Không gian nửa metric và không gian giả metric

PHẦN NỘI DUNG Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Khái niệm tập hợp xuất tất nhánh toán học Tập hợp khái niệm toán học đại Nó không định nghĩa Người ta thường mô tả tập hợp Ví dụ: a) Tập hợp điểm đường thẳng thực b) Tập hợp nghiệm phức phương trình x2  x   c) Các vật nằm tập hợp gọi phần tử tập hợp Tập hợp thường ký hiệu chữ A, B, C,…, X, Y, Z,… Ta ký hiệu x  A để x phần tử tập hợp A x  A để x không phần tử tập hợp A 1.1.2 Cách xác định tập hợp Người ta thường dùng hai cách sau để xác định tập hợp: Cách 1: Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ: A  {2,3,4,5,6,7} Cách 2: Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Ví dụ: B  {x :  x  10} Tập phần tử gọi tập rỗng ký hiệu  1.1.3 Tập Tập hợp A gọi tập tập hợp B phần tử tập A phần tử tập B Ký hiệu A  B  Nếu A tập B ta nói B bao hàm A  Nếu A tập B A khác B ta nói A tập thực B Ký hiệu A  B  Hai tập A B gọi A  B B  A Ký hiệu A B 1.1.4 Họ tập hợp Một họ tập hợp tập hợp mà phần tử tập hợp Ví dụ: Với số thực a, đặt M a tập hợp tất số thực nhỏ a Khi đó: A  {M a : a  } họ tập hợp đánh số tập số thực 1.1.5 Các phép toán tập hợp  Phép hợp Hợp hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc hai tập hợp Ký hiệu A B Ta có A B  {x : x  A x  B}  Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ký hiệu A B Ta có A B  {x : x  A x  B} Nếu A B   ta nói A B hai tập rời  Hiệu phần bù tập hợp Hiệu tập hợp A với tập hợp B gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B Ký hiệu A \ B Ta có A \ B  {x  A : x  B} Chú ý: A \ B  B \ A 1.1.6 Các tính chất Phép hợp phép giao có tính chất sau:  Tính giao hoán A BB A A BB  A Tính kết hợp ( A B) C  A ( B C ) ( A B) C  A ( B C )  Tính phân phối A ( B C )  ( A B) ( B C ) A ( B C )  ( A B) ( A C ) 1.3.5 Tích Descartes tập hợp Cho hai tập hợp A B Tích Descartes A B tập hợp A  B  {(a, b) : a  A, b  B} Chú ý: Ta mở rộng khái niệm cho nhiều hai tập hợp Chẳng hạn, với n  2, ta có n  A  A A   A i 1 1.2 i n  {(a1 , a2 , ,a n ) :  Ai , i  1, 2, , n} Ánh xạ 1.2.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp X Y Nếu có qui luật f cho với phần tử x  X ta có phần tử y  Y xác định theo qui luật f f gọi ánh xạ từ tập X vào tập Y Ký hiệu: f : X  Y hay f : X  Y x y  f ( x) Phần tử y ứng với phần tử x qua ánh xạ f gọi ảnh x, x gọi tạo ảnh y Ánh xạ f không đổi (ánh xạ hằng) x  X , f ( x)  y0 với y0  Y Ánh xạ f : X  X gọi ánh xạ đồng x x Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f : X  Y , A  X Ảnh tập A qua ánh xạ f tập hợp ký hiệu f ( A) với: f ( A)  {y  Y : y  f ( x) với x  A} Định lý 1.1 Giả sử f : X  Y A, B  X Khi đó: i) A    f ( A)   ii) A  B  f ( A)  f ( B) iii) f ( A B)  f ( A) f ( B) iv) f ( A B)  f ( A) f ( B) Định nghĩa 1.3 Giả sử B  Y , ánh xạ f : X  Y Tạo ảnh B qua ánh xạ f tập hợp: f 1 ( B)  {x  X : f ( x)  B} Định lý 1.2 Cho f : X  Y ánh xạ từ X vào Y Giả sử A  X , B  Y Khi đó: i) A  f 1 ( f ( A)) ii) f ( f 1 ( B))  B 1.2.2 Toàn ánh, đơn ánh, song ánh Định nghĩa 1.4 Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh f ( X )  Y Nhận xét: Nếu f : X  Y toàn ánh f ( f 1 ( B))  B, B  Y Định nghĩa 1.5 Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh nếu: x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Nói cách khác, ánh xạ f : X  Y đơn ánh nếu: x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 Nhận xét: Nếu f : X  Y đơn ánh A  f 1 ( f ( A)) A  X Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f : X  Y gọi song ánh f vừa toàn ánh vừa đơn ánh 1.2.3 Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.7 Nếu f : X  Y song ánh với phần tử y  Y tồn phần tử x  X cho f ( x)  y Phép tương ứng xác định từ Y vào X ánh xạ Ánh xạ gọi ánh xạ ngược ánh xạ f Ký hiệu: f 1 1.2.4 Thu hẹp ánh xạ Định nghĩa 1.8 Giả sử f : X  Y ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y A  X Khi thu hẹp ánh xạ f lên A, ký hiệu f | A , ánh xạ từ tập A vào tập Y, xác định f | A ( x)  f ( x) x  A 1.2.5 Ánh xạ tích Định nghĩa 1.9 Giả sử f ánh xạ từ X vào Y, g gọi ánh xạ từ Y vào Z Khi với phần tử x  X ta có phần tử y  Y : y  f ( x) phần tử z  Z cho z  g ( y)  g[f ( x)] Vậy với x  X có phần tử z  Z : z  g[f ( x)]  h( x) Ánh xạ h gọi ánh xạ tích ánh xạ f g Ký hiệu: h  g f 1.3 Lực lượng tập hợp 1.3.1 Tập hợp tương đương Tập hợp A gọi tập hợp hữu hạn ta đếm hết phần tử tập hợp Nếu phần tử tập hợp A chưa đếm tới tập hợp A gọi tập vô hạn Định nghĩa 1.10 Hai tập hợp A B gọi tương đương thiết lập song ánh hai tập hợp Ký hiệu A B Định nghĩa 1.11 Nếu hai tập A B tương đương tập gọi có lực lượng hay số Do tập hữu hạn tương đương chúng có số lượng phần tử người ta đồng lực lượng tập hữu hạn với số phần tử Định lý 1.3 A B hai tập hợp Bao xảy trường hợp sau: a) A  B b) A  B c) A  B 1.3.2 Tập hợp đếm Định nghĩa 1.12 Lực lượng tập số tự nhiên gọi lực lượng đếm Định nghĩa 1.13 Một tập hợp tương đương với tập hợp gọi tập hợp đếm Nói cách khác, tập hợp đếm phần tử khác tập đánh số tất số tự nhiên Vậy A đếm ta viết A  {an }n Ví dụ: a) Tập hợp {2,4,6, ,2n, } tập hợp đếm b) Tập hợp tất số hữu tỷ tập đếm Định nghĩa 1.14 Một tập hợp hữu hạn đếm được gọi tập hợp không đếm 1.3.3 Các tính chất  Bất tập hợp vô hạn có chứa tập đếm  Tập hợp tập hợp đếm tập hữu hạn đếm  Hợp họ hữu hạn hay đếm tập hợp đếm tập hợp đếm  Khi ta thêm tập hợp hữu hạn hay đếm vào tập hợp vô hạn M ta không làm thay đổi lực lượng tập hợp M 1.4 Không gian Tôpô 1.4.1 Không gian tôpô Đinh nghĩa 1.15 Cho tập hợp X   Một họ  tập hợp X tôpô X  thỏa mãn tiên đề sau đây: i)  , X  ii) G1 ,G   G1 iii) {G }I    G2   G  Tập hợp X với tôpô  gọi không gian tôpô Ký hiệu ( X , ) 1.4.2 Tập mở, tập đóng, lân cận Định nghĩa 1.16 Cho ( X , ) không gian tôpô, G  X G gọi tập hợp mở ( X , ) G  Nhận xét: -  X tập mở - Hợp họ tập hợp mở tập mở - Giao hữu hạn tập mở tập mở Chú ý: Giao họ tùy ý tập hợp mở không tập mở Định nghĩa 1.17 Cho A  X ,V  X Khi V gọi lân cận tập hợp A nếu: G  : A  G  V Nếu A  {x} V gọi lân cận điểm x Nếu V tập mở V gọi lân cận mở điểm x Định nghĩa 1.18 Họ Bx  Vx sở lân cận điểm x nếu: V Vx , B  Bx : x  B  V Định nghĩa 19 Cho ( X , ) , F gọi tập đóng X \ F tập mở 1.4.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng Định nghĩa 1.20 Cho không gian ( X , ) , x  X A  X x gọi điểm A G  : x  G   x điểm A G  : x  G  X \ A x điểm biên A V Vx  V A   V x điểm dính A V Vx  V A   x điểm giới hạn A V Vx  (V \{x}) x điểm cô lập A V Vx : V ( X \ A)   A A  {x} Tập hợp tất điểm biên tập A gọi biên A Ký hiệu:  ( A), Fr ( A), b( A) Tập hợp tất điểm giới hạn tập hợp A gọi tập dẫn xuất tập hợp A Định nghĩa 1.21 Phần tập hợp A tập hợp tất điểm tập hợp A Ký hiệu: int A Ao Định nghĩa 1.22 Bao đóng tập hợp A tập đóng bé X chứa A Ký hiệu: [A] A Cl ( A) 1.4.4 Tập hợp trù mật - Không gian khả ly Định nghĩa 1.23 Cho ( X , ), A, B  X A gọi trù mật B B  A Nhận xét: Nếu A trù mật B B trù mật C A trù mật C Định nghĩa 1.24 A trù mật khắp nơi X A  X Nhận xét: A  X  x  X , V Vx  V A   Định nghĩa 1.25 Không gian tôpô ( X , ) không gian khả ly tồn tập hợp A  X cho A tập không đếm A  X 1.4.5 Cơ sở tôpô, tiên đề đếm tiên đề tách Định nghĩa 1.26 Cho ( X , ) Họ   gọi sở tôpô  nếu: x  X , V Vx , B  : x  B  V Cơ sở tôpô gọi đếm gọi đếm tập mở Định nghĩa 1.27 ( X , ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x  X tồn sở lân cận x gồm đếm phần tử Định nghĩa 1.28 ( X , ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai X có sở tôpô gồm đếm phần tử Định nghĩa 1.29 Một không gian tôpô ( X , ) là:  Một T0  không gian với cặp điểm x, y  X , x  y tồn lân cận hai điểm chứa điểm lại  Một T1  không gian với cặp điểm x, y  X , x  y tồn lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x  Một T2  không gian hay không gian Hausdorff với cặp điểm x, y  X , x  y tồn lân cận U x lân cận V y cho: U V    Không gian tôpô X không gian qui với x  X tập đóng F cho x  X tồn lân cận U x lân cận V F cho: U V  1.5 Không gian metric 1.5.1 Metric tập hợp Định nghĩa 1.30 Cho tập hợp X   Ánh xạ d : X  X  X d thỏa ba tiên đề sau đây: gọi metric i) d ( x, y)  d ( x, y)   x  y x, y  X ii) d ( x, y)  d ( y, x) x, y  X iii) d ( x, y)  d ( x, z )  d ( z, y) x, y, z  X (tiên đề tam giác) (tiên đề đồng nhất) (tiên đề đối xứng) Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric Ký hiệu: ( X , d ) Phần tử x  X gọi điểm không gian metric X Số thực không âm d ( x, y) gọi khoảng cách hai điểm x, y Định nghĩa 1.31 Cho d metric X Khoảng cách điểm x  X đến tập hợp A  X là: d ( x, A)  inf{d ( x, a) : a  A} Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A B X là: d ( A, B)  inf {d (a, b) : a  A, b  B} Cho A  X , A   Đường kính tập hợp A là: d ( A)  sup{d (a, a ') : a, a '  A} 10 Đặt Vk 1  U n \ k 1 nk i 1 U i , với U nk 1 tập U n  mà chứa yk 1 Vì U n  phủ X nên họ Vk  vô hạn, hữu hạn địa phương tập rời Do (ii)  (iii) họ vô hạn tập mở hữu hạn địa phương Gọi U n  họ vô hạn đếm Vì U n  hữu hạn địa phương nên với số nguyên Gọi dương j, ta có X \   U n tập mở  X \ U n  phủ X Không có họ   n j n j  hữu hạn Cl ( X \   U n )  phủ X dãy dãy đơn điệu tăng n 1    Cl  X \ U n  không chứa U k k  j Điều mâu thuẫn với (iv) n j   Vì (iv)  (i) Định lý 2.33 Không gian hoàn toàn qui giả compact compact yếu Chứng minh Mọi không gian tôpô compact yếu giả compact Nếu không gian hoàn toàn qui X không compact yếu, có họ vô hạn đếm hữu hạn địa phương U n  tập mở khác rỗng X Nếu xn U n có hàm f n cho f n ( xn )  1, f n ( x)  với x U n ,  f n ( x)  x  X Vì U n  hữu hạn địa phương, nên  Ngoài  nf n 1 n ( xn )  n Vậy X không giả compact 42   nf n 1 n hàm thực liên tục Định lý 2.34 Giả sử X không thỏa tiên đề đếm đươc thứ nhất, là họ tập X x điểm mà không hữu hạn địa phương Khi tồn họ vô hạn   sao cho lân cận x có giao với tất trừ hữu hạn tập thuộc  Chứng minh Giả sử Gk  sở lân cận x dãy giảm Nếu  k tập phần tử  cógiao với Gk  k 1   k Vì  k vô hạn, ta chọn   U1 ,U ,  , U k   k U k  U j với j k Khi đó, Gk U n  với n  k Định lý 2.35 Một không gian tôpô compact yếu tập thật bao đóng tập mở compact yếu Chứng minh Giả sử X compact yếu U n U  phủ mở U U tập mở thuộc X Khi U n , X \ U  phủ X Do đó, U n , Cl ( X \ U ) có phủ hữu hạn Gọi U n , ,U n , Cl ( X \ U ) phủ X k   Khi U n i Nhưng U n i k phủ U U  Cl (U ni  U ) Vì thế, Cl (U ni U  k i 1 phủ U Vì U compact yếu Giả sử U n  phủ X Nếu U không phủ X, Cl ( X \ U ) tập thật compact yếu Bởi U n n2 phủ Cl ( X \ U ) , nên số hữu hạn bao đóng  phủ Cl ( X \ U ) Những bao đóng với U1 phủ X Điều cho thấy X compact yếu 43 Chương 3.1 KHÔNG GIAN NỬA METRIC Không gian nửa metric Định nghĩa 3.1 ( X , ) không gian tôpô với hàm khoảng cách d : X  X  R  cho: (1) d ( x, y)  d ( y, x)  x, y  X (2) d ( x, y)   x  y (3) Với A  X , x  Clx ( A)  d ( x, A \{x})  inf d ( x, y) : y  A \{x}  Khi ( X , , d ) gọi không gian nửa metric Hàm d thỏa (1) (2) gọi hàm nửa metric Định lý 3.1 Giả sử (X,  ,d) không gian nửa metric Nếu A  X tập đóng A tập G X ( G giao đếm tập mở) Chứng minh Đặt Ui  {int(Sd ( x,1/ i)) : x  A} Ta có U i tập mở Vì x  A nên d ( x, A)    0, x U i 1/i < ε Do đó, A  {U i : i  I  } Định lý 3.2 Cho ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu A  X tập đóng d ( A, x)  x  X \ A Chứng minh Giả sử A tập đóng Khi đó, x  X \ A x  Cl ( A) Do đó, d ( A, x)  Như vậy, d ( A, x)    44 Định lý 3.3 Cho ( X , , d ) không gian nửa metric Khi đó: Int (Sd ( x,  ))   x  X   Chứng minh Xét tập Clx ( X \ Sd ( x,  )) Vì d ( x, X \ Sd ( x,  ))    nên x  Clx ( X \ Sd ( x,  )) Do đó, x  Int (S d ( x,  )) Định lý 3.4 Nếu ( X , , d ) không gian nửa metric ( X , , d ) thỏa tiên đề đếm thứ Chứng minh Giả sử x  X U tập mở chứa x Ta có X \ U tập đóng d ( x, X \ U )     Vì vậy, Sd ( x, )  U Chọn    cho   Q Khi đó:  Int ( Sd ( x,  ))  ( Sd ( x,  )  ( Sd ( x, )  U ,và Int (Sd ( x,  )) :   0,   Q sở đếm x Do đó, ( X , , d ) thỏa tiên đề đếm thứ Định lý 3.5 g:  Một không gian tôpô (X,  ) nửa metric tồn hàm  X   cho: (1) Với x  X , {g (n, x) : n   } dãy không tăng tập mở tạo thành sở lân cận cho tôpô x (2) Nếu y  X ( xn ) dãy cho với m  ( xn ) hội tụ y 45  , y  g (m, xm ), Chứng minh Nếu X không gian nửa metric, gọi g (n, x)   {int (Sd ( x,1/ i)) : i  n } Khi g thỏa tất điều kiện cho Giả sử X không gian tôpô có hàm g thỏa điều kiện cho Gọi m( x, y) số nguyên k nhỏ cho y  g (k , x) Nếu x  y k tồn X Hausdorff Gọi d hàm khoảng cách X cho: (1) d ( x, x)  (2) d ( x, y)  d ( y, x)  min{1/ m( x, y),1/ m( y, x)} Ta có d ( x, y)  với x, y X x  y  d ( x, y)  Nếu d ( x, y)  với n   , x  g (n, y) y  g (n, x) Trong hai trường hợp, X Hausdorff nên x  y Giả sử A  X x điểm giới hạn A Khi đó, tồn dãy ( xn ) thỏa điều kiện (2) cho hàm g Do đó, d ( x, xn )  min{1/ m( x, xn ),1/ m( xn , x)}  n   x  g (n, xn ) n Vậy x điểm giới hạn A, nghĩa d ( x, A \{x})  Ngược lại, d ( x, A \ {x})  tồn dãy ( xn ) A cho: lim d ( x, xn )   lim [min{1/ m( x, xn ),1/ m( xn , x)}] n n Giả sử x  xn , n  Z  Khi / m( x, xn )  (1) / m( xn , x)  Nếu (1) xảy tồn N cho n  N xn  g (n, x) Nếu (2) xảy tồn N cho n  N , r  N , xn  g (r , x) Trong hai trường hợp, x điểm giới hạn A Vì d nửa metric X Định lý 3.6 Tích đếm không gian nửa metric không gian nửa metric 46 Chứng minh Giả sử {( X n , dn ) : n  tôpô { X n : n    } họ đếm không gian nửa metric } tôpô tích Tychonoff Đặt hàm khoảng cách bị chặn X n sau: dn* ( x, y)  min{dn ( x, y),1/ 2n} x, y  X n Ta có d n* nửa metric X n Xác định d { X n : n   } sau:  d ( x, y)   d i* ( xi , yi ), x, y { X n | n   } i 1 xi , yi tọa độ thứ i tương ứng x, y  d Ta có i 1 * i ( xi , yi ) hội tụ x, y { X n : n  Z  } bị chặn  1 / i i 1 (1) d ( x, y )  d ( y, x)  (2) d ( x, y )   x  y Giả sử {x :    } dãy { X n : n  p { X n : n  Khi đó, { n ( x ) :      } hội tụ } } hội tụ  n ( p) X n ,  n phép chiếu thứ n Vậy d n* ( n ( x ),  n ( p))  X n hay    Vì d ( x , p)  { X n : n   }    Nếu d ( x , p)  { X n : n  Vì { n ( x ) :   { X n : n    } , d n* ( n ( x ),  n ( p))  X n  } hội tụ  n ( p) X n Do đó, ( x ) hội tụ p } 3.2 Liên tục theo biến dãy Cauchy không gian nửa metric Định nghĩa 3.2 Giả sử ( X , , d ) không gian nửa metric Dãy ( xn ) X gọi dãy Cauchy nếu,   , k   : d ( xn , xm )   , m, n  k 47 Định lý 3.7 Cho ( X , , d ) không gian nửa metric Các điều sau tương đương: i) Mọi dãy hội tụ X có dãy dãy Cauchy ii) Nếu ( xn ) dãy hội tụ X   , có dãy ( zn ) ( xn ) cho d ( zn , zm )   , m, n   iii) Nếu F  X tồn   cho d ( x, y)   , x, y  F , x  y F tập đóng Chứng minh (i)  (ii) : Giả sử (1) thỏa Ta có dãy ( yk ) dãy dãy ( xn ) ( yk ) dãy Cauchy Vì ( yk ) dãy Cauchy nên   0, n0   cho m, n   m, n  n0 d (ym , yn )   Ta đặt z1  yn 1 , z2  yn 2 , , zn  yn n , 0 Ta có dãy ( zn ) dãy dãy ( xn ) thỏa d (zm , zn )   m, n   Vậy ( xn ) dãy hội tụ X   , có dãy ( zn ) ( xn ) cho d ( zn , zm )   , m, n   (ii)  (i) : Giả sử (ii) thỏa Khi ( zn ) dãy dãy ( xn ) dãy Cauchy Vậy, (i) thỏa (i)  (iii) : Giả sử (i) thỏa Cho F  X cho d ( x, y)    0, x, y  F x  y y  F Giả sử F không đóng Khi có điểm y điểm giới hạn F 48 Do có dãy F hội tụ y Dãy phải có dãy Cauchy, theo giả thiết Tuy nhiên, dãy dãy Cauchy Nên F tập đóng (iii)  (i) : Giả sử (iii) thỏa Cho ( xn ) dãy X, xn  x Giả sử xn  x với n     Giả sử dãy ( yn ) ( xn ) có dãy ( zn ) cho d ( z1 , zn )   , n  Khi dãy ( zn, ) ( zn ) xây dựng cho: d ( zn, , zm, )   , m, n   , m  n Theo giả thiết ( zn, ) đóng Tuy nhiên, ( zn, ) dãy ( xn ) hội tụ x Vì x  zn, , với n   nên ta có mâu thuẫn Vì có dãy ( yn ) ( xn ) cho dãy ( zn ) ( yn ) chứa z m , với m m  d ( z1 , zm )   Vì dãy ( zn, ) ( zn ) tìm thấy cho: d ( zn, , zn, )   , với n, m   Vậy ta có (i) (iii)  (ii): Giả sử (iii) gọi ( xn ) dãy X hội tụ x  X cho x  xn , n   Cho   , giả sử với dãy ( yn ) dãy ( xn ) có dãy ( zn ) ( yn ) cho d ( z1 , zn )   , n  Ta xét dãy ( zn, ) cho d ( zn, , zm, )   , m, n   , m  n Thật tồn dãy ( yn ) ( xn ) cho dãy ( zn ) ( yn ) , ta có d ( z1 , zn )   n  Vậy ta tìm dãy ( zn, ) ( yn ) cho d ( zm, , zn, )   , m, n  49  Định lý 3.8 Giả sử ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu S d ( x,  ) mở X với x  X   dãy hội tụ có dãy dãy Cauchy Chứng minh Giả sử F  X cho d ( x, y)   với x, y  F , x  y Xét X \ F , gọi x  X \ F Giả sử     Nếu Sd ( x,  ) Nếu F F   x điểm X \ F Sd ( x,  )   , chọn z tập giao Khi Sd ( x,  )  Sd ( z,  )\ z lân cận x Sd ( x,  ) Sd ( z,  ) \ z F   Vậy F tập đóng dãy hội tụ có dãy Cauchy Định nghĩa 3.3 Một hàm khoảng cách d liên tục theo biến  q  X , lim d ( xn , p)   d ( xn , q)  d ( p, q) n Định lý 3.9 Giả sử ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu d liên tục theo biến S d ( x,  ) tập mở với x  X   Chứng minh Gọi y điểm giới hạn X \ Sd ( x,  ) Với n  yn  y  , tồn yn  X \ Sd ( x,  ) cho:  d ( y, yn )  / n Do Với n   , d ( x, yn )   Vì d liên tục theo biến nên: lim d ( x, yn )  d ( x, y)   n Vì y  X \ Sd ( x,  ) Do đó, S d ( x,  ) mở 50 Định lý 3.10 Cho ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu d liên tục theo biến dãy hội tụ có dãy dãy Cauchy Định nghĩa 3.4 Giả sử ( X , d ) tập nửa metric p, q  X i) Nếu với dãy ( pn ) điểm thuộc X cho lim pn  p, ta có n  lim d (q, pn )  d (q, p), d liên tục theo biến thứ hai p n  ii) Nếu điều thỏa với p  X d gọi liên tục theo biến thứ hai iii) Nếu với dãy ( pn ) (qn ) điểm thuộc X cho lim pn  p, lim qn  q, ta có lim d ( pn , qn )  d ( p, q) d gọi liên tục  p, q  n  n  n  iv) Nếu d liên tục điểm  p, q  X  X d gọi liên tục XX Định lý 3.11 Nếu ( X , d ) tập nửa metric d liên tục theo biến thứ hai Sd ( p; r ) mở với p  X r  Chứng minh Giả sử q điểm giới hạn X \ Sd ( p; r ) Với n   , qn  X \ Sd ( p; r ) cho  d (q, qn )  1/ n Vì vậy, lim qn  q lim d (q, qn )  Vì qn  X \ Sd ( p; r ) , ta có n  d ( p, qn )  r , n  n   Vì d liên tục theo biến thứ hai nên ta có: lim d ( p, qn )  d ( p, q)  r Vì qn  X \ Sd ( p; r ) n Do đó, X \ Sd ( p; r ) đóng Vậy Sd ( p; r ) mở 51 3.3 Không gian phát triển không gian qui Định nghĩa 3.5 ( X , ) không gian tôpô Nếu tồn dãy phủ mở   n | n   X cho với  hình thành sở lân cận x ( X , ) gọi không gian phát triển  | n   phát triển cho ( X , ) x  X , st ( x, n ) | n   n Định lý 3.12 Giả sử ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu d liên tục theo biến, X qui Chứng minh Nếu x  X O tập mở chứa x tồn n cho: x  Sd ( x,1/ n)  O Giả sử d ( x, y) liên tục theo biến Xét tập Cl X (Sd ( x,1/ 2n)) Nếu y điểm giới hạn Sd ( x,1 / 2n) d ( y, Sd ( x,1/ 2n) \  y)  Vì d ( y, yi )  có dãy ( yi ) Sd ( x,1 / 2n) cho lim n d ( x, yi )  d ( x, y) Do đó, Vì d liên tục theo biến , nên lim n lim d ( x, yi )  d ( x, y)  1/ 2n Cl X (Sd ( x,1/ 2n))   y  X : d ( x, y)  1/ 2n n Ta có: x  Int (Sd ( x,1/ 2n))  Sd ( x,1/ 2n)  Cl X (Sd ( x,1/ 2n))  Sd ( x,1/ n)  O Vậy, X qui Định nghĩa 3.6 Không gian tôpô qui ( X , ) phát triển có hàm nửa metric d X cho: lim d ( xn , p)  lim d ( yn , p)  lim d ( xn , yn )  n n  n 52 Định lý 3.13 Giả sử ( X , , d ) không gian nửa metric Nếu d liên tục X phát triển Chứng minh: Vì nửa metric d liên tục theo biến nên X qui Xét hai dãy ( xn ), ( yn ) hội tụ điểm p Ta có: lim d ( xn , p)  lim d ( yn , p)  n n d ( xn , yn )  d ( p, p)  Do d liên tục nên lim n Do đó, X phát triển Định nghĩa 3.7 Không gian tôpô ( X , ) gọi subparacompact với phủ mở U X có dãy phủ mở  n : n    cho với x  X có số nguyên dương n( x) U U n với st ( x,U n( x ) )  U Định nghĩa 3.8 Một họ D tập không gian tôpô ( X , ) gọi rời rạc x  X có lân cận có giao với D nhiều phần tử Định lý 3.14 Không gian nửa metric ( X , , d ) subparacompact Chứng minh Gọi  thứ tự tốt phủ mở H X Với h  H , đặt p(h, i)  { y  h : y  h ', h' đứng trước h  Sd ( y,1/ i)  h} Gọi X i  { p(h, i) : h  H } Ta chứng minh: Mỗi X i rời rạc Với x  X h phần tử H cho x  h Xét Sd ( x,1 / i) với     , giả sử Sd ( x,1/ i) 53 p(h , i)   Khi đó, gọi y phần tử Sd ( x,1/ i) p(h , i)   , ta có Sd ( y,1/ i)  h suy x  h x  Sd ( y,1 / i) Do đó, h không phần tử H chứa x Vì Sd ( x,1/ i) Giả sử Sd ( x,1/ i) p(h , i)      p(h , i)      Khi đó, tồn y  h cho x  Sd ( y,1/ i)  h Nhưng theo định nghĩa x  h  x  h Do Sd ( x,1/ i) p(h , i)  ,    Vậy, X i rời rạc Với x  X có phần tử H  chứa x Vì h  H tập mở nên phải chứa hình cầu tâm x bán kính  Vì x  p(h, i) với i   { X i : i   } chứa X Do đó, Cl X ( X i )  {ClX ( p(h, i)) : h  H } rời rạc Do đó, X subparacompact 54 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn “Một số tính chất không gian giả metric không gian nửa metric” trình bày cách khái quát không gian giả metric không gian nửa metric thông qua hệ thống định nghĩa, định lý Các vấn đề đề cập đến luận văn khái niệm số tính chất, ánh xạ liên tục tính compact hai không gian Luận văn mở rộng nghiên cứu ứng dụng hai không gian thực tế mối liên hệ hai không gian giúp hiểu rõ toán học giải tích Từ đó, có vấn đề đặt ra, ta thay đổi hay làm yếu tiên đề không gian metric tạo không gian mới, không gian có bảo toàn tính chất không gian metric hay không? 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô Đại Cương, NXB Giáo Dục 1998 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải Tích Hàm, NXB ĐHQG Hà Nội 2003 [3] Trần Thị Thanh Thúy, Tôpô Đại Cương, ĐHCT 2003 Tiếng Anh [4] Bennett, H R and Hall, M H., "Semi-Metric Functions and Semi-Metric Spaces", Proceedings of the Washington State University, Conference on General Topology, March (1970), pp 34-38 [5] Burke, D K., "Cauchy Sequences in Semi-Metrics", Proceedings of the American MathematicalSociety, 33 (1972), pp 161-164 [6] Dr S M Padhye and Ku S B Tadam, On Uniform Continuity And Compactness In Pseudometric Space, International Journal of Innovative Research in Science, Engineering and Technology, Vol 2, Issue 8, August 2013 [7] Fred Galvin Ann S D Shore, Completeness In Semimetric Space, Pacific Journal Of Mathematics, Vol 113, No 1, 1984 [8] Robert Eugene Stubblefield, Some results in semi-metric spaces – A thesis in mathematics, Texas Tech University Website https://books.google.com.vn/books?id=JWyoCRkLFAkC&pg=PA90&lpg=PA90&dq=michael+prope rties+topo&source=bl&ots=iilao3mM5h&sig=hALX_2LhXsGHGhonTEPmW_VYXrw&hl=vi&sa=X&re dir_esc=y#v=onepage&q&f=true https://dantopology.wordpress.com/tag/michael-line/ 56 [...]... Chương 2 KHÔNG GIAN GIẢ METRIC Không gian giả metric 2.1 2.1.1 Không gian giả metric Định nghĩa 2.1 Giả sử d : X  X  với mọi x, y, z  X hàm d thỏa: i) d ( x, y)  0 ii) d ( x, x)  0 iii) d ( x, y)  d ( y, x) iv) d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) ( Tính đối xứng) (Bất đẳng thức tam giác) Khi đó hàm khoảng cách d được gọi là giả metric trên X Cặp ( X , d ) được gọi là không gian giả metric Nhận... Mọi không gian metric đều là không gian giả metric Ví dụ a) Cho tập hợp X   , xác định hàm d : X  X  sao cho d ( x, y)  0, x, y  X d là một giả metric trên X, hay ( X , d ) là không gian giả metric Chứng minh Để chứng minh ( X , d ) là không gian giả metric ta chứng minh d thỏa i)-iv) của định nghĩa 2.1 Thật vậy i) x, y  X ta có d ( x, y)  0  d ( x, y)  0, x, y  X ii) d ( x, x)  0 (giả. .. 2  z 2  y 2  x 2  z 2  z 2  y 2  d ( x, z )  d ( z, y) Vậy ( X , d ) là không gian giả metric  ( X , d ) không là không gian metric Bởi vì ( X , d ) không thỏa tiên đề (i) của định nghĩa metric Thật vậy a  X ta có d (a, a)  a 2  (a)2  a 2  a 2  0 Định nghĩa 2.2 Giả sử ( X , d ) là một không gian giả metric, x0  X ,   0 Khi đó: B ( x0 )  x  X : d ( x, x0 )    được gọi là... bởi vì n là tập đếm được và trù mật khắp nơi trong Bất kì không gian đếm được ( X , d ) nào cũng là không gian khả li n n Định nghĩa 2.8 Với mọi tập con khác rỗng A, B trong không gian giả metric ( X , d ) , ta định nghĩa khoảng cách giữa hai tập như sau: d ( A, B)  int d (a, b) : a  A, b  B 18 Định lý 2.5 Giả sử A  X , ( X , d ) là không gian giả metric Khi đó x  A khi và chỉ khi d ( x, A) ... không gian metric ( X , d ) có nhiều nhất một giới hạn Chứng minh Giả sử x  y  X , U ,V là hai tập mở rời nhau với x U , y V Nếu  xn   x, thì  xn  là cũng là dãy hội tụ trong U Vì U V   , nên  xn  không là dãy hội tụ trong V Vì thế xn không tiến về y  Trong không gian giả metric, dãy còn dùng để mô tả bao đóng của một tập Định lý 2.13 Giả sử A  X , ở đó ( X , d ) là không gian giả metric. .. các tập mở và nếu có điểm z U V thì   d ( x, y)  d ( x, z )  d ( z, y)     Điều này là vô lý 2 2 Vậy, ta có điều phải chứng minh  Định lý này có thể là không đúng nếu d không là metric Ví dụ: Nếu d là giả metric tầm thường trên X, thì các tập mở duy nhất chứa x và y là U V  X Ví dụ: a) Giả sử f : ( X , d )  (Y , s) , ở đó d giả metric tầm thường trên X và Y là không gian metric bất kỳ... d ) là không gian giả metric  ( X , d ) không là không gian metric Điều này là do d ( x, y)  0 với x, y  X , x  y 12 b) Trên đoạn [0;1] Gọi F  { fi ( x) : i  I } là tập hợp tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [0;1] Hàm d : F  F  d  fi ( x), f j ( x)   1 được xác định như sau 1  f ( x)dx   f ( x)dx , i, j  I i 0 j là một giả metric trên F, hay 0 ( F , d ) là không gian giả metric. .. dãy iv) Tính giả compact Chứng minh (i)  (ii) Nếu ( X , d ) là compact đếm được, thì ( X , d ) là hoàn toàn bị chặn và khả li Nhưng một không gian giả metric khả li là Lindelof và không gian Lindelof compact đếm được là compact Do đó (i)  (ii) (ii)  (iii) Ta có compact đếm được là giả compact, nếu ( X , d ) không là compact đếm được, thì ( X , d ) không là giả compact Nếu ( X , d ) không là compact... s), khi d là giả metric và s là metric, D là một tập con trù mật của X Nếu f và g là liên tục và f | D  g | D, thì f  g Chứng minh Giả sử f  g Khi đó, tồn tại a  X : f (a)  g (a) Vì s là một metric, ta có các tập mở rời nhau U và V trong Y với f (a) U và g (a) V Vì f và g là liên tục tại a, nên tồn tại các tập mở U1 , V1  X chứa a và thỏa f (U1 )  U , g (V1 )  V Do a  D, và vì U1 V1... 2.2 Tính liên tục của ánh xạ 2.2.1 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 2.9 Giả sử f : X  Y với ( X , d ), (Y , s) là hai không gian giả metric Nếu a  X và f : X  Y , ta nói f là liên tục tại a nếu:   0,   0 sao cho: d (a, x)    s  f ( x), f (a)    Định lý 2.6 Giả sử ( X , d ) và (Y , s) là hai không gian giả metric Nếu a  X và f : X  Y , thì các mệnh đề sau đây là tương đương: i) f là liên