PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Bùi Thanh Tú Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tời thầy giáo hướng dẫn TS Bùi Thanh Tú, người giao đề tài quan tâm, tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN dạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em suốt trình học tập nghiên cứu Khoa Em xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Phòng Công tác trị sinh viên, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình thực luận văn Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Mục lục Giới thiệu tổng quan Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ 2.2 Nội suy hàm giá trị 11 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 13 2.4 Số hạng phi tuyến 17 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes 20 Kết số 26 Chương Giới thiệu tổng quan Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes toán nhà khoa học quan tâm Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng phi tuyến xuất tích phân miền Có nhiều phương pháp khác để giải số hạng phi tuyến Zheng et al [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power Partridge [7] sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM) Nhưng kết hợp BEM DRM giải toán dòng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ 40 hay 100 Bằng phương pháp phân chia miền [4, 8] Power Mingo giải toán cho số Reynolds cao với độ xác cao Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM xấp xỉ đạo hàm vận tốc số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính sở tạo phương trình đại số tuyến tính với số phương trình lơn số ẩn làm tăng độ phức tạp toán Bên cạnh đó, phương pháp không lưới kết hợp với phương trình tích phân biên quan tâm rộng rãi tính xác mà phương trình tích phân biên mang lại Trong phương pháp không lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa Zhu et al [12, 13] giải toán Poison toán phi tuyến dựa xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối thiểu với ý tưởng tạo biên địa phương nút Sau Sellountos Sequeira [10] dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến Gần đây, Popov Bui [5] đưa phương pháp không lưới dựa phương trình tích phân biên hàm bán kính sở (RBIEM) để giải toán khuếch tán nhiễu, phương trình tích phân biên áp dụng miền địa phương tương ứng với nút Khi RBIEM tạo hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình số ẩn để giải, ma trận hệ số ma trận thưa RBIEM áp dụng để giải hệ phương trình Navier-Stokes, với nút miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng ∂ ui vận tốc hàm bán kính sở ∂ xh Ý tưởng phương pháp RBIEM xây dựng miền địa phương ứng với nút bên biên miền tính toán Về lý thuyết, miền địa phương có hình dạng Khi để tích phân biên miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành phần tử, tích phân biên địa phương tính phần tử sau ghép lại Trên thực tế, để thuận tiện trình tính toán, miền RBIEM tạo miền tròn Nhưng đó, để tính tích phân biên dùng phương pháp khác đơn giản hiệu việc phân rã biên Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến đề xuất Để thuận tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến m-RBIEM (modified RBIEM) Để tính tích phân biên miền con, thay việc rời rạc biên thành phần tử cách thêm vào nút biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp tích phân miền có dạng hình tròn Phương pháp m-RBIEM đưa lời giải số xác hơn, tiết kiệm thời gian tính toán dễ dàng việc lập trình giải toán thực tế Cấu trúc luận văn trình bày sau: - Chương 1: Giới thiệu tổng quan phương pháp không lưới dùng phương trình tích phân biên - Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes - Chương 4: Kết số Chương Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) kết hợp với phương pháp phương trình tích phân biên BEM (Boundary Element Method) dùng để chuyển số hạng tích phân miền thành tích phân biên giải phương trình Navier-Stokes Xét phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng không nén được: ρ ∂ ui ∂ ui ∂ σ i j + ρu j = + ρ Fi ; ∂t ∂xj ∂xj (2.1) ∂ ui = 0, ∂ xi đó: ui : thành phần vectơ vận tốc theo hướng i; ρ : mật độ; Fi : lực tác động theo hướng i; σi j : tensơ ứng suất tương ứng trường vận tốc áp suất (ui , p) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Với chất lỏng Newton ta có: ( σi j = −pδi j + µ ) ∂ ui ∂ u j + , ∂ x j ∂ xi (2.2) đó: p: áp suất chất lỏng; δi j : ký hiệu Kronecker; µ : hệ số nhớt Phương trình Navier-Stokes cho điểm x miền Ω đóng biên S dạng tích phân đưa Ladyzhenskaya (1963): ∫ uk (x) = tki∗ (x, y) ui (y) dSy − S ∫ u∗ki (x, y)ti (y) dSy + ∫ u∗ki (x, y) gi dΩ, (2.3) Ω S đó: gi = ρ u j ui, j : số hạng phi tuyến; ti = σi j n j , n j : vectơ pháp tuyến hướng ngoại miền S; uki : trường nghiệm vectơ vận tốc phương trình Stokes Trong trường hợp hai chiều nghiệm u∗ki qk có dạng: u∗ki (x, y) = − [ ( ) ] 1 (xi − yi ) (xk − yk ) ln δik + ; 4π µ r r2 (2.4) qk (x, y) = − (xk − yk ) , 2π r2 r = |x − y| Nghiệm tki∗ có dạng: tki∗ ( ) (xi − yi ) (xk − yk ) x j − y j =− n j πr r3 (2.5) Khai triển số hạng gi (x) để xấp xỉ tích phân miền phương trình (2.3) thành tích phân biên dạng: ND gi (x) = ∑ f m (x) αlm δil , m=1 (2.6) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ f m (x) hàm bán kính sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xấp xỉ x điểm lân cận ym , m = 1, , N Hàm f m (x) phụ thuộc vào giá trị R = |x − ym | khoảng cách từ điểm x đến điểm lân cận ym Trong trường hợp chiều, khoảng cách R xác định sau: √ R= m (x1 − ym ) + (x2 − y2 ) ) ( m m đó: (x1 , x2 ) tọa độ x, ym , y2 tọa độ y Hàm f (x, ym ) với m = N + 1, N + 2, , N + A hàm toàn cục mở rộng nội suy điểm lân cận ym phụ thuộc vào tọa độ điểm x (x1 , x2 ) Trường hợp A=3, ta có: N+3 ∑ f (x, ym )αlm = αlN+1 + αlN+2 x1 + αlN+3 x2 m=N+1 Áp dụng (2.6) cho N nút lân cận, ta có 2N phương trình 2N+6 ẩn Vì vậy, phương trình bổ sung có dạng: N ∑ αlm δil = N ∑ x1 αlm δil = m=1 m=1 N ∑ x2αlmδil m=1 =0 Hệ số αlm chưa biết xác định cách áp dụng phương trình (2.6) cho ND nút lân cận ym , m = 1, ND Khi đó: ∫ u∗ki (x, y) gi (y) dΩ = ND ∑ αlm m=1 Ω ∫ u∗ki (x, y) f m (x) δil dΩ (2.7) Ω ( ) lm Trường vận tốc áp suất bổ sung uˆlm i (x) , pˆ (x) cho phương trình: ∂ uˆlm ∂ pˆlm (x) i (x) − = f m (x) δil ; µ ∂ x j∂ x j ∂ xi (2.8) ∂ uˆlm i ∂ xi = ( ) lm Trong biểu thức giải tích cho trường Stokes uˆlm i (y) , pˆ (y) tương ứng với hàm xấp xỉ được đưa phương pháp tiếp cận đề xuất Power Wrobel 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Khi trường vận tốc lực kéo bổ trợ tìm sau: uˆlm i (x) = 96 [( )] ) ( 2 δil − xˆi xˆl 4R log R − R , 5R log R − R 3 (2.9) trường hợp f m (x) = r2 log r, với xˆ = x − ym R = ∥x − ym ∥ Biểu thức lực kéo bổ trợ tương ứng là: tˆilm (x) = σilj (x) n j (x) ( [ )] ( ) 1 8r xˆi nl + xˆ j n j δil + xˆl ni × log R − = 96[ ( )] 1 − 4xˆi xˆl xˆ j n j log R + 96 (2.10) Trong trường hợp đặc biệt hàm f m (x), lực kéo bổ trợ có dạng sau: Trường hợp 1: fˆm (x) = 1, uˆlm i = ) ( 3|x|2 δil − 2xi xl , 16 tˆilm = ) 1( xi nl + x j n j δil + xl ni Trường hợp 2: fˆm (x) = x1 , uˆlm i = [ x (3δil − 2δ1i δ1l − δ2i δ2l ) + 3x22 x1 (δil − δ1i δ1l ) 24 ] −3x12 x2 (δ1i δ2l + δ2i δ1l ) , tˆilm (x) = 1{ x [3 (n1 δil + nl δ1i + ni δ1l ) −2 (2n1 δ1i δ1l + n1 δ2i δ2l + n2 δ1i δ2l + n2 δ2i δ1l )] (2.11) Đặt: ∫ Hkis tki∗ f (y, zs ) dSy (3.4) ∂ tki∗ f (y, zs ) dSy ∂ xh (3.5) u∗ki f (y, zs ) ni dSy (3.6) ∂ u∗ki f (y, zs ) ni dSy ∂ xh (3.7) u∗ki f (y, zs ) n j dSy (3.8) ∂ u∗ki f (y, zs ) n j dSy ∂ xh (3.9) = S ∫ s Hki,h = ∫ S Gsk = S ∫ Gsk,h = S ∫ G¯ ski j = S ∫ G¯ ski j,h = Tklm =− S ∫ tki∗ uˆlm i dSy + ∫ S lm Tk,h =− ∫ S u∗kitˆilm dSy + uˆlm k (3.10) S ∂ tki∗ lm uˆ dSy + ∂ xh i ∫ Qs = ∫ S ∂ uˆlm ∂ u∗ki lm ˆti dSy + k ∂ xh ∂ xh (3.11) qk (x, y) f (y, zs ) nk dSy (3.12) qk (x, y) f (y, zs ) n j dSy (3.13) ∂ qk (x, y) f (y, zs ) n j dSy ∂xj (3.14) S ∫ Q¯ ks j = S ∫ Pks = S ∫ Slm = pˆlm (x) + qk (x, y) tˆklm (y) dSy + 2µ ∫ S S 22 ∂ qk (x, y) lm uˆk (y) n j (y) dSy ∂xj (3.15) Từ suy ra: Ns +3 Ns ∑ uk (x) = ∑ Hkis Rtsuti + Ns +3 Ns ∑ s=1 t=1 ∑ Gsk Rts pt − Ns +3 Ns s=1 t=1 ∑ ∑ µ G¯ ski j Rts s=1 t=1 ∂ uti ∂xj (3.16) − Ns +3 Ns ∑ µ G¯ ski j Rts ∑ ∂ utj ∂ xi s=1 t=1 ⇔ uk (x) = Ns +3 Ns ∑ αlm Tklm m=1 ∑ ∑ Gsk Rts pt − Ns +3 Ns s=1 t=1 ∑ µ G¯ ski j Rts ∑ s=1 t=1 ∂ uti ∂xj ∂ utj Ns +3 Ns ∑ ∑ Ns +3 Ns ∑ Hkis Rtsuti + s=1 t=1 − Ns +3 + ∑ µ G¯ ski j Rts ∂ xi s=1 t=1 (3.17) N+ { + ∑ [ Rsm Tk1m m=1 + Rsm Tk2m Ns +3 Ns uk,h (x) = ∑∑ ∂ u1 (ys ) ∂ u1 (ys ) + u2 (ys ) u1 (y ) ∂ x1 ∂ x2 ] s [ s s ]} s ∂ u2 (y ) s ∂ u2 (y ) u1 (y ) + u2 (y ) ∂ x1 ∂ x2 s Hki,h Rts uti + Ns +3 Ns s=1 t=1 ∑∑ Gsk,h Rts pt − s=1 t=1 ∂u ∑ µ G¯ ski j,hRts ∂ x ij t=1 Ns +3 Ns ∑ s=1 t (3.18) − Ns +3 Ns ∑ ∑ µ G¯ ski j,hRts s=1 t=1 ⇔ uk,h (x) = ∂ utj ∂ xi Ns +3 + ∑ lm αlm Tk,h m=1 Ns +3 Ns ∑ s Rts uti + ∑ Hki,h s=1 t=1 − Ns +3 Ns ∑ ∑ µ G¯ ski j,hRts s=1 t=1 Ns +3 Ns ∑ ∑ Gsk,hRts pt s=1 t=1 ∂ utj ∂ uti Ns +3 Ns ¯ s − ∑ ∑ µ Gki j,h Rts ∂ x j s=1 t=1 ∂ xi 23 Ns +3 { ∑ + 1m Rsm Tk,h m=1 [ s s ] s ∂ u1 (y ) s ∂ u1 (y ) u1 (y ) + u2 (y ) ∂ x1 ∂ x2 (3.19) [ s s ]} 2m s ∂ u2 (y ) s ∂ u2 (y ) + Rsm Tk,h u1 (y ) + u2 (y ) ∂ x1 ∂ x2 Ns +3 Ns p (x) = ∑ ∑ QsRts pt − Ns +3 Ns ∑ s=1 t=1 − Ns +3 Ns ∑ ∑ µ Q¯ ksjRts s=1 t=1 ⇔ p (x) = Ns +3 Ns ∑ µ Q¯ ksjRts s=1 t=1 ∂ utj (y) ∂ xk − Ns +3 Ns ∑ s ∑ s=1 ∑ µ Q¯ ksjRts ∂ utj (y) s=1 t=1 ∂ xk Ns +3 ∑ αlm Slm m=1 ∂ u (y) ∑ µ Q¯ ksjRts ∂kx j t=1 Ns +3 Ns ∑ ∑ Q Rts pt − ∑ Ns +3 Ns ∑ 2µ PksRtsutk + s=1 t=1 s=1 t=1 − ∂ utk (y) ∂xj − t Ns +3 Ns ∑ ∑ 2µ PksRtsutk s=1 t=1 (3.20) [ Ns +3 { s s ] 1m s ∂ u1 (y ) s ∂ u1 (y ) + ∑ Rsm S u1 (y ) + u2 (y ) ∂ x1 ∂ x2 m=1 + Rsm S 2m [ s s ]} s ∂ u2 (y ) s ∂ u2 (y ) u1 (y ) + u2 (y ) ∂ x1 ∂ x2 Để tính tích phân từ (3.4)-(3.15), tọa độ điểm y = (y1 , y2 ) biên tròn Si , bán kính r tham số bởi: y1 = x1 + r cos θ ; y2 = x2 + r sin θ ; θ ∈ (0; 2π ) Khi đó: tki∗ = − u∗ki =− 4π µ ni nk πr ( ) ln δik + ni nk r (3.21) (3.22) ∂ tki∗ = − (δih nk + δkh ni + 5ni nk nh ) ∂ xh πr (3.23) ∂ u∗ki =− (δik nh − δih nk − δkh ni − 2ni nk nh ) ∂ xh 4π µ r (3.24) 24 zNa−1 Si zN a − → n y(y1, y2) z8 r z5 z9 θ z7 x z1 z4 z2 z6 z3 Hình 3.1: Tham số hóa biến hệ tọa độ cực qk (x, y) = ∂ qk (x, y) =− ∂xj 2π ( nk 2π r 2nk n j δ jk − 2 r r (3.25) ) (3.26) đó: n1 = cos(θ ), n2 = sin(θ ) Các phương trình (3.17), (3.19), (3.20) sử dụng cho phương pháp m-RBIEM Những phương trình đơn giản so với phương trình (2.35), (2.36), (2.41) 25 Chương Kết số Phần đưa lời giải số phương pháp m-RBIEM với toán dòng chảy qua hình hộp vuông không gian chiều Đây toán dùng để kiểm tra tính xác phương pháp số giải toán chất lỏng Bài toán phát biểu sau: Cho dòng chất lỏng ổn định qua mặt hình hộp với vận tốc theo phương ngang số, vận tốc theo phương dọc không Điều kiện không trượt không thấm áp dụng mặt lại hình vuông Phương pháp m-RBIEM sử dụng để giải toán với hai trường hợp số Reynolds Re=100 Re=400 Lời giải số cho m-RBIEM so sánh với lời giải Ghia [2], dùng phương pháp sai phân hữu hạn với lưới có độ mịn cao Bài toán giải cới trường hợp dùng 529 nút 1369 Hình 4.1: Điều kiện biên miền tính toán 26 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 Hình 4.2: Trường vận tốc Re=100 với 529 nút 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 Ghia RBIEM RBIEM−Old −0.4 −0.5 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 4.3: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=100; 589 nút Các hình 4.3, 4.4, 4.7 4.8 đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=100 với số nút 529 1369 Nghiệm cho phương pháp RBIEM cải tiến cho nghiệm tương đối xác trùng với lời giải Ghia Phương pháp m-RBIEM cho nghiệm xác 27 0.2 Ghia RBIEM RBIEM−Old 0.15 0.1 0.05 −0.05 −0.1 Re = 100 −0.15 −0.2 −0.25 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.4: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=100; 589 nút 0.5 0.4 Re = 400 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 Ghia m−RBIEM RBIEM−old −0.4 −0.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 4.5: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=400; 589 nút 28 0.4 Ghia m−RBIEM RBIEM−old 0.3 0.2 0.1 −0.1 Re = 400 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.6: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=400; 589 nút 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 Ghia m−RBIEM RBIEM−Old −0.4 −0.5 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 4.7: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100; 1369 nút 29 0.2 Ghia m−RBIEM RBIEM−Old 0.15 0.1 0.05 −0.05 −0.1 Re = 100 −0.15 −0.2 −0.25 −0.3 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.8: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100; 1369 nút 0.5 0.4 Re = 100 0.3 0.2 y 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 Ghia m−RBIEM 529 nodes m−RBIEM 1369 nodes −0.4 −0.5 −0.5 0.5 Ux Hình 4.9: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100 30 0.2 0.15 0.1 0.05 Uy −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 −0.3 −0.5 Ghia m−RBIEM 529 nodes m−RBIEM 1369 nodes −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x Hình 4.10: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100 phương pháp RBIEM cũ 31 Tương tự, hình 4.5 hình 4.6 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút 529 32 Hình 4.9 hình 4.10 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút khác Hai đồ thị cho thấy, trường hợp 529 nút Lời giải số RBIEM lời giải Ghia có khác biệt rõ Nhưng tăng số nút lên 1369, lời giải RBIEM không khác biệt nhiều so với lời giải Ghia dùng phương pháp sai phân hữu hạn với độ mịn cao 33 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp không lưới RBIEM (Radial Basis Integral Equation Method) với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier-Stokes cách đưa công thức giải tích cho phương trình tích phân biên tròn Trong với nút miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng vận tốc ∂ ui ∂x hàm bán kính sở, RBIEM dùng phương trình tích phân biên Phương pháp m-RBIEM tính toán trực tiếp tích phân biên tròn mà không cần trình rời rạc hóa biên cách tham số hóa biến hệ tọa độ cực Các công thức phát triển đưa luận văn đơn giản, cho kết xác công việc lập trình cho tính toán dễ dàng Áp dụng công thức để giải toán dòng chảy qua hình hộp nghiệm số cho RBIEM trùng với nghiệm số cho Ghia [1] Hướng nghiên cứu tiếp theo: + Giải phương trình Navier-stokes có tính đến yếu tố nhiệt độ + Xây dựng mô hình giải cho toán ba chiều + Xây dựng giải mô hình chất lỏng phi Newton 34 Tài liệu tham khảo Florez, W F, H Power and F Chejne, "Multi-domain dual reciprocity BEM approach for the Navier-Stokes system of equations", Communications in Numerical Methods in Engineering, 2000 16(10):p 671-681 Ghia, U.,K N Ghia and C T Shin, "High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method", Journal of Computational Physics, 1982 48:p.387-411 Ladyzhenskaya, O A., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow 1963: Gordon and Breach, New York Mingo, R and H Power, "The DRM subdomain decomposition approach for twodimensional thermal convection flow problems", Engineerning Analysic with Bound- ary Elenments, 2000.24:p 121-127 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to two-dimensional convectiondiffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010.34:p 680689 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to convection-diffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010 34 :p 680-689 Power, H and P W Partridge, "The use of Stokes fundamental solution for the boundary only element formulation of the three-dimensional Navier-Stokes equations for moderate Reynolds numbers, "Interational joumal for numerical methods in engi- neering, 1994.37 :p 1825-1840 Power,H and R Mingo, "The DRM subdomain decomposition approach to solve the two-dimensional Navier-Stokes system of equations", Engineerning Analysic with Boundary Elenments, 2000.24(1):p 107-119 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Power, H and L Wrobel, "Boundary integral methods in fluid machenics" 1995: Southampton, UK Computational Mechanics Publications 10 Sellountos, E J and A Sequeira, "An advanced meshless LBIE/RBF method for solving two-dimensional incompressible fluid flows", Computational Mechanics , 2008.44:p 617-631 11 Zheng,R., N Phan-Thien and C J Coleman, "A boundary element approach for non-linear boundary value problems", Computational Mechanics , 1981.8 :p 71-86 12 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A local boundary integral equation (LBE) method in computational mechanics, and a meshless discretization approach", Compu- tational Mechanics , 1998.21:p 223-235 13 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A meshless local boundary integral equation (LBIE) method for solving nonlinear problems", Computational Mechanics, 1998.22:p 174-186 36 [...]... với lời giải của Ghia khi dùng phương pháp sai phân hữu hạn với độ mịn cao hơn 33 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp không lưới RBIEM (Radial Basis Integral Equation Method) với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier-Stokes bằng cách đưa ra công thức giải tích cho phương trình tích phân trên biên tròn Trong đó với mỗi nút trong miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình. .. SỐ HẠNG PHI TUYẾN Cuối cùng thay phương trình (2.53) và phương trình (2.47) cho ta biểu thức của các hệ số αlm αlm s n −1 = [Fil (y , y )] [ ] ∂ Fip (x, yn ) [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )u j (yk ) ∂xj 19 (2.54) Chương 3 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier-Stokes Để tính các tích phân biên trên miền địa phương tròn trong các phương trình (2.16), (2.17), (2.37), thay... (2.25) s=1 t=1 NA NA p (y) = ∑ ∑ f (y, zs)Rts pt (2.26) s=1 t=1 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM Phương pháp không lưới RBIEM sẽ tạo ra mỗi miền con địa phương ứng với mỗi nút trong miền tính toán Các phương trình tích phân biên sẽ được tạo ra để giải các ẩn tại mỗi nút Để tính toán các tích phân trong phương trình (11), biên địa phương sẽ được phân rã thành các phần tử bởi các nút trên biên Giá trị... các biến trong hệ tọa độ cực qk (x, y) = ∂ qk (x, y) 1 =− ∂xj 2π ( 1 nk 2π r 2nk n j 1 δ jk − 2 2 r r (3.25) ) (3.26) trong đó: n1 = cos(θ ), n2 = sin(θ ) Các phương trình (3.17), (3.19), (3.20) được sử dụng cho phương pháp m -RBIEM Những phương trình đó là đơn giản hơn so với phương trình (2.35), (2.36), (2.41) 25 Chương 4 Kết quả số Phần này sẽ đưa ra lời giải số của phương pháp m -RBIEM với bài toán... Ωk Sj Hình 2.1: Miền con hình tròn phân bố bài toán Phương pháp RBIEM đưa vào 7 ẩn tại mỗi nút gồm thành phần vectơ vận tốc u1 , u2 , các đạo hàm riêng của thành phần vectơ theo biến x1 , x2 : ∂ u1 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u2 ∂ x1 , ∂ x2 , ∂ x1 , ∂ x2 và áp suất p Tại mỗi nút 7 phương trình tương ứng với 7 ẩn được tạo ra Khi đó RBIEM sẽ tạo ra một hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn... vuông trong không gian 2 chiều Đây là bài toán được dùng để kiểm tra tính chính xác phương pháp số giải bài toán chất lỏng Bài toán được phát biểu như sau: Cho dòng chất lỏng ổn định đi qua mặt trên của hình hộp với vận tốc theo phương ngang là hằng số, vận tốc theo phương dọc bằng không Điều kiện không trượt và không thấm được áp dụng trên các mặt còn lại của hình vuông Phương pháp m -RBIEM sẽ được... unk , unk,h tại nút n trên biên địa phương trong công thức (2.18), (2.19) thu được bằng cách áp dụng công thức (2.23), (2.24), (2.25) tương ứng với nút y là nút a trên biên địa phương, khi đó ta có: uai = NA NA ∑ ∑ FsaRst uti , s=1 t=1 13 (2.27) 2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM zNa−1 Si ξNb zN a ξ1 ξ2 z8 z5 z9 z7 ξNb −1 x ξ3 z1 z4 z2 z6 z3 Hình 2.2: Một biên tròn địa phương được rời rạc hóa thành các... (x) = Fip (x, yn )β pn , n = 1, , N + A (2.49) Hệ số β pn được cho nghiệm duy nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ phương trình trên tại các điểm nút x = ys , s = 1, 2, , N β pn = [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys ) (2.50) Lấy vi phân hai vế phương trình cho ta: [ ] ∂ Fip (x, yn ) n ∂ ui (x) = βp ∂xj ∂xj (2.51) Thay phương trình (2.50) vào phương trình trên: ∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn ) = [Ft p... còn lại của hình vuông Phương pháp m -RBIEM sẽ được sử dụng để giải bài toán trên với hai trường hợp số Reynolds Re=100 và Re=400 Lời giải số cho bởi m -RBIEM được so sánh với lời giải của Ghia [2], dùng phương pháp sai phân hữu hạn với lưới có độ mịn cao Bài toán được giải cới các trường hợp dùng 529 nút và 1369 Hình 4.1: Điều kiện biên miền tính toán 26 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5... ∂xj ∂xj (2.52) Các đạo hàm của trường vận tốc có thể được xấp xỉ bởi tích phân có dạng như phương trình (2.17) Để xấp xỉ số hạng phi tuyến gi (x), phương trình (2.52) được sử dụng thay cho phương trình (2.17) Đó là bởi vì có tồn tại một số hạng phi tuyến trong phương trình (2.17) Thay phương trình (2.52) và phương trình (2.46), số hạng phi tuyến gi (x) có thể được xấp xỉ như sau: ∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn