Đối ngẫu của một số không gian quen thuộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC Giáo viên Hướng dẫn Sinh viên thực Th.s Lê Hồng Đức Danh Huy MSSV: B1200280 Lớp: SP Toán 01k38 Cần Thơ, Tháng 05 Năm 2016 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy CẢM ƠN Đến em hoàn thành luận văn” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC’’ em vui mừng hoàn thành tác phẩm suốt năm học đại học vừa qua Mặc dù trình thực đề tài em gặp nhiều khó khăn, đấu tranh tư tưởng có lúc tưởng chừng từ bỏ Nhưng với giúp đỡ thầy, cô bạn bè, em vượt qua Em xin chân thành Th.s Lê Hồng Đức, người tận tình dạy dỗ, động viên, giúp đỡ tạo cho em niềm tin suốt thời gian thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn bạn lớp Sư Phạm Toán 01 k38 nhiệt tình cổ vũ, động viên tinh thần cho em vượt qua khó khăn suốt thời gian làm luận văn Với nguồn kiến thức hạn hẹp thân, em bắt tay vào việc nghiên cứu vấn đề toán học, cố gắn Nhưng không tránh khỏi sai sót Mong nhận bảo tận tình quý thầy, cô ý kiến đóng góp từ bạn luận văn hoàn chỉnh Cần Thơ, ngày tháng Sinh viên Danh Huy i năm 2016 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy MỤC LỤC CẢM ƠN i PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian đối ngẫu 1.2.Ba nguyên lí giải tích hàm 1.3.Tính chất 1.4.Hội tụ không gian đối ngẫu, dãy song trực giao 1.5.Không gian phản xạ, mối liên hệ không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn không gian Banach 1.6.Tôpô yếu Tôpô yếu cặp đối ngẫu 13 1.7.Pôla 15 1.8.Song pôla 16 1.9.Ánh xạ liên hợp ánh xạ đối ngẫu 17 CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC 18 2.1.Không gian đối ngẫu không gian C(S) 18 2.2 Không gian đối ngẫu không Ll  X , ,    p  1 24 2.3.Không gian đối ngẫu không gian C0 34 2.4.Không gian đối ngẫu không gian kothe 37 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 ii GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình đào tạo nghành Sư Phạm Toán nói riêng chương trình đạo tạo nhiều ngành khoa Sư Phạm nói chung có học phần luận văn tốt nghiệp Đối với sinh viên hội để tập nghiên cứu, trao dồi kiến thức lực tự tìm hiểu thân Trong nhiều loại không gian xuất chương trình giải tích hàm không gian đối ngẫu đóng vai trò quan trọng phần tử phiếm hàm tuyến tính liên tục số không gian lại có không gian đối ngẫu riêng Vì vậy, với gợi ý thầy Lê Hồng Đức, em định chọn thực đề tài “ ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC’’ cho luận văn tốt nghiệp với mục đích trao dồi thêm vốn kiến thức hạn hẹp, đồng thời nâng cao khả tự tìm hiểu thân Mục đích nghiên cứu Với đề tài” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC” tìm hiểu số định nghĩa, tính chất, định lý liên quan đế không gian đối ngẫu Đồng thời tìm hiểu thêm đối ngẫu số không gian Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: sách, giáo trình, tham khỏa luận văn toán học, tổng hợp,phân tích, so sánh trình bày lại cách lôgic theo hiểu biết bạn thân Nội dung nghiên cứu Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ - Trình bày khái niệm, ví dụ, tính chất định lý liên quan đến không gian đối ngẫu Chương II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC - Không gian đối ngẫu không gian C(S) Phần em xin trình bày khái niệm không gian C(S), chứng minh không gian C(S) không gian định chuẩn, khái niệm độ đo, độ đo borel, chứng minh định lý GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy - Không gian đối ngẫu không gian Lp  X , ,   khái niệm không gian Lp  X , ,    p  1 Phần em xin trình  p  1 , khái niệm bị chặn cốt yếu, cận bị chặn cốt yếu Chứng minh không gian Lp  X , ,   p  1 không gian L  X , ,    p  1 với chuẩn không gian Banach - Không gian đối ngẫu không gian C0 Phần em xin trình bày khái niệm không gian C0, chứng minh không gian C0 với chuẩn không gian Banach Chứng minh đối ngẫu không gian C0 không gian l1 - Không gian đối ngẫu không gian Kothe Phần em xin trình bày khái niệm không gian kothe Chứng minh định lý - Một số tập phiếm hàm tuyến tính Trong trình tìm tòi, nghiên cứu khóa luận này, điều kiện thời gian lực hạn chế thân nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy, cô bạn góp ý GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian đối ngẫu 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian định chuẩn Khi đó, không gian L  X , K  , phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp X Kí hiệu: X  1.1.2 Chuẩn không gian đối ngẫu Không gian đối ngẫu( hay không gian liên hợp) X  trường hợp đặc biệt không gian định chuẩn L  X , Y  với Y trường số K nên hiển nhiên X  không gian định chuẩn với chuẩn xác định không gian L  X , Y  : Số f  inf k : f  x   k x , x  X  chuẩn phiếm hàm f không gian X  Ngoài f  X  ta có: i) f  x   f x , x  X ii) f  sup f  x   sup f  x   sup x 1 xX x 1 xX x0 f  x x 1.1.3.Mệnh đề Giả sử X không gian tách, lồi địa phương với đối ngẫu X  Nếu f  a   với f  X  , a  1.1.4.Định lý ( định lý Hahn – Banach tách biệt) Giả sử X không gian lồi địa phương, A, B hai tập hợp lồi, rời A mở Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f  A  f  B  rời nhau( f tách A B ) 1.1.5.Mệnh đề Nếu B tập hợp lồi không gian lồi địa phương, a  B , tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f  a   f  B  GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy 1.2.Ba nguyên lí giải tích hàm 1.2.1.Định lý Hahn-Banach Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định không gian tuyến tính X không gian định chuẩn X  X  X  thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa xây dựng phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định toàn không gian X cho: i) F  x   f  x  ii) F  f X x  X X0 Hệ 1: Cho không gian định chuẩn X , với phần tử khác không x0  X tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định toàn không gian X cho f  x0   x0 f  Hệ 2: Cho Y không gian tuyến tính không gian định chuẩn X x0  X phần tử thỏa mãn điều kiện: d  x0 , Y   inf x0  y  d  yY Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định không gian X cho: i) ii) f  y   0, y  Y f  d iii) f  x0   1.2.2.Định lý Banach-Steinhauss Giả sử X không gian Banach, Y không gian tuyến tính định chuẩn ,  At tT họ toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y cho với x thuộc X ,  At x : t  T tập giới nội Y Khi  At tT giới nội không gian L  X  , tức tồn số k cho At  k  t  T  GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Hệ quả: Giả sử X không gian Banach, Y không gian tuyến tính định chuẩn,  An  dãy toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Nếu với x  X dãy  An x hội tụ Y  An x giới nội không gian L  X , Y  1.2.3.Nguyên lý ánh xạ mở Giả sử X , Y hai không gian Banach, A toán tử tuyến tính liên tục từ X lên Y phép đồng phôi tuyến tính 1.2.4 Định lý Cho X không gian định chuẩn, M không gian tuyến tính trù mật X f phiếm hàm tuyến tính liên tục M Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho: i F suy rộng f , tức F  x   f  x  , x  M ii F  f Chứng minh Thật vậy: M trù mật X  x  X ,  xn   M hội tụ đến x Ta có: f  xn   f  xm   f  xn  xm   f xn  xm   f  xn n 1 dãy Cauchy  Vì K đầy đủ, nên tồn lim f  xn  n Ta xác định F : X  K x F  x   lim f  xn  n Vậy F  x   lim f  xn  n Ta có: F  xn   f xn  F  x  f x GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy F  f (1) Mặt khác: F  sup F  x   sup F  x   sup f  x   f (2) x 1 xX x 1 xM x 1 xM Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Tính hiển nhiên theo tính chất lim 1.3.Tính chất Với không gian định chuẩn X , không gian đối ngẫu( không gian liên hợp) không gian Banach Chứng minh Do K không gian Banach nên X  L  X , K  không gian Banach 1.3.1 Định lý Không gian đối ngẫu X  tách điểm X ( tức x1 , x2  X : x1  x2 tồn f  X  cho f  x1   f  x2  ) Chứng minh Lấy x1 , x2  X cho x1  x2 Từ suy x1  x2  hiển nhiên x1  x2  X Khi đó, theo hệ định lý Hahn – Banach f  X thỏa f  x1  x2   x1  x2  x1  x2  nên f  x1  x2   f  x1   f  x2   Vậy f  x1   f  x2  1.3.2 Định lý Tồn phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X  Chứng minh Với phần tử x  X ta lập phiếm hàm x không gian X  sau: x: X  K x  f   f  x, f  X   f GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy x phiếm hàm tuyến tính Thật vậy: f , g  X  ,  ,   K Ta có: x  f   y    f   g  x   f  x    g  x    x  f    x  g  x liên tục Thật vậy: x  f   f  x  f Vậy x  X  x  x x , f  X  (1) Mặt khác: Nếu x   hiển nhiên x  x  Nếu x  theo hệ định lý Hahn – Banach ta có: f  X  thỏa f  x   x , f  Do x  f  x   sup f X  , f 1 f  x   sup f X  , f 1 x f   x (2) Từ (1) (2) suy x  x Xét ánh xạ: H : X  X  H  x  x x Dễ thấy H ánh xạ tuyến tính Ta lại có: Hx  x  x  Hx  x , x  X Do H phép đẳng cự tuyến tính 1.3.3 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi dim X  n  dimX  n Chứng minh Nếu dim X  n , dim X   n GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy i j 1, fi  x j    ij   0, Nếu i  j  i  1, , n  ;  j  2, , n  Bài 6: Giả sử X , Y hai không gian Banach A : X  Y toán tử tuyến tính Chứng minh với g  Y  , ánh xạ hợp g A phiếm hàm tuyến tính liên tục X A liên tục Bài giải: Ta chứng minh A toán tử đóng từ không gian Banach X vào không gian Banach Y nên A liên tục Gọi G   x, Ax  : x  X  Ta chứng minh G đóng X  Y Thật vậy: Giả sử  xn  dãy phần tử X cho lim  xn , Axn    x0 , y0   X  Y n Khi đó: lim x  x0   n n  lim g  Axn   g  y0   n lim Axn  y0   n 1 Với g  Y  Theo giả thiết g A liên tục X nên suy ra: lim g  Axn   g  Ax0  n 2 Từ (1) (2) suy ra: g  y0   g  Ax0   g  y0  Ax0   g  Y   Hay y0  Ax0  Thật vậy: Vì giả sử y0  Ax0  tồn phiếm hàm tuyến tính giới nội g1 : Y  K cho g1  g1  y0  Ax0   y0  Ax0 ( theo hệ định lý Hahn – Banach) Mà g  y0  Ax0   g  Y  g1  y0  Ax0    y0  Ax0   y0  Ax0   44 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Điều dẫn đến vô lý Vậy y0  Ax0  hay y0  Ax0 Do  x0 , y0   G Vậy A toán tử đóng từ không gian Banach X vào không gian Banach Y nên A liên tục Bài tập 7: Cho f : X  K phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn sup x , yB  0;1 f  x   f  y  r Chứng minh f  X  tính f Bài giải: Với x  B  0;1  x  B  0;1 nên: f  x   f  x   f   x   sup x , yB  0;1  f x  f  x   f  y  r r r  f  sup f  x   2 xB  0;1 Từ suy f liên tục Mặt khác, với x , y  B  0;1 ta có: f  x   f  y  f  x  y  f x  y  f Suy r  sup x , yB  0;1 Do x  y 2 f f  x   f  y  f r  f Vậy f  r Bài tập 8: Cho f : X  K phiếm hàm tuyến tính khác a Chứng minh tồn không gian chiều E cho X  kerf  E b Chứng minh kerf đóng kerf trù mật khắp nơi X c Đặt F  f  B  X ;1  Chứng minh F bị chặn F  K Bài giải: a Do f  nên có x0  cho f  x0   45 GVHD: Ths Lê Hồng Đức Đặt E   x0  SVTH: Danh Huy không gian E không gian chiều X Ta chứng minh X  kerf  E Với x  X , đặt y  x f  x0   x0 f  x  f  y   nên y  kerf Theo cách đặt thì: x f x y x0  kerf  E f  x0  f  x0  Vậy X  kerf  E Mặt khác: y  kerf  E f  y   y  k x0 Suy ra:  f  y   f  kx0   kf  x0   k  ( f  x0   )  y  Vậy kerf  E  0 Do X  kerf  E b Nếu f liên tục X kerf  f 1 0  tập đóng Giả sử f không liên tục X Ta chứng minh kerf  X Do f tuyến tính nên f không liên tục 0, tức tồn   cho n  N, xn  X : xn  f  xn    n Với x  X , đặt yn   có: yn  x   f x  x f  yn   nên yn  kerf , n  N ta f  xn  f x f x f x xn  xn   0, n   f  xn   n f  xn  Vậy yn  x Do X  kerf c Nếu f liên tục X f biến tập bị chặn X thành tập bị chặn K , F bị chặn Giả sử f không liên tục X Ta chứng minh F  f  B  X ,1   K 46 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Lấy y  K Nếu y  có x   B  X ,1 cho f  x   y Xét y  Do f không liên tục nên có   cho với  0 y , x1  X : x1  0 f  x1    y y y 0 y x1   , tức x  B  X ,1 x1 x  0 y f  x1  f  x1  Đặt x  f x  y Vậy F  K Bài tập 9: Cho f  X  , f  Đặt   inf  x : x  X , f  x   1 Chứng minh f   Bài giải: Đặt A   x  X : f  x   1 Với x  A ta có  f  x   f x  Suy  x f 1  inf x   Do  f f xA  Mặt khác, x  X mà x  f  x    x  x  nên Ta có: f   A Do   f x  f x      Suy f  sup f  x   x 1 Vậy f   x x 1   f x  x  f x   f x  47 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Bài tập 10: Cho f  X  f  Chứng minh với a  X ta có f  a d  a, N   f N  kerf Bài giải: Nếu a  N đẳng thức hiển nhiên Xét a  N : y  N, f  a   f  a   f  y   f  a  y   f a  y  f a f  d  a, N  x  X mà x  f  x   , ta đặt y  a  f a x f x Khi f  y   nên y  N Do đó, d  a, N   a  y  Suy ra: f  x   Từ f  f  a d  a, N  f a d  a, N  f  a f  a x  f x f x x  1 hay d  a, N   f a f Bài tập 11: Cho f  X  f  , đặt N  kerf , x  N , giả sử tồn y  N cho d  x, N   x  y Chứng minh x0  X , x0  cho f  f  x0  Bài giải: Theo tập 10 x  y  d  x, N   f x f  Suy ra: f  x  y   f x  y Đặt x0  xy , ta x  1, f  x0   f xy 48 f  x   f  y f GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Bài tập 12: Chứng minh không gian  X / L  đồng phôi tuyến tính với L  Bài giải: Xét tương ứng A : L   X / L   f A f  : X /LK x A f  x  f  x  A ánh xạ vì: f1 , f2  L : f1  f2  f1  x   f2  x  , x  X  A  f1  x   A  f2  x  , x  X / L  A  f1   A  f2  A ánh xạ tuyến tính vì: f1 , f2  L ,  ,   R ta có A  f1   f2  x    f1   f2  x  = f1  x    f2  x  = A  f1  x    A  f2  x  x  X / L, x  X  A  f1   f2    A  f1    A  f2  Ta chứng minh A song ánh: A đơn ánh Thật vậy: f1 , f2  L : A  f1   A  f2  x  X , A  f1  x   A  f2  x  , tức f1  x   f2  x  hay f1  f2 A toàn ánh Thật vậy: g   X / L  , f  X  : f  x   g  x  Ta có f  L A  f   g  Ta chứng minh A A 1 liên tục: Thật vậy: Ta có A  f   sup A  f  x   sup f  x   sup f  x   f x 1 x 1 x 1 49 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Suy A liên tục Với x  X , ta có f  x   A  f  x   Af x Nên f  Af Suy A 1 liên tục Vậy A phép đồng phôi tuyến tính Bài tập 13: Cho phiếm hàm tuyến tính f không gian định chuẩn X Chứng minh f bị chặn hình cầu S   x  X : x  a  r f bị chặn Bài giải: Ta có f bị chặn hình cầu S nên C  : f  x   C x , x  S Mà x  S x   x  a  a  x  a  a  a  r Do f  x   C  a  r   M, x  S Lấy x khác phần tử không X Khi y rx  a  S  f  y  M x Và rõ ràng ta có f  a   M Từ  rx  f  f  y  f a  f  y  f a  2M  x    2M  f x  x 1 r Dễ thấy (1) với x   Do f  x   2M x , x  X r Vậy f bị chặn 50 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Bài tập 14: Chứng minh phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H biểu diễn dạng f  x    x, a  , x  H Trong phần tử a  H xác định phiếm hàm f f  a Bài giải: Giả sử a phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H Nhờ tính chất tích vô hướng bất đẳng thức Schwarz, công thức f  x    x, a  , x  H Xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian H Giả sử f phiếm hàm tuyến tính liên tục H Kí hiệu H0   x  H : f  x   0 Ta thấy H0 không gian tuyến tính không gian H Vì x, y  H0 , a, b  K ta có f  ax  by   af  x   bf  y    ax  by  H0 Đồng thời H0 tập đóng H Thật Nếu dãy điểm  x n   H0 hội tụ tới điểm x  H , nhờ tính liên tục phiếm hàm f ta có f  x   lim f  xn    x  H0 n Do H0 không gian đóng không gian H Nếu H0  H , chọn phần tử a   , ta nhận biểu diễn: f  x    x ,  , x  H Giả sử H0  H , nhờ định lý hình chiếu lên không gian con, tồn phần tử x0  H / H0 , x0   f  x0   Với phần tử x  H ta đặt y  xf  x0   x0 f  x  , f  y   f  x0  f  x   f  x  f  x0    y  H0 51 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Từ suy   y, x0   f  x0  x, x0   f  x    x0 , x0   f  x0    f  x    x, x    x, a    x0 , x0     Trong a  f  x0  x H  x0 , x0  Do phiếm hàm f có dạng f  x    x, a  , x  H Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn f  x    x, a    x, a '  , x  H  x, a  a '    x  H   a  a ' Vậy a biểu diễn f  x    x, a  , x  H xác định cách phiếm hàm f Ta chứng minh f  a : Theo bất đẳng thức Schwarz ta có: f  a    a, a   a a , x  H  f  a Mặt khác, f  a    a, a   a a  f  a Vì vậy, f  a Bài tập 15: Giả sử X không gian định chuẩn Chứng minh hình cầu đơn vị   đóng X  S   f  X  : f  compact yếu Bài giải: Với x  X , ta đặt I X    x ; x  I X tập compact R Xét tích Descartes( Đề các) I   I X , với tôpô Tikhonov, I không gian tách xX compact 52 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Xác định ánh xạ  : S  I sau:   f    f x : x  X   f S   Ánh xạ  đơn ánh Theo định nghĩa tôpô I tôpô yếu X   phép nhúng đồng phôi S  vào I   Vì vậy, ta cần chứng minh  S  đóng I Với g  I ta kí hiệu g  x  tọa độ thứ x g   Khi g  S   x, y  X ,   K  g   x   y   g  x    g  y   Do    nên ta coi g  X  Bởi g  I g  x   x  x  X   g  X  , g   g  S   Vì g   S    Giả sử  g  dãy suy rộng  S  hội tụ đến g  I ( Do định nghĩa I ) hội tụ tương đương nới hội tụ g  x   g  x   x  X  Bởi (*) cho g qua giới hạn (*) cho g   Do g   S    Vậy  S  đóng I Bài tập 16: Giả sử E không gian tuyến tính E  đối ngẫu đại số E   Trang bị cho E tôpô  E, E , nghĩa tôpô xác định hệ chuẩn PS xác định sau:  PS  x   sup x, x  : x   S  S  chạy qua tập hữu hạn E  Hãy chứng minh khẳng định sau:   1) E, E, E   E '  53   GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy   2) Mọi tập bị chặn  E, E E nằm không gian tuyến tính hữu hạn chiều E   3) Mọi không gian tuyến tính E đóng tôpô  E, E Bài giải:   1) Ta có E, E, E   E '    Ngược lại x   E  , x  bị chặn lân cận V O tôpô  E, E xác định   V  x  E : x, x     Và dó x   E, E, E  ' Nên suy   E  E, E, E   Vậy E, E, E  '   E '    2) Giả sử A  E, E bị chặn A không nằm không gian tuyến tính hữu hạn chiều E Khi có dãy  x n   A gồm phần tử độc lập tuyến tính Bổ sung vào  xn  để sở e I E Dựng dạng tuyến tính f  E phép đặt f  x n   n f  e   e   x n    suy rộng f lên E Do 1) f  E, E, E  ' f  A  không bị chặn 3) Giả sử M không gian tuyến tính E Nếu A sở M giả sử có a  M a  M ,  A, a độc lập tuyến tính bổ sung đến sở B E 54 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy Dựng dạng tuyến tính x  E cách đặt x   a   a  A , x   b   ,    b  B \ A suy rộng tuyến tính x  lên E Từ 1) x  liên tục E, E, E  ' x   M Do a  M nên có dãy  xi iI  M cho xi  a Khi x   xi    x   a   Điều mâu thuẫn Bài tập 17: Giả sử E không gian định chuẩn E ' đối ngẫu E Chứng minh điểm O  E ' thuộc vào bao đóng mặt cầu đơn vị  x '  E ' : x '  1 tôpô   E ', E  E không gian vô hạn chiều Bài giải: Nếu dim E  n dim E '  n tôpô   E ', E  trùng với tôpô chuẩn E ' Vậy điểm O  E ' không thuộc vào bao đóng mặt cầu đơn vị Ngược lại E vô hạn chiều giả thiết O  E ' không thuộc bao đóng yếu mặt cầu đơn vị E ' Tồn lân cận yếu U O E ' cho x ' U x '  Compact yếu, theo định lý Riesz dim E '   Từ dim E   Điều mâu thuẫn với giả thiết Bài tập 18: Giả sử A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Chứng minh rằng: a) Nếu A toán ánh A đơn ánh b) Nếu A đơn ánh A  X  tập hợp trù mật không gian Y Bài giải: a) Giả sử x  X , Ax  x  phiếm hàm tuyến tính liên tục X Vì A : Y   X  toàn ánh nên tồn y  Y  cho A y  x  Do   x  x   A y x  y  Ax   y  0  Vì x   x   với x   X  , nên ta có x  Vậy A đơn ánh 55 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy b) Giả sử tập hợp A  X  không trù mật không gian Y , tức A  X   Y Lấy y0  Y \ A  X  Tồn y  Y  cho y  y0   y  y   với y  A X    Đặc biệt, y  Ax   0, x  X tức A y x  0, x  X Do A y  Vì A đơn ánh nên từ suy y  Ở ta có y  y0   Ta đến mâu thuận Vậy tập hợp A  X  trù mật không gian tuyến tính Y Bài tập 19: Giả sử X không gian tuyến tính, X  không gian đối ngẫu X , F1 F2 hai không gian tuyến tính X  Chứng minh F1  F2   X , F1     X , F2  Bài giải: Họ tập hợp có dạng:   U x0 , x1 , , xn ,   n k 1 x  X : x  x   x  x      k  k Trong n số nguyên dương, x0  X , x1 , , xn  F1 Và  số dương sở tôpô   X , F1    Vì F1  F2 nên x1 , , xn  F2 U x0 ; x1 , , xn ,  tập hợp thuộc sở tôpô   X , F2  Do tôpô   X , F1  yếu tôpô   X , F2  56 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu không gian đối ngẫu thông qua định nghĩa, tính chất, định lý Đồng thời luận văn đưa phân tích tính chất mối quan hên không gian đối ngẫu với loại không gian, trình bày chuẩn không gian đối ngẫu Đối ngẫu số không gian cụ thể, phân tích chứng minh loại không gian đối ngẫu Do hạn chế trình độ thời gian nên có sai sót, hạn chế luận văn tránh khỏi Mong nhận đóng góp từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Sau này, có hội tiếp tục sâu tìm hiểu, nghiên cứu đề tài Cụ thể vấn đề liên quan đế không gian đối ngẫu, không gian phản xạ, nhằm bổ sung khiếm khuyết luận văn nâng cao nhân thức, tầm hiểu biết cho thân 57 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, nhà xuất giáo dục 2000 [2] Lê Hồng Đức, giáo trình Giải tích Hàm, Đại Học Cần Thơ [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập I,II, nhà xuất giáo dục 2001, Bài Tập Giải Tích Hàm, nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật [5] Nguyễn Phụ Hy – Hoàng Ngọc Tuấn – Nguyễn Văn Tuyên, tập Giải Tích Hàm, nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội – 2007 [6] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm Nhà xuất Giáo Dục [7] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm Nhà xuất Khoa Học kĩ Thuật [8] Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Tôpô đại cương, Đại Học Cần Thơ [9] Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích tập I, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội 58 [...]... độc lập tuyến tính 1.5 .Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn và không gian Banach 1.5.1 .Không gian phản xạ Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X  X Ví dụ:  Không gian l2 là không gian phản xạ  Không gian Euclide là không gian phản xạ i) Nếu X là không gian phản xạ thì X là không gian đầy đủ Thật vậy:  Vì X là không gian phản xạ nên X  X... liên hợp của ánh xạ A Cho E và F là hai không gian lồi địa phương Khi đó ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F là ánh xạ A' : E '  F ' xác định bởi A '  y   y A, y  F ' 17 GVHD: Ths Lê Hồng Đức SVTH: Danh Huy CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC 2.1 .Không gian đối ngẫu của không gian C(S) 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là không gian tôpô Kí hiệu C(S) là không gian. .. thì X  là phản xạ Nhưng X  X  là một không gian Banach nên X là một không gian con đóng của X  Theo bổ đề trên thì X là phản xạ 1.6.Tôpô yếu Tôpô yếu của cặp đối ngẫu 1.6.1 Tôpô của cặp đối ngẫu Cho cặp đối ngẫu  E, F  Tôpô lồi địa phương trên E sao cho  E,   F gọi là ' tôpô của cặp đối ngẫu 1.6.2.Tôpô yếu của cặp đối ngẫu Giả sử E, F là cặp đối ngẫu Với mọi u  F xác định nữa chuẩn... là đầy đủ nên L X  , K đẩy đủ ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ Thật vậy: Nếu X hữu hạn chiều thì dim X  dim X   n Và do X  X   X  X  1.5.2 Mối quan hệ của không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn và không gian Banach Định lý 1 Nếu không gian đối ngẫu X  của không gian tuyến tính định chuẩn X là tách được, thì không gian X là tách được Chứng minh Giả sử A... tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý các phần tử thuộc A với hệ số hữu tỉ hoặc hệ số phức với phần thực và phần ảo hữu tỉ Hiển nhiên, M là tập đếm được Theo chứng minh trên M trù mật trong tập Y , do đó M trù mật trong Y , nghĩa là M trù mật khắp nơi trong khôn gian X Vậy, không gian định chuẩn X tách được Định lý 2 Không gian Banach X là không gian phản xạ khi và chỉ khi không gian đối ngẫu X  là... 2.2 Không gian đối ngẫu của không LP  X , ,   và  p  1 2.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập đo được với độ đo Lebesgue  , nghĩa là  là một hàm tập không âm trên  ,  - đại số các tập con của S và  là  - cộng tính và  - hữu hạn Không gian vectơ các hàm f từ X vào K ( K  C hoặc K  R ) sao cho f p khả tích Lebesgue trên X gọi là không gian Lp  X , ,   p  1 2.2.2 Mệnh đề Không gian. .. yếu trên E của cặp đối ngẫu E, F Như vậy các tập dạng  W  u1 , , un ;   x  E : x, u1  , , x, un  , u1, , un  F,   0 lập thành cơ sở lân cận của 0  E đối với   E, F  -tôpô 1.6.3.Định lý Cho  E, F  là một cặp đối ngẫu Khi đó   E, F  là một tôpô của cặp đối ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề sau 1.6.4.Bổ đề Cho E là một không gian vector... s  : s  S  sup g  s  : s  S  f  g Không gian C(S) thỏa mãn 3 điều kiện của chuẩn Vậy C(S) là không gian định chuẩn 2.1.3 Định nghĩa Giả sử  là một   đại số những tập hợp con của một tập hợp X Hàm số  :   0;   gọi là một độ đo nếu 1)     0; 2)  là  - cộng tính, tức là nếu A1, A2 , là một họ đếm được những tập hợp đôi   một rời nhau thuộc  thì    Ai      Ai   i...  p  1 thỏa mãn 3 điều kiện của chuẩn Vậy Lp  X , ,   p  1 là không gian định chuẩn Mệnh đề được chứng minh 2.2.3.Mệnh đề Với mọi p  1 , không gian Lp  X , ,   p  1 là không gian Banach Chứng minh Do Lp  X , ,   là không gian định chuẩn với chuẩn xác định như trên Cần kiểm tra lại Lp là đầy Theo mệnh đề 1.1.5 chuỗi trong không gian Banach thì không gian định chuẩn E là Banach nếu... 1.8.1.Định nghĩa Cho  E, F  là một cặp đối ngẫu Với mọi A  E thì A0  F Do  F, E  cũng là   một cặp đối ngẫu nên A00  A0 0 chứa trong E Ta gọi A00 là song pôla của A Nhận xét: với mọi x  A : y  x   1, y  A0 nên x  A00 do đó A  A00 1.8.2.Định lý song pôla cho cặp đối ngẫu  E, F  và A  E Khi đó, song pôla A00 là bao   E, F  - đóng, tuyệt đối lồi của A Chứng minh Rõ ràng theo