Vành euclide, vành chính và vành nhân tử hóa

Khi đó nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao hoán và nếu X là vành có đơn vị thì X/A cũng là vành có đơn vị đơn vị là 1+A Ví dụ Với mọi số nguyên dương n, n là một ideal củ

Tuy đã có nhiều cố gắng và sự giúp đỡ tận tình của giáo viên hướng dẫn, của các thầy

cô, bạn bè,… luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót Vì thế tôi rất mong nhận đước sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn!

Tôi xin chân thành cám ơn!

Cần Thơ, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Minh Tâm

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 5

BẢNG KÍ HIỆU 7

NỘI DUNG LUẬN VĂN 8

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 Vành 8

1.1.1 Định nghĩa 8

1.1.2 Các tính chất 8

1.2 Vành con 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Các tính chất 9

1.3 Ideal 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Ideal sinh bởi một tập – Ideal chính 11

1.3.3 Các tính chất 11

1.4 Vành thương 13

1.5 Đồng cấu vành 14

1.5.1 Định nghĩa 14

1.5.2 Các tính chất cơ bản 14

1.5.3 Định lý đồng cấu vành 15

1.6 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp 15

1.7 Miền nguyên 16

1.7.1 Định nghĩa 16

1.7.2 Các ví dụ 16

1.8 Trường 16

1.8.1 Định nghĩa 16

1.8.2 Các ví dụ 17

1.8.3 Trường con 17

1.9 Ideal nguyên tố và ideal tối đại 17

1.9.1 Định nghĩa 17

1.9.2 Các tính chất 17

1.10 Vành các thương 18

1.10.1 Định nghĩa 18

1.10.2 Các tính chất 19

Chương 2 VÀNH CHÍNH 20

2.1 Tính chất số học trong vành 20

2.1.1 Ước của một phần tử, phần tử khả nghịch 20

2.1.2 Phần tử liên kết với nhau, phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố 20

2.1.3 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 22

2.2 Vành chính 24

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ 24

2.2.2 Các tính chất của vành chính 25

BÀI TẬP 29

Chương 3 VÀNH EUCLIDE 39

3.1 Vành đa thức 39

3.1.1 Định nghĩa 39

3.1.2 Một số tính chất 40

3.1.3 Đa thức bất khả quy 41

3.1.4 Nghiệm của đa thức 42

3.2 Vành Euclide 43

3.2.1 Định nghĩa 43

3.2.2 Tính chất của vành Euclide 44

3.2.3 Thuật toán tìm ƯCLN (thuật toán Euclide) 46

BÀI TẬP 49

Chương 4 VÀNH NHÂN TỬ HÓA 66

4.1 Các khái niệm cơ bản 66

4.1.1 Định nghĩa 66

4.1.2 Các tính chất 66

4.2 Vành nhân tử hóa 67

4.2.1 Định nghĩa 67

4.1.2 Các tính chất 68

4.3 Vành các số nguyên Gauss 71

4.3.1 Định nghĩa và tính chất 71

4.3.2 Các ước của đơn vị trong [ ]i 72

4.3.3 Các phần tử nguyên tố trong [ ]i 72

BÀI TẬP 79

PHẦN KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các môn học đại số cao cấp ở bậc đại học, chúng ta đã được làm quen với những mảng kiến thức của đại số như: nhóm, vành, trường, và đặc biệt mảng kiến thức

về vành Euclide, vành chính, cũng như vành nhân tử hóa Tuy nhiên tài liệu tiếng Việt

về vấn đề này không nhiều nên việc nghiên cứu của sinh viên gặp không ít khó khăn

Xuất phát từ những lí do trên nên tôi quyết định chọn đề tài luận văn mang tên “Vành

Euclide, vành chính, và vành nhân tử hóa” nhằm tìm hiểu và tổng hợp những tính

chất cơ bản nhằm góp phần nâng cao kiến thức về đại số nói chung và hơn nữa là đưa ra một tài liệu cơ bản, hoàn chỉnh nhằm giúp ích cho việc học tập và nghiên cứu của sinh viên

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận văn này là nhằm khai thác những kiến thức chuyên sâu về vành Euclide, vành chính và vành nhân tử hóa Rèn luyện kĩ năng tiếp cận, nghiên cứu một số vấn đề toán học còn khá mới mẻ đối với bản thân mình

Đây cũng là dịp để bản thân nhìn lại một cách tổng quan về kiến thức đại số đặc biệt

là về vành, trường - một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung Và việc nghiên cứu này cũng góp phần bổ sung thêm kiến thức của bản thân để chuẩn bị cho những nghiên cứu khác sau này

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Tôi thực hiện việc nghiên cứu về những lý thuyết và bài tập liên quan đến vành Euclide, vành chính, và vành nhân tử hóa

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là tổng hợp kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau để làm rõ nội dung lý thuyết, phân tích, so sánh, sau

đó trình bày lại theo một hệ thống

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

Nhận đề tài

Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài

Lập đề cương chi tiết

Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài

Trình bày các vấn đề đã làm được và thông qua giáo viên hướng dẫn

Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn

6 NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm 4 chương như sau: Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương II VÀNH CHÍNH

Chương III VÀNH EUCLIDE

Chương IV VÀNH NHÂN TỬ HÓA

NỘI DUNG LUẬN VĂN

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành

1.1.1 Định nghĩa

Vành là tập X ( X  ) cùng với phép cộng (+) và phép (.) đã cho trong X thỏa mãn

các điều kiện sau:

1) X cùng với phép toán cộng lập thành nhóm Abel

2) Phép nhân có tính chất kết hợp: x y z, , X ta có:

(xy z)  x yz( )3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: x y z, , X ta có:

là phần tử đối của x và được kí hiệu là x Phần tử x ( y) được kí hiệu là xy

Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán

Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân có đơn vị và phần tử đơn vị của

X được kí hiệu là e hoặc 1

Các ví dụ

đều lập thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là vành các số nguyên, vành các số hữu tỉ, vành các số thực, vành các số phức

2) Gọi M n( , ) là tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử là số thực Tập

( , )

không giao hoán (với n >1) Tương tự ta cũng có vành M n( , ), M n( , ), M n( , )

xz xy z y x

2) Với mọi x thuộc X ta có: x00x0

3) Với mọi x, y thuộc X ta có:

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành và A là một tập con khác rỗng ổn định với hai

phép toán trong X Tập A được gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán trên

X lập thành một vành

Các ví dụ

1) Giả sử X là một vành Khi đó tập con {0} và X là các vành con của X Các vành con này được gọi là vành con tầm thường của X

2) Tập con m gồm các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là một vành

con của vành các số nguyên

3) Tập ( , )T n các ma trận tam giác trên, cấp n với hệ số thực là một vành con của

Vậy ( 2) là vành con của vành số thực

2) Tập ( )i abi a b,   với hai phép toán cộng và phép toán nhân lập thành một vành giao hoán, có đơn vị

Thật vậy: ta chứng minh tập  i abi a b,   là một vành con của vành các

nên  i cũng là một vành giao hoán và vành  i có đơn vị là: 1 1 0   i

Vậy  i là một vành giao hoán, có đơn vị

Mệnh đề 1 Giao của một họ khác rỗng những vành con của vành X là một vành con của

vành X

Vành con sinh bởi một tập hợp Giả sử S là một tập con của vành X Khi đó S chứa

con của X chứa S là một vành con của X chứa S Vành con này gọi là vành con của X

sinh ra bởi một tập S Đây cũng là vành con bé nhất (theo quan niệm bao hàm) của X

chứa S

1.3 Ideal

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành

1) Vành con A của X gọi là ideal trái của X nếu xaA ( x X, a A)

2) Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu axA ( x X, a A)

3) Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái, vừa là ideal phải của

3) Tâm C X( )aX ax| xa của vành X là một vành con của X nhưng không

là ideal của X

1.3.2 Ideal sinh bởi một tập – Ideal chính

Giả sử S là một tập con khác rỗng của vành X Khi đó giao của tất cả các ideal của vành X chứa S là một ideal của X chứa S, nó được gọi là ideal của X sinh bởi một tập S

Kí hiệu < S > hay (S) Rõ ràng < S > là ideal bé nhất (theo quan niệm bao hàm) chứa S

trong vành X

Nếu S ={a1,a2,…,a n } thì < S > gọi là ideal sinh ra bởi {a1,a2,…,a n }

Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} được gọi là ideal chính sinh bởi a, kí hiệu

< a > hay (a)

1.3.3 Các tính chất

Giả sử a là phần tử thuộc vành X và S là tập con khác rỗng của X Khi đó ta có:

1) Ideal sinh bởi phần tử a

* 1

Phép toán trên ideal Giả sử A, B là các ideal của vành X Khi đó:

1) Tổng của các ideal A và B, kí hiệu A+B, là tập hợp:

A B ab aA bB

2) Tích của các ideal A và B, kí hiệu AB, là tập hợp:

* 1

Vây AB là ideal của X

 Chứng minh: AB là ideal của X

* 1



AB X và AB0 vì 0AB

Vậy AB là ideal của X

Định lý 4 Giả sử a là một phần tử nào đó của miền nguyên X, tập hợp aX {ax x| X}

là ideal chính của X sinh bởi phần tử a nghĩa là aX = < a >

Vậy aX là một ideal của X

 Hơn nữa aX còn là ideal chính bởi a, hay aX = < a > Thật vậy:

Giả sử I là ideal nào đó của X có chứa phần tử a, ta chứng minh aX I Xét một

phần tử bất kì m aX , ta có max với xX Vì aI và xA nên theo định nghĩa

của ideal ta có ax I hay mI Điều này chứng tỏ aX là ideal nhỏ nhất của X chứa phần tử a, hay aX = < a >

(x + A)(y + A) = xy + A Khi đó X/A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành

Định nghĩa Vành X/A được gọi là vành thương của X theo ideal A (hay vành thương của

X trên A) Khi đó nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao hoán và nếu X là

vành có đơn vị thì X/A cũng là vành có đơn vị (đơn vị là 1+A)

Ví dụ Với mọi số nguyên dương n, n là một ideal của vành số nguyên Khi đó vành

thương

n được gọi là vành các số nguyên mod n Phép cộng và phép nhân trong

1.5.1 Định nghĩa Giả sử X và Y là các vành Khi đó ánh xạ f : X Y được gọi là

đồng cấu vành nếu nó bảo tồn các phép toán của vành, tức là với mọi x, y thuộc X ta

có:

f (x+y) = f(x)+f(y) và f(xy) = f(x)f(y) Chú ý

i) Nếu X Y thì đồng cấu vành f : X Y được gọi là tự đồng cấu vành X

ii) Đồng cấu vành f :X Y gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ f là

đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

Các ví dụ

1) Cho X, Y là các vành và ánh xạ f :X Y

với 0 là phần tử trung hòa của Y là đồng cấu vành và được gọi là đồng cấu không

2) Cho A là vành con của X và ánh xạ i A:AX

a a

là đơn cấu vành và được gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng tự nhiên

1.5.2 Các tính chất cơ bản

1) Nếu f :X Y là đồng cấu vành thì f(0 X) = 0Y và (f   x) f x( ),  x X

Hệ quả Giả sử :f X Y là đồng cấu vành Khi đó:

1) Imf ={f(x)| xX }= f(X) là vành con của Y

2) Kerf ={xX | f(x) = 0Y } = f -1(0Y ) là ideal của X

3) g là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và A = kerf

Định lý đẳng cấu thứ nhất Giả sử A, B là các ideal của vành X và AB Khi đó B/A là

một ideal của vành X/A và ta có đẳng cấu vành (X/A)/(B/A) X/B

Định lý đẳng cấu thứ hai Giả sử A là vành con của X và B là ideal của vành X Khi đó

AB là ideal của A và ta có đẳng cấu vành A/ AB(A+B)/B

 là tích trực tiếp của họ khác rỗng các vành X i với iI Ta

X thường được kí hiệu là X1  X m

Khi tập tập I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng nhau

1.7 Miền nguyên

1.7.1 Định nghĩa

1) Giả sử X là một vành, phần tử a0 của X gọi là ước của không, nếu tồn tại phần

tử b0của X sao cho ab0 hoặc ba 0

2) Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán, có đơn vị, có

nhiều hơn một phần tử và không có ước của không

1.7.2 Các ví dụ

n

3) Vành M n( , ) không phải là một miền nguyên nếu n >1

1.8 Trường

1.8.1 Định nghĩa Một tập hợp X được gọi là một trường nếu X là một vành giao hoán,

có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Nói rõ hơn thì một tập hợp X là một trường nếu trên X có xác định hai phép toán cộng

và nhân thỏa mãn các điều kiện sau:

1) X là một nhóm Abel đối với phép cộng

2) X \ {0} là một nhóm Abel đối với phép nhân

3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

1.8.2 Các ví dụ

tố

1.8.3 Trường con

Định nghĩa Giả sử X là một trường Tập con A khác rỗng được gọi là trường con của X

nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một

trường

Các ví dụ

1) Giả sử X là một trường Khi đó X là một trường con của chính nó

Định lý 7 Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của một trường X Khi đó

các điều kiện sau là tương đương:

1) A là một trường con của X

2) x y, A x,  y A xy, 1A (với y0)

3) x y, A x,  y A xy, A x, 1A (với x0)

1.9 Ideal nguyên tố và ideal tối đại

1.9.1 Định nghĩa Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị

1) Ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố nếu P X và nếu xyP thì x P

hoặc yP (x y, X )

2) Ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại nếu M  X và tồn tại A là ideal của

X sao cho M  A X với M  A và A X

1.9.2 Các tính chất

1) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Ideal P của X là ideal nguyên tố khi và chỉ

khi vành thương X P là một miền nguyên

Chứng minh

Giả sử P là ideal nguyên tố của X Do P X nên X P/ 0P x y, X ta có

xPyP xy  P 0 xyP suy ra x P hoặc yP (do P là ideal nguyên

tố), suy ra x  P 0 P hoặc y  P 0 P Vì thế X P không có ước của không Vậy

2) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ

khi vành thương X / M là một trường

Chứng minh

Giả sử M là ideal tối đại của X Khi đó M  X , nên X M/ {0} Giả sử

xMX M xM  ta có xM Gọi Axy yXxX là một ideal sinh bởi

xX Vậy A M là một ideal của X thực sự khác M Vì M là ideal tối đại nên

AM  X , do đó tồn tại yX m, M sao cho xy m 1 hay xy   1 m M Vậy

xMyMxyM  1 M , tức là xM khả nghịch Do đó X M là một trường Ngược lại, giả sử X M là một trường và A là một ideal của X thực sự chứa M Khi

đó M  X và tồn tại xA mà xM, do đó x M 0 Do X M là trường nên xM

có nghịch đảo là y M , tức là xMyM xyM  1 M

Từ đó xy  1 m M hay xy    m 1 A A X Vậy M là ideal tối đại ■ 3) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Khi đó:

i) Ideal {0} của X là nguyên tố khi và chỉ khi X là một miền nguyên

ii) Ideal {0} của X là tối đại khi và chỉ khi X là một trường

4) Trong vành giao hoán có đơn vị, mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố

5) Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị Khi đó mọi ideal A ≠ X của X đều chứa trong một ideal tối đại M

6) Mọi vành giao hoán có đơn vị khác không đều có ideal tối đại

Hai ideal nguyên tố cùng nhau Hai ideal A và B khác nhau của vành giao hoán có đơn

vị X được gọi là hai ideal nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu A+B=X

1.10 Vành các thương

1.10.1 Định nghĩa

Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị Tập con S là tập con nhân của X nếu 1 X và

S ổn định với phép nhân tức là nếu , x yS thì xyS

Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, S là tập con nhân của X Trong tập XS ta có quan hệ tương đương sau:

là một đồng cấu, gọi là đồng cấu chính tắc Đồng cấu này có những tính chất đặc trưng sau:

a) Với mọi sS , f(s) khả nghịch trong S X1

b) f(a) = 0  tồn tại sS sao cho as = 0

( ) ( )

f a f s  trong đó aX s, S

Nếu P là ideal nguyên tố của vành X thì S  X P\ là tập con nhân Khi đó vành các

S X được kí hiệu là X và gọi là địa phương hóa của vành X đối với ideal P

nguyên tố P X P là vành địa phương, tức là vành có ideal tối đại duy nhất, đó chính là

Tất cả vành trong chương này đều là vành giao hoán có đơn vị

2.1 Tính chất số học trong vành

2.1.1 Ước của một phần tử, phần tử khả nghịch

Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên, a,b là các phần tử thuộc X với b khác không Ta

nói a là ước của b khi và chỉ khi tồn tại phần tử c thuộc X sao cho bac

Kí hiệu: a|b (đọc là a chia hết b)

Khi a là ước của b, ta cũng nói rằng b là bội của a và kí hiệu là b a (đọc là b chia hết cho a)

nếu u là ước của 1 (tức là u|1) Nói cách khác, phần tử u là một phần tử khả nghịch khi

và chỉ khi tồn tại phần tử v thuộc *

X sao cho uv1 (đương nhiên v cũng là một phần tử

khả nghịch)

Hệ quả

1 Nếu u khả nghịch thì u|a,  a X*

2 Nếu u khả nghịch và b|u thì b cũng khả nghịch

3 Nếu tích u1.u2 u n là khả nghịch thì từng nhân tử của nó cũng khả nghịch

2.1.2 Phần tử liên kết với nhau, phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố

Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên, hai phần tử a và b thuộc *

X được gọi là liên kết

với nhau khi và chỉ khi a|b và b|a Kí hiệu a~b

Ví dụ Trong vành số nguyên hai số nguyên a và –a là liên kết với nhau

Hệ quả Hai phần tử a b, X*là liên kết với nhau khi và chỉ khi chúng khác nhau một phần tử khả nghịch:

Điều này chứng tỏ các phần tử u, v đều khả nghịch

 Ngược lại, giả sử ta có a = bu, với u khả nghịch (a và b chỉ khác nhau ở phần tử khả nghịch u)

a = bu suy ra b|a

abu  b au (vì u khả nghịch)

Định nghĩa Một phần tử không khả nghịch a thuộc *

bX nếu và chỉ nếu a là ước của b và a không liên kết với b

Ví dụ Trong vành số nguyên số nguyên 6 có các ước thật sự là 2 và 3 ; còn 1 và 6

 là ước không thực sự của 6

Định nghĩa Cho X là vành giao hoán có đơn vị

Phần tử cX được gọi là bất khả quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1) c0 và c không khả nghịch

2) Nếu cab, với a, b thuộc X thì a khả nghịch hoặc b khả nghịch

Phần tử pX gọi là nguyên tố nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Hệ quả Giả sử p và c là các phần tử khác không của miền nguyên X Khi đó:

1) p là nguyên tố khi và chỉ khi  p là ideal nguyên tố khác {0} của X

2) c là bất khả quy khi và chỉ khi  c là ideal tối đại trong tập S tất cả các ideal chính của vành X

3) Mọi phần tử nguyên tố của X đều là phần tử bất khả quy

4) Mỗi phần tử liên kết với phần tử bất khả quy (phần tử nguyên tố) của X là phần

tử bất khả quy (phần tử nguyên tố)

Chứng minh

1) Nếu p phần tử nguyên tố thì p không khả nghịch, do đó   p X Giả sử ,

a bX và ab p thì ab px x( X) hay p|ab Do p là phần tử nguyên tố nên p|a hoặc p|b, suy ra a p hoặc b p Vậy < p > là ideal nguyên tố ■ Ngược lại nếu < p > là ideal nguyên tố và   p {0} thì  p X hay p không khả nghịch Giả sử p|ab, thế thì ab p Do đó a p hoặc b p Vì vậy p|a

2) Nếu c là phần tử bất khả quy thì   c X Giả sử     c d (với

   ), suy ra cdx x( X) Vì c là phần tử bất khả quy nên d khả nghịch hoặc x

khả nghịch Do đó   d X hoặc   c d Vậy  c là ideal tối đại trong S

Ngược lại giả sử  c là ideal tối đại trong S, suy ra   c X Do đó c không

khả nghịch Giả sử cab a b( , X) thì c    a Vì  c tối đại nên

3) Giả sử p là phần tử nguyên tố và pab (với ,a bX ) suy ra p|ab Thế thì p|a hoặc p|b Nếu p|a suy ra tồn tại phần tử xX sao cho px a abx Vì X là miền nguyên nên 1= bx, do đó p khả nghịch Tương tự nếu p|b thì a khả nghịch Vậy p là phần

4) Nếu c là phần tử bất khả quy và d liên kết với c thì cdu u( X) là khả nghịch

Giả sử d = ab khi đó c = abu, suy ra a khả nghịch hoặc bu khả nghịch Nếu bu khả

Chứng minh tương tự trong trường hợp phần tử nguyên tố

2.1.3 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên a,b,c là các phần tử khác không thuộc X Nếu c|a

và c|b thì c được gọi là ước chung của a và b Phần tử dX*được gọi là ước chung lớn

nhất (viết tắt là ƯCLN) của a và b nếu:

1) d |a và d |b, và

2) Nếu d’|a và d’|b thì d’|d

Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng là một

phần tử khả nghịch

Nhận xét ƯCLN của hai phần tử a, b nói chung không duy nhất Giả sử d và d’ là hai

ƯCLN khác nhau của a và b Theo định nghĩa ta sẽ có d’|d và d |d’, điều đó có nghĩa là

d ~ d’

Ví dụ Trong vành số nguyên , 2 và 2 đều là ƯCLN của 6 và 8 Chúng liên kết với nhau

Định lý 1 Trong miền nguyên X thì a|b khi và chỉ khi b    a

Chứng minh

cX sao cho bac ta phải chứng minh     b a

Lấy bất kì phần tử x  b bX x: bs, (sX) hay

x ac sa cs aX  a

Ngược lại, giả sử b    a khi đó b  a aX , như vậy tồn tại phần tử

Hệ quả Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

Chú ý Nếu d là ước của a và b thì < d > phải chứa cả a và b, và do đó < d > phải chứa

< a >, < b > Khi đó ta có thể chuyển định nghĩa của ƯCLN về dạng định nghĩa dưới

ngôn ngữ ideal như sau:

Nếu I là ideal chính của X (vành giao hoán có đơn vị) sinh bởi a và b thì d là ước chung lớn nhất của a và b nếu:

1) I chứa trong ideal chính < d >, và

2) < d’> là ideal chính bất kì chứa I thì    d d'

Do đó ƯCLN của a và b (nếu có) là phần tử sinh của ideal chính duy nhất và nhỏ nhất chứa cả a và b

Khái niệm bội chung nhỏ nhất (BCNN) là khái niệm đối ngẫu với khái niệm ƯCLN

Định nghĩa Cho a, b là hai phần tử của miền nguyên X Phần tử m thuộc X được gọi là

một bội chung của a và b nếu a|m và b|m Bội chung m gọi là nhỏ nhất của a và b nếu với mọi bội chung c của a và b ta có m|c

Theo định nghĩa hai BCNN của a và b là liên kết và do đó sinh ra cùng một ideal

Tính chất Trong miền nguyên X nếu a       b m thì m là BCNN của a và b

2.2 Vành chính

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa Một miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi ideal của X đều là ideal

chính Một vành chính hay còn được gọi là miền các ideal chính hay miền chính

Các ví dụ

Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi ideal A của đều là ideal chính

Nếu A 0 0 thì A là một ideal chính sinh bởi 0

Nếu A 0 , gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất trong A (số này tồn tại, vì có phần

tử x 0 A nên  x A , trong hai số x và – x có một số luôn dương) Giả sử aA, chia

a cho n ta được: anbr với ,b r và 0 r n Vì A là một ideal và nA nên

nbA , do đó r a nb A  

Nếu r 0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu thuẫn với giả thiết của

số n Do đó r0 và a bn, tức là An là ideal chính sinh bởi n ■ 2) Vành [i] gồm các số phức a bi với ,a b là một vành chính Mỗi ideal <a>

N a bi a b

nguyên dương Chọn trong < a > một phần tử x  a bi 0 có chuẩn N(x) nguyên

dương nhỏ nhất Khi đó với mọi y a ta có: yx1  p iq với ,p q

2

   

1) Nếu pX là một phần tử bất khả quy thì  p là ideal tối đại trong X

2) Mọi ideal nguyên tố khác không trong X đều là ideal tối đại

3) Phần tử pX là nguyên tố khi và chỉ khi p là bất khả quy

Chứng minh

1) Giả sử   p A Vì X là vành chính nên A= <a>, suy ra     p a tức là

p = ab Vì p bất khả quy nên a|1 hoặc b|1 Khi đó A=X hoặc A = < p > Vậy < p > là

2) Giả sử P là một ideal nguyên tố khác không trong X Vì X vành chính nên

P  p vì  p là ideal nguyên tố khác không của X thì p là nguyên tố của X, do đó

3) Vì X là vành chính nên X là miền nguyên, mà trong miền nguyên mọi phần tử nguyên tố của X đều bất khả quy Ngược lại, nếu pXlà bất khả quy thì  p là ideal tối đại, do đó   là ideal nguyên tố Vì p p0 nên     p 0 , do đó p là phần tử

Với mọi k axbyK và mọi z K ta có:

suy ra d là một ước chung của a và b

Giả sử c là một ước chung bất kì của a và b, tức là tồn tại a b1, 1X sao cho a = ca1,

b = cb 1

Khi đó d =(ca1)r+(cb1)s = c(a1r+b1s) c|d

Hệ quả Từ định lý và chứng minh trên ta có các hệ quả sau:

1) Nếu e là một ƯCLN của a và b thì tồn tại r, s thuộc X sao cho

eduaxubyu arbs với rxu s,  yu ■

2) Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên tồn tại , r sX sao cho 1= ar+cs

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b ta được

Vì q là bất khả quy nên các ước của q là các phần tử khả nghịch, hoặc là các phần

tử liên kết với q, do đó ƯCLN của q và a chỉ có thể là một phần tử khả nghịch, tức là q nguyên tố với a, hoặc là một phần tử liên kết với q

|

d a suy ra tồn tại a1A a: da1

Định lý 3 Nếu x0 là một phần tử không khả nghịch của vành chính X thì hai mệnh

đề sau đây là tương đương

1) x bất khả quy

2) x ab|  x a| hoặc x|b

Chứng minh

1)2) Giả sử x là phần tử bất khả quy và x|ab

Vì x bất khả quy nên hoặc x|a hoặc x nguyên tố với a, nhưng nếu x nguyên tố với a

2)1) Giả sử x0 là một phần tử của X thỏa điều kiện của mệnh đề 2, và a là một ước nào đó của x, tức là sẽ có phần tử b X sao cho x=ab Ta phải chứng minh rằng hoặc a là khả nghịch, hoặc liên kết với x

Hiển nhiên x ab thì x|ab nên suy ra x|a hoặc x|b:

Nếu x|a, trong đó x = ab tức là a|x thì x và a là hai phần tử liên kết với nhau Nếu x|b thì kết hợp với b|x ta cũng có x~b, hay x=ub với u khả nghịch, do đó:

Khi đó m là một bội chung của a và b

Với mọi bội chung c của a và b ta có: c    a b do đó c , nghĩa là c là m

một bội chung của m và vì thế m là một BCNN của a và b

 Ngược lại giả sử m là BCNN của a và b

Vì X là vành chính nên     a b là một ideal chính tức là tồn tại phần tử m’ thuộc X sao cho:       a b m'

Khi đó m’ là một BCNN của a và b và kiên kết với m Suy ra:

Giả sử x và y là hai phần tử bất kì thuộc A thì theo định nghĩa của A sẽ tồn tại i, j sao

cho a a i  và b a j  Khi đó ta đặt k max i j{ , } ta suy ra a i   a k  và

n

Hệ quả Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau: Một họ khác rỗng những ideal của vành chính

X đều có ideal tối đại

Bây giờ ta sẽ xét một khái niệm có liên quan chặt chẽ với khái niệm dừng của dãy tăng các ideal

Định nghĩa

1) Một dãy những phần tử khác không của một miền nguyên X

1, 2, , n,

được gọi là một dây chuyền giảm những ước nếu a n1|a n với n =1,2,…

2) Dãy trên được gọi là dừng nếu tồn tại số nguyên dương n0 sao cho a n liên kết với

Dây chuyền này dừng vì trong vành chính mọi dãy tăng những ideal đều dừng Từ

BÀI TẬP

Bài 1 Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị thỏa x2   x x, X Chứng minh rằng:

a) x   x, x X

b) X là vành giao hoán

c) Mọi ideal nguyên tố của X đều là ideal tối đại

d) Mọi ideal hữu hạn sinh đều là ideal chính

e) Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử X = {0,1}

Vành có tính chất trên gọi là vành Boole

c) Giả sử P là ideal nguyên tố của X Ta cần chứng minh P là ideal tối đại

Mặt khác: xA nên x   (x 1) 1 A suy ra A=X

d) Nếu I là ideal của X sinh bởi hai phần tử a và b; I  a b,  thì I là ideal chính

,

Hiển nhiên a b ab I   nên   a b ab  I

a d b



kiện , ,a b d và d không là số chính phương)

Bài 3 Xét vành (   5) ab  5 | ,a b  Chứng minh rằng:

a) Các phần tử 3, 7, 1 2 5, 1 2   5 là các phần tử bất khả quy trong vành ( 5)

b) Các phần tử 3, 7, 1 2 5, 1 2   5 không phải là các phần tử nguyên tố trong

 Ta có: 3 0 và (3)f  9 1 nên 3 không khả nghịch (vì x khả nghịch trong vành

x khả nghịch trong vành ( 5) khi và chỉ khi f(x)=1)

Giả sử 1 2  5 xy với x a b 5,y c d 5 khi đó

f    f xy 21 f x f y( ) ( )khi đó xảy ra 2 trường hợp:

Nếu f x( ) 3 a25b2 3 phương trình này không có nghiệm nguyên vì ,a b nên ( )f x 3.

Nếu f x( ) 7 a25b2 7phương trình này không có nghiệm nguyên vì ,a b

b)

 Ta có: 30 và (3)f  9 1 nên 3 không khả nghịch

Mà 3 | (1 2 5)(1 2 5) nhưng 3 không là ước của 1 2 5, và 1 2 5

Vậy 3 không là phần tử nguyên tố

 Ta có: 70 và (7)f 491 nên 7 không khả nghịch

Mà 7 | (1 2 5)(1 2 5) nhưng 7 không là ước của 1 2 5, và 1 2 5 Vậy 7 không là phần tử nguyên tố

 Ta có:1 2  5 0 và (1 2f   5) 21 1 nên 1 2 5 không khả nghịch

Mà (1 2 5) | 3.7 nhưng 1 2 5 không là ước của 3, và 7

Vậy 1 2 5 không là phần tử nguyên tố

 Ta có 1 2  5 0 và f(1 2  5) 21 1 nên 1 2 5 không khả nghịch

Mà (1 2 5) | 3.7 nhưng 1 2 5 không là ước của 3, và 7

c) Giả sử I  3,1 2  5 là ideal chính và I    . Khi đó 3  và

1 2   5  nên   | 3 và    |1 2 5

Do 3, 1 2 5 là các phần tử bất khả quy nên   1 Do đó 1  I 3,1 2  5tức là 1 3( pq   5) (1 2 5)(mn 5) (với , , ,p q m n ) điều này có nghĩa

là 3p m 10n1 và 3q2m     n 0 n 3q 2m kết hợp lại ta được 3(p7m10 )q 1

Suy ra 3|1 điều này mâu thuẫn Vậy I không là ideal chính

Bây giờ ta cần chứng minh I là ideal tối đại Thật vậy giả sử P là ideal của ( 5)



 Khi đó tồn tại   a b  5 P và I

Vì 1 2  5 I nên phần tử  (b2 )a   5  a(1 2  5) P và I

Vì I nên b2a không chia hết cho 3, do đó b2a3k1

Khi đó  3k   5 5 Do P và 3k  5 P nên  5 P do đó 1P hay

Vậy P là ideal tối đại

Bài 4 Giả sửA{ab 3 | ,i a b } Chứng minh rằng:

a) A cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một miền nguyên

b) 2, 1 3i, 1 3i là những phần tử bất khả quy của A nhưng không phải là phần

tử nguyên tố Từ đó suy ra A không phải là một vành chính

Giải

a) Để chứng minh A là miền nguyên ta chỉ cần chứng minh A là vành con chứa đơn

Với mọi x a b  3i A y,  c d  3i A Khi đó

x y (a b 3 ) (i  c d  3) a c   b d  3i A

xyab 3i c d 3iac3bd  ad bc  3i A

không có ước của 0 Hơn nữa, đơn vị 1 1 0   3 A Suy ra A là vành giao hoán, có

đơn vị và không có ước của 0

Vậy A là miền nguyên

b) Với mỗi số phức   a bi ta gọi chuẩn của nó là N( )   a2b2 Khi đó nếu ,  là hai số phức thì ta có N() N( ) N( ) Thật vậy:

N         N  N Như vậy nếu A mà  là ước của 1 thì N( ) 1

Ta có: N(2)4;N(1 3 )i 4 và N(1 3 )i 4

Nên các số 2, 1 3i, 1 3i không là ước của 1

 Bây giờ ta chứng minh 2 không có ước thật sự trong A

Giả sử   x y 3i là một ước của 2, khi đó N( ) N x(  y 3 )i x23y2 phải

là ước của 4

Tức là hoặc ( ) 1N   hoặc N( ) 2 hoặc N( ) 4

Nếu N( ) 1 thì   1 0 3 hoặc    1 0 3 nên  là ước của 1

Nếu N( )  2 x23y2 2 (mâu thuẫn)

Nếu N  4 thì ta có 2 với N   1 nên 2 liên kết với  Vậy 2 không

có ước thật sự trong A

 Tương tự ta chứng minh được1 3i, 1 3i đều là những phần tử bất khả quy

 Giả sử B là ideal của S -1 X Khi đó S -1 A=B ( với A là ideal của X)

Ta cần chứng minh tồn tại ideal A của X sao cho S -1 A=B Thật vậy:

Xét đồng cấu chính tắc:

1

:1

x x

Giả sử với mọi S A1 suy ra a

Vậy mọi ideal của S -1 X đều là ideal chính

Mặt khác do X là miền nguyên nên S -1 X là miền nguyên

Bài 6 Giả sử X là vành chính và A là ideal của vành X Chứng minh rằng:

a) Mọi ideal của vành X/A đều là ideal chính

b) Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố

Giải

a) Giả sử B là ideal của vành X/A Xét toàn cấu chính tắc

Khi đó p -1 (B) là ideal của vành X Vì X là vành chính nên p -1 (B)=< x0 > với x0X

Ta cần chứng minh B  x0  Thật vậy giả sử x A B suy ra xp1( )B nên

Ngược lại ta có A là ideal nguyên tố nên X/A là miền nguyên, mà theo chứng minh

ở câu a) ta có mọi ideal của miền nguyên X/A đều là idel chính nên X/A là vành chính.■

Bài 7 Cho X là một vành chính Chứng minh rằng các ideal nguyên tố khác  0 đều là

ideal tối đại của X

Giải

Do các tính chất X/I là một trường khi và chỉ khi I là ideal tối đại và X/I là miền

nguyên khi và chỉ khi I là ideal nguyên tố của X, nên mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên

tố

Trước hết ta chứng minh nếu X là vành chính thì mọi ideal nguyên tố khác {0} là

ideal tối đại Thật vậy, giả sử I {0} là một ideal nguyên tố của vành chính X Vì X là

vành chính nên tồn tại aA sao cho I   a , do I là ideal nguyên tố nên I  X suy

ra a không là ước của 1

Bây giờ ta cần chứng minh a là phần tử bất khả quy của X Thật vậy, giả sử

Từ (1) và (2) ta được u    a hoặc v    a suy ra u liên kết với a hoặc

v liên kết với a Vậy a không có ước thực sự, do đó a là phần tử bất khả quy của X

Bài 8 Giả sử p là một phần tử khác 0 của một vành chính X Chứng minh p là phần tử

bất khả quy khi và chỉ khi Xp là một ideal tối đại

Vì aXp nên a không chia hết cho p, suy ra a và p không nguyên tố cùng nhau

Từ đó suy tồn tại u và v thuộc X sao cho:

Giả sử p không là bất khả quy, nghĩa là p có ước thật sự là aX để a.1=p Vì thế

Xa  X (do a không là ước của 1), XaXp và Xa Xp (do a không liên kết với p) Như vậy có ideal Xa mà Xp Xa X

  , trái với giả thiết về tính tối đại của Xp Vậy p là phần tử bất khả quy trong X

Bài 9 Cho X1, X2 là các vành chính Chứng minh rằng mọi ideal của vành X1X2 đều

là ideal chính, nhưng X1X2 không là vành chính

Giải

 Ta chứng minh: Mọi ideal của vành X1X2đều là ideal chính Thật vậy:

Giả sử A là ideal chính của vành X1X2, suy ra tồn tại A1X A1, 2X2 sao cho

Thật vậy ta thấy 0(1,0)X1X2 và 0(0,1)X1X2 nhưng (1,0)(0,1)=(0,0)

Hay X1X2 có ước của 0 nên X1X2 không là miền nguyên

Bài 10 Vành thương của một vành chính có phải là một vành chính không? Tại sao?

Giải

Vành thương của một vành chính có thể không là vành chính Chẳng hạn, vành số

m>1, m không phải là một số nguyên tố) không là vành chính vì chúng là những vành

có ước của 0, do đó chúng không là miền nguyên nên chúng không là vành chính

Bài 11 Vành con của một vành chính có phải là một vành chính hay không? Tại sao?

Ta thấy ngay ( 2 )i   2 | ,i    là một trường chứa miền nguyên A

Trên trục số ta thấy ngay một số hữu tỉ  bao giờ cũng tìm thấy một số nguyên a sao

tử bé nhất, gọi u là số phức thuộc I sao cho |u| 2 là số tự nhiên bé nhất của X

đúng đắn và P cùng với hai phép toán này lập thành vành giao hoán có đơn vị là

(1,0,0,…) phần tử không của vành này là (0,0,0,…) Ta ký hiệu phần tử đơn vị là 1 và phần tử không là 0

Vây giờ ta xét ánh xạ : A P được xác định ( ) a ( , 0, , 0, )a Dễ thấy  là

đơn cấu vành Do đó ta có thể đồng nhất phần tử a thuộc A vơi phần tử ( , 0, , 0, )a

thuộc P Trong vành P, ta đặt x (0,1, , 0, ) Khi đó:

Vành P được xác định như trên được gọi là vành đa thức của ẩn x (hoặc biến x) với các hệ số trong A và được ký hiệu là A x   Mỗi phần tử của A x   được gọi là đa thức

Mà degf x g x      deg f x degg x  

Định lý 2 Nếu A là một vàng giao hoán có đơn vị, khi đó vành đa thức A[x] là một vành

chính khi và chỉ khi A là một trường

Chứng minh

(  ) A[x] là vành chính thì  x A x, 0 đều khả nghịch

Thật vậy, xét ideal < a,x > là ideal của A[x] là ideal sinh bởi a và x