn y *  X * cho: y * L  z * y *  z *  u Khi !v  X : y *  x   x, v , x  X y *  v Suy u  v x, v  x, u , x  L  x, u  v  0, x  L  v  u   L Do theo đẳng thức Pythagore ta được: v  v  u  u  v  u  u 2 2  v u  v u  y*  x* Hay x* II TOÁN TỬ LIÊN HỢP VÀ TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP Bài tập 8: Chứng minh toán tử A : L2  0,1  L2  0,1 xác định t Ax  t    x  s  ds, t   0,1 tuyến tính liên tục tìm toán tử liên hợp A Giải Dễ thấy A toán tử tuyến tính 1 Ta có: Ax  Ax, Ax   Ax  t  dt    Ax  t   dt 2 2 t t        x  s  ds  dt     x  s  ds  dt 00 00   t t      x  s  ds  dt   x  s  ds  x 00   Ax  x  A liên tục Do A toán tử tuyến tính liên tục Ta lại có: A* x, y  x, Ay 96 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư t t     x, Ay    x  t   y  s  ds dt    x  t   y  s ds dt   0 0   t du  y  t dt  u  y s ds     0 t  Đặt  dv  x t dt v   x  s  ds    t   x, Ay   y  s ds  x  s  ds     x  s  ds  y  t dt 0 00  1 t     y  s ds  x  s  ds     x  s  ds  y  t dt 0 00  t t 1 1 t         x  s  ds  y  s ds     x  s  ds  y  t dt 00 00   1 t       x  s  ds   x  s  ds  y  t dt 00  1       x  s  ds  y  t dt 0 t  t Ta có: A x, y    A* x  t   y  t dt * A x, y  x, Ay * Nên A x  t    x  s  ds * t Bài tập 9: Tìm toán tử liên hợp toán tử A : L2  0,1  L2  0,1 xác định sau: a) Ax  t    tx  s  ds, t   0,1 ; t b) Bx  t    sx  s  ds, t   0,1 Giải a) Dễ thấy A toán tử tuyến tính, ta có: 97 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư   1 Ax  Ax, Ax   Ax  t  dt    tx  s  ds dt   t 2 0  x  s  ds 1  1  2   t   x  s  ds  dt   t   x  s  ds  dt  x 0 0  0   Ax  x  A bị chặn  A liên tục Do A toán tử tuyến tính liên tục Ta có: A* x, y  x, Ay dt 2 2  t dt  2 x 1 1     x, Ay    x  t   ty  s  ds  dt    tx  t   y  s ds  dt   tx  t  dt  y  s ds   0 0 0   1 1         tx  t  dt  y  s ds     sx  s  ds  y  t dt 00 00   1 A x, y   A* x  t  y  t dt *  A x  t    sx  s  ds * b) Dễ thấy B toán tử tuyến tính   Ta có: Bx  Bx, Bx   Bx  t  dt Mà Bx  t  2 2 1  1    sx  s  ds    sx  s  ds     s x  s  ds  0  0  1   s ds  x  s  ds  0 1 2 x dt  x 3  Bx   x  B bị chặn  B liên tục Do đó, B toán tử tuyến tính liên tục  Bx  98 x 2 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Ta có: B* x, y  x, By 1 1     x, By    x  t   sy  s  ds dt    x  t   s y  s ds dt   sx  t  y  s dsdt   0 0 0   1 1 1       sx  t  y  s dtds     sx  t  dt  y  s ds     tx  s  ds  y  t dt 0 00 00   1 B x, y   B* x  t  y  t dt *  B x  t    tx  s  ds * Bài tập 10: Tìm toán tử liên hợp toán tử cho đây: a) Ax   0, x1 , x2 , , xn ,  , x   xn   l2 ; b) Ax   0, x1 ,0, x2 , ,0, xn ,  , x   xn   l2 Giải a) Dễ thấy A toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn toán tử liên hợp A* x   x1 , x2 ,  , y   y1 , y2 ,   l2 Ta có: Ax, y  y1  x1 y2  x2 y3   x1 y2  x2 y3   x, A* y  A* y   y2 , y3 ,  b) Dễ thấy A toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn toán tử liên hợp A* x   x1 , x2 ,  , y   y1 , y2 ,   l2 Ta có: Ax, y  y1  x1 y2  y3  x2 y4  x1 y2  x2 y4   x, A* y  A* y   y2 , y4 ,  Bài tập 11: Giả sử u, v hai phần tử cố định không gian Hilbert X, A : X  X toán tử xác định Ax  x, u v, x  X Tìm toán tử liên hợp A* A Giải Dễ thấy A toán tử tuyến tính Ta có: Ax  x, u v  x, u v  u v x  A  u v  A bị chặn Do A toán tử tuyến tính liên tục Ta có: A* x, y  x, Ay  x, y, u v  y, u x, v  u, y x, v  x, v u, y  x, v u, y 99 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  A* x  x, v u Bài tập 12: Giả sử  aik  với i, k  1,2,3, ma trận vô hạn, aik  số phức thỏa mãn điều kiện   a ik i 1 i 1 Ax  i  , i    , với x   k   l2 , ta đặt   a  , i  1, 2,3, k 1 ik k a) Chứng minh A toán tử tuyến tính liên tục từ l2 vào l2 b) Xác định toán tử liên hợp A* A Nêu điều kiện để A toán tử tự liên hợp Giải a) Xét toán tử A : l2  l2  Ax  i    aik  k x  i  k 1 Dễ dàng chứng minh A toán tử tuyến tính  Ta chứng minh chuỗi a  k 1 Ta có: i   a  k 1 ik k hội tụ Ax  i   l2 ik k 2          aik  k     aik  k   k 1   k 1        2 2    aik    k     aik  x    k 1  k 1   k 1  (3.38)    aik  k hội tụ l2 k 1    aik  k hội tụ l2 k 1  Từ (3.38) suy ra:   i 1  k 1        i     aik  x    aik  x   i 1 2   i 1 2  k 1     2 2  Ax  i   l2 ta có: Ax    i     aik  x  i 1   i ,k 1   A liên tục Vậy A toán tử tuyến tính liên tục từ l2 vào l2 b) Gọi  bik  với i, k  1,2,3, ma trận vô hạn xác định toán tự liên hợp A* A Khi đó, với x, y  l2 , ta có: Ax, y  x, A* y 100 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư i  j  với i  j  0 Ta lấy x  em   mk k 1, y  en   nk k 1, ,  i , j   1 i, j  1, 2,3, Ta Aem , en  em , A*en (3.39)       Mà Aem    aik mk  Aen    bik nk    aim    bin  i 1,  i 1,   k 1  k 1 i 1, i 1,   i 1 i 1 * Nên Aem , en   aim ni  amn em , A en    mi bin  bmn (3.40) Từ (3.39) (3.40) ta được: anm  bmn hay bmn  anm Vậy toán tử A* xác định ma trận  bik  bik  aki Tóm lại: A toán tử tự liên hợp  aki  aik , i, k  1, 2,3, Bài tập 13: Cho dãy số phức an  , không gian Hilbert l2 , xét toán tử A : l2  l2 x   xn  Ax  an xn  a) Dãy số an  thỏa mãn điểu kiện để an xn   l2 , Ax  l2 , x  l2 ? Với điều kiện tìm chứng minh A toán tử tuyến tính liên tục tìm A b) Dãy số an  phải thỏa mãn điều kiện để A toán tử tự liên hợp Giải a) Nếu an  bị chặn, M  : sup an  M n  an  M , n     an xn   Mxn  M n 1  n 1 x n 1 n   (Vì x   xn   l2 nên  an xn   l2  Ax  l2 Nếu an  không bị chặn     ank  an  : ank  k , k Gọi x   xn  Khi đó, ta có: n  nk 0  thỏa mãn x   a  nk  x n 1 n   k 1 n  nk  k 101  x n 1 n  ) GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  x  l2 Nhưng Ax  l2  a x n n n 1   k  1   k k 1 k 1 Vậy điều kiện cần đủ để Ax  l2 dãy an  bị chặn Khi A ánh xạ từ l2 vào Dễ thấy A toán tử tuyến tính Ta có: Ax    an n 1 xn  M  x n 1 n M x  A bị chặn A  M  A toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, M  sup an nên:   0, n : an  M   n Do đó, A  sup Ax  Aen  an  M   x 1  A M Vậy A  M b) Để A toán tử tự liên hợp trước tiên A phải toán tử tuyến tính liên tục Do đó, dãy an  bị chặn A toán tử tự liên hợp khi: Ax, y  x, Ay , x   x n  , y   yn   l2   n 1 n 1   n 1 n 1   an xn yn   xn an yn   an xn yn   an xn yn  an  Vậy để A toán tử tự liên hợp dãy an  dãy số thực bị chặn III TOÁN TỬ DƯƠNG – TOÁN TỬ CHIẾU Bài tập 14: Giả sử X không gian Hilbert Chứng minh phép chiếu trực giao lên không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert toán tử dương Giải + Gọi M không gian tuyến tính đóng X A : X  M phép chiếu trực giao từ không gian X lên không gian đóng M x  X x  Ax   x  Ax  đó: Ax  M , x  Ax  M  Do đó: x, y  X ta có: Ax, y  Ax, Ay   y  Ay  102 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  Ax, Ay  Ax, y  Ay  Ax, Ay (3.41) Tương tự: x, Ay  Ax, Ay (3.42) Từ (3.41) (3.42) suy ra: Ax, y  x, Ay Vậy A toán tử tự liên hợp + Mặt khác, A toán tử chiếu nên A  A2 Khi đó: Ax, x  A2 x, x  Ax, Ax  Vậy A toán tử dương Bài tập 15: Giả sử A toán tử dương không gian Hilbert X Chứng minh  Ax, x  : x  0 rằng: A  sup   x, x  Giải + Vì A toán tử dương nên ta có: Ax  A x, x 2 Ax Ax Ax, x  A  sup  sup A Từ A  sup x x, x x0 x0 x0 x  A  sup x0 Ax, x x, x (3.43) + Mặt khác, ta có: Ax, x  Ax x  A x  A  sup x0 Ax, x x, x (3.44) Từ (3.43) (3.44) suy ra: A  sup x0 Ax, x x, x Bài tập 16: Giả sử X không gian Hilbert, A  L  X  Khi đó, A toán tử chiếu A2  A, Ax, x  Ax , x  X Giải   Giả sử A toán tử chiếu lên không gian đóng M X Khi đó, với x  X ta có: x  Ax   x  Ax  với Ax  M , x  Ax  M   Ax, x  Ax, Ax   x  Ax   Ax, Ax  Ax   Do Ax  Ax, x  x, A* x , x  X (3.45)  x, A* x số thực  x, A* x  A* x, x (3.46) Từ (3.45) (3.46) suy ra: Ax, x  A* x, x  A  A* Mà A2  A nên A toán tử chiếu 103 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Bài tập 17: Giả sử X không gian Hilbert khả li, vô hạn chiều F không gian đóng X Chứng minh F vô hạn chiều F đẳng cự tuyến tính với X Giải Vì F không gian đóng X nên F không gian Hilbert Do X khả li nên F khả li Nếu F vô hạn chiều F X đẳng cấu với nên X F đẳng cự tuyến tính IV TOÁN TỬ COMPACT TỰ LIÊN HỢP Bài tập 18: Cho X không gian Hilbert, A  L  X  A A* toán tử compact Chứng minh A toán tử compact Giải Gọi S hình cầu đóng đơn vị X Vì A A* toán tử compact nên A A*  S   A  A*  S   tập compact tương đối Gọi  xn  dãy phần tử thuộc S Khi đó, A  A*  xn   dãy phần tử thuộc A  A*  S      hội tụ  A  A*  xn   có dãy hội tụ  A A* xnk    dãy Cauchy  A A* xnk Khi đó, ta có: A* xnk  A* xmk  A* xnk  A* xmk , A* xnk  A* xmk     x x A A  x  x   A  A  x  x     k     xnk  xmk , A A* xnk  xmk * nk mk nk mk * nk mk    A  x  hội tụ  A* xnk dãy Cauchy không gian đầy đủ X * nk  A* toán tử compact  A toán tử compact Bài tập 19: Giả sử X không gian Hilbert A  L  X  Chứng minh A toán tử compact toán tử liên hợp A* A compact Giải 104 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức   hình cầu đơn vị mở không gian Hilbert X BX Gọi Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  xn   BX Do BX hình cầu mở X A* liên tục nên A*  BX  tập bị chặn X  AA*  BX  tập compact tương đối (do A toán tử compact)     A A  B    A  A x    A  A x  cho  A  A x  hội tụ Mà A A* xn * X * * * nk nk n k , l nguyên dương ta có: A* xnk  A* xnl   A* xnk  xnl     A A  x  x  , x  A* xnk  xnl , A* xnk  xnl  * nk nl  nk   xnl   A A* xnk  xnl , xnk  xnl Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarts ta được: A* xnk  A* xnl   A A* xnk  xnl  xnk  xnl l , k   A A* xnk  A A* xnl xnk  xnl  0     A x  hội tụ X  A* xnk dãy Cauchy X * nk Đảo lại, A* toán tử compact từ điều vừa chứng minh ta có A  A** toán tử compact Bài tập 20: Giả sử en  sở trực chuẩn không gian Hilbert X, Y không gian Banach, A  L  X , Y  chuỗi   n 1 Aen hội tụ Chứng minh A toán tử compact Giải Với n, ta xét ánh xạ: An : X  Y n An x   x, ek Aek toán tử compact x k 1 Thật vậy: + Dễ dàng chứng minh An toán tử tuyến tính + Ta có: An x  2 n  k 1 x, ek Aek  n   A   x, ek ek   k 1  105 (3.47) GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư  A 2 n   A x, ek ek k 1 2 x  An x  A x  An liên tục với n (3.48) Từ (3.47) (3.48) suy An  L  X , Y  , n Mặt khác, Im An   An x : x  X   Lin e1 , e2 , , en   dim  Im An    Chứng minh lim A  An  n Vì en  sở trực chuẩn không gian Hilbert X nên với x  X  n ta có: x   x, en en  lim  x, ek ek n n 1 k 1 n   Do A liên tục suy ra: Ax  A  lim  x, ek ek   n k 1  n  Ax  lim  x, ek Aek n  k 1   Ax   x, en Aen n 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: Ax  An x     n 1 n x, en Aen   x, ek Aek k  n 1  k 1   x, ek   k  n 1 Aek  x  x, ek Aek k  n 1  2   k  n 1 Aek , x  X 2   2 Do đó:  A  An  x    Aek  x , x  X  k  n1    2 n   A  An    Aek    (Do  k n 1   lim A  An    n 1 Aen hội tụ) n  Vậy A toán tử compact Bài tập 21: Cho X không gian Hilbert, A  L  X  toán tử tự liên hợp Chứng minh điều kiện cần đủ để  giá trị quy A tồn số   cho: Ax   x   x, x  X 106 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Giải   Giả sử  giá trị quy A  A  A   I có toán tử ngược liên tục    : A x   x , x  X  Ax   x   x , x  X   Giả sử tồn số   cho:   A    x   x, x  X Ax   x   x, x  X (3.49)  A  A   I có toán tử ngược A1 : Im A  X bị chặn  A phép đồng phôi tuyến tính từ X vào Im A  Im A đồng phôi tuyến tính với X Mà X không gian Banach nên Im A không gian Banach Do Im A không gian tuyến tính đóng X Khi ta được: X  KerA*  Im A  KerA*  Im A Giả sử Im A  X Khi KerA*   x0  L2  0,1 : A* x0   A* x0   A   I  x0  A* x0   x0  Ax0   x0  *   giá trị riêng A Vì A toán tử tự liên hợp nên  số thực Do    Ax0   x0    A    x0  mâu thuẫn với (3.49) Vậy Im A  X A phép đồng phôi tuyến tính từ X lên X Hay  giá trị quy A Bài tập 22: Giả sử X không gian Hilbert, A  L  X  toán tử compact tự liên hợp, en  hệ thống trực chuẩn vectơ riêng A Chứng minh en  sở trực chuẩn X A đơn ánh Giải   Giả sử A đơn ánh Vì A  L  X  toán tử compact tự liên hợp nên với x  X , tồn x0  X mà Ax0  cho x biểu diễn dạng: x  x0   x, en en (3.50) n Do A đơn ánh nên từ Ax0   x0  Từ (3.50) suy x   x, en en n 107 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Vậy en  sở trực chuẩn X   Giả sử A đơn ánh Khi đó, tồn vectơ x0  X cho: Ax0  Gọi n  dãy giá trị riêng A ứng với hệ thống trực chuẩn en  Với n ta có: n en , x0  nen , x0  Aen , x0  en , Ax0  en ,0  (3.51) Vì n  nên từ (3.51) suy en , x0  , tức x0  en , n Do đó, en  sở trực chuẩn X (trái với giả thiết en  sở trực chuẩn X) Vậy A đơn ánh 108 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư KẾT LUẬN Đề tài trình bày đặc trưng toán tử tuyến tính liên tục không gian Bên cạnh việc nhắc lại tính chất lí thuyết giải tích hàm, luận văn đưa phân tích tính chất mối quan hệ tính tuyến tính liên tục toán tử không gian định chuẩn, không gian Hilbert số không gian cụ khác Hệ thống tập lựa chọn với nhiều nội dung khác liên quan đến toán tử tuyến tính liên tục không gian, phiếm hàm tuyến tính, toán tử compact phổ chúng, không gian liên hợp, Do hạn chế trình độ thời gian thực đề tài nên sai xót hạn chế luận văn điều không tránh khỏi Rất mong nhận đóng góp từ quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện 109 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2000 [2] Phạm Đình Đồng, Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2008 [3] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, 2000 [4] Nguyễn Văn Khuê, Bài tập Tôpô tuyến tính Banach – Hilbert, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [5] Nguyễn Văn Khuê, Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [6] Nguyễn Văn Khuê, Bài tập Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [7] Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, tập tập 2, NXB Giáo dục, 2001 [8] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1994 [9] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2007 [10] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1999 [11] Nguyễn Hữu Khánh, Giải tích hàm, NXB Đại học Cần Thơ, 2014 Tiếng Anh [12] K Chandrrasekhara Rao, Functional Analysis [13] Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw – Hill, New York, 1973 110 [...]... là toán tử tuyến tính liên tục 2) Xét toán tử A : n  n x Ax   x    0 + Dễ thấy, A là toán tử tuyến tính + Lấy  xn   n : xn  x0   0 Khi đó, ta có: n n  Axn  Ax0   xn   x0   xn  x0  0  A liên tục Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục c) Định lí Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn Nếu toán tử tuyến tính A : X  Y liên tục tại một điểm x0  X thì nó liên tục. .. của toán tử A, kí hiệu A Ta có: i) A  x, y   A  x  y   ii) A  sup A  x, y  : x  1, y  1 1.3 Toán tử ngược 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi A là song ánh thì tồn tại toán tử tuyến tính ngược A1 Nếu A1 liên tục thì A1 được gọi là toán tử ngược của toán tử tuyến tính liên tục A 1.3.2 Định lí Giả sử A là toán tử tuyến. .. Ax x 1.2 Toán tử song tuyến tính Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính định chuẩn và toán tử A : X  Y  Z A là toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định thì A  x, y  là toán tử tuyến tính từ X vào Z và với mỗi x cố định thì A  x, y  là toán tử tuyến tính từ Y vào Z Khi đó: + Toán tử A gọi là liên tục nếu với mọi dãy xn  x, yn  y , ta có: A  xn , yn   A  x, y  + Toán tử A gọi là... , B : Y  Z là các toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, B A : X  Z cũng là một toán tử tuyến tính liên tục và có: B A  B  A A1  y   21 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Chứng minh Bởi vì A, B là các toán tử tuyến tính liên tục nên tích B A cũng là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, lấy x  X , ta có:  B A x  B  Ax   B  Ax  B  A  x Do đó, B liên tục và có B A  B ... y   A liên tục với mọi x  K n   Khi x  0  A1 x  0  0  B x  A liên tục tại x  0  A liên tục Vậy A là phép đồng phôi b) Định lí Mọi toán tử tuyến tính đi từ không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều vào không gian tuyến tính định chuẩn bất kì đều liên tục Chứng minh Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn n chiều Toán tử tuyến tính A : X  Y là một toán tử tuyến tính từ X...  B liên tục   I  A  liên tục 1 Và B  1 1 1   I  A  1 A 1 A + Do  I  A liên tục và  I  A liên tục   I  A là phép đồng phôi 1 1.4 Không gian các toán tử tuyến tính liên tục 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Gọi L  X , Y  là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó, L  X , Y  được gọi là không gian các toán tử tuyến. .. được) 16 GVHD: Th.s Lê Hồng Đức Sinh viên: Lê Thị Anh Thư Chương 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN § 1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Toán tử tuyến tính a) Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính trên trường K Ánh xạ A : X  Y được gọi là toán tử tuyến tính (hay gọi tắt là toán tử) nếu x, y  X ,  ,   K ta có: A  x   y    Ax   Ay... A  B  A 1.1.4 Chuẩn của toán tử a) Định nghĩa Cho A : X  Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó, số: A  inf M : x  X , Ax  M x  (2.6) gọi là chuẩn của toán tử A b) Định lí Giả sử A : X  Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó: i)... ra, A1 1 y1   2 y2   1 x1   2 x2  1 A1 y1   2 A1 y2 Vậy A1 là toán tử tuyến tính 1.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục a) Định nghĩa Giả sử  X , X  và  Y , Y  là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng một trường K Ánh xạ A : X  Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục  A  x   y    A  x    A  y   ,   K , x, y  X Tức là A... B : Y  Z là các toán tử tuyến tính, thì tích B A : X  Z cũng là một toán tử tuyến tính b) Ví dụ 1 Ánh xạ không, 0: X  Y x 0  x   0Y là ánh xạ tuyến tính 2 Ánh xạ đồng nhất I : X  X x I  x  x là toán tử tuyến tính trên X (toán tử đồng nhất) 3 Phép lấy tích phân xác định: Ca ,b  f  x b  f  x  dx a Là toán tử tuyến tính từ không gian C a ,b các hàm số thực liên tục trên đoạn  a, b