PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEMVỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Bùi Thanh Tú Hà Nội - 2015 Mục lục Giới thiệu tổng quan Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ 2.2 Nội suy hàm giá trị 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 10 2.4 Số hạng phi tuyến 13 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes 15 Kết số 18 Chương Giới thiệu tổng quan Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes toán nhà khoa học quan tâm Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng phi tuyến xuất tích phân miền Có nhiều phương pháp khác để giải số hạng phi tuyến Zheng et al [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power Partridge [7] sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM) Nhưng kết hợp BEM DRM giải toán dòng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ 40 hay 100 Bằng phương pháp phân chia miền [4, 8] Power Mingo giải toán cho số Reynolds cao với độ xác cao Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM xấp xỉ đạo hàm vận tốc số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính sở tạo phương trình đại số tuyến tính với số phương trình lơn số ẩn làm tăng độ phức tạp toán Bên cạnh đó, phương pháp không lưới kết hợp với phương trình tích phân biên quan tâm rộng rãi tính xác mà phương trình tích phân biên mang lại Trong phương pháp không lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa Zhu et al [12, 13] giải toán Poison toán phi tuyến dựa xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối thiểu với ý tưởng tạo biên địa phương nút Sau Sellountos Sequeira [10] dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến Gần đây, Popov Bui [5] đưa phương pháp không lưới dựa phương trình tích phân biên hàm bán kính sở (RBIEM) để giải toán khuếch tán nhiễu, phương trình tích phân biên áp dụng miền địa phương tương ứng với nút Khi RBIEM tạo hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình số ẩn để giải, ma trận hệ số ma trận thưa RBIEM áp dụng để giải hệ phương trình Navier-Stokes, với nút miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng ∂ ui hàm bán kính sở vận tốc ∂ xh Ý tưởng phương pháp RBIEM xây dựng miền địa phương ứng với nút bên biên miền tính toán Về lý thuyết, miền địa phương có hình dạng Khi để tích phân biên miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành phần tử, tích phân biên địa phương tính phần tử sau ghép lại Trên thực tế, để thuận tiện trình tính toán, miền RBIEM tạo miền tròn Nhưng đó, để tính tích phân biên dùng phương pháp khác đơn giản hiệu việc phân rã biên Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến đề xuất Để thuận tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến m-RBIEM (modified RBIEM) Để tính tích phân biên miền con, thay việc rời rạc biên thành phần tử cách thêm vào nút biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp tích phân miền có dạng hình tròn Phương pháp m-RBIEM đưa lời giải số xác hơn, tiết kiệm thời gian tính toán dễ dàng việc lập trình giải toán thực tế Cấu trúc luận văn trình bày sau: - Chương 1: Giới thiệu tổng quan phương pháp không lưới dùng phương trình tích phân biên - Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes - Chương 4: Kết số Chương Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) kết hợp với phương pháp phương trình tích phân biên BEM (Boundary Element Method) dùng để chuyển số hạng tích phân miền thành tích phân biên giải phương trình Navier-Stokes Xét phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng không nén được: ρ ∂ ui ∂ ui ∂ σ i j + ρu j = + ρ Fi ; ∂t ∂xj ∂xj (2.1) ∂ ui = 0, ∂ xi đó: ui : thành phần vectơ vận tốc theo hướng i; ρ : mật độ; Fi : lực tác động theo hướng i; σi j : tensơ ứng suất tương ứng trường vận tốc áp suất (ui , p) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Với chất lỏng Newton ta có: ( σi j = −pδi j + µ ) ∂ ui ∂ u j + , ∂ x j ∂ xi (2.2) đó: p: áp suất chất lỏng; δi j : ký hiệu Kronecker; µ : hệ số nhớt Phương trình Navier-Stokes cho điểm x miền Ω đóng biên S dạng tích phân đưa Ladyzhenskaya (1963): ∫ uk (x) = tki∗ (x, y) ui (y) dSy − S ∫ u∗ki (x, y)ti (y) dSy + ∫ u∗ki (x, y) gi dΩ, (2.3) Ω S đó: gi = ρ u j ui, j : số hạng phi tuyến; ti = σi j n j , n j : vectơ pháp tuyến hướng ngoại miền S; uki : trường nghiệm vectơ vận tốc phương trình Stokes Trong trường hợp hai chiều nghiệm u∗ki qk có dạng: u∗ki (x, y) = − [ ( ) ] 1 (xi − yi ) (xk − yk ) ln δik + ; 4π µ r r2 (2.4) qk (x, y) = − (xk − yk ) , 2π r2 r = |x − y| Nghiệm tki∗ có dạng: tki∗ ( ) (xi − yi ) (xk − yk ) x j − y j =− n j πr r3 (2.5) Khai triển số hạng gi (x) để xấp xỉ tích phân miền phương trình (2.3) thành tích phân biên dạng: ND gi (x) = ∑ f m (x) αlm δil , m=1 (2.6) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ f m (x) hàm bán kính sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xấp xỉ x điểm lân cận ym , m = 1, , N Hàm f m (x) phụ thuộc vào giá trị R = |x − ym | khoảng cách từ điểm x đến điểm lân cận ym Hệ số αlm chưa biết xác định cách áp dụng phương trình (2.6) cho ND nút lân cận ym , m = 1, ND Khi đó: ∫ u∗ki (x, y) gi (y) dΩ = ND ∑ αlm m=1 Ω ∫ u∗ki (x, y) f m (x) δil dΩ (2.7) Ω ( ) lm (x) cho phương trình: Trường vận tốc áp suất bổ sung uˆlm (x) , p ˆ i µ ∂ uˆlm ∂ uˆlm ∂ pˆlm (x) i (x) − = f m (x) δil ; i = ∂ x j∂ x j ∂ xi ∂ xi (2.8) ( ) lm Trong biểu thức giải tích cho trường Stokes uˆlm i (y) , pˆ (y) tương ứng với hàm xấp xỉ được đưa phương pháp tiếp cận đề xuất Power Wrobel Khi trường vận tốc lực kéo bổ trợ tìm sau: uˆlm i (x) = 96 ( [( )] ) 2 5R log R − R δil − xˆi xˆl 4R log R − R , 3 (2.9) trường hợp f m (x) = r2 log r, với xˆ = x − ym R = ∥x − ym ∥ Biểu thức lực kéo bổ trợ tương ứng là: tˆilm (x) = σilj (x) n j (x) [ ( )] [ ( )] ( ) 1 1 8r xˆi nl + xˆ j n j δil + xˆl ni × log R − − 4xˆi xˆl xˆ j n j log R + = 96 96 (2.10) ( lm ) Áp dụng định lý Green cho trường vận tốc uˆi (x) , pˆlm (x) ta có: ∫ uˆlm i (x) = S tki∗ (x, y) uˆlm i (y)dSy − ∫ u∗ki (x, y)tˆilm (y) dSy + ∫ Ω S u∗ki (x, y) f m (y) δil dΩ (2.11) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ ( ) Trong tˆilm cho tˆilm (y) = σi j u∗ki (y) , pˆlm (y) n j (y) Tích phân miền (2.3) viết dạng: ∫ u∗ki (x, y) f m (y) δil dΩ = − Ω ∫ tki∗ (x, y) uˆlm i (y) dSy + ∫ S u∗ki (x, y) tˆilm (y) dSy + uˆlm i (x) S Thay (2.15) (2.7) vào (2.3) với ti = −pni + µ n j ( ∂ ui ∂xj + ∂uj ∂ xi (2.12) ) dẫn đến phương trình cho vận tốc ui điểm x gồm tích phân biên liên hệ trường vận tốc, áp suất đạo hàm riêng vận tốc: ( )] [ ∂ ui (y) ∂ u j (y) uk (x) − −p (y) ni + µ n j + dSy ∂xj ∂ xi S S  ∫  ∫  ND ∗ lm lm ˆ = ∑ αlm − tki∗ (x, y) uˆlm (y) dS + u (x, y) t (y) dS + u ˆ (x) y y i i i ki   m=1 ∫ tki∗ (x, y) ui (y) dSy + ∫ u∗ki (x, y) S S (2.13) Đạo hàm phương trình (2.16) theo biến xh (h=1,2) ta được: [ ( )] ∫ ∫ ∂ tki∗ (x, y) ∂ u∗ki (x, y) ∂ uk (x) ∂ ui (y) ∂ u j (y) = ui (y) dSy − −p (y) ni + µ n j + dSy ∂ xh ∂ xh ∂ xh ∂xj ∂ xi S S  ∫ ∫  ND lm ∗ ∗ ∂ uˆk (x)  ∂ tki (x, y) lm ∂ uki (x, y) lm m + ∑ αl − uˆi (y) dSy + tˆi (y) dSy +  ∂ xh ∂ xh ∂ xh  m=1 S S (2.14) Rời rạc hóa biên S, phương trình (2.16), (2.17) cho ta công thức tính giá trị vận tốc đạo hàm riêng thành phần vận tốc theo biến x1 , x2 nút n: Na Na [ ( unk − ∑ Hkia uai + ∑ Gaki −pa ni + µ n j a=1 { a=1 ND = ∑ αlm m=1 Na −∑ a=1 Na Na ∑ Hkia uˆlma + i = ∑ αlm m=1 a Gakitˆilms + uˆlmn k )] (2.15) a=1 Na [ ( a unk,h − ∑ Hki,h uai + ∑ Gaki,h −pa ni + µ n j a=1 { a=1 ND ∂ uai ∂ u j + ∂ x j ∂ xi } Na Na a=1 a=1 ∂ uai ∂ u j + ∂ x j ∂ xi } a − ∑ Hki,h uˆlma + ∑ Gaki,htˆilma + uˆlmn i k,h a )] (2.16) 2.2 NỘI SUY HÀM GIÁ TRỊ a , Ga hệ số kèm với vận tốc đạo hàm thành phần vận Trong Hkia , Gaki , Hkih kih a , Ga thu từ tích phân phần tử biên tốc theo biến x1 , x2 Các hệ số Hkia , Gaki , Hki,h ki,h phân rã phương trình (2.16), (2.17) Giá trị unk , unk,h công thức (2.16), (2.17) giá trị vận tốc đạo hàm thành phần vận tốc theo biến x1 , x2 nút a, (a=1, , Na ) biên tròn địa phương Các biến thu nhở phép xấp xỉ nội suy dùng hàm bán kính sở RBF trình bày mục 2.2 Nội suy hàm giá trị ∂ ui (y) ∂ u j (y) , , p(y) xác ∂xj ∂ xi định hàm bán kính sở f (y, zs ) để nội suy giá trị xung quanh nút zs , s = 1, , NA : Những giá trị hàm chưa biết biên tròn miền ui (y), NA ∂ u j (y) NA ∂ ui (y) NA = ∑ f (y, zs )γis , = ∑ f (y, zs )ζis , p (y) = ∑ f (y, zs )εs , ui (y) = ∑ f (y, zs )βis , ∂xj ∂ xi s=1 s=1 s=1 s=1 (2.17) NA đó: βis , γis , ζis , εs xác định cho nút y = zt , t = 1, , NA Suy ra: uti = NA ∑ Ftsβis, t=1 Với: uti = ui (zt ) , NA NA NA ∂ utj ∂ uti = ∑ Fts γis , = ∑ Fts ζis , pt = ∑ Fts εs ∂ x j t=1 ∂ xi t=1 t=1 (2.18) t ∂ uti ∂ ui (zt ) ∂ u j ∂ u j (zt ) t = , = , p = p (zt ) ∂xj ∂xj ∂ xi ∂ xi Suy ra: βis = NA ∑ t=1 Rts uti , γis NA NA ∂ utj ∂ uti = ∑ Rts , ζis = ∑ Rts , εs = ∑ Rts pt , ∂xj ∂ xi t=1 t=1 t=1 NA (2.19) đó: Rts = [Fts ]−1 Suy ra: NA NA ui (y) = ∑ ∑ f (y, zs)Rtsuti , (2.20) s=1 t=1 NA NA ∂ uai ∂ ut = ∑ ∑ Fsa Rts i , ∂ x j s=1 t=1 ∂xj ∂ uaj ∂ xi NA NA = ∑ ∑ FsaRts s=1 t=1 ∂ utj ∂ xi , (2.21) (2.22) 2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM NA NA p (y) = ∑ ∑ f (y, zs)Rts pt (2.23) s=1 t=1 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM Phương pháp RBIEM đưa vào ẩn nút gồm thành phần vectơ vận tốc u1 , u2 , ∂ u1 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u2 ∂ x1 , ∂ x2 , ∂ x1 , ∂ x2 đạo hàm riêng thành phần vectơ theo biến x1 , x2 : áp suất p Tại nút phương trình tương ứng với ẩn tạo Khi RBIEM tạo hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình số ẩn Giá trị unk , unk,h nút n biên địa phương công thức (2.18), (2.19) thu cách áp dụng công thức (2.23), (2.24), (2.25) tương ứng với nút y nút a biên địa phương, ta có: uai = NA NA ∑ ∑ FsaRst uti , (2.24) s=1 t=1 NA NA ∂ uai = ∑ ∑ Fsa Rts uti , ∂ x j s=1 t=1 ∂ uaj ∂ xi a (2.25) NA NA ∑ ∑ FsaRtsutj , = p = (2.26) s=1 t=1 NA NA ∑ ∑ FsaRts pt (2.27) s=1 t=1 Thay công thức (2.27), (2.28), (2.29), (2.30) vào (2.18), (2.19) ta có giá trị vận tốc đạo hàm thành phần vận tốc theo biến x1 , x2 nút cho trước miền tính toán sau: unk = Na NA NA [ Na NA NA ∑ ∑ ∑ Hkia FsaRtsuti − ∑ ∑ ∑ GakiFsaRts −pt ni + µ n j a=1 s=1 t=1 a=1 s=1 t=1 { } ND Na Na + αlm − Hkia uˆlma + Gakitˆilms + uˆlmn , i k m=1 a=1 a=1 ∑ ∑ ∑ ( ∂ uti ∂ u j + ∂ x j ∂ xi t )] (2.28) 2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM unk,h = Na NA NA [ Na NA NA a Fsa Rts uti − ∑ ∑ ∑ Gaki,h Fsa Rts ∑ ∑ ∑ Hki,h a=1 s=1{ t=1 a=1 s=1 t=1 } ND Na Na a + αlm − Hki,h uˆlma + Gaki,htˆilms + uˆlmn i k m=1 a=1 a=1 ∑ ∑ ( −pt ni + µ n j ∂ uti ∂ u j + ∂ x j ∂ xi t )] ∑ (2.29) Đặt: NA NA s lms lmn Tklmn = − ∑ Hkis uˆlms i + ∑ Gkitˆi + uˆk , s=1 lmn Tk,h NA =−∑ (2.30) s=1 NA s Hki,h uˆlms i + s=1 ∑ Gski,htˆilms + uˆlmn k,h (2.31) s=1 Từ phương trình (2.31), (2.33) ta có phương trình cho vận tốc theo phương i nút n biểu diễn qua vận tốc, áp suất đạo hàm vận tốc nút a biên S unk = Na NA NA ∑ ∑ ∑ Hkia FsaRtsuti a=1 s=1 t=1 Na NA NA −∑ ∑∑ ( [ Gaki Fsa Rts −p ni + µ n j t a=1 s=1 t=1 ∂ uti ∂ u j + ∂ x j ∂ xi t )] ND + ∑ (2.32) αlm Tklmn m=1 Từ phương trình (2.32), (2.43) ta có phương trình cho đạo hàm riêng thành phần thứ i vectơ vận tốc theo biến xh nút n biểu diễn qua vận tốc, áp suất, đạo hàm vận tốc nút a biên S unk,h = Na NA NA a Fsa Rts uti ∑ ∑ ∑ Hki,h a=1 s=1 t=1 Na NA NA −∑ ∑∑ Gaki,h Fsa Rts ( [ −p ni + µ n j t a=1 s=1 t=1 ∂ uti ∂ u j + ∂ x j ∂ xi t )] ND + ∑ (2.33) lmn αlm Tk,h m=1 Sử dụng phép xấp xỉ DRM kết hợp với phương trình tích phân biên cho áp suất, ta có phương trình tích phân biên cho áp suất: [ ( )] ∫ ∂ uk (y) ∂ u j (y) ∂ qk (x, y) p (x) = q (x, y) −p (y) nk + µ n j + dSy − 2µ uk (y) n j (y) dSy ∂xj ∂ xk ∂xj S { S} ND ∫ k ∫ ∂ qk (x,y) lm m lm lm + ∑ αl pˆ (x) + q (x, y)tˆk (y) dSy + ∂ x j uˆk (y) n j (y) dSy ∫ k m=1 S S (2.34) 10 2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM Rời rạc hóa biên S, áp suất điểm n tính công thức sau: [ Na ( pn = − ∑ Qka −pa nk + µ n j a=1 ( ND + ∑ αlm m=1 Na pˆ (x) + ∑ lm )] ∂ uak ∂ uaj + ∂ x j ∂ xk Qkatˆklma + 2µ a=1 Na ∑ − 2µ Pjka uak naj ) a Pjka uˆlma k nj (2.35) a=1 Kết hợp với phương trình (2.27), (2.28) (2.29) (2,30) ta được: [ Na NA NA pn = − ∑ ∑ ∑ QkaFsaRts ( −pt nk + µ n j a=1 a=1 t=1 Na NA NA −2µ ND + ∂ utk ∂ utj + ∂ x j ∂ xk ∑ ∑ ∑ PjkaFsaRtsutk naj a=1 s=1 ( t=1 ∑ αlm m=1 )] (2.36) Na pˆlm (x) + ∑ Qkatˆklma + 2µ a=1 ) Na a ∑ Pjkauˆlma k n a=1 Đặt: Na Slmn = pˆlm (x) + ∑ Qkatˆklma + 2µ a=1 Na a ∑ Pjkauˆlma k n (2.37) a=1 Từ phương trình (2.39), (2.40) ta có áp suất điểm n tính qua nút xung quanh: Na NA NA pn = − ∑ [ ∑ ∑ QkaFsaRts −pt nk + µ n j a=1 s=1 t=1 Na NA NA −2µ ( ∂ utk ∂ utj + ∂ x j ∂ xk ND )] (2.38) ∑ ∑ ∑ PjkaFsaRtsutk naj + ∑ αlmSlmn a=1 s=1 t=1 m=1 Hệ số chưa biết αlm phương trình (2.35), (2.36), (2.41) xác định cách xây dựng hệ phương trình từ phương trình (6) cho nút yk , k = 1, n: ( ) gi yk = ND ∑ ) ( f yk , ym αlm δil , l = 1, 2; i = 1, (2.39) m=1 Kí hiệu F ma trận mà thành phần cho Fil (yk , ym ) = f (yk , ym )αlm δil , [ ]−1 αlm = Fil (yk , ym ) gi (yk ) Kết hợp với gi = u j ∂∂ xuij , ta có: [ ]−1 ∂ u i αlm = Fil (yk , ym ) u j ∂xj 11 (2.40) 2.4 SỐ HẠNG PHI TUYẾN Khi phương trình (2.35), (2.36), (2.41) xuất số hạng phi tuyến thay giá trị αlm biểu thức (2.43) 2.4 Số hạng phi tuyến Việc xác định hệ số chưa biết αlm thực cách xây dựng phương trình thu áp dụng phương trình (2.6) điểm yk : ) ( ) N+A ( k k m gi y = ∑ f y , y αlm δil , (2.41) m=1 đó: k = 1, , N, l = 1, i = 1, Kí hiệu: Fil (yk , ym ) = f (yk , ym )δil (2.42) Phương trình (2.44) viết sau: gi (yk ) = N+A ∑ Fil (yk , ym)αlm (2.43) m=1 Khi hệ số chưa biết αlm xác định cách nghịch đảo (2.46) [ ( )]−1 αlm = Fil yk , ym gi (yk ) (2.44) Thuật toán thiết lập phải liên quan đến giá trị gi (yk ) với giá trị vectơ vận tốc Số hạng gi (yk ) có dạng: gi (x) = u j (x) ∂ ui (x) ∂xj (2.45) Vận tốc ui (x) xấp xỉ sau: ui (x) = Fip (x, yn )β pn , n = 1, , N + A 12 (2.46) 2.4 SỐ HẠNG PHI TUYẾN Hệ số β pn cho nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính thu từ phương trình điểm nút x = ys , s = 1, 2, , N β pn = [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys ) (2.47) Lấy vi phân hai vế phương trình cho ta: [ ] ∂ Fip (x, yn ) n ∂ ui (x) = βp ∂xj ∂xj (2.48) Thay phương trình (2.50) vào phương trình trên: ∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn ) = [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys ) ∂xj ∂xj (2.49) Các đạo hàm trường vận tốc xấp xỉ tích phân có dạng phương trình (2.17) Để xấp xỉ số hạng phi tuyến gi (x), phương trình (2.52) sử dụng thay cho phương trình (2.17) Đó có tồn số hạng phi tuyến phương trình (2.17) Thay phương trình (2.52) phương trình (2.46), số hạng phi tuyến gi (x) xấp xỉ sau: gi (x) = u j (x) ∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn ) = [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )u j (x) ∂xj ∂xj (2.50) Cuối thay phương trình (2.53) phương trình (2.47) cho ta biểu thức hệ số αlm αlm s n −1 = [Fil (y , y )] [ ] ∂ Fip (x, yn ) [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )u j (yk ) ∂xj 13 (2.51) Chương Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier-Stokes Để tính tích phân biên miền địa phương tròn phương trình (2.16), (2.17), (2.37), thay cho việc rời rạc biên thành phần tử cách thêm vào nút biên, phương pháp m-RBIEM tính toán trực tiếp tích phân biên cách tham số hóa biến hệ tọa độ cực Thay vào công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) vào công thức (2.16), (2.17), (2.37) ta được: Ns +3 Ns uk (x) = − ∑∑ ∫ s=1 t=1 S ∫ Ns +3 Ns ∑ ∑µ tki∗ (x, y) f (y, zs ) Rts uti dSy + u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts n j s=1 t=1 ∂ uti ∂xj Ns +3 Ns ∑∑ ∫ u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts pt ni dSy s=1 t=1 S Ns +3 Ns dSy − ∑ ∑µ s=1 t=1 ∫ u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts n j S S   ∫  ∫  ∗ lm lm ˆ + ∑ αlm − tki∗ (x, y) uˆlm (y) dS + u (x, y) t (y) dS + u ˆ (x) y y i i i ki   m=1 ∂ utj ∂ xi dSy Ns +3 S S (3.1) 14 ∂ uk (x) ∂ xh Ns +3 Ns ∑∑ = ∫ s=1 t=1 S Ns +3 Ns Ns +3 Ns ∂ tki∗ (x, y) f (y, zs ) Rts uit dSy + ∑ ∑ ∂ xh s=1 t=1 ∫ ∂ u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts pt ni dSy ∂ xh S Ns +3 Ns ∫ ∂ u∗ki (x,y) ∂ uti (y, zs ) Rts n j ∂ x j dSy − ∑ ∑ µ ∂ xh s=1 t=1 S ∫ ∂ u∗ki (x,y) ∂ ut − ∑ ∑µ f (y, zs ) Rts n j ∂ xij dSy ∂ xh f s=1 t=1 S   ∫  ∫ ∂ t ∗ (x, y) Ns +3 lm ∗ ∂ uˆk (x)  ∂ uki (x, y) lm ki ˆ + ∑ αlm − uˆlm (y) dS + t (y) dS + y y i i  ∂ xh ∂ xh ∂ xh  m=1 S Ns +3 Ns p (x) = ∑∑ ∫ S qk (x, y) f (y, zs ) Rts pt nk dSy − s=1 t=1 S Ns +3 Ns ∫ − µ qk (x, y) n ∑ ∑ s=1 t=1 S Ns +3 + ∑ m=1 j f (y, zs ) Rts  αlm  pˆlm (x) + ∫ ∂ utj (y) ∂ xk dSy − Ns +3 Ns ∑∑ s=1 t=1 S Ns +3 Ns ∑ ∑ 2µ s=1 t=1 qk (x, y) tˆklm (y) dSy + 2µ S ∫ ∫ Hkis µ qk (x, y) n j f (y, zs ) Rts ∫ ∂ qk (x,y) S ∂xj ∂ qk (x, y) S Đặt: (3.2) ∫ ∂xj ∂ utk (y) ∂xj dSy f (y, zs ) Rts utk n j dSy   uˆlm k (y) n j (y) dSy (3.3) tki∗ f (y, zs ) dSy (3.4) ∂ tki∗ f (y, zs ) dSy ∂ xh (3.5) u∗ki f (y, zs ) ni dSy (3.6) ∂ u∗ki f (y, zs ) ni dSy ∂ xh (3.7) u∗ki f (y, zs ) n j dSy (3.8) ∂ u∗ki f (y, zs ) n j dSy ∂ xh (3.9) = S ∫ s Hki,h = ∫ S Gsk = S ∫ Gsk,h = S ∫ G¯ ski j = S ∫ G¯ ski j,h = Tklm =− ∫ S tki∗ uˆlm i dSy + ∫ S lm Tk,h =− ∫ S u∗kitˆilm dSy + uˆlm k (3.10) S ∂ tki∗ lm uˆ dSy + ∂ xh i 15 ∫ S ∂ uˆlm ∂ u∗ki lm tˆi dSy + k ∂ xh ∂ xh (3.11) ∫ s Q = qk (x, y) f (y, zs ) nk dSy (3.12) qk (x, y) f (y, zs ) n j dSy (3.13) ∂ qk (x, y) f (y, zs ) n j dSy ∂xj (3.14) S ∫ Q¯ ks j = S ∫ ks P = S ∫ Slm = pˆlm (x) + qk (x, y) tˆklm (y) dSy + 2µ S ∫ S ∂ qk (x, y) lm uˆk (y) n j (y) dSy ∂xj (3.15) Từ suy ra: Ns +3 Ns uk (x) = ∑ ∑ Hkis Rtsuti + s=1 t=1 Ns +3 Ns − Ns +3 Ns ∑ ∑ Gsk Rts pt − s=1 t=1 ∂ utj Ns +3 ∑ ∑ µ G¯ ski j Rts ∂ xi + ∑ s=1 t=1 ∑ − s Rts uti + ∑ Hki,h s=1 t=1 Ns +3 Ns ∑∑ µ G¯ ski j,h Rts s=1 t=1 ∑ ∑ µ G¯ ski j Rts s=1 t=1 ∂ uti ∂xj αlm Tklm Ns +3 Ns ∑ ∑ Gsk,hRts pt − s=1 t=1 ∂ utj Ns +3 ∂ xi + ∑ ∂u ∑ µ G¯ ski j,hRts ∂ x ij t=1 Ns +3 Ns ∑ s=1 s t (3.17) lm αlm Tk,h m=1 ∂ uk (y) p (x) = ∑ ∑ Q Rts pt − ∑ ∑ µ Q¯ ks j Rts ∂xj s=1 t=1 s=1 t=1 t Ns +3 Ns N +3 N Ns +3 s s ∂ u j (y) ks t − ∑ ∑ µ Q¯ ks R − µ P R u + αlm Slm ts k ∑ ∑ ∑ j ts ∂ x k s=1 t=1 s=1 t=1 m=1 Ns +3 Ns (3.16) m=1 Ns +3 Ns uk,h (x) = Ns +3 Ns Ns +3 Ns t (3.18) Để tính tích phân từ (3.4)-(3.15), tọa độ điểm y = (y1 , y2 ) biên tròn Si , bán kính r tham số bởi: y1 = x1 + r cos θ ; y2 = x2 + r sin θ ; θ ∈ (0; 2π ) đó: n1 = cos(θ ), n2 = sin(θ ) Các phương trình (3.16), (3.17), (3.18) sử dụng cho phương pháp m-RBIEM Những phương trình đơn giản so với phương trình (2.35), (2.36), (2.41) 16 Chương Kết số Phần đưa lời giải số phương pháp m-RBIEM với toán dòng chảy qua hình hộp vuông không gian chiều Đây toán dùng để kiểm tra tính xác phương pháp số giải toán chất lỏng Bài toán phát biểu sau: Cho dòng chất lỏng ổn định qua mặt hình hộp với vận tốc theo phương ngang số, vận tốc theo phương dọc không Điều kiện không trượt không thấm áp dụng mặt lại hình vuông Phương pháp m-RBIEM sử dụng để giải toán với hai trường hợp số Reynolds Re=100 Re=400 Lời giải số cho m-RBIEM so sánh với lời giải Ghia [2], dùng phương pháp sai phân hữu hạn với lưới có độ mịn cao Bài toán giải cới trường hợp dùng 529 nút 1369 0.5 0.2 0.4 Ghia RBIEM RBIEM−Old 0.15 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 0 −0.05 −0.1 −0.1 −0.2 −0.2 Ghia RBIEM RBIEM−Old −0.4 −0.5 −0.4 Re = 100 −0.15 −0.3 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.25 −0.5 Hình 4.1: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=100; 589 nút −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.2: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=100; 589 nút 17 0.5 0.4 Re = 400 0.4 Ghia m−RBIEM RBIEM−old 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 −0.1 −0.1 Re = 400 −0.2 −0.2 −0.3 −0.3 −0.4 Ghia m−RBIEM RBIEM−old −0.4 −0.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.5 −0.5 Hình 4.3: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=400; 589 nút −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.4: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=400; 589 nút 0.5 0.2 0.4 Ghia m−RBIEM RBIEM−Old 0.15 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 0 −0.05 −0.1 −0.1 −0.2 −0.15 −0.3 −0.2 Ghia m−RBIEM RBIEM−Old −0.4 −0.5 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Re = 100 −0.25 −0.3 −0.5 Hình 4.5: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100; 1369 nút −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.6: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100; 1369 nút 0.5 0.4 Re = 100 0.2 0.15 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 Uy y 0 −0.05 −0.1 −0.1 −0.2 −0.15 −0.3 Ghia m−RBIEM 529 nodes m−RBIEM 1369 nodes −0.4 −0.5 −0.5 0.5 −0.2 −0.25 −0.3 −0.5 Ux Ghia m−RBIEM 529 nodes m−RBIEM 1369 nodes −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x Hình 4.7: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100 Hình 4.8: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100 Các hình 4.3, 4.4, 4.7 4.8 đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=100 với số nút 529 1369 Nghiệm cho phương pháp RBIEM cải tiến cho nghiệm tương đối xác trùng với lời giải Ghia Phương pháp m-RBIEM cho nghiệm xác phương pháp RBIEM cũ 18 Tương tự, hình 4.5 hình 4.6 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút 529 Hình 4.9 hình 4.10 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút khác Hai đồ thị cho thấy, trường hợp 529 nút Lời giải số RBIEM lời giải Ghia có khác biệt rõ Nhưng tăng số nút lên 1369, lời giải RBIEM không khác biệt nhiều so với lời giải Ghia dùng phương pháp sai phân hữu hạn với độ mịn cao 19 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp không lưới RBIEM (Radial Basis Integral Equation Method) với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier-Stokes cách đưa công thức giải tích cho phương trình tích phân biên tròn Trong với nút miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng vận tốc ∂ ui ∂x hàm bán kính sở, RBIEM dùng phương trình tích phân biên Phương pháp m-RBIEM tính toán trực tiếp tích phân biên tròn mà không cần trình rời rạc hóa biên cách tham số hóa biến hệ tọa độ cực Các công thức phát triển đưa luận văn đơn giản, cho kết xác công việc lập trình cho tính toán dễ dàng Áp dụng công thức để giải toán dòng chảy qua hình hộp nghiệm số cho RBIEM trùng với nghiệm số cho Ghia [1] Hướng nghiên cứu tiếp theo: + Giải phương trình Navier-stokes có tính đến yếu tố nhiệt độ + Xây dựng mô hình giải cho toán ba chiều + Xây dựng giải mô hình chất lỏng phi Newton 20 Tài liệu tham khảo Florez, W F, H Power and F Chejne, "Multi-domain dual reciprocity BEM approach for the Navier-Stokes system of equations", Communications in Numerical Methods in Engineering, 2000 16(10):p 671-681 Ghia, U.,K N Ghia and C T Shin, "High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method", Journal of Computational Physics, 1982 48:p.387-411 Ladyzhenskaya, O A., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow 1963: Gordon and Breach, New York Mingo, R and H Power, "The DRM subdomain decomposition approach for twodimensional thermal convection flow problems", Engineerning Analysic with Bound- ary Elenments, 2000.24:p 121-127 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to two-dimensional convectiondiffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010.34:p 680689 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to convection-diffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010 34 :p 680-689 Power, H and P W Partridge, "The use of Stokes fundamental solution for the boundary only element formulation of the three-dimensional Navier-Stokes equations for moderate Reynolds numbers, "Interational joumal for numerical methods in engi- neering, 1994.37 :p 1825-1840 Power,H and R Mingo, "The DRM subdomain decomposition approach to solve the two-dimensional Navier-Stokes system of equations", Engineerning Analysic with Boundary Elenments, 2000.24(1):p 107-119 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Power, H and L Wrobel, "Boundary integral methods in fluid machenics" 1995: Southampton, UK Computational Mechanics Publications 10 Sellountos, E J and A Sequeira, "An advanced meshless LBIE/RBF method for solving two-dimensional incompressible fluid flows", Computational Mechanics , 2008.44:p 617-631 11 Zheng,R., N Phan-Thien and C J Coleman, "A boundary element approach for non-linear boundary value problems", Computational Mechanics , 1981.8 :p 71-86 12 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A local boundary integral equation (LBE) method in computational mechanics, and a meshless discretization approach", Compu- tational Mechanics , 1998.21:p 223-235 13 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A meshless local boundary integral equation (LBIE) method for solving nonlinear problems", Computational Mechanics, 1998.22:p 174-186 22