Đồng thời, luận văn trình bày một số tính chất của tậpcompact trong không gian quen thuộc Rn và đặc biệt là Định lí Arzela-Ascolitrong không gian các ánh xạ liên tục CS, một trong những
Trang 1LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Hồng Đức, người
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáotrong Bộ môn Toán - Khoa Sư phạm - Đại học Cần Thơ đã dạy bảo em tận tìnhtrong suốt quá trình học tập ở bậc đại học
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn tốt nghiệp
Cần Thơ, tháng 05 năm 2016
Sinh viênNguyễn Tùng Lâm
Trang 2MỤC LỤC
1.1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1.1 Không gian metric Sự hội tụ trong không gian metric 6 1.1.2 Tập đóng, tập mở 7
1.1.3 Không gian metric đầy 7
1.1.4 Ánh xạ liên tục 8
1.2 Không gian metric compact 9
1.2.1 Tập compact Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội 9 1.2.2 Đặc trưng của tập compact 11
1.2.3 Tập compact trong không gian Rn 15
1.2.4 Hàm số liên tục trên tập compact 15
1.2.5 Tập compact trong không gian C(S) 17
1.3 Bài tập 18
2 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 25 2.1 Kiến thức chuẩn bị 25
2.1.1 Các khái niệm về không gian định chuẩn 25
2.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 26
2.1.3 Không gian liên hợp Toán tử liên hợp 28
2.1.4 Hội tụ yếu trong không gian định chuẩn 28
2.2 Đặc trưng compact của một tập trong không gian Banach với cơ sở Schauder 29
2.3 Tập compact yếu theo dãy 31
2.4 Toán tử compact 33
2.5 Bài tập 38
Trang 33 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 44
3.1 Kiến thức chuẩn bị 44
3.1.1 Không gian tôpô 44
3.1.2 Ánh xạ liên tục 45
3.1.3 Các tiên đề tách 45
3.1.4 Tổng trực tiếp Không gian tích 47
3.2 Sự hội tụ trong không gian tôpô 48
3.2.1 Sự hội tụ theo lưới 48
3.2.2 Sự hội tụ theo lọc 52
3.3 Không gian compact 57
3.3.1 Khái niệm không gian compact 57
3.3.2 Đặc trưng của không gian compact 57
3.3.3 Một số tính chất 59
3.4 Không gian compact địa phương 63
3.5 Compact hóa Alexandroff 65
3.6 Bài tập 67
4 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 71 4.1 Kiến thức chuẩn bị 71
4.1.1 Không gian vectơ tôpô 71
4.1.2 Cơ sở lân cận 72
4.1.3 Tôpô vectơ trên không gian hữu hạn chiều 73
4.1.4 Không gian lồi địa phương 73
4.2 Tập compact và một số tính chất 74
4.3 Tập compact trong tôpô yếu và tôpô* yếu 78
4.4 Bài tập 82
5 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 85 5.1 Kiến thức chuẩn bị 85
5.1.1 Không gian Hilbert 85
5.1.2 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn 86
5.1.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 87 5.1.4 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 87
5.2 Một số tính chất của toán tử compact 88
5.3 Bài tập 93
Trang 4A PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Compact là một khái niệm rất quan trọng trong giải tích hàm Nhiều định
lí quan trọng trong giải tích hàm được chứng minh một cách dễ dàng nhờ cáctính chất liên quan đến compact Ở bậc Đại học, chúng ta đã làm quen với kháiniệm này ở học phần Tôpô đại cương và Giải tích hàm nhưng chỉ ở mức độ hạnhẹp, còn rời rạc, chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề trong giải tích Vì vậy,chúng ta cần phải có sự tổng hợp, cũng như mở rộng khái niệm và tính chất củacompact để giải quyết các nhu cầu nảy sinh Được sự hướng dẫn, gợi ý của thầy
Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài "Tính compact trong các không gian" là
đề tài luận văn tốt nghiệp của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là hệ thống lại và mở rộng khái niệm, tính chất vềcompact trong các không gian Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu tạo
đà cho nghiên cứu khoa học sau này
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khái niệm, các tính chất về compact trong không gian metric, không gianđịnh chuẩn, không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian Hilbert
4 Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, tham khảo tài liệu
Phân tích, tổng hợp lí thuyết
Phân loại, hệ thống hóa lí thuyết
Trang 55 Tóm tắt nội dung nghiên cứu
Chương 1: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRICTrong chương này, khái niệm compact được trình bày theo quan điểm dãy
và phủ mở Qua đó, rút ra một số tính chất quan trọng để làm cơ sở kiến thứccho những chương sau Đồng thời, luận văn trình bày một số tính chất của tậpcompact trong không gian quen thuộc Rn và đặc biệt là Định lí Arzela-Ascolitrong không gian các ánh xạ liên tục C(S), một trong những kết quả cơ bảncủa giải tích hiện đại, được sử dụng để thiết lập những dấu hiệu nhận biết tínhcompact của những tập con trong nhiều không gian hàm quan trọng khác nhau
Chương 2: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Ta đã biết không gian định chuẩn là không gian metric nhờ vào định nghĩa
d (x, y) = kx − yk
Do đó, mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúngtrong không gian định chuẩn Vì vậy, trong chương này, luận văn sẽ không trìnhbày lại các khái niệm, tính chất liên quan đến tập compact trong không gianđịnh chuẩn, mà thay vào đó luận văn nghiên cứu đặc trưng compact của mộttập trong không gian Banach với cơ sở Schauder, khái niệm, tính chất của tậpcompact yếu theo dãy và khái niệm, tính chất về compact cho ánh xạ giữa cáckhông gian định chuẩn gọi là toán tử compact, nằm trong lý thuyết toán tử -một trong những hướng nghiên cứu chính của giải tích hàm
Chương 3: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này, khái niệm compact được mô tả qua lưới và lọc Với công
cụ mới này, chúng ta có thể giải quyết tốt các vấn đề trong không gian tôpôtổng quát mà khái niệm dãy không thể giải quyết Điều đó được nhìn thấy quaviệc Định lí Tychonoff - một trong những kết quả quan trọng bậc nhất của tôpôđại cương - được chứng minh một cách dễ dàng, gắn gọn dựa trên khái niệm vàtính chất của lọc Đồng thời, luận văn trình bày khái niệm và một số tính chấtcủa không gian compact địa phương, cũng như trả lời câu hỏi "Khi nào mộtkhông gian tôpô không compact có thể xem là không gian con của một khônggian compact?" thông qua compact hóa Alexandroff
Trang 6Chương 4: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔKhông gian vectơ tôpô, đặc biệt là không gian vectơ tôpô lồi địa phương, có
lẽ là loại không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm Vì vậy, trong chươngnày, luận văn hệ thống lại khái niệm và tính chất về tập compact Đồng thời, mởrộng khái niệm và một số tính chất của tập compact trong tôpô yếu và tôpô*yếu nhằm chứng minh định lí Bourbaki-Banach-Alaoglu và định lí Kakutani
Chương 5: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERTToán tử compact có nhiều tính chất quan trọng Vì vậy, ở chương này, luậnvăn tập trung trình bày một số tính chất của toán tử compact Các kết quả ởđây được các tài liệu đưa ra dưới dạng bài tập Luận văn tổng hợp, trình bày lại,chứng minh chi tiết một số kết quả trong tài liệu chưa được chứng minh hoặcchứng minh vắn tắt
Trang 8bởi metric d Không gian metric (E, dE) được gọi là không gian metric con củakhông gian metric (X, d).
Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) là một không gian metric Dãy điểm {xn} trongkhông gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim
Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric (X, d), a ∈ X, ε > 0
Tập S(a, ε) =x ∈ X|d(x, a) < ε gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε.Tập S [a, ε] =x ∈ X|d(x, a) 6 ε gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính ε.Tập V ⊆ X gọi là một lân cận của điểm a nếu ∃ε > 0 : S (a, ε) ⊆ V
Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X
Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A
Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểm trong của A
Tập A gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở
Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X
Hợp của tất cả các tập con mở của X được chứa trong A gọi là phần trongcủa A Kí hiệu: A◦ hoặc IntA
Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A gọi là bao đóng của A Kíhiệu: A
Định nghĩa 1.1.7 Tập con A của không gian metric (X, d) gọi là trù mậttrong X nếu A = X
Định nghĩa 1.1.8 Không gian metric (X, d) gọi là khả li (tách được) nếu tồntại tập A đếm được trù mật trong X
Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} trong X gọi là dãyCauchy (dãy cơ bản) nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε
m,n→∞d(xm, xn) = 0
Trang 9Định nghĩa 1.1.10 Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metricđầy nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X.
Định lí 1.1.11
i) Tập con đóng của một không gian metric đầy là đầy
ii) Không gian con đầy của một không gian metric là không gian con đóng
Ta nói ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X
Định lí 1.1.13 Cho hai không gian metric (X, dX), (Y, dY), ánh xạ f : X → Y Khi đó, f liên tục tại x0 ∈ X ⇔ ∀ {xn} ⊂ X, xn → x0 thì f (xn) → f (x0).Định nghĩa 1.1.14 Cho hai không gian metric (X, dX), (Y, dY) và ánh xạ
f : X → Y Ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu
Ánh xạ f được gọi là một phép đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh
xạ ngược f−1 : Y → X liên tục Hai không gian metric (X, dX), (Y, dY) gọi làđồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi f : X → Y
Ánh xạ f được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu dX(x1, x2) = dY(f (x1), f (x2)),
∀x1, x2 ∈ X Ánh xạ f được gọi là phép đẳng cự nếu f là song ánh và f là ánh
xạ đẳng cự Hai không gian metric (X, dX), (Y, dY) gọi là đẳng cự với nhau nếutồn tại một phép đẳng cự f : X → Y
Trang 101.2 Không gian metric compact
1.2.1 Tập compact Tập giới nội và tập hoàn toàn
giới nội.
a) Tập compact
Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X
Định nghĩa 1.2.1 Tập A được gọi là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ A đều cómột dãy con xnk hội tụ đến một điểm thuộc A Nếu A = X là tập compactthì ta nói (X, d) là không gian metric compact
Mệnh đề 1.2.2 Nếu tập A compact thì tập A đóng Nếu B là tập con đóngcủa tập compact A thì B compact
Chứng minh Giả sử dãy {xn} ⊂ A, xn → x ∈ X Vì A compact nên tồn tại dãycon xnk sao cho xnk → x0 ∈ A Mặt khác, dãy con xnk cũng hội tụ đến xnên x = x0 ∈ A Vậy tập A đóng
Lấy dãy {yn} bất kì trong B Vì {yn} cũng là một dãy trong A và A compactnên tồn tại dãy con ynk hội tụ đến y ∈ A Do B đóng nên y ∈ B Vậy tập Bcompact
Định nghĩa 1.2.3 Tập A được gọi là compact tương đối nếu bao đóng A làtập compact
Mệnh đề 1.2.4 Tập A compact tương đối trong không gian metric (X, d) khi
và chỉ khi mọi dãy {xn} ⊂ A đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểmthuộc X
Chứng minh (⇒) Giả sử tập A compact tương đối trong (X, d) Khi đó, A làtập compact Suy ra, mọi dãy {xn} ⊂ A đều có một dãy con xnk hội tụ đếnmột điểm thuộc A Vậy mọi dãy {xn} ⊂ A (vì A ⊂ A) đều có một dãy con
xnk hội tụ đến một điểm thuộc X (vì A ⊂ X)
(⇐) Ta sẽ chứng minh A là tập compact trong (X, d) Giả sử dãy {xn} ⊂ A.Khi đó, tồn tại dãy {yn} ⊂ A sao cho lim
n→∞d(xn, yn) = 0 Theo giả thiết, tồn tạidãy ynk ⊂ {yn} hội tụ đến x ∈ X ⇒ lim
Trang 11Từ mệnh đề trên suy ra nếu tập A compact trong không gian metric (X, d)thì tập A compact tương đối.
Mệnh đề 1.2.5 Nếu tập A compact tương đối và đóng trong không gian metric(X, d) thì tập A compact
Chứng minh Vì A là tập compact tương đối trong (X, d) nên mọi dãy {xn} ⊂ Ađều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm x ∈ X Vì A đóng nên x ∈ A.Vậy tập A compact
b) Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội
Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Tập A được gọi làgiới nội (bị chặn) nếu nó nằm trong một hình cầu nào đó, tức là:
∃ε > 0, ∃x ∈ X : A ⊂ S(x, ε)hay nói cách khác: Tập A giới nội nếu đường kính của tập A
diam(A) = sup
x,y∈A
d(x, y) < ∞
Định nghĩa 1.2.7 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X và số ε > 0 Tập
N ⊂ X được gọi là một ε−lưới của tập A nếu
∀x ∈ A, ∃y ∈ N : d(x, y) < εTập A được gọi là hoàn toàn giới nội (tiền compact) nếu với mọi ε > 0, tồntại ε−lưới hữu hạn của tập A
Dễ thấy rằng tập A có một ε−lưới thì nó có thể phủ được bằng một họ hìnhcầu {Sα} với bán kính ε và có tâm tại các điểm trong ε−lưới đó
Mệnh đề 1.2.8 Nếu tập A hoàn toàn giới nội trong không gian metric (X, d)thì tập A giới nội
Chứng minh Vì A là tập hoàn giới nội trong không gian metric (X, d) nên tồntại {x1, x2, , xn} ⊂ X là một ε−lưới (với ε > 0) của A Lấy x0 ∈ A Đặt
r = max
16i6nd(x0, xi) Giả sử x ∈ A ⇒ ∃i0 ∈ {1, 2, , n} : d(xi0, x) < ε
Ta có: d(x0, x) 6 d(x0, xi0) + d(xi0, x) < r + ε ⇒ x ∈ S(x0, r + ε) Do đó,
A ⊂ S(x0, r + ε) Vậy tập A giới nội
Mệnh đề 1.2.9 Nếu tập A giới nội trong không gian metric (X, d) thì khôngthể suy ra tập A hoàn toàn giới nội
Chứng minh Phản ví dụ: Cho X là tập vô hạn với metric rời rạc d A ⊂ X làtập vô hạn trong không gian metric rời rạc (X, d)
Tập A giới nội vì diam(A) = 1 < ∞
Trang 12Nếu A hoàn toàn giới nội thì với ε = 1
2, tồn tại N = {x1, x2, , xn} ⊂ X là1
2−lưới của tập A hay ∀x ∈ A, ∃xi ∈ N : d(xi, x) < 1
2 Vì metric d rời rạc nênd(xi, x) = 0 ⇒ x = xi Khi đó, A = N Điều này mâu thuẫn với giả thiết tập A
vô hạn Vậy tập A không hoàn toàn giới nội trong metric rời rạc (X, d)
a) Đặc trưng Hausdorff của tập compact
Định lí 1.2.10 (Hausdorff) Cho không gian metric đầy (X, d), A ⊂ X Khi
đó, tập A compact khi và chỉ khi tập A đóng và hoàn toàn giới nội
Chứng minh (⇒) Giả sử A là tập compact trong không gian metric đầy (X, d).Theo Mệnh đề 1.2.2, A đóng Ta chứng minh A hoàn toàn giới nội Phản chứng:Giả sử tập A không hoàn toàn giới nội Khi đó, tồn tại ε > 0 để A không cóε−lưới hữu hạn
Lấy một điểm bất kì x1 ∈ A thì sẽ tồn tại x2 ∈ A sao cho d(x2, x1) > ε (nếukhông {x1} là ε−lưới của A)
Với x1, x2 ∈ A thì sẽ tồn tại x3 ∈ A sao cho d(x3, x1) > ε và d(x3, x2) > ε(nếu không {x1, x2} là ε−lưới của A)
Tiếp tục quá trình như thế ta được một dãy {xn} ⊂ A và d(xn, xm) > ε(n 6= m; n, m = 1, 2, ) Rõ ràng bất cứ dãy con nào của dãy {xn} cũng khôngthể là dãy Cauchy, do đó không thể hội tụ Điều này mâu thuẫn với giả thiết A
là tập compact Vậy tập A hoàn toàn giới nội
(⇐) Giả sử tập A đóng và hoàn toàn giới nội Xét một dãy vô hạn bất kì
σ = {xn} ⊂ A Do tập A hoàn toàn giới nội nên với ε = 1 thì tồn tại tập
M1 ⊂ X là 1−lưới hữu hạn của A Khi đó, tồn tại m1 ∈ M1 sao cho hình cầuS(m1, 1) chứa vô số phần tử của dãy σ Đặt σ1 = σ ∩ S(m1, 1)
Trang 13Dãy xnk là dãy Cauchy Thật vậy, ∀k < l thì σl ⊂ σk ⊂ S(mk, 1
Vì X đầy nên ∃x ∈ X : lim
k→∞xnk = x Vì A đóng nên x ∈ A Vì vậy, dãy vôhạn {xn} ⊂ A chứa dãy con xnk hội tụ đến x ∈ A Điều đó chứng tỏ A là tậpcompact
Nhận xét 1.2.11 Từ chứng minh trên ta thấy rằng đối với không gian X bất
kì (không nhất thiết là đầy) thì chiều "⇒" của định lí vẫn đúng Cũng từ chứngminh trên, ta nhận thấy rằng một tập compact tương đối thì hoàn toàn giới nội,
và trong không gian metric đầy, một tập hoàn toàn giới nội thì compact tươngđối
Định lí 1.2.12 Nếu (X, d) là không gian metric compact thì (X, d) là khônggian đầy và khả li
Chứng minh Chứng minh (X, d) là không gian đầy Giả sử {xn} là dãy Cauchytrong tập X Vì tập X compact nên tồn tại dãy con xnk của {xn} sao cho
xnk → x ∈ X Khi đó,
0 6 d(xn, x) 6 d(xn, xnk) + d(xnk, x) → 0 (k → ∞)
⇒ lim
n→∞xn = x ∈ X Vậy (X, d) là không gian đầy
Chứng minh (X, d) là không gian khả li Vì tập X compact nên tập X hoàntoàn giới nội Khi đó, với mỗi k = 1, 2, 3, đều có tập Ak là 1
Ak là đếm được và dễ thấy nó trù mật trong X, vì cho trước một phần
tử x ∈ X và một ε > 0 tùy ý, trong ε−lân cận của x sẽ có ít nhất một phần tửcủa Ak ⊂ A, với 1
k < ε Vậy (X, d) là không gian khả li.
b) Đặc trưng Heine-Borel của tập compact
Định nghĩa 1.2.13 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X
Họ {Gα}α∈I các tập con của không gian metric (X, d) được gọi là một phủcủa tập A nếu A ⊂ [
α∈I
Gα.Nếu mọi Gα đều là tập mở (đóng) thì phủ gọi là phủ mở (đóng)
Cho {Gα}α∈I là một phủ của tập A Nếu J ⊂ I mà {Gα}α∈J cũng là một
Trang 14phủ của tập A thì {Gα}α∈J gọi là phủ con của {Gα}α∈I Nếu J là tập hữu hạnthì {Gα}α∈J gọi là một phủ con hữu hạn của phủ {Gα}α∈I
Định lí 1.2.14 (Heine-Borel) Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Khi
đó, A là tập compact khi và chỉ khi mọi phủ mở {Gα}α∈I của A đều có một phủcon hữu hạn, tức là:
Chứng minh (⇒) Phản chứng: Giả sử A là tập compact và {Gα}α∈I là một phủ
mở của tập A nhưng họ này không có phủ con hữu hạn nào Tập A compactnên tập A hoàn toàn giới nội Do đó, với ε = 1, tồn tại tập hữu hạn M ⊂ X
là 1−lưới của tập A hay tập A bị phủ bởi một số hữu hạn hình cầu có tâmthuộc tập M bán kính 1, trong số đó phải có ít nhất một hình cầu S1 sao cho
A1 = A ∩ S1 không thể phủ được bằng một họ con hữu hạn của họ {Gα}α∈I (vìnếu ngược lại thì A sẽ phủ được bằng phủ mở con hữu hạn của họ {Gα}α∈I, tráivới giả thiết phản chứng)
Tập A1 hoàn toàn giới nội (vì A1 là tập con của tập hoàn toàn giới nội A)nên với ε = 1
2, tồn tại tập hữu hạn M1 ⊂ X là 1
2−lưới của tập A1 hay tập A1
bị phủ bởi một số hữu hạn hình cầu có tập thuộc tập M1 bán kính 1
α∈I
Gα nên tồntại Gα0 ∈ {Gα}α∈I : x0 ∈ Gα0 Vì Gα0 là tập mở nên ∃r > 0 : S(x0, r) ⊂ Gα0
Ta có: với mọi y ∈ An
k0d(y, x0) 6 d(y, xnk0) + d(xn
k0 Mâu thuẫn này chứng tỏ mọi phủ mở {Gα}α∈I
Trang 15của tập A đều có một phủ con hữu hạn.
(⇐) Phản chứng: Giả sử mọi phủ mở của tập A đều có một phủ con hữuhạn nhưng tập A không compact Khi đó, tồn tại dãy {xn} vô hạn phần tử khácnhau từng đôi một trong A mà không có dãy con nào của nó hội tụ đến mộtphần tử của A Do đó, mỗi x ∈ A luôn tồn tại một hình cầu mở Sx chỉ chứamột số hữu hạn phần tử của dãy {xn}
Họ {Sx}x∈Alà một phủ mở của A nên theo giả thiết ta có ∃x1, x2, , xm ∈ A :
α∈J
Fα 6= Ø
Hệ quả 1.2.16 Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X Khi đó, tập A compactkhi và chỉ khi mọi họ có tâm những tập con đóng {Fα}α∈I của A đều có giaokhác rỗng
Chứng minh (⇒) Giả sử tập A compact và {Fα}α∈I là một họ có tâm nhữngtập con đóng của A Ta chứng minh \
α∈I
Fα 6= Ø
(⇐) Giả sử mọi họ có tâm những tập con đóng {Fα}α∈I của A đều có giaokhác rỗng Gọi {Gα}α∈I là một phủ mở bất kì của A Ta cần chứng minh phủnày có một phủ con hữu hạn Thật vậy, đặt Fα = A \ Gα, ta có:
Trang 161.2.3 Tập compact trong không gian Rn
Trong phần này ta xét không gian Rn với metric thông thường
Định lí 1.2.17 Trong Rn một tập con A giới nội khi và chỉ khi nó hoàn toàngiới nội
Chứng minh Để đơn giản ta xét trường hợp n = 2 (trường hợp n > 2 đượcchứng minh tương tự)
(⇒) Giả sử A là tập giới nội trong R2 Khi đó, tập A sẽ bị chứa trong hìnhvuông đủ lớn [a, b] × [a, b] Cho trước ε > 0 Bằng cách chia mỗi đoạn [a, b] thành
n phần bằng nhau và chọn n đủ lớn thì tập A sẽ được phủ bởi một số hữu hạnhình vuông H1, H2, , Hm(m 6 n2) có độ dài mỗi cạnh bé hơn √ε
2 Với mỗi igọi Si là hình tròn bán kính ε có tâm trùng với tập của Hi Hiển nhiên Hi ⊆ Si
và như vậy A sẽ được phủ bởi một số hữu hạn hình cầu S1, S2, , Sm bán kính
ε Vậy tập A hoàn toàn giới nội
(⇐) Giả sử A là tập hoàn toàn giới nội, theo Mệnh đề 1.2.8 suy ra A là tậpgiới nội
Định lí 1.2.18 Trong Rn một tập con A compact khi và chỉ khi nó đóng vàgiới nội
Chứng minh (⇒) Giả sử A là tập compact, dễ dàng suy ra A là tập đóng vàgiới nội
(⇐) Giả sử A là tập đóng và giới nội Do tập A giới nội trong Rn nên tập Ahoàn toàn giới nội Tập A đóng và hoàn toàn giới nội trong không gian metricđầy Rn nên A là tập compact
1.2.4 Hàm số liên tục trên tập compact
Định lí 1.2.19 Cho X, Y là các không gian metric, ánh xạ f : X → Y liêntục và A ⊂ X là tập compact Khi đó, f (A) là tập compact trong Y
Chứng minh Giả sử dãy {yn} ⊂ f (A) Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho
f (xn) = yn với mọi n Do tập A compact nên có dãy xnk ⊂ {xn} sao cho
xnk → x0 ∈ A Vì f liên tục nên ynk = f xnk → f (x0) ∈ f (A) Vậy dãy
Trang 17ynk ⊂ {yn} hội tụ đến f (x0) ∈ f (A) Do đó, f (A) là tập compact trong
Y
Định lí 1.2.20 Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X là tập compact vàánh xạ f : A → R liên tục Khi đó, f giới nội và đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhấttrên A
Chứng minh Ta chứng minh f giới nội trên A Phản chứng: Giả sử f khônggiới nội trên A Khi đó, ∀n, ∃xn ∈ A : f (xn) > n Vì A là tập compact, dãy{xn} ⊂ A nên tồn tại dãy xnk ⊂ {xn} sao cho xnk → x0 ∈ A Do f liên tụctrên A nên |f | cũng liên tục trên A, suy ra lim
k→∞
f xnk
f2(x1n) 6 kf2k x1n 6 β kf2k (n = 1, 2, )
⇒ Tồn tại dãy con x2
n của x1
n sao cho dãy số f2(x2n) hội tụ
Tiếp tục quá trình này, ở bước thứ k ta được dãy con xk
n của xk−1
n saocho dãy số fk(xkn) hội tụ
Xét dãy đường chéo {xnn} Với k ∈ Z+ ta thu được một dãy con của dãy
2β kf − fk0k < ε
2Chọn n0 sao cho ∀n > n0, m > n0,
fk0(xnn) − fk0(xmn) < ε
2Suy ra
n}∞n=1 là dãy Cauchy yếu trong L
⇒ Tồn tại giới hạn yếu x0 ∈ X của dãy {xn
n} (Định lí 2.1.32)
⇒ x0 ∈ M (Vì M đóng yếu theo dãy)
Như vậy, mọi dãy trong M đều chứa một dãy con hội tụ yếu đến một phần
tử của M Do đó, M là compact yếu theo dãy
Hệ quả 2.3.4 Giả sử X là không gian phản xạ Khi đó, hình cầu đơn vị đóng
SX[0, 1] = x ∈ X| kxk 6 1 trong X là compact yếu theo dãy
Trang 34Chứng minh Nếu dãy {xn} ⊂ SX[0, 1] hội tụ yếu đến x0 ∈ X thì theo Mệnh đề2.1.29 ta có
Ta gọi K(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử compact từ X vào Y
Nhận xét 2.4.2 Nếu A : X → Y là toán tử compact thì A liên tục
Chứng minh Vì A là toán tử compact nên A SX[0, 1] là tập compact Do đó,
Từ Nhận xét 2.4.2 suy ra tính compact của một toán tử tuyến tính mạnhhơn tính liên tục Vì thế, ta còn gọi toán tử compact là toán tử hoàn toàn liêntục
Định lí 2.4.3 Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn, A : X → Y làtoán tử tuyến tính Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) A là compact;
(ii) Nếu tập P giới nội trong X thì tập A(P ) compact tương đối trong Y ;(iii) Nếu {xn} là dãy giới nội trong X thì tồn tại dãy con xnk
để dãyn
A xnko hội tụ trong Y
Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử A là toán tử compact và P là tập giới nội trong
X Khi đó, tồn tại số r > 0 sao cho P ⊂ SX[0, r] hay 1
Trang 35đối Do đó, A(P ) compact tương đối.
(ii)⇒(iii) Giả sử (ii) được thỏa mãn và {xn} là dãy giới nội trong X Đặt
N = xn|n = 1, 2, Vì {xn} là dãy giới nội nên N giới nội Do đó, A(N ) làtập compact tương đối Mặt khác, A (xn) ⊂ A(N ), suy ra tồn tại nA xnko
là dãy con củaA (xn) để nA xnkohội tụ Hiển nhiênxnk là con của {xn}.(iii)⇒(i) Giả sử (iii) được thỏa mãn Lấy tùy ý dãy {yn} ⊂ A SX[0, 1] vàlấy dãy {xn} ⊂ SX[0, 1] để A(xn) = yn, ∀n Vì dãy {xn} giới nội nên tồn tại dãycon xnk để dãy nA xnko hội tụ Do đó, A SX[0, 1] compact tương đối.Vậy A là toán tử compact
Định lí 2.4.4 Nếu A, B là các toán tử compact từ không gian định chuẩn Xvào không gian định chuẩn Y thì với mội số α, β thì toán tử αA + βB compact.Chứng minh Lấy dãy {xn} ⊂ SX[0, 1] Vì tập A compact nên A(SX[0, 1])compact tương đối Do {Axn} ⊂ A(SX[0, 1]) nên tồn tại dãy con xnk của{xn} để A xnk
→ y ∈ Y Vì B compact nên B(SX[0, 1]) compact tươngđối Do B xnk ⊂ B(SX[0, 1]) nên tồn tại dãy con nxn
kj
ocủa xnk
saocho Bxnkj
→ z ∈ Y Suy ra (αA + βB)xnkj
→ αy + βz ∈ Y Do đó,(αA + βB)(SX[0, 1]) compact tương đối Vậy αA + βB compact
Hệ quả 2.4.5 Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K Khi
đó, với phép cộng hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thông thường,K(X, Y ) là không gian tuyến tính trên trường K
Chứng minh Suy ra từ Định lí 2.4.4
Định lí 2.4.6 Cho các không gian định chuẩn X, Y , Z, W và các toán tửtuyến tính liên tục A : X → Y , B : Y → Z, C : Z → W Khi đó, nếu B là toán
tử compact thì C ◦ B ◦ A : X → W là toán tử compact
Chứng minh Vì A liên tục nên A(SX[0, 1]) giới nội trong Y Do B compactnên B ◦ A SX[0, 1] compact tương đối trong Z Mặt khác, vì C liên tục nên
C ◦ B ◦ A SX[0, 1] compact tương đối trong W Vậy C ◦ B ◦ A là toán tửcompact
Hệ quả 2.4.7 Giả sử X là không gian định chuẩn và A, B ∈ L(X) Khi đó,nếu A compact thì A ◦ B và B ◦ A compact
Chứng minh Với ánh xạ đồng nhất IX từ X vào X Ta có: B : X → X,
A : X → X, IX : X → X với B, A, IX ∈ L(X), A compact Theo Định lí 2.4.6suy ra IX ◦ A ◦ B = A ◦ B compact và B ◦ A ◦ IX = B ◦ A compact
Trang 36Định lí 2.4.8 Nếu X là không gian định chuẩn và Y là không gian Banach thìK(X, Y ) là không gian con đóng của L(X, Y ).
Chứng minh Từ Định lí 2.4.4 suy ra K(X, Y ) là không gian con của không gianL(X, Y ) Ta sẽ chứng minh K(X, Y ) đóng trong L(X, Y ) Giả sử dãy toán tử{An} ⊂ K(X, Y ) và An → A ∈ L(X, Y ), tức là lim
n→∞kAn − Ak = 0 Ta cầnchứng minh A là toán tử compact
Đặt SX = SX[0, 1] Lấy dãy {xn} ⊂ SX Ta xét dãy {Axn} ⊂ A(SX)
Vì A1 compact nên A1(SX) compact tương đối ⇒ Tồn tại dãy con x1
n của{xn} sao cho dãy A1x1n hội tụ
Vì A2 compact nên A2(SX) compact tương đối ⇒ Tồn tại dãy con x2
n của{xn} sao cho dãy A2x2n hội tụ
Tiếp tục mãi quá trình này, ở bước thứ k ta thu được dãy con xk
n của dãy
xk−1
n sao cho dãy Akxkn hội tụ
Xét dãy đường chéo {xnn} trừ k − 1 phần tử đầu thì dãy này là dãy con củadãy xk
n Do đó, với mọi k, dãy {Akxnn} hội tụ
Với ε > 0, tồn tại n0 sao cho kAn0 − Ak < ε
3Chọn n1 > n0 sao cho với mọi n, m > n1 thì kAn0xnn − An0xmmk < ε
n} là dãy Cauchy trong Y ⇒ {Axn
n} hội tụ (vì Y là không gian Banach)
⇒ A(SX) compact tương đối (Vì {Axnn} là dãy con của {Axn}) ⇒ A là toán tửcompact Vậy K(X, Y ) là không gian con đóng của L(X, Y )
Hệ quả 2.4.9 Nếu Y là không gian Banach thì K(X, Y ) là không gian Banach.Chứng minh Dễ dàng suy ra từ Định lí 2.4.8
Định lí 2.4.10 Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y làtoán tử compact Khi đó, A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội
tụ mạnh trong Y
Chứng minh Giả sử xn → xw 0 trong X Vì A liên tục nên Axn → Axw 0 trong Y Mặt khác, {xn} hội tụ yếu ⇒ {xn} giới nội ⇒ {Axn} compact tương đối (vì Acompact) Ta sẽ chứng minh yn = Axn → y0 = Ax0
Trang 37Phản chứng: Giả sử yn 9 y0 Khi đó, tồn tại ε > 0 và dãy cony0
n của {yn}sao cho
Vì {Axn} compact tương đối nên y0
n compact tương đối Do đó, tồn tạidãy con y00
n ⊂ {yn}) Suy ra y0 = z0 và yn00 → y0
Mặt khác,y00
n ⊂ y0
n nên từ (2.2) suy ra yn00− y0 > ε, ∀n Do đó, yn00 9 y0
(Mâu thuẫn) Vậy yn → y0
Mệnh đề ngược của định lí trên được phát biểu như sau:
Định lí 2.4.11 Giả sử X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian địnhchuẩn và toán tử tuyến tính A : X → Y ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong Xthành dãy hội tụ mạnh trong Y Khi đó, A là toán tử compact
Chứng minh Phản chứng: Giả sử A không là toán tử compact Khi đó, A(SX[0, 1])không compact tương đối trong Y Suy ra tồn tại dãy {xn} ⊂ SX[0, 1] sao cho{Axn} ⊂ A(SX[0, 1]) không chứa dãy con hội tụ nào Do X phản xạ nên SX[0, 1]compact yếu theo dãy Suy ra tồn tại dãy con xnk của {xn} hội tụ yếu Khi
đó, Axnk hội tụ (theo giả thiết) (mâu thuẫn) Vậy A là toán tử compact.Định lí 2.4.12 (Schauder)
i) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tửcompact Khi đó, A∗ : Y∗ → X∗ là toán tử compact
ii) Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach,
A∗ là toán tử compact Khi đó, A là toán tử compact
Chứng minh Kí hiệu SX, SX∗∗ và SY∗ lần lượt là các hình cầu đơn vị trong X,
X∗∗ và Y∗
i) Giả sử A : X → Y là toán tử compact Khi đó, A(SX) compact trong Y ,đồng thời ∀f ∈ SY ∗, ∀y = Ax ∈ A(SX)(x ∈ SX)
f (y) = f (Ax)