PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN Phương trình Navier Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn, muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . .

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Giải tích Học viên thực hiện : Lâm Thúy Quyên Lớp : Cao học K19 Người hướng dẫn khoa học : PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí HÀ NỘI - 2013 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3. Biến đổi Fourier của Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Chương 2. Kiến thức cơ sở 17 2.1. Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Các không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Các không gian thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm . . . . 27 3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes 29 3.2. Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1 Lời nói đầu Phương trình Navier - Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn, muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . . chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càng trở nên thời sự và cấp thiết. Phương trình Navier - Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong R n (n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy R n . Ta đi tìm hàm vectơ vận tốc u(t, x) = (u i (t, x)), i = 1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ R n và thời gian t thỏa mãn phương trình Navier - Stokes như sau:                ∂u ∂t − νu = −(u · ∇)u −∇p, t > 0, ∇ ·u = 0, u(0, x) = u 0 (x), x ∈ R n . Ở đây, hàm vectơ u 0 (x) thỏa mãn ∇·u 0 = 0 và ν là một hệ số dương. Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây về nghiệm 2 mềm của phương trình Navier - Stokes trong một số không gian tới hạn với n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo. Cụ thể là, Chương 1 "Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes" trình bày về bài toán Cauchy của phương trình Navier - Stokes, khái niệm nghiệm và phép biến đổi Fourier đối với phương trình này. Nội dung của phần này được trình bày dựa trên [3]. Chương 2 "Kiến thức cơ sở" trình bày kiến thức về các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và các không gian Besov có liên quan. Nội dung của chương này dựa trên [10]. Chương 3 "Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm" trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes với điều kiện ban đầu trong các không gian ˙ H 1 2 , ˙ H 1 2 ∩ L ∞ , L 3 và L 3 ∩ L ∞ . Ngoài ra, luận văn còn trình bày định lý nghiệm mềm của Kato trong ˙ H s , s ≥ 1 2 và các định lý về tính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes. Nội dung của Chương 3 được trình bày dựa trên [8] và [10]. Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và những hiểu biết của bản thân còn hạn chế nên trong bản luận văn này em mới chỉ chứng minh được rõ ràng hơn một số điểm trình bày trong bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch ở Chương 3. Cuối cùng, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn ThS. Đào Quang Khải và các thầy cô phòng Phương trình vi phân đã quan tâm, giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn. 3 Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo trường THPT Chuyên Chu Văn An - Lạng sơn và các thầy cô giáo, cán bộ công nhân viên của Viện Toán học; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học K19 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Lâm Thúy Quyên 4 Chương 1 Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes 1.1 Phương trình Navier - Stokes Chúng ta nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình Navier - Stokes với ẩn hàm là vận tốc u(t, x) = (u 1 (t, x), u 2 (t, x), u 3 (t, x)) và áp suất p(t, x) của một chất lỏng nhớt không nén được (có hệ số nhớt được cho bởi hằng số ν xác định) lấp đầy R 3 :                ∂u ∂t − νu = −(u · ∇)u −∇p, t > 0, ∇ ·u = 0, u(0, x) = u 0 (x), x ∈ R 3 . (1.1) Ở đây, hàm vectơ u 0 (x) thỏa mãn ∇·u 0 = 0, còn  = 3  i=1 ∂ 2 ∂x 2 i là toán tử Laplace theo các biến không gian x ∈ R 3 . Ta sẽ giả thiết rằng độ nhớt ν bằng 1. Điều này có thể thực hiện được, mà không làm mất tính tổng quát, do cấu trúc bất biến của phương trình Navier - Stokes. Cuối cùng, do tính chất phân kỳ tự do ∇·u = 0, thể hiện tính không nén được 5 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes của chất lỏng, ta có thể viết (u ·∇)u = ∇·(u ⊗u). Nhận xét này là quan trọng vì tích của hai hàm suy rộng tăng chậm không luôn được xác định, trong khi đó chúng ta luôn luôn có thể lấy đạo hàm (theo nghĩa suy rộng) của một hàm L 1 loc . Do đó, ta chỉ cần đòi hỏi u ∈ L 2 loc để làm cho các số hạng bậc hai ∇· (u ⊗u) xác định tốt. Từ nay về sau, ta sẽ nói rằng một vectơ a = (a 1 , a 2 , a 3 ) thuộc không gian hàm X nếu a j ∈ X đối với mỗi j = 1, 2, 3 và ta đặt ||a|| = max 1≤j≤3 ||a j ||. Để được chính xác hơn, ta nên viết X(R 3 ) thay vì viết X (ví dụ v = (v 1 , v 2 , v 3 ) ∈ L 2 loc nghĩa là v j ∈ L 2 loc (R 3 ) đối với mỗi j = 1, 2, 3). Để tránh nhầm lẫn, nếu không gian không phải là R 3 (ví dụ nếu số chiều là hai) ta cũng sẽ viết nó một cách rõ ràng (nói X(R 2 )). Lý do tại sao chúng ta chủ yếu quan tâm đến toàn bộ không gian R 3 (hay tổng quát hơn R n , n ≥ 2) là do chúng ta sẽ sử dụng công cụ là phép biến đổi Fourier, nó dễ dàng hơn để xử lý trong toàn bộ không gian (hay là một không gian bị chặn với điều kiện tuần hoàn, so với một miền có biên). Sự chú ý của chúng ta sẽ tập trung vào sự tồn tại của nghiệm u(t, x) của (1.1) trong không gian C([0, T); X) gồm các hàm liên tục mạnh theo t ∈ [0, T ) với giá trị trong không gian Banach X gồm các hàm vectơ suy rộng. Tùy thuộc vào việc T sẽ hữu hạn (T < ∞) hay vô hạn (T = ∞) chúng ta sẽ có được tương ứng nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục (theo thời gian). Trước khi giới thiệu thiết lập các hàm thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi hệ (1.1) thành phương trình toán tử:        du dt − u = −P∇ ·(u ⊗ u), t > 0, u(0, x) = u 0 (x), x ∈ R 3 , (1.2) trong đó, với các vectơ u và v, chúng ta định nghĩa tensor của chúng u ⊗ v bởi 6 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes (u ⊗ v) ij = u i v j và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự do định nghĩa như sau. Ta đặt: D j = −i ∂ ∂x j , j = 1, 2, 3; i 2 = −1, (1.3) và chúng ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi R j = D j (−) − 1 2 , j = 1, 2, 3. (1.4) Đối với một trường vectơ tùy ý u(x) = (u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x)) trên R 3 , ta đặt z(x) = 3  k=1 (R k u k )(x) (1.5) và định nghĩa toán tử P bởi (Pu) j (x) = u j (x) −(R j z)(x) = 3  k=1  δ jk − R j R k  u k , j = 1, 2, 3. (1.6) Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier và viết (  Pu) j (ξ) = 3  k=1  δ jk − ξ j ξ k |ξ| 2  u k (ξ), j = 1, 2, 3. (1.7) Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong (1.1) đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho u (∇.u = 0) được thỏa mãn. Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm S(t) = exp(t), (1.8) ta có thể đưa phương trình toán tử (1.2) thành phương trình tích phân như sau u(t) = S(t)u 0 − t  0 S(t −s)P∇ ·(u ⊗ u)(s)ds. (1.9) 7 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes Chúng ta sẽ không chứng minh chặt chẽ cho chuyển tiếp hình thức từ (1.1) → (1.2) → (1.9). Chúng ta sẽ bắt đầu từ (1.9) và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm u(t, x) của nó. Từ nay sự chú ý của chúng ta về cơ bản sẽ dành cho việc nghiên cứu phương trình tích phân (1.9) và do chúng ta chỉ xem xét trường hợp của cả không gian R 3 nên nửa nhóm S(t) trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt exp(t). Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu S(t)u 0 := exp(t)u 0 , (1.10) và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình B(u, v)(t) := − t  0 exp((t −s))P∇ · (u ⊗v)(s)ds. (1.11) Chúng ta hãy chú ý ở đây rằng có một loại tương tác trong số hạng tích phân này giữa ảnh hưởng chính quy hóa được biểu diễn bởi nửa nhóm nhiệt S(t − s) và sự mất tính chính quy đến từ toán tử vi phân ∇ và từ phép nhân từng điểm u ⊗ v. Sự mất đi tính chính quy này được minh họa bằng ví dụ đơn giản sau: nếu hai (vô hướng) hàm f và g trong H 1 , tích của chúng chỉ thuộc về H 1/2 và đạo hàm của chúng ∂(fg) thậm chí còn ít chính quy hơn nếu nó trong H −1/2 . 1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu Sự tồn tại của nghiệm toàn cục phụ thuộc theo thời gian vẫn chưa được chứng minh và cũng không bị bác bỏ cho trường hợp ba chiều với điều kiện ban đầu đủ tổng quát; nhưng như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, một nghiệm chính quy, toàn cục sẽ tồn tại khi giá trị ban đầu là dao động cao hay đủ nhỏ 8 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes trong một số không gian hàm. Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trình Navier-stokes", bởi vì, kể từ khi chúng xuất hiện trên bài báo tiên phong của J. Leray, từ "nghiệm" đã được sử dụng trong một ý nghĩa nhiều hoặc ít tổng quát hơn. Chúng ta sẽ hiểu nó theo nghĩa chung cổ điển của phương trình vi phân thường theo t với giá trị trong không gian gồm các hàm suy rộng tăng chậm S  , để có thể sử dụng các công cụ biến đổi Fuorier. Giải thích này được đề xuất bởi các khái niệm về nghiệm trong nghĩa suy rộng được sử dụng trong phương trình. Tiếp theo, chúng ta sẽ yêu cầu không gian hàm X, mà giá trị ban đầu u 0 thuộc vào nó, thỏa mãn X → L 2 loc , để có thể đưa ra một hàm theo nghĩa suy rộng đối với số hạng phi tuyến (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nói chung, ta sẽ yêu cầu u ∈ L 2 loc ([0, T ); R 3 ). Ta có thể liệt kê được rất nhiều định nghĩa khác nhau của nghiệm chỉ phân biệt bởi lớp các hàm mà chúng thuộc về cổ điển, mạnh, mềm, yếu, rất yếu, yếu đều hay nghiệm địa phương Leray của phương trình Navier - Stokes. Chúng ta sẽ không trình bày tất cả các định nghĩa có thể có ở đây mà tập trung vào ba trường hợp: nghiệm cổ điển (J. Hadamard), nghiệm yếu (J. Leray) và nghiệm mềm (K. Yosida). Định nghĩa 1.2.1. Một nghiệm cổ điển (u(t, x), p(t, x)) của phương trình Navier - Stokes là một cặp các hàm u : t → u(t) và p : t → p(t) thỏa mãn hệ (1.1), mà tất cả các số hạng xuất hiện trong phương trình là các hàm liên tục của đối số của chúng. Chính xác hơn, nghiệm cổ điển là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn: u(t, x) ∈ C([0, T); E) ∩ C 1 ([0, T ); F ), (1.12) E → F (nhúng liên tục), (1.13) 9 [...]... nghiệm mềm 3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes Trong phần này, chúng ta trình bày các kết quả về sự tồn tại địa phương của nghiệm của phương trình Navier - Stokes Mục tiêu trong những gì trình bày sau đây là thiết lập sự tồn tại của nghiệm "địa phương" cho (3.1) trong một số (không gian thời gian) không gian Banach X = XT của các hàm xác định trong R3 × [0, T ) đối với một T > 0... số hạng song tuyến tính phát sinh từ phương trình Navier- Stokes được xem xét hệ thống trong tất cả các bài báo dựa trên cơ sở bất đẳng thức năng lượng, đặc biệt B(u, u), u = 0 miễn là · u = 0 Trong thực tế, B(u, u) không bao giờ thuộc không gian là không gian đối ngẫu của một không gian chứa u Một cách rõ ràng hơn, trong các tài liệu liên quan đến sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mềm của phương trình. .. xét một trường hợp đặc biệt của các không gian gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, đó là các không gian gồm các hàm khả tích địa phương, là không gian được yêu cầu bất biến với phép nhân từng điểm với các hàm liên tục bị chặn Định nghĩa 2.1.4 Một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép... phân (1.9) Theo phương án này, phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu bởi phương pháp nửa nhóm như trong các bài báo tiên phong của K Yosida Chính xác hơn nghiệm mềm được định nghĩa theo cách sau Định nghĩa 1.2.3 Một nghiệm mềm u của phương trình Navier - Stokes thỏa mãn phương trình tích phân (1.9) và do đó mà u(t, x) ∈ C([0, T ); PX), (1.19) trong đó, X là không gian Banach gồm các hàm suy rộng... đây, chúng ta định nghĩa các không gian Besov trên một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến đối với phép tịnh tiến, theo một cách s,q tương tự như đối với trường hợp các không gian Besov Bp dựa trên cơ sở các không gian Lebesgue Lp Định nghĩa 2.2.2 Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng s,q bất biến với phép tịnh tiến Đối với σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Besov BE s,q σ σ được... tính bị chặn từ E (∗) × Cb vào E (∗) 2.2 Các không gian Besov Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu các không gian thế vị trên một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến Định nghĩa 2.2.1 Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất σ biến với phép tịnh tiến Khi đó, đối với σ ∈ R, không gian HE được định nghĩa là không gian (Id − )−σ/2 E , được trang bị chuẩn ||f... ||E (c) S∞ (R3 ) là trù mật trong E B) Một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach E , có tôpô đối ngẫu là không gian Banach thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E (∗) Không gian E (0) gồm các phần tử trơn của E được định nghĩa là bao đóng của S∞ (R3 ) trong E Bổ đề 2.3.1 Cho E là một không gian Banach thuần nhất bất... ta trình bày cách vận dụng biến đổi Fourier để nghiên cứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phương trình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thu được phương trình tích phân (1.9), rất giống với (1.22), dẫn đến khái niệm về một phương trình mềm và một nghiệm mềm Nếu chúng ta sử dụng các biến đổi Fourier một lần nữa, ý tưởng thứ hai đến với chúng... thiệu về phương trình Navier - Stokes Như vậy, Θ là giải tích, dáng điệu giống như O(|x|−4 ) ở vô cực (điều này cũng có thể được suy ra bởi [12] với α = 4 và β = 0) và tích phân của nó bằng không 16 Chương 2 Kiến Thức Cơ sở 2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến Định nghĩa 2.1.1 A) Một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử là một không gian Banach... 17 Chương 2 Kiến Thức Cơ sở không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến E thì S(R3 ) ⊂ E (0) ⊂ E ⊂ S (R3 ) Đặc biệt, E (0) là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử Mệnh đề 2.1.1 (Tích chập trong các không gian gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến) Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử hoặc suy rộng và . tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càng trở nên thời sự và cấp thiết. Phương trình Navier - Stokes. Fourier để nghiên cứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phương trình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thu được phương trình tích phân (1.9),. nhỏ 8 Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes trong một số không gian hàm. Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trình Navier- stokes& quot;, bởi vì, kể