Đối ngẫu của một số không gian quen thuộc

8 1.5.Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn và không gian Banach.. Trong nhiều loại không gian xuất hiện trong chương trình giải tích hàm thì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN

- -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN

QUEN THUỘC

Sinh viên thực hiện

Danh Huy MSSV: B1200280 Lớp: SP Toán 01k38

Cần Thơ, Tháng 05 Năm 2016

Giáo viên Hướng dẫn

Th.s Lê Hồng Đức

CẢM ƠN

Đến nay em đã hoàn thành bài luận văn” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC’’ em rất vui mừng vì mình đã hoàn thành tác phẩm đầu tiên của mình trong suốt 4 năm học đại học vừa qua Mặc dù trong quá trình thực hiện

đề tài này em gặp rất nhiều khó khăn, đấu tranh tư tưởng và có lúc tưởng chừng đã

từ bỏ Nhưng với sự giúp đỡ của thầy, cô và bạn bè, em cũng đã vượt qua

Em xin chân thành Th.s Lê Hồng Đức, người đã tận tình dạy dỗ, động viên, giúp đỡ

và tạo cho em niềm tin trong suốt thời gian thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Sư Phạm Toán 01 k38 đã nhiệt tình cổ vũ, động viên tinh thần cho em vượt qua khó khăn trong suốt thời gian làm luận văn Với nguồn kiến thức hạn hẹp của bản thân, em đã bắt tay vào việc nghiên cứu một vấn đề của toán học, mặc dù đã cố gắn hết sức Nhưng có thể sẽ không tránh khỏi sai sót Mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của quý thầy, cô và ý kiến đóng góp từ các bạn để cho luận văn được hoàn chỉnh hơn

Cần Thơ, ngày tháng năm 2016

Sinh viên Danh Huy

MỤC LỤC

CẢM ƠN i

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian đối ngẫu 3

1.2.Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm 4

1.3.Tính chất 6

1.4.Hội tụ trong không gian đối ngẫu, dãy song trực giao 8

1.5.Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn và không gian Banach 9

1.6.Tôpô yếu Tôpô yếu của cặp đối ngẫu 13

1.7.Pôla 15

1.8.Song pôla 16

1.9.Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu 17

CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC 18

2.1.Không gian đối ngẫu của không gian C(S) 18

2.2 Không gian đối ngẫu của không L X l , ,  và p 241 2.3.Không gian đối ngẫu của không gian C0 34

2.4.Không gian đối ngẫu của không gian kothe 37

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình đào tạo của nghành Sư Phạm Toán nói riêng cũng như chương trình đạo tạo nhiều ngành khoa Sư Phạm nói chung đều có học phần là luận văn tốt nghiệp Đối với sinh viên đây là cơ hội để mình tập nghiên cứu, trao dồi kiến thức cũng như năng lực tự tìm hiểu của bản thân Trong nhiều loại không gian xuất hiện trong chương trình giải tích hàm thì không gian đối ngẫu đóng vai trò quan trọng vì mỗi phần tử là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và một số không gian lại có

không gian đối ngẫu riêng của nó

Vì vậy, với sự gợi ý của thầy Lê Hồng Đức, em quyết định chọn thực hiện đề tài “ ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC’’ cho luận văn tốt nghiệp của mình với mục đích trao dồi thêm vốn kiến thức hạn hẹp, đồng thời nâng cao khả năng tự tìm hiểu của bản thân

2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC” tìm hiểu một số định nghĩa, tính chất, định lý liên quan đế không gian đối ngẫu Đồng thời tìm hiểu thêm về đối ngẫu của một số không gian

3 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: sách, giáo trình, tham khỏa các luận văn toán học, tổng hợp,phân tích, so sánh rồi trình bày lại một cách lôgic theo sự hiểu biết của bạn thân

4 Nội dung nghiên cứu

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

- Trình bày các khái niệm, các ví dụ, tính chất và các định lý liên quan đến không gian đối ngẫu

Chương II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC

- Không gian đối ngẫu của không gian C(S) Phần này em xin trình bày khái niệm không gian C(S), chứng minh không gian C(S) là không gian định chuẩn, khái niệm độ đo, độ đo borel, chứng minh định lý

- Không gian đối ngẫu của không gian L pX, ,  p1 Phần này em xin trình khái niệm không gian L pX, ,  p1, khái niệm bị chặn cốt yếu, cận trên bị chặn cốt yếu Chứng minh không gian L pX, , p1 và không gian

L X   p cùng với chuẩn của nó là không gian Banach

- Không gian đối ngẫu của không gian C0 Phần này em xin trình bày khái niệm không gian C0, chứng minh không gian C0 cùng với chuẩn của nó là không gian Banach Chứng minh rằng đối ngẫu của không gian C0 là không gian l1

- Không gian đối ngẫu của không gian Kothe Phần này em xin trình bày khái niệm không gian kothe Chứng minh định lý

- Một số bài tập về phiếm hàm tuyến tính

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu khóa luận này, do điều kiện về thời gian và năng lực hạn chế của bản thân nên không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong quý thầy, cô và các bạn góp ý

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian đối ngẫu

1.1.1 Định nghĩa

Cho X là không gian định chuẩn Khi đó, không gian L X K , , các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp của X

Kí hiệu: X

1.1.2 Chuẩn trong không gian đối ngẫu

Không gian đối ngẫu( hay không gian liên hợp) X là một trường hợp đặc biệt của không gian định chuẩn L X Y với  ,  Y là trường số K nên hiển nhiên X là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định như trong không gian L X Y :  , 

Số f inf k : f x  k x , x X là chuẩn của phiếm hàm f trong không gian X

1.1.5.Mệnh đề Nếu Blà một tập hợp con lồi của một không gian lồi địa phương,

và aB, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f a    f B

1.2.Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm

1.2.1.Định lý Hahn-Banach

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X 0

của không gian định chuẩn X X 0  X đều có thể thác triển lên toàn không gian X

với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục

F xác định trên toàn không gian X sao cho:

Cho không gian định chuẩn X, với mỗi phần tử khác không x0 tồn tại một X

phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn không gian Xsao cho

f x  x và f 1

Hệ quả 2:

Cho Ylà không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn X và x0 là một X

phần tử thỏa mãn điều kiện:

Giả sử X là không gian Banach, Ylà một không gian tuyến tính định chuẩn ,  A t t T

là một họ toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y sao cho với mỗi xthuộc X,

A x t t : T là một tập giới nội trong Y Khi đó  A t t T giới nội trong không gian

 

L X , tức là tồn tại số k sao cho A t k  t T

Hệ quả:

Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn,  A n là một dãy toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Nếu với mỗi xX dãy  A x n đều hội tụ trong Y thì  A x n giới nội trong không gian L X Y , 

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Tính duy nhất là hiển nhiên theo đúng tính chất của lim

Không gian đối ngẫu X tách các điểm của X ( tức là x x1, 2X x: 1x2 thì tồn

tại f X sao cho f x 1  f x 2 )

Chứng minh

Lấy bất kì x x1, 2X sao cho x1  x2

Từ đó suy ra x1x2 0 và hiển nhiên x1 x2 X

Khi đó, theo hệ quả của định lý Hahn – Banach thì  f0 X thỏa

Mặt khác:

Nếu x thì hiển nhiên  x  x  0

Nếu x  thì theo hệ quả 1 của định lý Hahn – Banach ta có: 0

Nếu dim X n thì dim X  Nhưng n X XdimX dimX n

Do đó X có số chiều hữu hạn nên dimX dimXn

1.4.Hội tụ trong không gian đối ngẫu, dãy song trực giao

1.4.1 Hội tụ theo chuẩn

Dãy  f n  X được gọi là hội tụ theo chuẩn đến f X, nếu lim n 0

n f f

a Hội tụ đơn giản ( hội tụ tại từng điểm)

Dãy  f n  X được gọi là hội tụ đơn giản đến f X, nếu x X  , dãy số

 

f n x  hội tụ đến f x 

b Dãy song trực giao

Các dãy  x n  X và  f n  X được gọi là song trực giao với nhau, nếu

Giả sử  x n  X và  f n  X là song trực giao với nhau Khi đó, hệ x x1, 2, 

là độc lập tuyến tính trong X và hệ f1,f2,  là độc lập tuyến tính trong X

Chứng minh

Phản chứng: hệ x x1, 2,  là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại một chỉ số m và các số  1, 2, ,m không đồng thới bằng 0 sao cho: 1 1x 2 2x   m m x 0Nếu k 0, ta có:

Giả sử hệ f1, f2,  là phụ thuộc tuyến tính Khi đó, tồn tại một chỉ số n và các

số  1, 2, ,n không đồng thời bằng 0 sao cho:

1 1f 2f2 n f n 0

 Không gian l2 là không gian phản xạ

 Không gian Euclide là không gian phản xạ

i) Nếu X là không gian phản xạ thì X là không gian đầy đủ

Thật vậy:

Vì X là không gian phản xạ nên X  X L X K , 

Mà K là đầy đủ nên L X ,K đẩy đủ

ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ

x A  K j  s và với mỗi j 1, 2, ,s tìm được số hữu tỉ r đối j

với j thực, hoặc số r j a j ib j với a b hữu tỉ đối với j, j j phức sao cho



Kí hiệu M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý các phần tử thuộc A với hệ số hữu tỉ hoặc hệ số phức với phần thực và phần ảo hữu tỉ Hiển nhiên, M là tập đếm được

Theo chứng minh trên M trù mật trong tập Y , do đó M trù mật trong Y , nghĩa là

M trù mật khắp nơi trong khôn gian X

Vậy, không gian định chuẩn X tách được

Định lý 2

Không gian Banach X là không gian phản xạ khi và chỉ khi không gian đối ngẫu

X là phản xạ

Chứng minh

Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử X là không gian phản xạ, L là không gian con đóng của X Khi đó,

L là một không gian phản xạ

Thật vậy:

Ta chứng minh L L

Hiển nhiên L L nên ta chứng minh L  L

Vì L là không gian con tuyến tính đóng của X nên với mọi phiếm hàm tuyến tính

liên tục f xác định trên X , khi chỉ xét trên L cũng là phiếm hàm tuyến tính liên tục

Gọi f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên L

Vậy X phản xạ

Ngược lại

Giả sử X là phản xạ thì theo chứng minh trên thì X là phản xạ

Nhưng X  X là một không gian Banach nên X là một không gian con đóng của

X

Theo bổ đề trên thì X là phản xạ

1.6.Tôpô yếu Tôpô yếu của cặp đối ngẫu

1.6.1 Tôpô của cặp đối ngẫu

Cho cặp đối ngẫu E F,  Tôpô lồi địa phương trên E sao cho  '

,

E F gọi là tôpô của cặp đối ngẫu

1.6.2.Tôpô yếu của cặp đối ngẫu

Giả sử E F, là cặp đối ngẫu Với mọi uF xác định nữa chuẩn p trên u E:

1.6.3.Định lý

Cho E F,  là một cặp đối ngẫu Khi đó E F,  là một tôpô của cặp đối ngẫu và

là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau

1.6.4.Bổ đề

Cho E là một không gian vector và y y y0, ,1 2, ,y nE Khi đó, hoặc y là tổ hợp 0

tuyến tính của y y1, 2, ,y hoặc tồn tại n aE sao cho:

y a  y a  y a  y a 

Chứng minh bổ đề

Ta có thể giả sử y y1, 2, ,y độc lập tuyến tính và chứng minh bổ đề bằng quy nạp n

Với n1:y1 Chọn 0 a1 sao cho E y a1 1   1, x E ta có:

0

i i



    Vậy FE'

Rõ ràng E F,  là tô pô yếu nhất của cặp đối ngẫu E F, 

A  A chứa trong E Ta gọi 00

A là song pôla của A

1.9.Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu

1.9.1 Định nghĩa

Cho E F1; 1 và E F2; 2 là các cặp đối ngẫu A E: 1E2 là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ A t :E2E1, xác định bởi A y t y A,  y E2 gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ A

Cho Evà F là hai không gian lồi địa phương Khi đó ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ tuyến tính liên tục :A E là ánh xạ F '

CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC 2.1.Không gian đối ngẫu của không gian C(S)

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là không gian tôpô Kí hiệu C(S) là không gian tất cả

các hàm liên tục f S: K trên không gian Hausdorff compact với chuẩn cho bởi công thức:

 

f  f s sS

2.1.2 Mệnh đề Không gian C(S) là không gian định chuẩn với chuẩn cho bởi

công thức f sup f s  :sS với mọi f C S 

2)  là  - cộng tính, tức là nếu A A1, 2, là một họ đếm được những tập hợp đôi

một rời nhau thuộc  thì  

2.1.4 Định nghĩa Giả sử  là độ đo trên X,  là Borel nếu mọi tập borel là 

đo được

2.1.5 Định nghĩa Giả sử  là độ đo trên X,  là borel chính quy nếu nó là độ

đo borel và đối với mọi A X tồn tại tập borel BX sao cho AB và

 A  B

Ký hiệu rca(X) là tập các độ đo borel chính quy trên X

2.1.6 Định lý Nếu S là không gian tôpô Hausdorff compact thì giữa ' 

C S và

 

rca S không gian banach các độ đo  borel chính quy trên S, tồn tại một đẳng cấu đẳng cự mà trong đó những phần tử tương ứng xC S'  và rca s  thỏa mãn đẳng thức:

dạng tuyến tính liên tục trên C(S), nghĩa là thuộc C’(S), tương ứng với độ đo  và

 ,

x v  S   2) Ta chứng minh

 ,

x   v  S Thật vậy, cho   và bởi định nghĩa của 0 v,S ta tìm được các tập con

4) Ta biết rằng C(S) là không gian con của B(S), ở đó B(S) là không gian banach các hàm bị chặn trên S với chuẩn sup Bởi định lý Hahn-banach, mỗi xC S' 

có một mở rộng tuyến tính liên lạc lên B S  giữ nguyên chuẩn Ta lại ký hiệu

sẽ thay độ đo khả cộng hữu hạn  bởi độ đo chính qui khả cộng hữu hạn  trên S sao cho (2) vẫn xảy ra Do tính compact của S, theo định lý Alexandrov( cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm – Tập I)  là độ đo chính qui khả cộng đếm được, nghĩa là rca S  và (1) xảy ra với mọi f C S  và như vậy định lý 1.1 được chứng minh

Bậy giờ ta xây dựng độ đo  chính quy khả công hữu hạn Ta sẽ dùng các kí hiệu sau: F được dùng để chỉ tập con đóng của S, G là kí hiệu tập mở của S và E là tập tùy ý của S Xét các hàm tập hợp 1 và 2 như sau:

Nếu E là tập đóng thì từ bất đẳng thức này bằng cách coi G là một tập mở tùy ý 1

Muốn vậy ta xét các tập đóng rời nhau F và 1 F Vì S Hausdorff compact nên tồn tại 2

những lân cận không giao nhau G và 1 G của 2 F và 1 F Nếu G là một lân cận tùy 2

Bây giờ giả sử E và F là những tập tùy ý của S, F là tập đóng và giả sử F chạy qua 1

những tập đóng của EF còn F chạy qua những tập đóng của E-F Khi đó từ 2

ta cùng kí hiệu là ) khả cộng đếm được trên  - đại số borel

Từ định nghĩa  1, 2 và  nếu F là tập đóng ta có

f C S bị chặn, vậy khi chứng minh có thể coi 0 f s 1

Giả sử   cho trước nhỏ tùy ý và 0 E E1, 2, ,E là một phân hoạch của tập S gồm n

các tập rời nhau thuộc miền xác định của sao cho:

2.2 Không gian đối ngẫu của không L PX, ,  và p1

2.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập đo được với độ đo Lebesgue , nghĩa là 

là một hàm tập không âm trên ,  - đại số các tập con của S và  là  - cộng tính

và  - hữu hạn Không gian vectơ các hàm f từ X vào K ( K hoặc C K R) sao cho f p khả tích Lebesgue trên X gọi là không gian L pX, , p1

2.2.2 Mệnh đề Không gian L pX, , p1 là không gian định chuẩn với chuẩn cho bởi công thức

1

p p p

X

f   f d

  với mọi f L pX, , p1

Chứng minh

Để không gian L pX, , p1 là không gian định chuẩn thì nó phải thỏa mãn

3 điều kiện của chuẩn

1) Với mọi f L pX, ,  ta có

1

0

p p p

Do L pX, ,  là không gian định chuẩn với chuẩn xác định như trên

Cần kiểm tra lại p

L là đầy Theo mệnh đề 1.1.5 chuỗi trong không gian Banach thì không gian định chuẩn E là Banach nếu và chỉ nếu mọi chuỗi trong E hội tụ tuyệt đối là hội tụ Thật vậy, cho chuỗi

1

n n

   Suy ra

g và vậy thì g hữu hạn h.k.n như vậy tồn tại tập đo

được N X với  N 0 sao cho    

1

n n

n n

k X

B B Bởi vậy định lý Lebesgue- Nikodym ( cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập I) tồn tại hàm

, ,

n n