Tính compact trong các không gian

LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Hồng Đức, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến toàn thể thầy cô giáo Bộ môn Toán - Khoa Sư phạm - Đại học Cần Thơ dạy bảo em tận tình suốt trình học tập bậc đại học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Cần Thơ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Tùng Lâm MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU B PHẦN NỘI DUNG TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Không gian metric Sự hội tụ không gian metric 1.1.2 Tập đóng, tập mở 1.1.3 Không gian metric đầy 1.1.4 Ánh xạ liên tục 1.2 Không gian metric compact 1.2.1 Tập compact Tập giới nội tập hoàn toàn giới nội 1.2.2 Đặc trưng tập compact 1.2.3 Tập compact không gian Rn 1.2.4 Hàm số liên tục tập compact 1.2.5 Tập compact không gian C(S) 1.3 Bài tập 6 7 9 11 15 15 17 18 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 25 2.1 Kiến thức chuẩn bị 25 2.1.1 Các khái niệm không gian định chuẩn 25 2.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 26 2.1.3 Không gian liên hợp Toán tử liên hợp 28 2.1.4 Hội tụ yếu không gian định chuẩn 28 2.2 Đặc trưng compact tập không gian Banach với sở Schauder 29 2.3 Tập compact yếu theo dãy 31 2.4 Toán tử compact 33 2.5 Bài tập 38 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 3.1 Kiến thức chuẩn bị 3.1.1 Không gian tôpô 3.1.2 Ánh xạ liên tục 3.1.3 Các tiên đề tách 3.1.4 Tổng trực tiếp Không gian tích 3.2 Sự hội tụ không gian tôpô 3.2.1 Sự hội tụ theo lưới 3.2.2 Sự hội tụ theo lọc 3.3 Không gian compact 3.3.1 Khái niệm không gian compact 3.3.2 Đặc trưng không gian compact 3.3.3 Một số tính chất 3.4 Không gian compact địa phương 3.5 Compact hóa Alexandroff 3.6 Bài tập 44 44 44 45 45 47 48 48 52 57 57 57 59 63 65 67 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 4.1 Kiến thức chuẩn bị 4.1.1 Không gian vectơ tôpô 4.1.2 Cơ sở lân cận 4.1.3 Tôpô vectơ không gian hữu hạn chiều 4.1.4 Không gian lồi địa phương 4.2 Tập compact số tính chất 4.3 Tập compact tôpô yếu tôpô* yếu 4.4 Bài tập 71 71 71 72 73 73 74 78 82 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 85 5.1 Kiến thức chuẩn bị 85 5.1.1 Không gian Hilbert 85 5.1.2 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn 86 5.1.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 87 5.1.4 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 87 5.2 Một số tính chất toán tử compact 88 5.3 Bài tập 93 C PHẦN KẾT LUẬN 97 Tài liệu tham khảo 98 A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Compact khái niệm quan trọng giải tích hàm Nhiều định lí quan trọng giải tích hàm chứng minh cách dễ dàng nhờ tính chất liên quan đến compact Ở bậc Đại học, làm quen với khái niệm học phần Tôpô đại cương Giải tích hàm mức độ hạn hẹp, rời rạc, chưa đủ rộng để nghiên cứu vấn đề giải tích Vì vậy, cần phải có tổng hợp, mở rộng khái niệm tính chất compact để giải nhu cầu nảy sinh Được hướng dẫn, gợi ý thầy Lê Hồng Đức, em chọn đề tài "Tính compact không gian" đề tài luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn hệ thống lại mở rộng khái niệm, tính chất compact không gian Đồng thời, thực luận văn bước đầu tạo đà cho nghiên cứu khoa học sau Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khái niệm, tính chất compact không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tham khảo tài liệu Phân tích, tổng hợp lí thuyết Phân loại, hệ thống hóa lí thuyết Tóm tắt nội dung nghiên cứu Chương 1: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRIC Trong chương này, khái niệm compact trình bày theo quan điểm dãy phủ mở Qua đó, rút số tính chất quan trọng để làm sở kiến thức cho chương sau Đồng thời, luận văn trình bày số tính chất tập compact không gian quen thuộc Rn đặc biệt Định lí Arzela-Ascoli không gian ánh xạ liên tục C(S), kết giải tích đại, sử dụng để thiết lập dấu hiệu nhận biết tính compact tập nhiều không gian hàm quan trọng khác Chương 2: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Ta biết không gian định chuẩn không gian metric nhờ vào định nghĩa d (x, y) = x − y Do đó, khái niệm, mệnh đề không gian metric không gian định chuẩn Vì vậy, chương này, luận văn không trình bày lại khái niệm, tính chất liên quan đến tập compact không gian định chuẩn, mà thay vào luận văn nghiên cứu đặc trưng compact tập không gian Banach với sở Schauder, khái niệm, tính chất tập compact yếu theo dãy khái niệm, tính chất compact cho ánh xạ không gian định chuẩn gọi toán tử compact, nằm lý thuyết toán tử hướng nghiên cứu giải tích hàm Chương 3: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, khái niệm compact mô tả qua lưới lọc Với công cụ này, giải tốt vấn đề không gian tôpô tổng quát mà khái niệm dãy giải Điều nhìn thấy qua việc Định lí Tychonoff - kết quan trọng bậc tôpô đại cương - chứng minh cách dễ dàng, gắn gọn dựa khái niệm tính chất lọc Đồng thời, luận văn trình bày khái niệm số tính chất không gian compact địa phương, trả lời câu hỏi "Khi không gian tôpô không compact xem không gian không gian compact?" thông qua compact hóa Alexandroff Chương 4: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Không gian vectơ tôpô, đặc biệt không gian vectơ tôpô lồi địa phương, có lẽ loại không gian tổng quát giải tích hàm Vì vậy, chương này, luận văn hệ thống lại khái niệm tính chất tập compact Đồng thời, mở rộng khái niệm số tính chất tập compact tôpô yếu tôpô* yếu nhằm chứng minh định lí Bourbaki-Banach-Alaoglu định lí Kakutani Chương 5: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Toán tử compact có nhiều tính chất quan trọng Vì vậy, chương này, luận văn tập trung trình bày số tính chất toán tử compact Các kết tài liệu đưa dạng tập Luận văn tổng hợp, trình bày lại, chứng minh chi tiết số kết tài liệu chưa chứng minh chứng minh vắn tắt B PHẦN NỘI DUNG Chương TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Không gian metric Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X = Ø Hàm d : X → R gọi metric (khoảng cách) X d thỏa ba điều kiện sau: i) d(x, y) 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric Kí hiệu: (X, d) Nếu (X, d) không gian metric x ∈ X gọi điểm với x, y ∈ X ta gọi d(x, y) khoảng cách từ x đến y Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric (X, d), E ⊂ X E = Ø Với x, y ∈ E, đặt dE (x, y) = d(x, y) Khi đó, dE metric E dE gọi metric cảm sinh E metric d Không gian metric (E, dE ) gọi không gian metric không gian metric (X, d) Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) không gian metric Dãy điểm {xn } không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d(xn , a) = n→∞ Kí hiệu: lim xn = a hay xn → a Khi đó, a gọi giới hạn dãy n→∞ {xn } Ta có: lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n n→∞ 1.1.2 n0 ⇒ d(xn , a) < ε Tập đóng, tập mở Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric (X, d), a ∈ X, ε > Tập S(a, ε) = x ∈ X|d(x, a) < ε gọi hình cầu mở tâm a, bán kính ε Tập S [a, ε] = x ∈ X|d(x, a) ε gọi hình cầu đóng tâm a, bán kính ε Tập V ⊆ X gọi lân cận điểm a ∃ε > : S (a, ε) ⊆ V Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Điểm x ∈ X gọi điểm A ∃ε > : S(x, ε) ⊂ A Tập A gọi tập mở điểm x ∈ A điểm A Tập A gọi tập đóng X \ A tập mở Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Hợp tất tập mở X chứa A gọi phần A Kí hiệu: A◦ IntA Giao tất tập đóng X chứa A gọi bao đóng A Kí hiệu: A Định nghĩa 1.1.7 Tập A không gian metric (X, d) gọi trù mật X A = X Định nghĩa 1.1.8 Không gian metric (X, d) gọi khả li (tách được) tồn tập A đếm trù mật X 1.1.3 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy (dãy bản) ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, n n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε hay lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.10 Không gian metric (X, d) gọi không gian metric đầy dãy Cauchy X hội tụ điểm thuộc X Định lí 1.1.11 i) Tập đóng không gian metric đầy đầy ii) Không gian đầy không gian metric không gian đóng 1.1.4 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.12 Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) ánh xạ f :X →Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x0 ∈ X ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ X, dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε hay nói cách khác: Ánh xạ f liên tục x0 ∈ X ∀ε > 0, ∃δ > : f (S(x0 , δ)) ⊂ S(f (x0 ), ε) Ta nói ánh xạ f liên tục X f liên tục điểm x ∈ X Định lí 1.1.13 Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ), ánh xạ f : X → Y Khi đó, f liên tục x0 ∈ X ⇔ ∀ {xn } ⊂ X, xn → x0 f (xn ) → f (x0 ) Định nghĩa 1.1.14 Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục ∀ε > 0, ∃δ : ∀x1 , x2 ∈ X, dX (x1 , x2 ) < δ ⇒ dY (f (x1 ), f (x2 )) < ε Định nghĩa 1.1.15 Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) ánh xạ f :X→Y Ánh xạ f gọi ánh xạ mở (đóng) với tập mở (đóng) A ⊂ X ảnh f (A) tập mở (đóng) Ánh xạ f gọi phép đồng phôi f song ánh liên tục ánh xạ ngược f −1 : Y → X liên tục Hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) gọi đồng phôi với tồn phép đồng phôi f : X → Y Ánh xạ f gọi ánh xạ đẳng cự dX (x1 , x2 ) = dY (f (x1 ), f (x2 )), ∀x1 , x2 ∈ X Ánh xạ f gọi phép đẳng cự f song ánh f ánh xạ đẳng cự Hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) gọi đẳng cự với tồn phép đẳng cự f : X → Y 1.2 1.2.1 Không gian metric compact Tập compact Tập giới nội tập hoàn toàn giới nội a) Tập compact Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Định nghĩa 1.2.1 Tập A gọi compact dãy {xn } ⊂ A có dãy xnk hội tụ đến điểm thuộc A Nếu A = X tập compact ta nói (X, d) không gian metric compact Mệnh đề 1.2.2 Nếu tập A compact tập A đóng Nếu B tập đóng tập compact A B compact Chứng minh Giả sử dãy {xn } ⊂ A, xn → x ∈ X Vì A compact nên tồn dãy xnk cho xnk → x0 ∈ A Mặt khác, dãy xnk hội tụ đến x nên x = x0 ∈ A Vậy tập A đóng Lấy dãy {yn } B Vì {yn } dãy A A compact nên tồn dãy ynk hội tụ đến y ∈ A Do B đóng nên y ∈ B Vậy tập B compact Định nghĩa 1.2.3 Tập A gọi compact tương đối bao đóng A tập compact Mệnh đề 1.2.4 Tập A compact tương đối không gian metric (X, d) dãy {xn } ⊂ A có dãy xnk hội tụ đến điểm thuộc X Chứng minh (⇒) Giả sử tập A compact tương đối (X, d) Khi đó, A tập compact Suy ra, dãy {xn } ⊂ A có dãy xnk hội tụ đến điểm thuộc A Vậy dãy {xn } ⊂ A (vì A ⊂ A) có dãy xnk hội tụ đến điểm thuộc X (vì A ⊂ X) (⇐) Ta chứng minh A tập compact (X, d) Giả sử dãy {xn } ⊂ A Khi đó, tồn dãy {yn } ⊂ A cho lim d(xn , yn ) = Theo giả thiết, tồn n→∞ dãy ynk ⊂ {yn } hội tụ đến x ∈ X ⇒ lim d(ynk , x) = n,k→∞ Ta có: d(xnk , x) d(xnk , ynk ) + d(ynk , x) → (n, k → ∞) ⇒ lim xnk = x n,k→∞ ⇒ x ∈ A (vì A tập đóng) ⇒ A tập compact Vậy A tập compact tương đối B tập compact nên A × B × [0, 1] tập compact Vậy Γ(A ∪ B) tập compact Bài 4.4.4 Trong không gian lồi địa phương đầy, bao đóng bao tuyệt đối lồi tập compact compact Giải Giả sử A tập compact không gian lồi địa phương đầy X Vì X đầy nên theo Định lí 4.2.9, ta cần chứng minh Γ(A) hoàn toàn giới nội Thật vậy, A compact nên A hoàn toàn giới nội Lấy V lân cận ∈ X mà coi lồi cân Khi đó, tồn tập hữu hạn B ⊂ A để V A ⊂ B + Vì Γ(B) giới nội không gian hữu hạn chiều sinh B V nên ta tìm tập hữu hạn U ⊂ Γ(B) để Γ(B) ⊂ U + Suy V V V Γ(A) ⊂ Γ(B) + ⊂ U + + 2 Vậy Γ(A) hoàn toàn giới nội Do đó, Γ(A) hoàn toàn giới nội 84 Chương TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 5.1 5.1.1 Kiến thức chuẩn bị Không gian Hilbert Định nghĩa 5.1.1 Một tích vô hướng không gian vectơ X trường K ánh xạ , : X × X → K thỏa ba điều kiện sau: i) αx + βy, z = α x, z + β y, z , ∀x, y, z ∈ X, ∀α, β ∈ K; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) x, x 0, ∀x ∈ X; x, x = ⇔ x = Mệnh đề 5.1.2 Nếu i) x, y + z = x, y ii) x, αy = α x, y iii) x, y x, x , tích vô hướng X + x, z , ∀x, y, z ∈ X; , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K; y, y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 5.1.3 Không gian tuyến tính X với tích vô hướng xác định X gọi không gian tiền Hilbert Nhận xét 5.1.4 Không gian tiền Hilbert X không gian định chuẩn với x, x với x ∈ X Chuẩn gọi chuẩn sinh tích vô hướng chuẩn x = X Do đó, lí thuyết không gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert Mệnh đề 5.1.5 Nếu X không gian tiền Hilbert i) x, y x y , ∀x, y ∈ X (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz); ii) x + y + x−y =2 x + y 85 (Đẳng thức hình bình hành) Định nghĩa 5.1.6 Không gian tiền Hilbert X đầy gọi không gian Hilbert Như vậy, không gian Hilbert X không gian định chuẩn với chuẩn sinh tích vô hướng X 5.1.2 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn Định nghĩa 5.1.7 Cho X không gian tiền Hilbert Hai vectơ x, y ∈ X gọi trực giao x, y = Kí hiệu: x⊥y Hệ A ⊂ X gọi hệ trực giao vectơ A trực giao với đôi Định lí 5.1.8 Giả sử A hệ trực giao gồm vectơ khác Khi đó, A độc lập tuyến tính Hơn nữa, với n vectơ x1 , x2 , , xn ∈ A ta có 2 2 x1 + x2 + + xn = x1 + x2 + + xn (Đẳng thức Pythagore) Định lí 5.1.9 Giả sử {xn }n hệ trực giao không gian Hilbert X Khi ∞ ∞ xn hội tụ chuỗi số đó, chuỗi n=1 xn hội tụ n=1 Định nghĩa 5.1.10 Cho X không gian Hilbert, A không gian đóng X Khi đó, không gian đóng A⊥ = x ∈ X|x⊥A = x ∈ X|x⊥y, ∀y ∈ A gọi phần bù trực giao A Định lí 5.1.11 Nếu A không gian đóng không gian Hilbert X với phần tử x X biểu diễn cách dạng x = y + z với y ∈ A z ∈ A⊥ Và y gọi hình chiếu trực giao x không gian A Định nghĩa 5.1.12 Cho X không gian Hilbert, A không gian đóng X Tập M = x ∈ X|x = y + z, y ∈ A, z ∈ A⊥ gọi tổng trực giao không gian đóng A A⊥ Kí hiệu: M = A A⊥ Ánh xạ P : M → A, xác định công thức P x = y, y hình chiếu trực giao phần tử x ∈ X A, gọi phép chiếu trực giao lên không gian đóng A Định nghĩa 5.1.13 Cho X không gian Hilbert A ⊂ X Ta gọi A hệ trực chuẩn X A hệ trực giao a = với a ∈ A Nếu A = {an } hệ trực chuẩn đếm X với x ∈ X ta có 86 ∞ x x, = (Đẳng thức Parserval) i=1 A gọi sở trực chuẩn đếm hay hệ trực chuẩn đếm X Định lí 5.1.14 Giả sử X không gian Hilbert, {en } hệ trực chuẩn ∞ x, en en , ∀x ∈ X hội tụ Hơn nữa, đếm X Khi đó, chuỗi n=1 ∞ x, en x (Bất đẳng thức Bessel) n=1 Định lí 5.1.15 Giả sử không gian Hilbert X có sở trực chuẩn đếm {en } Khi đó, ∞ x, en en , ∀x ∈ X; i) x = n=1 ∞ x, en y, en , ∀x, y ∈ X; ii) x, y = n=1 5.1.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert Định lí 5.1.16 (Riesz) Giả sử X không gian Hilbert Khi đó, i) Với vectơ a cố định X, hệ thức f (x) = a, x xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục X với f = a ii) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) X biểu diễn dạng f (x) = a, x với a ∈ X a = f Định nghĩa 5.1.17 Dãy {xn } không gian Hilbert X gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ X lim xn , y = x, y , ∀y ∈ X n→∞ 5.1.4 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp Định nghĩa 5.1.18 Cho X, Y hai không gian Hilbert A : X → Y toán tử tuyến tính liên tục Ta đồng X = X ∗ , Y = Y ∗ Mỗi phần tử X ∗ Y ∗ biểu diễn dạng tích vô hướng nên ta có A∗ : Y → X xác định x, A∗ y = Ax, y , ∀x, y ∈ Y toán tử liên hợp toán tử A Định lí 5.1.19 Giả sử X không gian Hilbert A ∈ L(X) Khi đó, A∗∗ = A A∗ = A 87 Mệnh đề 5.1.20 Với A, B ∈ L(X, Y ), α ∈ K ta có: ∗ i) (A + B) = A∗ + B ∗ ∗ ii) (αA) = αA∗ ∗ iii) (B ◦ A) = A∗ ◦ B ∗ Định nghĩa 5.1.21 Cho X không gian Hilbert Toán tử tuyến tính giới nội A : X → X gọi tự liên hợp A = A∗ hay Ax, y = x, Ay , ∀x, y ∈ X 5.2 Một số tính chất toán tử compact Định lí 5.2.1 Giả sử X không gian Hilbert A ∈ L(X) Khi đó, A toán tử compact toán tử liên hợp A∗ A compact Chứng minh (⇒) Giả sử A toán tử compact, SX hình cầu đơn vị đóng X {xn } dãy phần tử SX Ta chứng minh dãy {A∗ xn } có dãy hội tụ X Vì A∗ : X → X toán tử tuyến tính liên tục nên A ◦ A∗ : X → X toán tử compact (Hệ 2.4.7) Do đó, dãy A(A∗ xn ) có dãy A(A∗ xnk ) hội tụ Với l, k nguyên dương, ta có A∗ xnk − A∗ xnl = A∗ (xnk − xnl ), A∗ (xnl − xnk ) = ((AA∗ )(xnk − xnl ), xnl − xnk ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta A∗ xnk − A∗ xnl (AA∗ )xnk − (AA∗ )xnl xnk − xnl (AA∗ )xnk − (AA∗ )xnl → (k, l → ∞) A∗ xnk dãy Cauchy X nên dãy hội tụ (⇐) Nếu A∗ toán tử compact, theo điều vừa chứng minh, A = A∗∗ toán tử compact Định lí 5.2.2 Nếu X không gian Hilbert A ∈ L(X) A∗ ◦ A toán tử compact A toán tử compact Chứng minh Giả sử {xn } dãy phần tử hình cầu đơn vị đóng SX không gian Hilbert X Vì A∗ ◦ A ∈ L(X) toán tử compact nên dãy A∗ (Axn ) có dãy A∗ (Axnk ) hội tụ X Do đó, A∗ (Axnk ) dãy Cauchy ta có Axnl − Axnk = A(xnl − xnk ), A(xnl − xnk ) = xnl − xnk , A∗ (Axnl − Axnk ) A∗ (Axnl ) − A∗ (Ank ) → (k, l → ∞) 88 Từ suy Axnk dãy Cauchy X Vì X không gian đầy nên dãy Axnk hội tụ Vậy A(SX ) tập compact tương đối Định lí 5.2.3 Phép chiếu trực giao không gian Hilbert X lên không gian tuyến tính đóng A X toán tử compact A không gian hữu hạn chiều Chứng minh Trước tiên ta chứng minh A không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert X P : X → A phép chiếu trực giao không gian X lên không gian A ảnh hình cầu đơn vị đóng SX X qua ánh xạ P hình cầu đơn vị đóng SA A, tức P (SX ) = SA Thật vậy, phần tử x ∈ X biểu diễn cách dạng x = y + z, y ∈ A, z⊥A (Định lí 5.1.11) Nếu x ∈ SX x Theo đẳng thức Pythagore ta có 2 x = y + z , suy P x = y x Do P x ∈ SA Nếu y ∈ SA P y = y Do y ∈ P (SX ) Nếu P toán tử compact P (SX ) = SA tập compact tương đối A Hơn nữa, SA tập đóng A nên SA tập compact A Theo Định lí 2.4.14, suy A không gian hữu hạn chiều Nếu P không toán tử compact SA tập compact tương đối không gian A Theo Định lí 2.4.14, suy A không gian vô hạn chiều Định lí 5.2.4 Giả sử {en } sở trực chuẩn đếm không gian ∞ Hilbert X, Y không gian Banach, A ∈ L(X, Y ) chuỗi Aen hội tụ n=1 Khi đó, A toán tử compact Chứng minh Với n = 1, 2, ánh xạ An : X → Y xác định n x, ek Aek , ∀x ∈ X An x = k=1 Khi đó, An toán tử tuyến tính liên tục Thật vậy, với x, y ∈ X, α, β ∈ K ta có n An (αx + βy) = n n αx + βy, ek Aek = k=1 n =α k=1 βx, ek Aek k=1 n x, ek Aek + β k=1 Với x ∈ X ta có: αx, ek Aek + y, ek Aek = αAn x + βAn x k=1 n An x x ek A k=1 89 ek = n x A Mặt khác, từ cách xác định An ta thấy An (X) không gian hữu hạn chiều Y Do đó, theo Nhận xét 2.4.5 ta kết luận An toán tử compact Ta chứng minh lim A − An = n→∞ Thật vậy, với x ∈ X, {en } sở trực chuẩn đếm X ∞ nên x = n=1 x, en en (Định lí 5.1.15) Vì An toán tử tuyến tính liên tục nên   n→∞ k=1 x, en Aen x, ek Aek = x, ek ek  = lim Ax = A  lim n→∞ ∞ n n n=1 k=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta ∞ Ax − An x  x, ek Aek = 2 ∞ x, ek  Aek  k=n+1 k=n+1 ∞ ∞ x, ek k=n+1 ∞ Aek x k=n+1 Aek , ∀x ∈ X k=n+1 Do đó, ∞ (A − An ) x Aek , ∀x ∈ X x k=n+1 ∞ ⇒ A − An ∞ Aek → chuỗi Aen hội tụ n=1 k=n+1 ⇒ lim A − An = Theo Định lí 2.4.8 suy A toán tử compact n→∞ Bổ đề 5.2.5 Giả sử {en } sở trực chuẩn đếm không gian Hilbert X Khi đó, tập M ⊂ X compact tương đối M tập ∞ x, en en hội tụ đến tổng x M giới nội chuỗi n=1 Chứng minh (⇒) Giả sử M tập compact tương đối không gian Hilbert X Khi đó, theo Nhận xét 1.2.11, M tập hoàn toàn giới nội, ∞ đó, M tập giới nội Ta chứng minh chuỗi x, en en hội tụ đến x n=1 M Thật vậy, cho ε > tùy ý Vì M hoàn toàn giới nội nên phủ M ε họ hữu hạn hình cầu bán kính : Tồn phần tử x1 , x2 , , xm ∈ X 90 m cho M ⊂ k=1 ε S xk , Theo Định lí 5.1.15, với x ∈ X, chuỗi hội tụ đến x Do đó, đặt ∞ x, en en n=1 ∞ Rn (x) = x, ek ek k=n+1 ta lim Rn (x) = 0, ∀x ∈ X Vì cậy, tồn N nguyên dương cho n→∞ ε N ⇒ Rn (xi ) < , ∀i = 1, m n (5.1) Ta có Rn (x) = Rn (x) − Rn (xi ) + Rn (xi ) = Rn (x − xi ) + Rn (xi ) Rn (x − xi ) x − xi (Định lí 5.1.9 Định lí 5.1.15) Do x − xi + Rn (xi ) , ∀x ∈ X, i = 1, m Rn (x) (5.2) ε Nếu x ∈ M tồn số i cho x − xi < Từ (5.1) (5.2) suy n N ⇒ Rn (x) ε ∞ x, en en hội tụ đến x M Vậy chuỗi n=1 ∞ (⇐) Giả sử M tập giới nội X chuỗi x, en en hội tụ n=1 n đến x M Cho ε > tùy ý Khi đó, dãy Sn (x) = x, ek ek hội tụ k=1 ε đến x M nên tồn N nguyên dương cho x − SN (x) < , ∀x ∈ M   N   Tập SN (M ) = SN (x) = x, ek ek |x ∈ M tập không gian   k=1 hữu hạn chiều L = {e1 , e2 , , eN } X (L không gian tuyến tính X sinh phần tử e1 , e2 , , eN ) Vì ∞ N SN (x) = x, ek k=1 x, ek = x k=1 nên SN (x) x , ∀x ∈ M Vì theo giả thiết M tập giới nội nên từ suy SN (M ) tập giới nội Do đó, SN (M ) tập hoàn toàn giới nội L (Định lí 1.2.17) Vì vậy, ta phủ tập SN (M ) họ hữu hạn m ε ε hình cầu bán kính : Tồn x1 , x2 , xm ∈ L cho SN (M ) ⊂ S(xi , ) 2 i=1 ε Khi đó, với x ∈ M , tồn i cho SN (x) − xi < Do 91 x − xi x − SN (x) + SN (x) − xi < ε Vậy M tập hoàn toàn giới nội Vì X không gian đầy nên theo Nhận xét 1.2.11 suy M tập compact tương đối Định lí 5.2.6 Giả sử {en } sở trực chuẩn đếm không gian Hilbert Y , A : X → Y toán tử compact từ không gian Banach X vào Y Với n nguyên dương, đặt n An x = Ax, ek ek k=1 Khi đó, dãy toán tử {An } hội tụ đến toán tử A Chứng minh Gọi S hình cầu đơn vị đóng không gian Banach X Vì A : X → Y toán tử compact nên A(S) tập compact tương đối ∞ không gian Hilbert Y The Bổ đề 5.2.5, chuỗi y, en en hội tụ đến n=1 y tập A(S) Do đó, với ε > 0, tồn N nguyên dương cho n n N ⇒ y− y, ek ek < ε, ∀y ∈ A(S) k=1 n n N ⇒ Ax − Ax, ek ek < ε, ∀x ∈ S k=1 tức Ax − An x ε, ∀x ∈ S Từ suy A − An = sup Ax − An x ε, ∀n N , x∈S tức lim A − An = n→∞ Bổ đề 5.2.7 Nếu tập M giới nội không gian Hilbert X M tập compact yếu theo dãy không gian X Chứng minh Lấy dãy {xn } ⊂ M Khi đó, tồn số dương C cho xn C, ∀n = 1, 2, (Định lí 2.1.28) Kí hiệu E bao tuyến tính dãy {xn } Dãy số x1 , xn (n = 1, 2, ) giới nội x1 , xn x1 xn C Nên dãy số chứa dãy x1 , x1n hội tụ Với lí tương tự, dãy số x2 , x1n chứa dãy x2 , x2n hội tụ Quá trình tiếp tục mãi ta nhận dãy dãy x11 , x12 , x13 , , x21 , x22 , x23 , , x31 , x32 , x33 , , ., dãy sau dãy dãy trước cho xk , xkn hội tụ (n, k = 1, 2, ) 92 Xét dãy đường chéo {xnn } Hiển nhiên, với k = 1, 2, dãy xk , xnn hội tụ Từ suy với x ∈ E tồn lim x, xnn n→∞ ⊥ Đặt F = E y, xnn = (∀y ∈ F, n = 1, 2, ) Do lim h, xnn = lim x, xnn n→∞ n→∞ h = x + y, x ∈ E, y ∈ F Ta xem dãy {xnn } dãy phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian X xác định hệ thức fn (h) = h, xnn (n = 1, 2, ) fn = xnn C (n = 1, 2, ) Dễ dàng thấy hệ thức lim fn (h) = lim h, xnn n→∞ n→∞ xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f không gian X có chuẩn không vượt số C Theo Định lí 5.1.16, tồn phần tử a ∈ X cho h, a = f (h) = lim fn (h) = lim h, xnn , ∀h ∈ X n→∞ n→∞ Điều chứng tỏ phần tử a giới hạn yếu dãy {xnn } Vì vậy, tập M compact yếu theo dãy không gian X Định lí 5.2.8 Cho A toán tử tuyến tính giới nội ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, A toán tử compact toán tử A biến dãy hội tụ yếu không gian X thành dãy hội tụ mạnh không gian Y Chứng minh (⇒) Giả sử A toán tử compact Vì không gian Hilbert không gian định chuẩn nên theo Định lí 2.4.10, toán tử A biến dãy hội tụ yếu không gian X thành dãy hội tụ mạnh không gian Y (⇐) Giả sử toán tử A biến dãy hội tụ yếu không gian X thành dãy hội tụ mạnh không gian Y M tập giới nội không gian X Lấy dãy {yn } ⊂ A(M ) chọn dãy {xn } ⊂ M cho yn = Axn Theo Bổ đề 5.2.7, M tập compact yếu theo dãy không gian X, nên dãy {xn } ⊂ M chứa dãy xnk hội tụ yếu đến phần tử x không gian X Khi đó, theo giả thiết dãy Axnk hội tụ mạnh đến Ax không gian Y hay dãy ynk = Axnk (k = 1, 2, ) hội tụ mạnh đến phần tử y = Ax không gian Y Do đó, A(M ) tập compact tương đối không gian Y Vậy A toán tử compact 5.3 Bài tập Bài 5.3.1 Chứng minh A toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert X vào cho An (n ∈ Z+ ) toán tử compact A toán tử compact 93 Giải Trước hết ta thấy A toán tử tự liên hợp Ak toán tử tự liên hợp với k = 1, 2, Lại theo Định lí 5.2.2 ta suy A toán tử tự liên hợp từ A2 = A ◦ A∗ ta só A compact Bây giả sử với n ∈ N∗ ta có An compact, A tự liên hợp Thế n n A2 = An ◦ A2 −n toán tử compact Theo nhận xét toán tử n A2 −1 n tự liên hợp A2 −1 n n = A2 compact, A2 −1 compact Lập luận tương tự, sau n bước ta thu A toán tử compact Bài 5.3.2 Giả sử {en } hệ trực chuẩn đếm không gian Hilbert X, {λn } dãy hội tụ đến Khi đó, toán tử A xác định ∞ λn x, en en , ∀x ∈ X Ax = n=1 toán tử compact từ X vào X Giải Với n, toán tử An : X → X xác định n λk x, ek ek , ∀x ∈ X An x = k=1 toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, từ cách xác định An ta thấy An (X) không gian hữu hạn chiều X Do đó, theo Nhận xét 2.4.15, An toán tử compact, n=1,2, Ta chứng minh lim An − A = n→∞ Thật vậy, cho ε > tùy ý Vì lim λn = nên tồn N nguyên dương n→∞ cho |λn | < ε với n N Do với x ∈ X, ∞ Ax − An x = λk x, ek ek ∞ |λn | = k=n+1 x, ek k=n+1 ∞ ε x, ek ε2 x , ∀n N k=n+1 Khi đó, (A − An ) x ε x , ∀x ∈ X, ∀n N ⇒ A − An ε, ∀n N , tức lim An − A = Theo Định lí 2.4.8, suy A toán tử compact n→∞ Bài 5.3.3 Nếu {en } hệ trực chuẩn đếm không gian Hilbert X A ∈ L(X) toán tử compact lim Aen = n→∞ Giải Phản chứng: Giả sử Aen n → ∞ Khi đó, tồn số ε > dãy Aenk dãy {Aen } cho Aenk ε với n Vì A toán tử compact {en } tập giới nội X nên {Aen } tập compact tương đối X Do đó, dãy Aenk có dãy Aenkj 94 w ε Hiển nhiên Aenkj → x0 hội tụ, tức lim Aenkj = x0 ∈ X Suy x0 n→∞ w Mặt khác, ta có en → Thật vậy, theo bất đẳng thức Bessel, với x ∈ X, ta có: ∞ x, en w n=1 x w w ⇒ lim en , x = Vậy en → Từ suy Aen → Do đó, Aenkj → Từ n→∞ tính giới hạn yếu dãy phần tử suy x0 = (mâu thuẫn) Vậy lim Aen = n→∞ Bài 5.3.4 Cho X không gian Hilbert Giả sử {An } ⊂ L(X), A ∈ L(X) B toán tử compact X Chứng minh với x ∈ X, An x → Ax X n → ∞ An B → AB L(X) n → ∞ Giải Phản chứng: Giả sử An B − AB không hội tụ đến L(X) Khi đó, tồn ε > cho ∀N ∈ N, ∃n > N, ∃xn ∈ X, với xn = (An B − AB)xn > ε Do ta xây dựng dãy {xnk } X thỏa xnk = (Ank B − AB) xnk > ε Vì dãy {xnk } giới nội X B compact nên tồn dãy Bxnkl dãy {Bxnk } hội tụ đến y Khi đó, ε< Ankl B − AB xnkl = Ankl − A y + Ankl − A Bxnkl − y Ankl y − Ay + Ankl − A Bxnkl − y Theo Định lí 2.1.14, ta có M = sup An < ∞ Ta chọn L ∈ N đủ lớn n∈N cho l > L ε ε Ankl y − Ay < Bxnkl − y < 2 M+ A Từ suy ε < ε (vô lí) Vậy An B → AB L(X) n → ∞ Bài 5.3.5 Giả sử A : X → Y toán tử compact từ không gian Banach X vào không gian Hilbert Y Khi đó, với số dương ε bất kì, tồn không gian hữu hạn chiều L Y toán tử tuyến tính giới nội B : X → Y cho B(X) ⊂ L A − B ε Giải SX hình cầu đơn vị đóng không gian Banach X Vì A : X → Y toán tử compact nên A(SX ) tập compact tương đối Y Theo Nhận xét 1.2.11 A(SX ) tập hoàn toàn giới nội Với số ε > bất kì, ε phủ A(SX ) họ hình cầu bán kính : Tồn y1 , y2 , , ym ∈ Y m ε cho A(SX ) ⊂ S yk , Gọi L không gian tuyến tính Y sinh k=1 95 tập phần tử y1 , y2 , , ym : L = {y1 , y2 , , ym } L không gian hữu hạn chiều nên L không gian tuyến tính đóng Y Gọi P : Y → L phép chiếu trực giao không gian Y vào không gian đóng L Y B = P ◦ A Hiển nhiên B toán tử tuyến tính liên tục từ X vào không gian ε hữu hạn chiều L Ngoài ra, với x ∈ SX tồn k cho Ax ⊂ S(yk , ), tức ε Ax − yk Do đó, Ax − Bx Ax − yk + yk − P (Ax) = Ax − yk + P yk − P (Ax) ε + P yk − Ax ε Từ ta có A − B = sup Ax − Bx x∈SX 96 ε C PHẦN KẾT LUẬN Luận văn "Tính compact không gian" hệ thống lại mở rộng khái niệm, tính chất compact không gian học Qua đó, giúp ta tổng hợp kiến thức, có nhìn khái niệm compact biết thêm số tính chất quan trọng liên quan đến tính compact giải tích hàm Bằng phương pháp phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa, phần lý thuyết tập trình bày chi tiết, rõ ràng làm bật tính chất compact Do hạn chế thời gian kiến thức nên luận văn chưa khai thác nhiều kiến thức liên quan đến compact Do vậy, tương lai hướng nghiên cứu thân compact hóa Stone-Cech, tập compact không gian hàm, phổ toán tử compact, 97 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh - Nguyễn Thành Anh (2014), Giáo trình tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm [2] Đậu Thế Cấp (2008), Tôpô đại cương, NXB Giáo dục [3] Lê Hồng Đức (2012), Giáo trình giải tích hàm, Đại học Cần Thơ [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [5] J.L.Kelly (1967), General Topology, New York [6] Nguyễn Hữu Khánh - Lê Thanh Tùng (2014), Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Cần Thơ [7] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm - Tập I, II, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2012), Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm [9] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2014), Mở đầu không gian vectơ tôpô số vấn đề chọn lọc giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm [10] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [11] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Bài tập giải tích hàm, NXB Giáo dục [12] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương (Giáo trình cao học), NXB Khoa học Kỹ thuật [13] Trần Thị Thanh Thúy (2010), Giáo trình tôpô đại cương, Đại học Cần Thơ [14] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội [15] Walter Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill 98 [...]... L Không gian định chuẩn L, L gọi là không gian con của X, Mệnh đề 2.1.5 i) Không gian con đóng của một không gian Banach là một không gian Banach ii) Không gian con đầy của một không gian con định chuẩn X là một không gian con đóng của X iii) Không gian con của một không gian định chuẩn khả li là một không gian khả li Định lí 2.1.6 Giả sử A = {x1 , x2 , } là một tập con đếm được của X Khi đó, không. .. d) là một không gian metric Như vậy, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric được xác định như trên Do đó, mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Định nghĩa 2.1.2 Không gian định chuẩn X, được gọi là không gian Banach nếu X là không gian metric đầy với metric d(x, y) = x − y , tức là mọi dãy Cauchy trong X đều... đồng phôi tuyến tính Định lí 2.1.16 Mọi không gian định chuẩn X có số chiều n đều đồng phôi tuyến tính với không gian Kn Hệ quả 2.1.17 Nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì X là không gian Banach 27 2.1.3 Không gian liên hợp Toán tử liên hợp Định nghĩa 2.1.18 Cho X là không gian định chuẩn trên trường K Khi đó, X ∗ = L (X, K) là không gian liên hợp của X (hay còn gọi là không gian liên hợp... A compact trong không gian metric (X, d) thì tập A compact tương đối Mệnh đề 1.2.5 Nếu tập A compact tương đối và đóng trong không gian metric (X, d) thì tập A compact Chứng minh Vì A là tập compact tương đối trong (X, d) nên mọi dãy {xn } ⊂ A đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm x ∈ X Vì A đóng nên x ∈ A Vậy tập A compact b) Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian. .. điều phải chứng minh 2.4 Toán tử compact Cho X là không gian định chuẩn Ta gọi SX [0, 1] = hình cầu đóng đơn vị trong X x ∈ X| x 1 là Định nghĩa 2.4.1 Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là compact nếu tập A SX [0, 1] compact tương đối trong Y Nghĩa là A SX [0, 1] compact trong Y Ta gọi K(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử compact từ X vào Y Nhận xét 2.4.2... dãy Cauchy trong Y ⇒ {Axnn } hội tụ (vì Y là không gian Banach) ⇒ A(SX ) compact tương đối (Vì {Axnn } là dãy con của {Axn }) ⇒ A là toán tử compact Vậy K(X, Y ) là không gian con đóng của L(X, Y ) Hệ quả 2.4.9 Nếu Y là không gian Banach thì K(X, Y ) là không gian Banach Chứng minh Dễ dàng suy ra từ Định lí 2.4.8 Định lí 2.4.10 Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử compact Khi... tập compact Nhận xét 1.2.11 Từ chứng minh trên ta thấy rằng đối với không gian X bất kì (không nhất thiết là đầy) thì chiều "⇒" của định lí vẫn đúng Cũng từ chứng minh trên, ta nhận thấy rằng một tập compact tương đối thì hoàn toàn giới nội, và trong không gian metric đầy, một tập hoàn toàn giới nội thì compact tương đối Định lí 1.2.12 Nếu (X, d) là không gian metric compact thì (X, d) là không gian. .. gian liên hợp thứ nhất của X) Không gian liên hợp của X ∗ được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X, kí hiệu là X ∗∗ Định lí 2.1.19 Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X Từ đó suy ra X ⊂ X ∗∗ Bổ đề 2.1.20 (Helly) Giả sử X là không gian Banach, f1 , f2 , , fn ∈ X ∗ , α1 , α2 , , αn ∈ K Khi đó, các khẳng định sau là tương... ∈ K βi αi ii) i=1 i=1 Định lí 2.1.21 Nếu X là không gian đinh chuẩn, X ∗ khả li thì X khả li Định nghĩa 2.1.22 Không gian định chuẩn X gọi là phản xạ nếu X = X ∗∗ Định lí 2.1.23 Nếu X là không gian phản xạ, L là không gian con đóng của X thì L là không gian phản xạ Định nghĩa 2.1.24 Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, ánh xạ A∗ : Y ∗ → X ∗ cho... , là quả cầu đóng, giới nội trong R3 Vậy K 2 2 2 2 compact trong R3 Bài 1.3.8 Cho (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian metric Khi đó, X × Y = (x, y)|x ∈ X, y ∈ Y là một không gian metric với metric d được xác định như sau d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = d2X (x1 , x2 ) + d2Y (y1 , y2 ) với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y Không gian (X × Y, d) gọi là không gian tích của không gian metric X, Y Cho f : X