Không gian nửa metric và không gian giả metric

b Tập hợp các nghiệm phức của phương trình x22x 5 0 c Các vật nằm trong tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp... Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử vừ

a) Tập hợp các điểm trên đường thẳng thực

b) Tập hợp các nghiệm phức của phương trình x22x 5 0

c) Các vật nằm trong tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp

Tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái A, B, C,…, X, Y, Z,…

Ta ký hiệu xA để chỉ x là phần tử của tập hợp A và xA để chỉ x không

là phần tử của tập hợp A

1.1.2 Cách xác định tập hợp

Người ta thường dùng hai cách sau để xác định tập hợp:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

 Nếu A là tập con của B thì ta nói B bao hàm A

 Nếu A là tập con của B và A khác B thì ta nói A là tập con thực sự của B

Với mỗi số thực a, đặt M là tập hợp tất cả số thực nhỏ hơn a a

Khi đó: A{M a:a } là họ tập hợp được đánh chỉ số bởi tập các số thực

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc A

và vừa thuộc B Ký hiệu A B

Cho hai tập hợp X và Y Nếu có qui luật f sao cho với mỗi phần tử xX ta

có một và chỉ một phần tử yY xác định theo qui luật f đó thì f được gọi là ánh

Nếu f X: Y là một song ánh thì với mỗi phần tử yY đều tồn tại duy

nhất phần tử xX sao cho f x( ) y Phép tương ứng xác định như thế từ Y vào

X là một ánh xạ Ánh xạ này được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Ký hiệu: f 1

1.2.4 Thu hẹp của một ánh xạ

Định nghĩa 1.8

Giả sử f X: Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y và A X Khi

đó một thu hẹp của ánh xạ f lên A, được ký hiệu bởi | f A , là ánh xạ từ tập A vào tập Y, xác định bởi f | ( )A x  f x( )  x A

1.2.5 Ánh xạ tích

Định nghĩa 1.9

Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, g được gọi là ánh xạ từ Y vào Z Khi đó với mỗi phần tử xX ta có phần tử yY y:  f x( ) và phần tử zZ sao cho ( ) [ ( )]

zg y g f x

Vậy với mỗi xX đều có duy nhất phần tử zZ z: g f x[ ( )]h x( )

Ánh xạ h được gọi là ánh xạ tích của các ánh xạ f và g

Ký hiệu: hg f

Nếu mãi vẫn còn những phần tử của tập hợp A chưa được đếm tới thì tập hợp

A được gọi là tập vô hạn

Vậy nếu A đếm được thì ta có thể viết A{ }a n n

 Bất cứ một tập hợp vô hạn nào cũng có chứa một tập con đếm được

 Tập hợp con của một tập hợp đếm được là tập hữu hạn hoặc đếm được

 Hợp của một họ hữu hạn hay đếm được các tập hợp đếm được là một tập hợp đếm được

 Khi ta thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn M

thì ta không làm thay đổi lực lượng của tập hợp M

1.4 Không gian Tôpô

1.4.1 Không gian tôpô

Đinh nghĩa 1.15

Cho một tập hợp X   Một họ  các tập hợp con của X là một tôpô trên

X nếu  thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Cho ( , )X  , F được gọi là tập đóng nếu X F là tập mở \

1.4.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng

Định nghĩa 1.20

Cho không gian ( , )X  , xX và A X

x được gọi là điểm trong của A nếu  G :x G 

x là điểm ngoài của A nếu  G :x G X A\

x là điểm biên của A nếu   V V x V A  và V (X A\ ) 

x là điểm dính của A nếu   V V x V A 

x là điểm giới hạn của A nếu   V V x ( \ { })V x A 

x là điểm cô lập của A nếu  V V V x: A{ }.x

Tập hợp tất cả các điểm biên của tập A được gọi là biên của A

Ký hiệu: ( ),  A Fr A b A( ), ( )

Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của tập hợp A còn được gọi là tập dẫn xuất của tập hợp A

Định nghĩa 1.21

Phần trong của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm trong của tập hợp A

Ký hiệu: int A hoặc A o

9

Định nghĩa 1.22

Bao đóng của tập hợp A là tập đóng bé nhất trong X chứa A

Ký hiệu: [A] hoặc A hoặc Cl A ( )

1.4.4 Tập hợp trù mật - Không gian khả ly

Định nghĩa 1.23

Cho ( , ), , X  A BX. A được gọi là trù mật trong B nếu B A

Nhận xét: Nếu A trù mật trong B và B trù mật trong C thì A trù mật trong C

10

 Một T0không gian nếu với mỗi cặp điểm x y, X x,  yluôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm chứa điểm còn lại

 Một T1không gian nếu với mỗi cặp điểm x y, X x,  yluôn tồn tại một lân

cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x

 Một T2không gian hay không gian Hausdorff nếu với mỗi cặp điểm

x yX x y luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho: U V  

 Không gian tôpô X là không gian chính qui nếu với mỗi xX và mỗi tập

đóng F sao cho xX luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho:

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là một không gian metric

Ký hiệu: ( , )X d

Phần tử xX được gọi là điểm của không gian metric X

Số thực không âm d x y được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y ( , )

Định nghĩa 1.31

Cho d là một metric trên X

Khoảng cách giữa một điểm xX đến và một tập hợp A X là:

( , ) inf{ ( , ) : }

d x A  d x a aA Khoảng cách giữa hai tập hợp con khác rỗng A và B của X là:

( , ) inf { ( , ) : , }

d A B  d a b aA bB Cho A X , A  Đường kính của tập hợp A là:

( ) sup{ ( , ') : , ' }

d A  d a a a a A

11

1.5.2 Lân cận và các loại điểm

 Lân cận

Cho không gian metric ( , ) X d , xX,  0

Tập S x( , )0   {x X d x x: ( , 0)} được gọi là hình cầu mở tâm x bán 0

Cho không gian metric ( , ) X d , xX A, X

x được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu   0 : ( , )S x A

x là điểm ngoài của tập hợp A nếu   0 : ( , )S x  X A\

x là điểm biên của tập hợp A nếu

0 : ( , )S x A , ( , )S x (X A\ )

x là điểm dính của tập hợp A nếu   0 : ( , )S x A 

x là điểm giới hạn của tập hợp A nếu   0 : ( , )S x  ( \ { })A x  

x là điểm cô lập của tập hợp A nếu   0 : ( , )S x A{ }.x

12

2.1 Không gian giả metric

2.1.1 Không gian giả metric

iv) d x y( , )d x z( , )d z y( , ) (Bất đẳng thức tam giác)

Khi đó hàm khoảng cách d được gọi là giả metric trên X Cặp ( , )X d được gọi là không gian giả metric

Nhận xét: Mọi không gian metric đều là không gian giả metric

 ( , )X d không là không gian metric Điều này là do ( , ) d x y 0 với

x yX x y

d f x f x   f x dx f x dx i jI là một giả metric trên F, hay

( , )F d là không gian giả metric

d f x f x d f x f x

Vậy ( , )F d là một không gian giả metric

 ( , )F d không phải là không gian metric bởi vì ( , ) F d không thỏa tiên đề i)

của định nghĩa metric

Thật vậy

Cho hai hàm số f x1( ) f x2( ) được xác định như sau:

 ( , )X d không là không gian metric Bởi vì ( , ) X d không thỏa tiên đề (i) của

B x  xX d x x  được gọi là hình cầu tâm x0 bán kính 

Nếu tồn tại   0 sao cho B x( )0  x0 , thì ta gọi  x0 là điểm cô lập trong ( , )X d

15

Định nghĩa 2.3

Giả sử ( , )X d là không gian giả metric và O X Ta gọi O là tập mở trong

( , )X d nếu mỗi xO, tồn tại   0 sao cho B x( )O

i Mỗi hình cầu B x( ) là mở trong ( , )X d

ii Điểm x0 trong không gian giả metric ( , )X d là điểm cô lập khi và chỉ khi  x0

Vì vậy, O1 O2 O nd

2.1.2 Tập đóng

Định nghĩa 2.5

Giả sử ( , )X d là không gian giả metric và F X Ta gọi F là tập đóng

trong ( , )X d nếu X F\ là tập mở trong ( , )X d

Từ định nghĩa trên ta có các mệnh đề sau đây tương đương:

i) F là tập đóng trong ( , )X d

ii) X F\ là mở trong ( , )X d

iii)  x X F\ ,  0 :B x( ) X F\

iv)  x X F\ ,   0 :B x( ) F 

ii) Giả sử F là đóng với A

Khi đó X F\  là mở với A, vì vậy \

Giả sử ( , )X d là không gian giả metric và A X

i) Phần trong của A trong X là intX A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A ii) Bao đóng của A trong X là Cl A X là giao của tất cả tập đóng chứa A

iii) Biên của A trong X là Fr A X Cl A Cl X X(X A\ )

18

Định lý 2.4

Giả sử ( , )X d là không gian giả metric và A X. Khi đó

i) a) Phần trong của A là tập mở lớn nhất chứa trong A

b) A là mở khi và chỉ khi A int A

c) x intA khi và chỉ khi tồn tại tập mở O sao cho x O A

d) x intA khi và chỉ khi   0 :B x( ) A

ii) a) Bao đóng của A là tập đóng bé nhất chứa A

b) A là tập đóng khi và chỉ khi A A

c) xA khi và chỉ khi với mọi tập O mở chứa x, thì O A 

d) xA khi và chỉ khi   0,B x( ) A 

iii) a) FrA là đóng và FrAFr X A( \ )

b) A là vừa mở vừa đóng khi và chỉ khi FrA 

c) xFrA khi và chỉ khi mọi tập mở O chứa x, thì O A  và

O X A  

d) xFrA khi và chỉ khi  0,B x( ) A ,B x( ) (X A\ ) 

Định nghĩa 2.7

Cho ( , )X d là không gian giả metric và giả sử DX

Ta nói rằng D là tập trù mật khắp nơi trong ( , )X d nếu DX

Không gian ( , )X d được gọi là khả li nếu tồn tại một tập A X sao cho A là

tập không quá đếm được và A X

Ví dụ

n

là khả li bởi vì n

là tập đếm được và trù mật khắp nơi trong n

Bất kì không gian đếm được ( , )X d nào cũng là không gian khả li

Định nghĩa 2.8

Với mọi tập con khác rỗng A, B trong không gian giả metric ( , )X d , ta định

nghĩa khoảng cách giữa hai tập như sau:

d A B  d a b aA bB

Giả sử f X: Y với ( , ), ( , )X d Y s là hai không gian giả metric Nếu aX

và f X: Y, ta nói f là liên tục tại a nếu:

0, 0

    sao cho: d a x( , ) s f x f a ( ), ( )

Định lý 2.6

Giả sử ( , )X d và ( , )Y s là hai không gian giả metric Nếu aX và

:f X Y , thì các mệnh đề sau đây là tương đương:

Nếu N X và x intN , thì N được gọi là lân cận của x trong ( , )X d Như

vậy, N là lân cận của x nếu có một tập mở O cho x O N

* f X: Y liên tục tại a nếu N là lân cận của f a thì ( ) f1( )N là lân cận của a

* f X: Y là liên tục nếu f là liên tục tại mọi điểm trong X

Định lý 2.8

Giả sử ( , ), ( , )X d Y s là hai không gian giả metric và ánh xạ f X: Y Thì

các mênh đề sau đây tương đương

Giả sử ( , ), ( , ), ( , )X d Y s Z t là các không gian giả metric và f X: Y,

:g Y Z. Nếu f là liên tục tại aX và g liên tục tại f a( )Y, thì g f liên tục

tại a

Chứng minh

Nếu N là lân cận của g f a( ( )) thì 1

( )

g N là lân cận của f a( ), do g liên tục

tại f a( ). Vì f liên tục tại a, 1 1

2 2

N     

  là một lân cận của f(0) 1, nhưng 1

( ) {0}

f N  không là lân cận của 0

Vì vậy f không liên tục tại 0

22

b) Nếu f : ( , )X d ( , )Y s là một hàm hằng f x( )  c x X thì f là liên tục Thật vậy, nếu O là tập mở trong Y, thì 1 ,

c) Nếu a là một điểm cô lập trong ( , )X d , thì mỗi hàm f : ( , )X d ( , )Y s là liên

tục tại a Giả sử N là một lân cận của ( ) f a Khi đó   1

d x y d x z d z y      Điều này là vô lý

Vậy, ta có điều phải chứng minh

 Định lý này có thể là không đúng nếu d không là metric

Nếu f không là hàm hằng, thì tồn tại các điểm a b, X sao cho f a( ) f b( )

Vì s là metric, ta có thể chọn các tập mở với nhau U V, Y với

f a U f b V

Vậy, trong trường hợp này: f liên tục  f là hàm hằng

b) Giả sử d là metric thông thương và s là metric đơn vị rời rạc trên

Cho i: ( , )d ( , )s với i x( )x Với mỗi tập mở O trong ( , ),d tập ảnh

( )

i O là mở trong ( , ).s Nhưng đây không phải là tiêu chuẩn cho sự liên tục: thật

vậy, f không liên tục tại mọi điểm Tiêu chuẩn cho tính liên tục là nghịch ảnh của

Do aD, và vì U1 V1 là tập mở chứa a, nên phải có một điểm

24

Định nghĩa 2.13

Dãy (x n) trong ( , )X d hội tụ về xX nếu bất kì mệnh đề nào dưới đây được

thỏa

i)   0, N  sao cho nếu nN, thì x nB x( )

ii) Nếu O là mở và x O X, thì  N , sao cho nếu nN, thì x nO

iii) Nếu W là lân cận của x, thì  N sao cho nếu nN, thì x nW

Nếu { }x hội tụ về x, ta viết n x n x

Giả sử x y X, U V, là hai tập mở rời nhau với x U y V , 

Nếu  x n x, thì  x n là cũng là dãy hội tụ trong U Vì U V  , nên

 x n không là dãy hội tụ trong V Vì thế x không tiến về y n

 Trong không gian giả metric, dãy còn dùng để mô tả bao đóng của một tập

Định lý 2.13

Giả sử AX, ở đó ( , )X d là không gian giả metric

Khi đó xA khi và chỉ khi có dãy  a n trong A, sao cho  a n x

Chứng minh

Giả sử có dãy  a n trong A sao cho  a n x Nếu N là lân cận bất kì của x,

thì  a n cũng là dãy hội tụ trong N Do đó N A  Vì vậy xA

Đường kính của tập phụ thuộc vào metric Bởi vì ta luôn thay thế được d

bằng một metric d' tương đương hoặc d'' sao cho diam X 1 nên tính bị chặn không là tính chất của tôpô

N

X  D  D

Định lý 2.15

Giả sử ( , ), ( , )X d Y s là các không gian giả metric, và f X: Y. Khi đó, f là

liên tục tại aX khi và chỉ khi f x( n) f a( ) với mọi dãy  x n a

26

Chứng minh

Giả sử f là liên tục tại a và dãy  x n a

Nếu W là một lân cận của f a( ), thì 1

( )

f W là lân cận của a Vì vậy  x n

cũng là dãy hội tụ trong 1

( )

f W Suy ra f x( n) là cũng là dãy hội tụ trong W, vì

vậy f x( )n  f a( )

Ngược lại, nếu f không liên tục tại a, thì     0,  0 : f B x ( )B( ( )).f a

Với  này, chứng minh 1,

Nếu mọi hàm f X:  là liên tục đều thì mọi dãy { }x n trong X với

lim (d x n)  0 có dãy con hội tụ Với d x( ){ ,x X \ { }}x

28

Chứng minh

Giả sử hàm liên tục f X:  là liên tục đều, nhưng có một dãy { }x n trong

X với lim (d x n)  0 không có dãy con hội tụ Khi đó, có một dãy { }y n sao cho

x cũng hội tụ đến cùng giới hạn mà

{ }

k

n

y hội tụ Điều này là mâu thuẫn bởi vì { }x n không có dãy con hội tụ nào

Như vậy, không có điểm của { },{ }x n y n được lập lại vô hạn lần

Vì thế một dãy con của { }x n và { }y n có thể được trích sao cho { }

k n

x và { }

k n

y không có dãy con hội tụ nên không có điểm

giới hạn Do đó các tập dẫn xuất của E và F bằng 

Do vậy { }

k n

E x và { }

k n

F  y là hai tập con đóng rời nhau của X

Vì mỗi không gian giả metric là chuẩn tắc theo bổ đề Urysohn’s nên có hàm

f X  liên tục sao cho: f E( )0, ( ) 1f F  Vì, f X:  là hàm liên tục nên

theo giả thiết f là liên tục đều Do đó có   0 sao cho:

Vậy, mọi dãy { }x n trong X với lim (d x n)  0 có dãy con hội tụ

2.3 Không gian giả metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co

2.3.1 Dãy Cauchy và không gian giả metric đầy đủ

Định nghĩa 2.17

Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập hợp A khi mọi lân cận của x đều chứa vô số điểm của A

Nhận xét: Một điểm x là điểm tụ của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa

ít nhất một điểm của A khác với x

Định nghĩa 2.19

Không gian giả metric ( , )X d được gọi là đầy nếu mỗi dãy Cauchy trong

( , )X d đều hội tụ

Ví dụ: Gọi d là metric thông thường trên các tập con của

a) ( ; )d , là đầy đủ, nhưng ( , )d là không đầy đủ

b) Giả sử (x n)là một dãy Cauchy trong ( , )d Khi đó tồn tại N sao cho

 khi m,n >N Vì x là điểm tụ của

(x n) nên ta có thể chọn KN sao cho

g a  f a  a , g b( )  f b( )  b 0 và g là liên tục Theo định lý giá trị

trung bình tồn tại c( , ) khi ( )a b g c  f c( ) c 0.Vậyf c( )c

32

1

( )

( )

Vậy  x n nlà dãy cơ bản trong X

+ Do X là không gian đầy nên : lim n

Cho n  ta suy ra được: d x f x( , ( ))0 Vậy f x( )x

+ x là duy nhất: Thật vậy, giả sử tồn tại yX: ( )f y  y

Ta có 0 d x y( , ) d f x f y( ( ), ( ))  ( , y)d x   (1 ) ( , )d x y  0.

Điều này chỉ xảy ra khi x y

Vậy x là duy nhất