Toán tử tuyến tính liên tục

Vậy toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian trên có những đặc trưng, tính chất gì riêng biệt, đó là một vấn đề rất hay mà chúng ta có thể tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn.. Mục đí

LỜI CẢM ƠN

  

Đến thời điểm này, luận văn tốt nghiệp đại học của em đã được hoàn thành Để có được bản luận văn tốt nghiệp này, ngoài sự cố gắng từ bản thân còn có sự hướng dẫn tận tình của thầy Lê Hồng Đức – cán bộ hướng dẫn, quý thầy cô đến từ bộ môn Toán khoa Sư phạm đã truyền đạt những kiến thức khoa học quý báu cho em trong bốn năm học vừa qua

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Lê Hồng Đức, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài

Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, các bạn đến từ lớp Sư Phạm Toán học 01 Khóa 38 đã giúp đỡ em, ủng hộ tinh thần cho em

Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện đề tài cũng như cẩn trọng trong quá trình trình bày luận văn nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và ý kiến đóng góp từ các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Lê Thị Anh Thư

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 3

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 5

§ 1 Không gian định chuẩn 5

§ 2 Không gian Hilbert 11

Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn 17

§ 1 Toán tử tuyến tính liên tục 17

§ 2 Toán tử compact 35

§ 3 Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn 43

§ 4 Phổ của toán tử tuyến tính 49

§ 5 Bài tập 52

Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 67

§ 1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục và song tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 67

§ 2 Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 73

§ 3 Bài tập 91

KẾT LUẬN 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm đóng vai trò vô cùng quan trọng trong giải tích và nhiều lĩnh vực khác của Toán học Một trong những hướng nghiên cứu chính của giải tích hàm là lí thuyết toán tử Lí thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu hơn các không gian định chuẩn và đặc biệt là không gian Hilbert Theo đó việc mở rộng kết quả của ánh

xạ (toán tử) liên tục trong các không gian cụ thể cũng được phát triển thêm một bước

và đưa ra cho chúng ta nhiều kết quả thú vị

Vậy toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian trên có những đặc trưng, tính chất gì riêng biệt, đó là một vấn đề rất hay mà chúng ta có thể tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn Qua sự gợi ý của thầy Lê Hồng Đức, em đã quyết định lựa chọn đề tài

“Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian” làm đề tài cho luận văn tốt

nghiệp của mình

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm giúp chúng ta tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về

lí thuyết toán tử và toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian, đặc biệt là không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert Qua đó, chúng ta đưa ra những nhận xét về sự giống nhau và khác nhau về tính tuyến tính liên tục của hai không gian này

Đồng thời, em đã tìm và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng nội dung

đã được trình bày góp phần để khắc sâu và củng cố lại kiến thức cho người đọc

III Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu ở đây là các tính chất đặc trưng của toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian, đặc biệt là không gian định chuẩn và không gian Hilbert

IV Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp chính được sử dụng trong quá trình nghiên cứu là tham khảo

và tổng hợp kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau, từ đó phân tích, so sánh để tìm hiểu và làm sáng tỏ vấn đề, sau đó trình bày lại theo một hệ thống logic

V Nội dung nghiên cứu

Luận văn được tìm hiểu qua 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Ở chương này, luận văn trình bày một cách khái quát về các kiến thức cơ bản của lí thuyết giải tích hàm, đặc biệt là các định lí và tính chất của không gian định chuẩn và không gian Hilbert nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu những đặc trưng

của “Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian” ở các chương sau

Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

Ở chương này, luận văn trình bày những định nghĩa và tính chất quan trọng của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn Đồng thời, tìm hiểu sâu hơn về toán tử compact và phổ của nó, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử hữu hạn chiều, không gian liên hợp,

Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

Ở chương này, luận văn thể hiện sự ảnh hưởng của tích vô hướng đến toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert Đồng thời, chương này còn cho ta những tính chất và các định nghĩa đặc trưng mà chỉ có toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert mới có

PHẦN NỘI DUNG   

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§ 1: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

1.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

1.1.1 Định nghĩa

Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K (K là trường số thực

hoặc trường số phức) Một hàm số thực : X  được gọi là một chuẩn trên không

gian X nếu thỏa mãn các tính chất sau:

i) x 0 x X và x   0 x 0;

ii) x    x , x X,K ;

iii) x y  x  y , x y, X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn xác định trên X được gọi là không

gian định chuẩn Kí hiệu: X, 

Nếu trường K  (hay K  ) thì ta gọi X,  là không gian định chuẩn thực (hay phức)

Giả sử X,  là một không gian định chuẩn, ta đặt d x y ,  x y với ,

x yX là một khoảng cách trên X Vậy không gian định chuẩn cũng là một không

gian mêtric Do đó các lý thuyết của không gian mêtric đều áp dụng được cho không gian định chuẩn

c) B T( )x T: K với x là hằng số, sup ( ) 

t T

x t

   là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định sup ( )

1

i i

Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, 

a) Nếu dãy  x n hội tụ tới x, thì dãy chuẩn  x n hội tụ tới x Nói cách khác, chuẩn là một hàm liên tục theo biến x

b) Nếu dãy điểm  x n hội tụ trong không gian định chuẩn X thì tồn tại M sao

Cho  x n n là một dãy trong không gian định chuẩn X Dãy  x n n được gọi là

dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Không gian tuyến tính định chuẩn X,  được gọi là không gian Banach nếu

X là không gian mêtric đầy với mêtric d x y ,  x y , tức là mọi dãy Cauchy trong

1 2 2

1

n i i



   vớix( ,x x1 2, ,x n) n b) Tập hợp C a b, các hàm số liên tục trên  a b là một không gian Banach với ,chuẩn

+ Dễ thấy, B(T) là một không gian định chuẩn

+ Lấy dãy Cauchy  x n của B(T), khi đó:

Vậy với mỗi t T dãy x t n   là một dãy Cauchy trong K, vì K là không gian

đầy nên x t n   hội tụ trong K lim n 

Giả sử  x n n là một dãy các phần tử trong không gian tuyến tính định chuẩn

X Tổng vô hạn x1  x2 x k  được gọi là một chuỗi trong không gian định

chuẩn X Kí hiệu:

1

k k

 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi Nếu dãy  S n hội

tụ đến phần tử S trong X thì ta nói rằng chuỗi

1

k k

1.6 Không gian con

- Không gian con đóng của một không gian Banach là một không gian Banach

- Không gian con đầy đủ của một không gian con tuyến tính định chuẩn X là một không gian con đóng của X

Giả sử L là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X

Kí hiệu X L /     x x L x :  X là tập thương của X theo quan hệ tương đương

Trên X/L ta trang bị một chuẩn như sau:

Cho X là không gian Banach và L là không gian con đóng của X thì X/L là một

không gian Banach

1.8 Tích các không gian tuyến tính định chuẩn

1.8.1 Định nghĩa

Giả sử  1, 1, , m, 

m

X X là m không gian tuyến tính định chuẩn, tích của

m không gian tuyến tính X1, ,X là không gian tuyến tính m

1

m k k



 với phép cộng

và phép nhân vô hướng được xác định một cách thông thường Với mỗi

Cho không gian tuyến tính định chuẩn X Nếu X có số chiều hữu hạn thì X

được gọi là không gian định chuẩn hữu hạn chiều

§ 2: KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 Không gian Hilbert

2.1.1 Tích vô hướng

a) Định nghĩa

Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là trường số thực hoặc trường

số phức) Tích vô hướng trên X là ánh xạ , : X X K thỏa mãn các điều kiện sau:

Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng xác định trên X được gọi là

không gian tiền Hilbert

Nhận xét: Không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn với chuẩn:

Tích vô hướng , là một hàm liên tục xác định trên X X

2.1.3 Không gian Hilbert

x   l y   l Khi đó, l là không gian Hilbert 2

2) C a b, là không gian Hilbert với tích vô hướng:

          , 

b

a b a

x y x t y t dt x t y t C 3) Trong n

x y  



 Khi đó, n

C là một không gian Hilbert

b) Định lí

Mọi không gian Banach thỏa mãn đẳng thức hình bình hành đều là không gian Hilbert

Chứng minh

Do X là không gian Banach nên ta có X là không gian đầy, vậy ta chỉ cần kiểm

tra tích vô hướng sau:

  1 2 2

,2

Vậy  là một tích vô hướng trên X

Vậy X là không gian Hilbert

2.2 Tính trực giao và hình chiếu trực giao

2.2.1 Hệ trực giao

a) Định nghĩa

Giả sử X là không gian Hilbert

+ Hai vectơ x y, X được gọi là trực giao nếu x y, 0 Kí hiệu: x  y.+ Hệ S X được gọi là hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao với nhau

Giả sử S là một hệ trực giao gồm các vectơ khác 0 Khi đó, S là hệ độc lập

tuyến tính Hơn nữa, ta có đẳng thức Pythagore sau đây:

x x  x  x  x   x , x x1, 2, ,x nS

d) Định lí

Giả sử  x n n là hệ trực giao trong không gian Hilbert X Khi đó, chuỗi

1

n n

Giả sử X là không gian Hilbert và M N, X

+ Vectơ x được gọi là trực giao với tập M nếu x y,  y M Kí hiệu:xM

+ Tập M được gọi là trực giao với tập N nếu x  y, x M,  y N Kí hiệu:

Giả sử X là không gian Hilbert, M  X Gọi  M là không gian con đóng của

X gây nên bởi M Khi đó, xM thì x M

Giả sử M là không gian con của không gian tiền Hilbert X Khi đó,

Hệ quả 1 Nếu M là không gian con đóng của không gian Hilbert X thì

Giả sử X là không gian Hilbert, e e1, , 2 là một hệ trực chuẩn trong X Khi đó

các mệnh đề sau đây là tương đương:

Giả sử X là không gian Hilbert, M1, ,M là các không gian con đóng của X, n

trực giao với nhau từng đôi một Khi đó, tổng trực giao của các không gian con trực giao M1, ,M là: n

1

n

i i i i



b) Định lí

Giả sử X là không gian Hilbert, M1, ,M là các không gian con đóng của X, n

trực giao với nhau từng đôi một Khi đó, tổng trực giao

1

n i i



  là một không gian

con đóng của X

c) Hệ quả 4

Giả sử X là không gian Hilbert, M1, ,M là các không gian con đóng của X, n

trực giao với nhau từng đôi một Khi đó, tổng trực giao

1

n i i



  là một không gian con đóng sinh bởi M1, ,M tức là không gian con đóng nhỏ nhất chứa các n

Giả sử X X1, 2, ,X là các không gian Hilbert trên cùng một trường số Khi n

đó, ta xác định được không gian tuyến tính

1

n i i



 Ta định nghĩa tích vô hướng

trên X như sau:

1

n

i i i

Các khái niệm tổng trực giao và tổng Hilbert có thể suy rộng cho trường hợp

vô số (đếm được hay không đếm được)

+ Nếu A là song ánh thì ta nói A là phép đẳng cấu tuyến tính Khi đó, X và Y

là hai không gian tuyến tính đẳng cấu với nhau

+ Giả sử A B X, : Y là hai toán tử tuyến tính Ta định nghĩa AB như sau:

AB x  AxBx,  x X

Với số K, ta định nghĩa tích A như sau:

 A xAx,  x X

Khi đó, A B và A là toán tử tuyến tính

+ Giả sử X, Y, Z là ba không gian tuyến tính trên trường số K Nếu

A X Y B Y  Z là các toán tử tuyến tính, thì tích B A X: Z cũng là một toán tử tuyến tính

4 Xét A: n  m xác định bởi A x 1, ,x n  y1, ,y n với

1

n

i ij j j

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính và A X: Y là toán tử tuyến tính

Nếu A có toán tử ngược 1

1.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục

Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng

một trường K Ánh xạ A X: Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục

Vậy A liên tục tại x

d) Định lí (Suy rộng của toán tử tuyến tính liên tục)

 Ax n n1

 là dãy Cauchy trong Y

Vì Y là không gian Banach nên tồn tại giới hạn lim n

Định nghĩa (2.2) không phụ thuộc vào các dãy  x n hội tụ đến x Như vậy, ta

xác định được ánh xạ A X: Y Hiển nhiên, A là ánh xạ tuyến tính và suy rộng A

Từ (2.2) suy ra: lim n

Chứng minh

  Giả sử A giới nội chứng minh A liên tục

Thật vậy, giả sử x n x0 Khi đó, ta có:

 A liên tục tại x0X A liên tục trên X

  Giả sử A liên tục chứng minh A giới nội

Thật vậy, A liên tục tại 0X      1 0,  0 sao cho với mọi xX, nếu

x  thì Ax 1

+ Với x0,xX , ta đặt x

u x





x x

Cho A X: Y là một song ánh tuyến tính giới nội từ không gian tuyến tính

định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó, nếu tồn tại số m0

Cho A X: Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính

định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y

Khi đó, số: A infM: x X Ax, M x  (2.6)

gọi là chuẩn của toán tử A

b) Định lí

Giả sử A X: Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính

định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó:

1.2 Toán tử song tuyến tính

Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính định chuẩn và toán tử A X Y:  Z

A là toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định thì A x y , là toán tử tuyến

tính từ X vào Z và với mỗi x cố định thì A x y , là toán tử tuyến tính từ Y vào Z

của toán tử A, kí hiệu A Ta có:

i) A x y ,  A  x  y

ii) A  sup  A x y   , : x  1, y  1 

1.3 Toán tử ngược

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và A X: Y là toán tử tuyến tính

liên tục Khi A là song ánh thì tồn tại toán tử tuyến tính ngược 1

A Nếu 1

A liên tục thì 1

A được gọi là toán tử ngược của toán tử tuyến tính liên tục A

1.3.2 Định lí

Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y

i) Nếu tồn tại toán tử ngược 1

A liên tục thì Ax m x , với mọi xX và

ii) Nếu tồn tại m0 sao cho Ax m x với mọi xX thì tồn tại toán tử ngược 1

m

A



ii) Khi Ax0, ta có: 0 Ax m x  x 0  A là đơn ánh

Khi đó, A X: ImA là một song ánh Suy ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược

Nếu A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn

X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y và tồn tại toán tử ngược 1

A liên tục thì A được gọi là phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y Khi đó, X và Y là hai không gian

tuyến tính đồng phôi với nhau

tuyến tính và là một phép đẳng cự, tức là Ax  x , x X Khi đó, X và Y là hai

không gian tuyến tính đẳng cự với nhau

1.3.5 Nhận xét

Hai không gian đẳng cự tuyến tính thì đồng phôi tuyến tính

Chứng minh

+ Khi X và Y là hai không gian đẳng cự tuyến tính thì tồn tại một phép đẳng

Khi đó, A là một song ánh tuyến tính và Ax 1 x

Nếu X là không gian Banach, A L X X  , và A 1thì

+ I A là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên X;

+    1

0

n n

Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Gọi L X Y ,  là tập hợp

tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó, L X Y ,  được gọi là không

gian các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y

Chú ý

- Nếu Y  X thì tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X được

kí hiệu làL X 

- Nếu Y  K thì tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào K được gọi

là phiếm hàm liên tục từ X vào K, kí hiệu là X Khi đó, X được gọi là không gian

liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian L X Y , 

Dãy toán tử  A n n L X Y ,  được gọi là hội tụ từng điểm đến toán tử A trên

X nếu lim n

n A x Ax

  với mọi xX

b) Nhận xét: Dãy  A n hội tụ theo chuẩn thì  A n hội tụ từng điểm

Thật vậy: Với mọi xX, ta có:

A xAx  A A x  A A  x  khi n  Tuy nhiên, nếu  A n hội tụ từng điểm thì ta không thể suy ra  A n hội tụ theo chuẩn

Ví dụ: Xét toán tử A trong n l xác định bởi công thức: 2 A x n  1, 2, ,n, 0, 

với mỗi x 1, 2, l1 Khi đó, dãy  A n L l l1, 2 hội tụ từng điểm đến toán tử

đồng nhất I nhưng không hội tụ theo chuẩn đến I

Ax A

VậyL X Y ,  là một không gian tuyến tính định chuẩn

b) Giả sử  A n là một dãy Cauchy trong không gian L X Y , 

Banach nên dãy  A x n hội tụ

Từ đó suy ra rằng, AA n là một toán tử tuyến tính liên tục

Do đó, AA A nA n cũng là một toán tử tuyến tính liên tục

Giả sử X là không gian tuyến tính, M là một không gian con tuyến tính của X,

p là một sơ chuẩn trên X và f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên M thỏa mãn

     

f x  p x  x M Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính F trên X sao cho:

a) F x  f x   x M

b) F x  p x   x X

Hệ quả 2

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, M là không gian con tuyến tính của X, f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên M Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho: F x  f x    x M và F  f

Giả sử X là không gian định chuẩn và M là không gian con tuyến tính của X,

vectơ x thuộc X thỏa mãn: 0  0,  inf 0 0

f d

Ta xét: T S x T S x   T x Ax , Ax  x X

T S A

+ Chứng minh GrA là không gian Banach

Do X, Y là không gian Banach nên X Y là không gian Banach

1.5.4 Nguyên lí bị chặn đều Banach – Steinhauss

Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và  A  là một

họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu sup A x , x X

Mọi không gian tuyến tính định chuẩn X có số chiều n trên trường K đều đồng

phôi tuyến tính trên không gian n

x e



 với iK, i 1,n

=

n i i

n i i

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn n chiều

Toán tử tuyến tính A X: Y là một toán tử tuyến tính từ X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y

Gọi e e1, 2, ,e nlà một cơ sở của không gian X Với mỗi xX, ta có:

1

n

i i i

Vậy A là một toán tử liên tục

1.7 Toán tử tích các không gian tuyến tính định chuẩn

Nhận xét

- Mỗi cặp có dạng  x,0 với xX, 0 Y có thể đồng nhất với xX cho nên

X có thể xem là không gian con của XY Tương tự, Y cũng có thể xem là không

gian con của XY

- Mỗi phần tử  x y, của không gian tích được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:      x y,  x,0  0,y

1.7.2 Định lí

Cho hai không gian tuyến tính X và Y Mỗi toán tử tuyến tính A từ XY vào

không gian tuyến tính Z đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

 , 1  2 

A x y  A x A y

Trong đó, A A là các toán tử từ X (Y tương ứng) vào Z 1, 2

Nếu X, Y là các không gian định chuẩn thì toán tử A liên tục khi và chỉ khi cả

A y A y Vậy cách biểu diễn trên là duy nhất

+ Nếu X, Y là không gian định chuẩn và A liên tục (do đó bị chặn) thì với mọi

§ 2: TOÁN TỬ COMPACT

2.1 Toán tử compact

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử X, Y là hai không gian Banach, toán tử tuyến tính A X: Y được gọi

là toán tử compact nếu ảnh A B  của hình cầu đơn vị đóng B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là bao đóng của A B  là compact

2.1.2 Nhận xét

Toán tử A compact thì A liên tục

Chứng minh

Vì A là toán tử compact nên A B  là tập compact Do đó, A B  bị chặn, tức

là tồn tại hằng số k sao cho: y   k, y A B 

i) ii) Giả sử A là ánh xạ compact và E là tập bị chặn trong X Ta cần chứng

minh A E  compact tương đối

Thật vậy, do A là tập bị chặn nên tồn tại n sao cho: EB 0,n nB 0,1

Vì A E nA B  và nA B compact tương đối nên   A E  compact tương đối

ii) iii) Giả sử (ii) thỏa mãn và  x n là dãy bị chặn trong X Ta cần chứng

minh tồn tại dãy con  x n k để  Ax n k hội tụ trong Y

Thật vậy,

Đặt Ex n n; 1, 2,  Vì  x n là dãy bị chặn nên E bị chặn Do đó, A E 

là tập compact tương đối

Mặt khác,  Ax n  A E  compact tương đối suy ra tồn tại  Ax n k là dãy con của dãy Ax n để  Ax n k hội tụ Hiển nhiên  x n k là dãy con của  x n

iii) i) Giả sử (iii) được thỏa mãn, nghĩa là nếu  x n là dãy bị chặn trong X,

tồn tại dãy con  x n k để  Ax n k hội tụ trong Y Ta cần chứng minh A compact

Thật vậy,

Lấy dãy  y n  A B  tùy ý và lấy dãy  x n  B để Ax n  y n với mọi n

Vì dãy  x n bị chặn nên tồn tại dãy con  x n k để  Ax n k hội tụ Vậy A B 

compact tương đối

Vậy A compact

2.1.4 Mệnh đề

Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn L X Y ,  là tập hợp tất cả các toán

tử compact từ X vào Y Khi đó, với hai phép cộng và phép nhân vô hướng với một

hàm thông thường, L X Y ,  là không gian tuyến tính trên trường K

Chứng minh

Giả sử A và B là toán tử compact trong L X Y ,  Ta cần chứng minh A B compact và A compact với mọi K

Thật vậy,

Giả sử  x n là dãy bị chặn trong X Vì  x n bị chặn và A là ánh xạ compact

nên theo định lí 2.1.3, tồn tại dãy con  x n k của  x n để A x n k  hội tụ

Do  x n k bị chặn, B là ánh xạ compact nên tồn tại dãy con  x n kl của  x n k

để B x kl  hội tụ

  x n kl là dãy con của  x n

Vì A x n k  hội tụ và A x n kl  là dãy con của A x n k   A x n kl  hội tụ

Từ đó, suy ra:  A B   x n k l A x   n k l B x n k l A x n k l B x n k l hội

tụ Do đó, A B  là toán tử compact

Với mọi K, với mọi A K X Y  , , ta có  x n bị chặn trong X thì tồn tại

dãy con  x n k để A x n  hội tụ

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn, toán tử A X: Y là toán tử

compact Khi đó, A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh) trong

Y

Chứng minh

Giả sử x nw x0 trong X, vì A liên tục nên Ax nw Ax0 trong Y

Mặt khác, do  x n hội tụ yếu   x n bị chặn  Ax n compact tương đối (do

y compact tương đối

Do đó, tồn tại dãy con  "

Giả sử X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian định chuẩn, toán tử

tuyến tính A X: Y ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh ) trong Y Khi đó, A là toán tử compact

Chứng minh

Phản chứng: Giả sử A không là toán tử compact

Gọi B là hình cầu đơn vị trong X Khi đó, X A B X không compact tương đối

trong Y

 x n B X : Ax n A B X

Do X phản xạ nên B compact yếu theo dãy X  tồn tại dãy con  x n k của

 x n hội tụ yếu   Ax n k hội tụ mạnh (mâu thuẫn)

Vậy A là toán tử compact

Gọi B là hình cầu đơn vị trong Z Z

Khi đó, D B Z là tập bị chặn trong X (do D liên tục)

 là tập compact tương đối trong W

Vậy CAD là toán tử compact

2.2.4 Định lí

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A D X, : Y là các toán tử compact Khi đó, với mọi số  , thì toán tử AD là compact

Chứng minh

Lấy dãy  x n của hình cầu đơn vị B X

Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con  x n i của  x n sao cho dãy  Ax n i

Chứng minh

Gọi B X S 0,1 là hình cầu đơn vị trong X

Khi đó, A liên tục nên  x B X S 0,1 ta có:

Giả sử X là không gian định chuẩn, I X: X là toán tử đồng nhất Khi đó, I

là toán tử compact dim X  

2.2.7 Định lí Riesz

Không gian tuyến tính X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi hình cầu đóng đơn vị trong X là tập compact

Chứng minh

  Gọi S là hình cầu đóng đơn vị trong X

Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn n chiều thì tồn tại một phép đồng phôi tuyến tính A từ X lên n

K Ảnh A S  của hình cầu S qua ánh xạ A là một tập hợp đóng và giới nội trong

Tương tự ta có L2 lin x x 1, 2 là một không gian con đóng thật sự sinh bởi

b) Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, A

là toán tử compact Khi đó, A là toán tử compact