Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 91 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
91
Dung lượng
2,17 MB
Nội dung
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, cố gắng trang bị cho đầy đủ kiến thức cần thiết với giúp đỡ quý thầy cô môn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô tạo điều kiện thuân lợi hoàn thành luận văn cách tốt Đặc biệt, xin gởi lời cám ơn chân thành tri ân sâu sắc đến cô Lê Phương Thảo, cô giúp đỡ nhiệt tình tận tình, để hoàn thành tốt luận văn Và gởi lời cám ơn đến bạn thời gian làm luận văn ủng hộ tinh thần giúp đỡ hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng giúp đỡ tận tình giáo viên hướng dẫn, thầy cô, bạn bè,… luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận đước đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện hơn! Tôi xin chân thành cám ơn! Cần Thơ, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Minh Tâm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU NỘI DUNG LUẬN VĂN Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.2 Vành 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất 1.3 Ideal 11 1.3.1 Định nghĩa 11 1.3.2 Ideal sinh tập – Ideal 11 1.3.3 Các tính chất 11 Vành thương 13 1.4 1.5 Đồng cấu vành 14 1.5.1 Định nghĩa 14 1.5.2 Các tính chất 14 1.5.3 Định lý đồng cấu vành 15 1.6 Tích trực tiếp tổng trực tiếp 15 1.7 Miền nguyên 16 1.7.1 Định nghĩa 16 1.7.2 Các ví dụ 16 1.8 Trường 16 1.8.1 Định nghĩa 16 1.8.2 Các ví dụ 17 1.8.3 Trường 17 1.9 Ideal nguyên tố ideal tối đại 17 1.9.1 Định nghĩa 17 1.9.2 Các tính chất 17 Vành thương 18 1.10 1.10.1 Định nghĩa 18 1.10.2 Các tính chất 19 Chương VÀNH CHÍNH 20 2.1 Tính chất số học vành 20 2.1.1 Ước phần tử, phần tử khả nghịch 20 2.1.2 Phần tử liên kết với nhau, phần tử bất khả quy phần tử nguyên tố 20 2.1.3 Ước chung lớn bội chung nhỏ 22 2.2 Vành 24 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 24 2.2.2 Các tính chất vành 25 BÀI TẬP 29 Chương VÀNH EUCLIDE 39 3.1 Vành đa thức 39 3.1.1 Định nghĩa 39 3.1.2 Một số tính chất 40 3.1.3 Đa thức bất khả quy 41 3.1.4 Nghiệm đa thức 42 3.2 Vành Euclide 43 3.2.1 Định nghĩa 43 3.2.2 Tính chất vành Euclide 44 3.2.3 Thuật toán tìm ƯCLN (thuật toán Euclide) 46 BÀI TẬP 49 Chương VÀNH NHÂN TỬ HÓA 66 4.1 Các khái niệm 66 4.1.1 Định nghĩa 66 4.1.2 Các tính chất 66 4.2 Vành nhân tử hóa 67 4.2.1 Định nghĩa 67 4.1.2 Các tính chất 68 4.3 Vành số nguyên Gauss 71 4.3.1 Định nghĩa tính chất 71 4.3.2 Các ước đơn vị [i] 72 4.3.3 Các phần tử nguyên tố [i] 72 BÀI TẬP 79 PHẦN KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong môn học đại số cao cấp bậc đại học, làm quen với mảng kiến thức đại số như: nhóm, vành, trường, đặc biệt mảng kiến thức vành Euclide, vành chính, vành nhân tử hóa Tuy nhiên tài liệu tiếng Việt vấn đề không nhiều nên việc nghiên cứu sinh viên gặp không khó khăn Xuất phát từ lí nên định chọn đề tài luận văn mang tên “Vành Euclide, vành chính, vành nhân tử hóa” nhằm tìm hiểu tổng hợp tính chất nhằm góp phần nâng cao kiến thức đại số nói chung đưa tài liệu bản, hoàn chỉnh nhằm giúp ích cho việc học tập nghiên cứu sinh viên MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích luận văn nhằm khai thác kiến thức chuyên sâu vành Euclide, vành vành nhân tử hóa Rèn luyện kĩ tiếp cận, nghiên cứu số vấn đề toán học mẻ thân Đây dịp để thân nhìn lại cách tổng quan kiến thức đại số đặc biệt vành, trường - chủ đề lớn lĩnh vực đại số nói riêng toán học nói chung Và việc nghiên cứu góp phần bổ sung thêm kiến thức thân để chuẩn bị cho nghiên cứu khác sau ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Tôi thực việc nghiên cứu lý thuyết tập liên quan đến vành Euclide, vành chính, vành nhân tử hóa PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp sử dụng trình hoàn thành luận văn tổng hợp kiến thức từ nguồn tài liệu khác để làm rõ nội dung lý thuyết, phân tích, so sánh, sau trình bày lại theo hệ thống CÁC BƯỚC THỰC HIỆN Nhận đề tài Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài Lập đề cương chi tiết Làm rõ vấn đề mà đề tài hướng tới có liên quan đến đề tài Trình bày vấn đề làm thông qua giáo viên hướng dẫn Chỉnh sửa hoàn chỉnh luận văn NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn chia làm chương sau: Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương II VÀNH CHÍNH Chương III VÀNH EUCLIDE Chương IV VÀNH NHÂN TỬ HÓA BẢNG KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ab a ước b Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số thực Tập hợp số phức Tập hợp rỗng ■ Kết thúc phần chứng minh, tập a; b Cặp phần tử C( X ) Tâm nhóm X A B( A B) B A( A B) A tập tập hợp B < a > hay (a) Ideal sinh phần tử a A B Tích Descartes hai tập hợp A B f : AB f A B Ánh xạ f từ A đến B a, b Ước chung lớn a b a, b Bội chung nhỏ a b deg f ( x) Bậc f(x) NỘI DUNG LUẬN VĂN Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành tập X ( X ) với phép cộng (+) phép (.) cho X thỏa mãn điều kiện sau: 1) X với phép toán cộng lập thành nhóm Abel 2) Phép nhân có tính chất kết hợp: x, y, z X ta có: ( xy ) z x ( yz ) 3) Phép nhân phân phối phép cộng: x, y, z X ta có: x( y z ) xy xz ( y z ) x yx yz Nhóm (X,+) gọi nhóm cộng vành X Phần tử trung lập phép cộng gọi phần tử không kí hiệu Phần tử đối xứng phần tử x X gọi phần tử đối x kí hiệu x Phần tử x ( y ) kí hiệu x y Vành X gọi vành giao hoán phép nhân có tính giao hoán Vành X gọi vành có đơn vị phép nhân có đơn vị phần tử đơn vị X kí hiệu e Các ví dụ 1) Mỗi tập hợp số , , , với phép toán cộng nhân số thông thường lập thành vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên, vành số hữu tỉ, vành số thực, vành số phức 2) Gọi M ( n, ) tập ma trận vuông cấp n với phần tử số thực Tập M ( n, ) với phép toán cộng nhân ma trận lập thành vành có đơn vị không giao hoán (với n >1) Tương tự ta có vành M (n, ), M ( n, ) , M ( n, ) 1.1.2 Các tính chất Sau số tính chất vành suy từ định nghĩa Cho X vành: 1) Với x, y, z thuộc X ta có: x( y z ) xy xz ( y z ) x yx zx 2) Với x thuộc X ta có: x0 x 3) Với x, y thuộc X ta có: x( y ) ( x) y xy ( x)( y ) xy Hệ Với x thuộc vành X, n ta có: ( x)n xn (với n số chẵn) ( x)n xn (với n số lẻ) 4) Với xi , y j thuộc X ta có: n m i 1 j 1 n m ( x1 xn )( y1 ym ) xi y j xi y j i 1 j 1 Tính chất gọi luật phân phối tổng quát 1.2 Vành 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X vành A tập khác rỗng ổn định với hai phép toán X Tập A gọi vành X A với hai phép toán X lập thành vành Các ví dụ 1) Giả sử X vành Khi tập {0} X vành X Các vành gọi vành tầm thường X 2) Tập m gồm số nguyên bội số nguyên m cho trước vành vành số nguyên 3) Tập T (n, ) ma trận tam giác trên, cấp n với hệ số thực vành vành M ( n, ) ma trận vuông cấp n hệ số thực 1.2.2 Các tính chất Định lý Giả sử A tập khác rỗng vành X Khi điều kiện sau tương đương: 1) A vành X 2) Với x, y A , ta có x y A, xy A, x A 3) Với x, y A , ta có x y A, xy A Các ví dụ vành vành số thực Ta có Vì ( 2) Giả sử a b 2, c d (với a, b, c, d ) ( 2) a b | a, b 1) Tập Thật Khi đó: (a b 2) (c d 2) (a c) (b d ) ( 2) (a b 2)(c d 2) (ac 2bd ) (bc ad ) ( 2) Vậy ( 2) vành vành số thực (i ) a bi a, b 2) Tập với hai phép toán cộng phép toán nhân lập thành vành giao hoán, có đơn vị Thật vậy: ta chứng minh tập số phức Vì i a bi a, b vành vành i nên i Với x a bi, y c di i Ta có x y a bi c di a c b d i i xy a bi c di ac bd bc ad i Như vậy, i i vành vành số phức Do vành giao hoán nên i vành giao hoán vành i có đơn vị là: 0i Vậy i vành giao hoán, có đơn vị Mệnh đề Giao họ khác rỗng vành vành X vành vành X Vành sinh tập hợp Giả sử S tập vành X Khi S chứa vành X, chẳng hạn S X Khi giao tất vành X chứa S vành X chứa S Vành gọi vành X sinh tập S Đây vành bé (theo quan niệm bao hàm) X chứa S 10 [i] p a với [i]* \ U Khi ta Nếu p không phần tử nguyên tố có p N p N a N a N Mà p số nguyên tố N a 1, N nên N a N p hay p m2 n2 Suy p m n m ni m ni m ni a a m ni m ni Mà N a p nguyên tố ta suy a phần tử nguyên tố [i] Như ước thực p a, a liên kết chúng Ta có p số nguyên dương p 4n (n ) nên p = p 4n (n ), Trường hợp 1: p = Ta có phần tử nguyên tố [i] 12 12 Do i liên kết phần tử nguyên tố [i] Trường hợp 2: p = 4n+3 (n ) Theo iii) mệnh đề ta có p số nguyên tố [i] Trường hợp 3: p = 4n+1 (n ) Ta có p phần tử nguyên tố [i] p c2 d (c, d ) (theo định lý 5) nên c+di liên kết phần tử nguyên tố [i] Từ kết trên, ta suy phần tử nguyên tố [i] là: a ~ 1 i a ~ q với q số nguyên tố lẻ có dạng 4n a ~ c di cho N c di c d p với p số nguyên tố lẻ 4n có dạng Mệnh đề i) Mọi số nguyên Gauss khác khác phần tử khả nghịch chia hết cho phần tử nguyên tố [i] 77 ii) Mọi số nguyên Gauss khác khác phần tử khả nghịch phân tích thành tích phần tử nguyên tố [i] Chứng minh i) Giả sử [i]* \ U Khi phần tử nguyên tố [i] ước nguyên tố Nếu phần tử nguyên tố [i] 1 , 1 [i]* \ U : 11 Ta có N (1 ) 1, N ( 1 ) Mà N ( ) N (11 ) N (1 ) N ( 1 ) Do N (1 ) N ( ) Nếu 1 phần tử nguyên tố [i] 1 ước nguyên tố Nếu 1 là phần tử nguyên tố [i] , [i]* \ U : 1 Ta có N ( ) 1, N ( ) Mà N (1 ) N ( ) N ( ) N ( ) Do N ( ) N (1 ) Nếu phần tử nguyên tố [i] ước nguyên tố Nếu là phần tử nguyên tố [i] ta tiếp tục trình Nhưng vì: N ( ), N (1 ), N ( ), N ( ) N (1 ) N ( ) nên trình phải kết thúc bước thứ r với N ( r ) số nguyên tố Theo tính chất N số nguyên tố r phần tử nguyên tố [i] Vậy r ước nguyên tố ii) Giả sử [i]* \ U Theo i) tồn a1 phần tử nguyên tố a11 với N 1 N Nếu 1 U a1 phần tử nguyên tố của [i] [i] cho [i] nên phần tử nguyên tố Nếu 1 U theo i) tồn a2 phần tử nguyên tố với N N 1 [i] cho 1 a2 Nếu U a2 phần tử nguyên tố [i] nên 1 phần tử nguyên tố [i] Ta có a11 Nếu U ta tiếp tục trình Nhưng N ( ), N (1 ), N ( ), N ( ) N (1 ) N ( ) nên trình phải kết thúc bước thứ r với ar 78 phần tử nguyên tố [i], r U a1a2 ar 1ar r Do ar phần tử nguyên tố [i] nên r 1 ar r phần tử nguyên tố [i] Vậy a1a2 ar 1 r 1 , i 1, r r 1 phần tử nguyên tố ■ [i] BÀI TẬP Bài Giả sử X vành nhân tử hóa a,b,c phần tử X Chứng minh rằng: a) Nếu a|b, b|c (a,b) = ab|c, b) Nếu (a,b) = 1, (a,c) = (a,bc) = c) Nếu c|ab (a,c) = c|b Giải a) Vì a|b nên tồn q X cho b = aq Vì b|c nên tồn p X cho c = bp Vì (a,b)=1 nên tồn u, v X cho au + bv = Từ suy c cau cbv bpau bpaqv ab pu qpv Vậy ab|c b) Vì a|ac nên (a,bc)|(ac,bc) = (a,b)c = c Mặt khác (a,bc)|a Bởi (a,bc)|(a,c)=1 tức (a,bc) = c) Vì c|ab nên c|(ab,bc) = b(a,c) = b Hay c|b Bài Trong vành số nguyên Gauss [i] tìm ƯCLN hai số a b Từ việc tìm ƯCLN tìm cặp số u v cho au bv a, b a) a 5i, b 2i b) a i, b i Giải a) Để tìm ƯCLN số a b vành liên tiếp thuật toán Euclide sau: 2–i + 3i i - 2i + 5i 1+3i + 2i 2i i Từ ta có 3i (4 5i ) (3 2i ) 79 [i] , ta thực dãy phép chia + 2i i (3 2i ) (1 3i ) i (1 3i ) i (2 i ) Suy i (1 3i ) i (2 i ) (1 3i ) i (3 2i) 1 3i (1 3i )(1 i ) i (3 2i) (1 i) (4 5i) (3 2i) i(3 2i) 5i 1 i 2i 1 2i Vậy a, b 5i,3 2i i u i, v 1 2i Để tìm ƯCLN số a b vành tiếp thuật toán Euclide sau: 2 i 1–i i – 2i [i] , ta thực dãy phép chia liên 4i 1+i 1+i 2i 2i 1 2i i 1 2i 1 i i 2 i i Từ ta có 2i i 1 i 1 2i 1 i 2i i 2i i 1 2i 2 i 1 2i 1 i i 1 i i 2 i Từ biểu thức trên, ta có: i (1 i ) i (2 i ) 80 (1 i ) i (1 2i) 1 i (1 i )(1 i ) i (1 2i ) (1 i) (3 2i) i(1 2i) i(1 2i) (1 i )(3 2i ) ( 1 2i )(1 2i) (1 i)(3 2i) (1 2i) (1 i) i(3 2i) (1 2i )(1 i ) (1)(3 2i ) (1 2i)(1 i) (1) (4 i) (1 i) (1)(4 i ) (2 2i )(1 i ) Vậy a, b i,1 i i u 1, v 2i Bài Cho [i] a bi | a, b i ideal tối đại miền nguyên Chứng minh phần tử [i] Giải Để chứng minh i ideal tối đại bất khả quy [i] [i] , ta chứng minh i phần tử Gọi p i [i] Ta thấy: | p ||1 i | p không khả Giả sử p xy với x, y [i] Ta có: | p || xy || x || y || p |2 | x |2 | y |2 nghịch Suy | x | | y | x khả nghịch y khả nghịch Do p i i phần tử bất khả quy Mà [i] vành Euclide nên [i] vành Vậy i ideal tối đại [i] Bài Cho ví dụ chứng tỏ: a) Vành chứa đơn vị vành nhân tử hóa không vành nhân tử hóa b) Vành thương X/A vành nhân tử hóa X theo ideal A không vành nhân tử hóa, kể X/A miền nguyên Giải a) Hiển nhiên ta có trường số phức vành nhân tử hóa vành 5 a b 5 | a, b 81 miền nguyên vành nhân tử hóa Nhận xét 5 khả * nghịch N ( ) với N ánh xạ N : 5 Dễ thấy phương trình a 5b a 5b nghiệm nguyên nên N ( ) 3, N ( ) với 5 Giả sử N N N Do N ( ) 3, N ( ) nên N ( ) N ( ) nghĩa 1 1 Vậy phần tử bất khả quy Tương tự ta chứng minh 7,1 5,1 5 phần tử bất khả quy 5 5 ta có: 21 3.7 (1 5)(1 5) hai phân tích thành phần tử bất khả quy nên 5 không vành nhân tử hóa Nhưng vành b) Xét ánh xạ : [x] [ 5] f ( 5) f ( x) Dễ thấy toàn cấu Do Ta có [x] / ker [ 5] [x] vành nhân tử hóa, song vành thương tử hóa (mặc dù miền nguyên) x ker không vành nhân 5 không vành nhân tử hóa Bài Chứng minh vành X vành X vành nhân tử hóa ideal nguyên tố khác không X ideal tối đại Giải Trước tiên ta cần bổ đề sau: Bổ đề Giả sử X miền nguyên a,1 , , n phần tử thuộc X Khi với n i tồn xi X cho axi (mod i ) tồn x X cho ax (mod i ) i 1 Thật để đơn giản kí hiệu, ta chứng minh cho n = Trường hợp tổng quát hoàn toàn tương tự Ta có 1 | ax1 1, | ax2 nên 82 1 | (ax1 1)(ax2 1) a(ax1x2 x1 x2 ) Chọn x x1 x2 ax1 x2 , ta có ax (mod 1 ) Bổ đề Giả sử X miền nguyên có ideal nguyên tố khác không tối đại giả sử a, p phần tử thuộc X, p phần tử nguyên tố, (a,p) = Khi tồn phần tử x thuộc X cho ax (mod pn ) với n Thật vậy, p phần tử nguyên tố nên p ideal nguyên tố p ideal tối đại X Bởi X trường Do (a,p) = nên a , suy p , tức tồn phần tử y thuộc X cho ay (mod p) a khả nghịch X p Áp dụng bổ đề suy tồn phần tử x thuộc X cho ax (mod pn ) Bây ta chứng minh vành nhân tử hóa X có ideal nguyên tố khác không tối đại vành Trước hết ta có nhận xét a, b hai phần tử thuộc X tồn hai phần tử u, v thuộc X cho au bv (a, b) Thật ta xét a, b Giả sử b p1n1 pknk , pi phần tử bất khả quy (do phần tử nguyên tố) Vì , pi nên tồn xi X cho axi (mod pi ni ) Bởi theo bổ đề tồn phần tử u thuộc X cho au mod b , tức tồn phần tử a b v thuộc X để au + bv = Nếu (a,b) = d suy , tồn phần tử u, d d a b v thuộc X cho u v tức au bv d (a, b) d d Bây ta giả sử A ideal X, ta chứng minh A ideal Từ nhận xét ta suy a1 , a2 , , an A (a1 , a2 , , an ) A Giả sử A X a phần tử khác không, không khả nghịch A Gọi a1 , a2 , , an tất ước a, không khả nghịch, không liên kết với thuộc A Đặt b (a1 , a2 , , an ) b A Ta cần chứng minh b A Thật với phần tử c thuộc A, ta có (c,a) ước không khả nghịch a thuộc A ((c,a) không khả nghịch A X ) (c, a) với i {1, , n} , b | (c,a), nên b | c tức c b Suy A b Vậy X vành ■ Bài Giả sử X miền nguyên, X không tồn dãy vô hạn phần tử a1 , a2 , , an , cho an1 ước thật an phần tử bất khả quy phần tử nguyên tố Chứng minh X vành nhân tử hóa Giải 83 Trước tiên ta chứng minh phần tử khác không, không khả nghịch a X có ước phần tử bất khả quy Thật vậy, ước a không phần tử bất khả quy a không phần tử bất khả quy a có ước thật a2 không bất khả quy, a2 lại có ước thật a3 không bất khả quy,… ta có dãy vô hạn phần tử a a1 , a2 , , an , với an1 ước thật an (trái giả thiết) Bây ta chứng minh a phân tích thành tích phần tử bất khả quy Giả sử p1 ước bất khả quy a, a p1a2 Nếu a2 không khả nghịch a2 p2 a3 , Quá trình vô hạn, tức đến lúc an1 phải khả nghịch không ta dãy vô hạn a a1 , a2 , , an , với an1 ước thật an Vậy ta có a u p1 pn , u khả nghịch Cuối cùng, giả sử a có phân tích thành tích phần tử bất khả quy khác a v.q1 qm Khi p1 | q1 qm p1 phần tử bất khả quy nên p1 phần tử nguyên tố, p1 ước qi Bằng cách đánh số lại giả sử p1 ước q1 Mà q1 phần tử bất khả quy nên p1 ~ q1 Bằng cách quy nạp theo m theo n ta suy m = n pi ~ qi , i 1, , n ■ Bài Giả sử X vành nhân tử hóa, S tập nhân X Chứng minh vành S 1 X vành nhân tử hóa phần tử nguyên tố S 1 X phần tử có dạng p s S , p phần tử nguyên tố X cho p S s Giải a a b b khả nghịch S 1 X , tồn phần tử S 1 X để suy s s t t ab st S tức a S Ngược lại, a S tồn phần tử a bs a a b X cho ab t S Khi ta có , tức khả nghịch Vậy khả s t s s nghịch S 1 X chi a S Giả sử Bây ta chứng minh phần tử bất khả quy S 1 X phần tử có dạng p s S , p phần tử bất khả quy X p S Thật vậy, giả sử s p p b c p bất khả quy p S , không khả nghịch s s t r ptr bcs , p | bcs Vì p S nên ( p, s ) p | b p | c tức p b p c p a | | Vậy phần tử bất khả quy S 1 X Ngược lại, giả sử s t s r s s 84 phần tử bất khả quy S 1 X giả sử a p1 p2 pn phân tích a thành phần tử bất khả quy X, ta có: a p1 pn s s 1 Nếu pi S , i 1, 2, , n tất pi khả nghịch S 1 X , a khả nghịch, trái giả thiết Vậy phải tồn p pi p S s p a p a a | , phần tử bất khả quy S 1 X nên liên kết s s s p a p với tức có dạng với t S s t Khi a S 1 X phần tử khác s không, không khả nghịch, a p1 p2 pn , với pi phần tử bất khả quy X Do ta có : Cuối ta chứng minh S 1 X vành nhân tử hóa Giả sử a p1 pn s s 1 pi phần tử khả nghịch (nếu pi S ) phần tử a bất khả quy (nếu pi S ) Vậy S 1 X phân tích thành tích s phần tử bất khả quy Các phần tử Để chứng minh tính phân tích thành tích phần tử bất khả quy ta cần chứng tỏ phần tử bất khả quy S 1 X phần tử nguyên tố Thật a a b c a vậy, giả sử phân tử bất khả quy | , ta có a | bcs Vì không khả s s t r s a b a c nghịch nên a S , tức (a, s) nên a|b a|c Do | | s t s r a Vậy phần tử nguyên tố Vậy S 1 X vành nhân tử hóa s Bài Cho A vành Gauss, A trường thương A f ( x) a0 a1 x an x n A[ x] 85 gọi đa thức nguyên ước chung lớn hệ tử a0 , a1 , , an Chứng minh rằng: a) Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên b) Nếu đa thức f ( x) A[ x] khả quy A[x] khả quy A[x] Giải a) Giả sử f ( x) a0 a1 x an x n g ( x) b0 b1 x bm x m hai đa thức nguyên f ( x) g ( x) c0 c1 x cm n x m n Nếu tích không đa thức nguyên tồn số nguyên tố p ước chung tất hệ số c0 , c1 , cm n Vì tất hệ số f(x) chia hết cho p (do f(x) nguyên bản) nên hệ số a0 , a1 , , ak có hệ tử đầu tiên, giả sử không chia hết cho p Tương tự, giả sử bj hệ tử g(x) không chia hết cho p Khi đó: ci j a0bi j 1bj 1 aib j 1b j 1 jb0 Vì ci j chia hết cho p theo giả thuyết, tất số hạng vế phải trừ aib j chia hết cho p Vì p nguyên tố nên bj phải chia hết cho p Nhưng điều không xảy Vậy f(x)g(x) đa thức nguyên b) Ta chứng minh khẳng định tương đương: Nếu đa thức f ( x) A[ x] bất khả quy A[x] bất khả quy A[x] Thật vậy, giả sử ngược lại đa thức f ( x) A[ x] khả quy A[x] , tức là: f ( x) f1 ( x) f ( x), với f1 ( x), f ( x) A[x] deg(f1,f2) < deg(f) Ta có fi ( x) * * fi ( x),(i 1, 2) , (ai,bi) = fi đa thức nguyên bi Từ f ( x) Giả sử a1a2 * f1 ( x) f 2* ( x) b1b2 q * a1a2 q * với (q,r)=1 Khi ta có: f ( x) f1 ( x) f ( x) r b1b2 r 86 Nếu ci hệ tử tích f1* ( x) f 2* ( x) ciq phải chia hết cho r, f ( x) A[ x] Vì (q,r)=1 nên r phải chia hết cho ci r ước chung hệ tử tích f1* ( x) f 2* ( x) Nhưng theo chứng minh câu a) tích f1* ( x) f 2* ( x) đa thức nguyên nên r khả nghịch Do r 1 A , từ f ( x) (r 1qf1* ( x))( f 2* ( x)) với r 1qf1* ( x), f 2* ( x) A[ x] đa thức có bật nhỏ bậc f(x) Vậy f(x) khả quy A[x], trái với giả thiết Vậy ta điều phải chứng minh Bài Chứng minh A[x] vành Gauss A vành Gauss Tính chất không ta thay giả thiết vành Gauss thành vành Giải ( ) Nếu A miền nguyên phần tử khả nghịch A khả nghịch A[x] Bởi A[x] vành Gauss phần tử khác không không khả nghịch a thuộc A phân tích thành tích phần tử bất khả quy A[x] Vì phần tử bất khả quy A[x] thuộc A nên a phân tích thành tích phần tử bất khả quy A Vậy A vành nhân tử hóa ( ) Giả sử A vành Gauss, K trường thương A, f(x) đa thức khác không không khả nghịch A[x] Giả sử f ( x) f1 ( x) f n ( x) phân tích f(x) thành nhân tử bất khả quy K[x] Ta có: f i ( x) bi f i * ( x) với fi * ( x) A[ x] , , bi đa thức nguyên Suy f ( x) a * f1 ( x) f n* ( x) với a, b A, (a, b) b Ta có tích đa thức nguyên đa thức nguyên nên ta có b khả nghịch Do f(x) liên kết với af1* ( x) f n* ( x) p1 pk f1* ( x) f n* ( x) 87 Các đa thức fi * ( x) nguyên bất khả quy K[x] nên chúng đa thức bất khả quy A[x], p1 pk phần tử bất khả quy A nên phần tử bất khả quy A[x] Bây giờ, giả sử f ( x) p1 pk f1 ( x) f n ( x) q1 ql g1 ( x) g m ( x) hai phân tích f(x) thành đa thức bất khả quy A[x] Khi đa thức fi ( x), g j ( x) nguyên nên đa thức f1 ( x) f n ( x) g1 ( x) g m ( x) đa thức nguyên Suy p1 pk ~ q1 ql nên k = l pi ~ qi Ta có: f1 ( x) f n ( x) ~ g1 ( x) g m ( x) Do fi ( x), g j ( x) đa thức nguyên bản, bất khả quy K[x] nên đa thức bất khả quy A[x] Do phân tích phần tử vành đa thức A[x] nên ta có m = n fi ( x) ~ g j ( x) Vậy A[x] vành nhân tử hóa Kết không thay giả thiết “vành Gauss” giả thiết “vành chính” Ví dụ vành vành vành đa thức [x] vành Bài 10 Chứng minh rằng: a) [x] vành nhân tử hóa không vành b) Nếu A vành nhân tử hóa vành đa thức nhiều ẩn A[ x1 , , xn ], n vành nhân tử hóa không vành Giải a) Theo chứng minh tập ta thấy vành nhân tử hóa nên [x] vành nhân tử hóa Ta lại có [x] nên < x > ideal nguyên tố [x] Thế x [x] trường nên < x > không ideal tối đại [x] Vậy [x] x không vành Ta dễ dàng chứng minh vành [x] ideal I x,2 {f ( x) [x] | f (0) chẵn } không ideal Thật giả sử I ideal chính, tức tồn d cho I = < d > d |x d |2, d 1 Vậy I (vô lí) Hay [x ] không ideal ■ 88 b) Theo tập phương pháp quy nạp, ta có A vành nhân tử hóa A[ x1 ] vành nhân tử hóa A[ x1 ,x2 ] vành nhân tử hóa … A[ x1 ,x2 , ,xn ] vành nhân tử hóa Với n >1 vành A[ x1 ,x2 , ,xn ] không vành vì: Ta có A[ x1 ,x2 , ,xn ] A[ xn ] x1 , , xn1 miền nguyên mà không trường Do x1 , , xn1 ideal nguyên tố khác không mà không ideal tối đại Vậy A[ x1 ,x2 , ,xn ] không vành Ta chứng minh ideal I x1 ,x2 , ,xn không ideal Thật vậy, giả sử I d ideal d | xi với i 1,2, , n d khả nghịch I A[ x1 ,x2 , ,xn ] (vô lí) Vậy ■ A[ x1 ,x2 , ,xn ] không vành 89 PHẦN KẾT LUẬN Sau khoảng thời gian tìm hiểu nghiên cứu đến hoàn tất luận văn Luận văn hệ thống lại mệnh đề, định lí, hệ thông dụng vành trường, vành Euclide, vành vành nhân tử hóa Bên cạnh luận văn đề cập đến kiến thức vành số nguyên Gauss Trên sở luận văn trình bày hệ thống tập có lời giải chi tiết liên quan đến đề tài Quá trình nghiên cứu giúp có củng cố lại kiến thức học tích lũy thêm kiến thức quý báu, đặc biệt rút cho nhiều kinh nghiệm nghiên cứu khoa học sau 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thanh Bình (2002), Giáo trính lý thuyết vành - trường, Trường Đại học Cần Thơ [2] Đậu Thế Cấp (2009), Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục [3] Lê Thanh Hà (1995), Đa thức nhân tử hóa, NXB Giáo dục [4] Bùi Huy Hiền (2007), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [5] Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Tiến Quang (2008), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [8] Phan Doãn Thoại (2002), Số học miền nguyên, NXB Sư phạm Tiếng Anh [9] David S Dummit and Richard M Foote (2004), Abstract Algebra, University of Vermont [10] Hiram Paley and Paul M Weichsel (1966), A first course in Abstract Algebra, University of Illinois 91 [...]... B là ideal chính 1 Vậy mọi ideal của S-1X đều là ideal chính Mặt khác do X là miền nguyên nên S-1X là miền nguyên Vậy S-1X là vành chính ■ Bài 6 Giả sử X là vành chính và A là ideal của vành X Chứng minh rằng: Vì a A nên a) Mọi ideal của vành X/A đều là ideal chính b) Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố Giải a) Giả sử B là ideal của vành X/A Xét toàn cấu chính tắc 35... X/A phép nhân như sau: 13 (x + A)(y + A) = xy + A Khi đó X/A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành Định nghĩa Vành X/A được gọi là vành thương của X theo ideal A (hay vành thương của X trên A) Khi đó nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao hoán và nếu X là vành có đơn vị thì X/A cũng là vành có đơn vị (đơn vị là 1+A) Ví dụ Với mọi số nguyên dương n, n là một ideal của vành số... cấu vành thì f(0X) = 0Y và f ( x) f ( x), x X 14 2) Nếu f : X Y và g : Y K là các đồng cấu vành thì ánh xạ tích gf : X Y là đồng cấu vành Đặc biệt tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) vành là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) vành 3) Nếu f : X Y đẳng cấu vành thì ánh xạ ngược f 1 : Y X cũng là một đẳng cấu vành Định lý 5 Giả sử f : X Y là đồng cấu vành, A là vành con của X và. .. của a và b là liên kết và do đó sinh ra cùng một ideal Tính chất Trong miền nguyên X nếu a b m thì m là BCNN của a và b 2.2 Vành chính 2.2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa Một miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi ideal của X đều là ideal chính Một vành chính hay còn được gọi là miền các ideal chính hay miền chính Các ví dụ 1) Vành các số nguyên là vành chính Thật vậy, chỉ cần... đồng cấu vành f : X Y được gọi là tự đồng cấu vành X ii) Đồng cấu vành f : X Y gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Các ví dụ 1) Cho X, Y là các vành và ánh xạ f : X Y x 0 với 0 là phần tử trung hòa của Y là đồng cấu vành và được gọi là đồng cấu không 2) Cho A là vành con của X và ánh xạ iA : A X a a là đơn cấu vành và được gọi là đơn cấu chính tắc... là toàn cấu chính tắc) 2) Im g Im f ; Kerg = Kerf /A 3) g là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và A = kerf Định lý đẳng cấu thứ nhất Giả sử A, B là các ideal của vành X và A B Khi đó B/A là một ideal của vành X/A và ta có đẳng cấu vành (X/A)/(B/A) X/B Định lý đẳng cấu thứ hai Giả sử A là vành con của X và B là ideal của vành X Khi đó A B là ideal của A và ta có đẳng cấu vành A/ A B... của vành, những tính chất này có nhiều chỗ tương tự như những tính chất của vành số nguyên mà chúng ta ít nhiều đã biết Ngoài ra chúng ta thấy rằng trong vành các số nguyên mọi ideal đều là ideal chính, điều đó gợi ý cho chúng ta xét một lớp vành tổng quát hóa của lớp vành nói trên Tất cả vành trong chương này đều là vành giao hoán có đơn vị 2.1 Tính chất số học trong vành 2.1.1 Ước của một phần tử, ... c) Mọi phần tử của S 1 X đều có dạng f (a) f (s)1 trong đó a X , s S Nếu P là ideal nguyên tố của vành X thì S X \ P là tập con nhân Khi đó vành các thương S 1 X được kí hiệu là X P và gọi là địa phương hóa của vành X đối với ideal nguyên tố P X P là vành địa phương, tức là vành có ideal tối đại duy nhất, đó chính là p ideal S 1P | p P, s S s 19 Chương 2 VÀNH CHÍNH Trong... ideal của Y Khi đó: 1) f (A) là vành con của vành Y 2) f -1(B) là ideal của vành X Hệ quả Giả sử f : X Y là đồng cấu vành Khi đó: 1) Imf ={f(x)| x X }= f(X) là vành con của Y 2) Kerf ={x X | f(x) = 0Y} = f -1(0Y) là ideal của X 1.5.3 Định lý đồng cấu vành Định lí 6 Giả sử f : X Y là đồng cấu vành, A là ideal của X và A ker f Khi đó: 1) Tồn tại duy nhất đồng cấu vành g : X A Y sao cho biểu... nguyên Khi đó vành thương được gọi là vành các số nguyên mod n Phép cộng và phép nhân trong n được định nghĩa như sau: n (x n ) ( y n ) x y n ( x n )( y n ) xy n 1.5 Đồng cấu vành 1.5.1 Định nghĩa Giả sử X và Y là các vành Khi đó ánh xạ f : X Y được gọi là đồng cấu vành nếu nó bảo tồn các phép toán của vành, tức là với mọi x, y thuộc X ta có: f (x+y) = f(x)+f(y) và f(xy) = f(x)f(y)