Phương pháp không lưới RBF-FD giải phương trình poisson trong không gian ba chiều với K-điểm gần nhất

Bài viết này trình bày kết quả nghiên cứu việc chọn k-điểm gần nhất làm tập các tâm hỗ trợ cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong không gian 3 chiều.

ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 204(11): - 15 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG KHƠNG GIAN BA CHIỀU VỚI K- ĐIỂM GẦN NHẤT Ngô Mạnh Tưởng*, Nguyễn Thị Thanh Giang, Nguyễn Thị Nhung Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thơng – ĐH Thái Ngun TĨM TẮT Trong năm gần đây, phương pháp không lưới RBF-FD (Radial Basis Function -Finite Difference) giải phương trình đạo hàm riêng nhận quan tâm nhiều nhà khoa học Tuy nhiên, kết nghiên cứu theo hướng dừng lại không gian chiều Bài báo trình bày kết nghiên cứu việc chọn k-điểm gần làm tập tâm hỗ trợ cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều Kết thử nghiệm số cho thấy nghiệm phương pháp không lưới RBF-FD sử dụng k-điểm gần có độ xác cao nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) Từ khóa: Phương pháp khơng lưới; phương pháp RBF-FD; thuật toán chọn tâm hỗ trợ; k-điểm gần nhất; phương pháp phần tử hữu hạn Ngày nhận bài: 10/5/2019; Ngày hoàn thiện: 27/6/2019; Ngày đăng: 16/7/2019 THE RBF-FD METHOD TO SOLVE THE POISSON EQUATION IN 3D WITH THE K-NEAREST POINTS Ngo Manh Tuong*, Nguyen Thi Thanh Giang, Nguyen Thi Nhung TNU - University of Information and Communication Technology ABSTRACT In recent years, the meshless finite difference method based on radial basis functions (RBF-FD) of solving partial differential equation has been studied by many scientists However, the research results of this method are limited in 2D This paper presents results of a new method, using the selection of k-nearest points to be a set of centers, which supports the RBF-FD method to solve Poisson's equation in 3D The numerical experiments showed that the solution of the RBF-FD method using k-nearest points has higher accuracy than the solution of the finite element method Keywords: meshless; RBF-FD; stencil support selection; k-nearest points; FEM Received: 10/5/2019; Revised: 27/6/2019; Published: 16/7/2019 * Corresponding author Email: nmtuong@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Ngô Mạnh Tưởng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 204(11): - 15 Giới thiệu a) Các góc  i , i  1, 2, Phương pháp RBF-FD phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm sở bán kính RBF với cách tiếp cận địa phương, dựa rời rạc hóa giống phương pháp sai phân hữu hạn, để tính xấp xỉ nghiệm số điểm rời rạc miền xác định Khi sử dụng phương pháp RBF-FD giải tốn khơng gian d chiều, với d lớn tùy ý, thay phải làm việc với hàm d biến, ta cần làm việc với hàm biến Một lợi kỹ thuật rời rạc không lưới cần dựa tập điểm độc lập phân bố bất kỳ, không cần tạo cấu trúc lưới Do đó, khơng cần chi phí dành cho sinh lưới, trì lưới cập nhập lưới  i , i  1, 2, Phương pháp RBF-FD Tolstykh Shirobokov giới thiệu lần vào năm 2003 việc sử dụng nội suy hàm sở bán kính dựa cấu trúc điểm phương pháp phần tử hữu hạn giải toán elliptic [1] Năm 2006, Wright Fornberg đề xuất phương pháp không lưới RBF-FD sử dụng nội suy Hermite [2] Năm 2011, Oleg Davydov Đặng Thị Oanh công bố phương pháp RBF-FD dựa nội suy đơn điểm đa điểm, thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp khơng lưới, thuật tốn làm mịn thích nghi [3] thuật tốn ước lượng tham số hình dạng tối ưu cho nội suy hàm RBF [4] Năm 2017, Đặng Thị Oanh, Oleg Davydov Hoàng Xuân Phú tiếp tục phát triển thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp khơng lưới, thuật tốn làm mịn thích nghi tốn có hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn [5] Độ xác phương pháp RBF-FD phụ thuộc nhiều vào cách chọn tâm hỗ trợ tính tốn véc tơ trọng số Trong [3, 5, 6, 7] tác giả công bố hiệu thuật toán k-láng giềng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều Mục tiêu thuật toán với tâm  năm miền, chọn tâm    ,1 ,2 , ,k  xung quanh gốc  thoả mãn điều kiện: 10 , k nhất, , k góc tia i i 1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với chu trình  k 1  1 b) Khoảng cách   i , i  1, 2, , k gần Để đạt mục tiêu này, thuật toán dùng điều kiện dừng góc [3] sử dụng kết hợp điều kiện dừng trung bình khoảng cách với điều kiện dừng góc [5, 6, 7] Các thuật toán bắt đầu với k -điểm gần nhất, sau tìm thay điểm gần góc (điểm xấu), tức điểm thuộc tia năm hai góc có độ lớn chênh lệch nhau, điểm có khoảng cách đến  xa thuộc tia nằm góc có độ lớn (điểm tốt) Tuy nhiên, không gian chiều điều kiện góc khơng nên khơng thể áp dụng thuật tốn Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu việc áp dụng thử nghiệm chọn k-điểm gần làm tập tâm hỗ trợ tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBF-FD không gian chiều Bài báo gồm phần: Sau Phần giới thiệu Phần 2, miêu tả phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều; Phần 3, giới thiệu thuật tốn chọn tâm; Phần 4, trình bày kết thử nghiệm số Phần Kết luận Phương pháp RBF-FD Xét phương trình Poisson với điều kiện biên Derichlet không gian chiều sau: Cho miền mở   hàm số f xác định  , g xác định  Tìm hàm u :   thỏa mãn u  f ug ,  , (1) với  tốn tử Laplace khơng gian chiều Bài tốn (1) rời rạc hóa phương pháp sai phân thành hệ phương trình tuyến tính http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Ngơ Mạnh Tưởng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN  w  u  f   ,   a j , j  1, 2,  int ; , (2) u  g   ,  ,     tập tâm rời rạc;   :     tâm nằm biên;  int :     tâm nằm miền;  u nghiệm xấp xỉ u ;  w ,  véc tơ trọng số s i    a j  i   j   u i  , i  1, 2, n hay dạng ma trận  a u ,  Véc tơ trọng số w ,   u 1    a1      a u  n   a :   , u  :  ,           an   u  n    hàm sở bán kính  :   x  :   x   1  1      1  :       n  1    i   j    d , x  thỏa mãn d i , j 1 a xác định 1 a     u     (4) Từ (3) ta xấp xỉ toán tử vi phân u  x  công thức u  x  s  x    a j   x   j  n , j 1 [8, 9, 10]) Gọi  : 1 ,2 , ,n   d tâm đôi phân biệt hàm u :  liên tục Khi hàm nội suy sở bán kính s hàm u xác đinh công thức d  a   x   T  (5) Thay (4) (5) ta u  x  n  w u  , i 1 i i véc tơ 1 n d , j 1 s i   u i  , i  1, 2, n  chuẩn Euclide, (xem chi tiết s  x   a j  x   j , x   1   n        n       n   n   Do  hàm xác định dương nên ma trận   xác định dương với tâm   , suy tính dựa vào nội suy hàm sở bán kính RBF tương tự không gian chiều [1, 3, 5, 6, 7] Cho hàm xác định dương  :  0,     với Trong không gian chiều, tác giả sử dụng tâm  FEM [1, 2] giới thiệu thuật tốn sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD [3, 5] Trong không gian chiều, sử dụng dụng tâm  FEM tạo PDE Toolbox MATLAB cho thử nghiệm số ,n j 1  c) Cách tính véc tơ trọng số w ,  , n hệ số nội suy chọn cho thỏa mãn điều kiện nội suy (3), tức Độ xác nghiệm xấp xỉ u hệ phương trình (2) phụ thuộc vào ba cơng đoạn a) Cách sinh tâm rời rạc  phù hợp với phương pháp RBF-FD; b) Phương pháp lựa chọn tập hỗ trợ  ,    int ; 204(11): - 15 , n, http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn (3) w   w1 , w , , w n        x       gọi véc tơ trọng số 11 Ngô Mạnh Tưởng Đtg   x     Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN    x  1       x             x   n   204(11): - 15 1) Đặt tempD: = D; i: = 1; 2) While i k) điểm 1 , 2 , , m xung quanh  xếp m điểm theo thứ tự tăng dần mặt mặt khoảng cách đến  , thuật toán kết thúc chọn k điểm Min: = tempD(j); End End tempD: = setdiff(tempD, Min); i: = i + 1; End Hình 1, biểu diễn kết thuật toán chọn k-điểm gần trường hợp miền rời rạc  hình hộp có 155 tâm, với hai trường hợp tập tâm hỗ trợ   có 14 điểm (dấu “+” mầu nâu) gần  (dấu “•” đỏ) k  15   có 16 điểm (dấu “+” mầu xanh) k  17 Thuật toán: Chọn k-điểm gần Input: Bộ tâm rời rạc ,  Output: Tập tâm hỗ trợ  Các tham số: k (số tâm chọn) m ( m  k , số tâm ứng viên ban đầu) I Tìm m tâm M : 1 , ,  m    \   xung quang  Khởi tạo  :   II Tính khoảng cách D :    i : i  1,2, , m III Tìm k tâm m tâm 1 , 2 , , m cho khoảng cách từ điểm đến  nhỏ nhất: 12 Hình Tập tâm hỗ trợ  Thử nghiệm số Mục tiêu thử nghiệm số đánh giá hiệu phương pháp RBF-FD sử dụng chọn k-điểm gần thông qua việc so sánh với FEM dựa hàm tuyến tính, rời rạc miền  tập gồm đỉnh tứ diện tạo hàm http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Ngơ Mạnh Tưởng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN generateMesh PDE Toolbox Matlab Với tốn thử nghiệm, chúng tơi chọn độ dài cạnh lưới tối đa Hmax cho phép tạo tam giác lưới thơ nhất, sau tạo tam giác lưới mịn cách giảm 1 Hmax nhiều lần với hệ số gần gấp đôi số đỉnh Số lượng đỉnh miền toán ký hiệu #int tương ứng bảng ghi kết thử nghiệm số toán Để đánh giá hiệu phương pháp RBF-FD sử dụng chọn k-điểm gần nhất, chúng tơi so sánh giá trị sai số trung bình bình phương tương đối rrms (relative root mean square) coi thước đo độ xác nghiệm xấp xỉ u hệ (2) với nghiệm xác u hệ (1) điểm miền Sai số rrms tính cơng thức   u    u        rrms :  int    u       int   1/ Ngồi sai số rrms, chúng tơi so sánh mật độ ma trận hệ số hệ phương trình (2) phương pháp RBF-FD với mật độ ma trận cứng FEM Mật độ ma trận nnz  A  , A  nn tính cơng thức n nnz(A) tổng số đầu vào khác không n hàng A 204(11): - 15 u  x, y, z   sin  x sin  y sin  z Bộ tâm  toán tạo PDE Toolbox MATLAB với lưới thơ có 33 tâm miền ứng với Hmax = 0,3969 Kết thử nghiệm số toán biểu diễn Bảng 1, Hình Hình Bảng Kết thử nghiệm số Bài toán #int FEM 33 80 179 479 1008 2213 4633 9684 19776 41409 9,19e-2 7,19e-2 4,64e-2 2,19e-2 1,31e-2 7,58e-3 4,72e-3 3,12e-3 2,02e-3 1,06e-3 Sai số rrms RBF-FD k=15 k=17 9,58e-2 6,55e-2 5,13e-2 3,36e-2 4,50e-2 3,42e-2 1,91e-2 1,31e-2 1,50e-2 1,03e-2 8,91e-3 6,01e-3 5,46e-3 3,49e-3 3,53e-3 2,19e-3 2,11e-3 1,04e-3 1,29e-3 5,74e-4 k=21 2,34e-2 1,54e-2 7,32e-3 6,73e-3 2,51e-3 1,59e-3 7,04e-4 4,08e-4 3,29e-4 3,24e-4 Bảng Hình biểu diễn sai số rrms FEM phương pháp RBF-FD sử dụng thuật toán chọn k-điểm gần Hình biểu diễn mật độ ma trận cứng FEM mật độ ma trận hệ số hệ phương trình (2) phương pháp RBF-FD Với k  15 , sai số sai số rrms mật độ ma trận hệ số phương pháp RBF-FD (đường có nhãn RBF-FD k=15) xấp xỉ sai số rrms mật độ ma trận cứng FEM (đường có nhãn FEM) Trong thử nghiệm số, tính véc tơ trọng số chúng tơi sử dụng hàm nội suy RBF Power (xem [9, 10])   r   r5 , r  x , x  Các tham số sử dụng thuật toán chọn kđiểm gần m  100 k giá trị 15, 17, 21 Bài tốn 1: Xét phương trình Poisson u  3 sin  x sin  y sin  z miền hình hộp   [0,1]3 với điều kiện biên Dirichlet chọn thỏa mãn nghiệm xác tốn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Hình Sai số rms tâm Bài toán Khi k  17 sai số rrms phương pháp RBF-FD (đường có nhãn RBF-FD k=17) ln 13 Ngơ Mạnh Tưởng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN nhỏ sai số rrms FEM, mật độ ma trận hệ số phương pháp RBF-FD (xấp xỉ 16) cao không đáng kể mật độ ma trận cứng FEM (bằng 14) 204(11): - 15 thử nghiệm số toán biểu diễn Bảng 2, Hình Hình Sai số rrms phương pháp RBF-FD thay đổi không đáng kể k tăng luôn nhỏ lần sai số rrms FEM Hình Mật độ ma trận hệ số Bài toán Với k  21 , sai số rrms phương pháp RBF-FD (đường có nhãn RBF-FD k=21) nhỏ lần sai số rrms FEM mật độ ma trận hệ số phương pháp RBF-FD (xấp xỉ 20) cao gần 1,5 lần mật độ ma trận cứng FEM Bài toán 2: Xét phương trình Poisson u  3e x  y  z miền hình cầu đơn vị    x, y, z   : x2  y  z  1 với điều kiện biên Dirichlet thỏa mãn nghiệm xác tốn u  x, y , z   e x  y  z Bảng Kết thử nghiệm số Bài toán #int FEM 349 650 1318 2559 5254 10662 21777 43813 4,20e-3 2,61e-3 1,66e-3 1,02e-3 6,04e-4 3,80e-4 2,38e-4 1,45e-4 Sai số rrms RBF-FD k=15 k=17 1,72e-3 1,64e-3 8,27e-4 8,95e-4 7,70e-4 7,33e-4 5,30e-4 4,94e-4 3,23e-4 2,71e-4 1,87e-4 1,79e-4 1,22e-4 1,04e-4 7,26e-5 6,07e-5 Mật độ ma trận hệ số hệ phương trình (2) phương pháp RBF-FD tăng k tăng, từ 14 (bằng mật độ ma trận cứng FEM) với k = 15 đến lớn 20 k =21, lớn 1,5 lần mật độ ma trận cứng FEM Các kết thử nghiệm số cho thấy, nghiệm phương pháp RBF-FD sử dụng thuật toán chọn k-điểm gần có độ xác cao nghiệm FEM số tâm tập tâm hỗ trợ  chọn lớn 15, nhiên thời gian tính phương pháp RBF-FD cao FEM Để nghiệm phương pháp RBF-FD vừa đạt độ xác tốt, vừa khơng tăng đáng kể thời gian tính tốn, giá trị k  17 phù hợp k=21 1,78e-3 7,06e-4 5,60e-4 5,28e-4 2,69e-4 1,57e-4 8,22e-5 3,65e-5 Bộ tâm  toán rời rạc tương tự Bài tốn 1, với lưới thơ ứng với Hmax = 0,3969 có 349 tâm miền Kết 14 Hình Sai số rms tâm Bài toán Hình Mật độ ma trận hệ số Bài tốn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Ngơ Mạnh Tưởng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN Kết luận Nghiệm pháp không lưới RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều với k-điểm gần có độ xác tốt miền khối cầu Tuy nhiên, miền khối hình hộp, để tăng độ xác nghiệm phương pháp ta cần tăng thời gian tính tốn Hy vọng kết tạo tiền đề cho nhóm tác giả tiếp tục nghiên cứu phương pháp RBF-FD không gian chiều LỜI CÁM ƠN Bài báo tài trợ Đề tài cấp sở, mã số T2019-07-16 Trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A I Tolstykh and D A Shirobokov, “On using radial basis functions in a ‘finite difference mode’ with applications to elasticity problems”, Computational Mechanics, 33(1), pp 68-79, 2003 [2] G B Wright and B Fornberg, “Scattered node compact finite difference-type formulas generated from radial basis functions”, J Comput Phys., 212(1), pp 99-123, 2006 [3] O Davydov and D T Oanh, “Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 204(11): - 15 equation”, J Comput Phys, 230, pp 287-304, 2011 [4] O Davydov and D T Oanh, “On the optimal shape parameter for Gaussian Radial Basis Function finite difference approximation of Poisson equation”, Computers and Mathematics with Applications, 62, pp 2143-2161, 2011 [5] D T Oanh, O Davydov, and H X Phu, “Adaptive RBF-FD method for elliptic problems with point Singularities in 2d”, Applied Mathematics and Computation, 313, pp 474-497, 2017 [6] Trần Xuân Tiệp, Nghiên cứu số thuật toán chọn k láng giếng gần 2D áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình poisson, Luận văn thạc sĩ khoa học máy tính, Trường đại học Công nghệ thông tin - Đại học Thái Nguyên, 2014 [7] Đặng Thị Oanh Nguyễn Văn Tảo, “Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng giềng gần với hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson 2D”, Kỷ yếu Hội thảo Fair, tr 509-514, DOI: 10.15625/vap.2016.00062, 2016 [8] C K Lee, X Liu, and S C Fan, “Local multiquadric approximation for solving boundary value problems”, Comput Mech, 30(5-6), pp 396-409, 2003 [9] G F Fasshauer, Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, USA, 2007 [10] M D Buhmann, Radial Basis Functions, Cambridge University Press, New York, NY, USA, 2003 15 16 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... pháp RBF-FD không gian chiều Bài báo gồm phần: Sau Phần giới thiệu Phần 2, miêu tả phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều; Phần 3, giới thiệu thuật toán chọn tâm; Phần 4, trình. .. luận Nghiệm pháp khơng lưới RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều với k-điểm gần có độ xác tốt miền khối cầu Tuy nhiên, miền khối hình hộp, để tăng độ xác nghiệm phương pháp ta cần... tốn véc tơ trọng số Trong [3, 5, 6, 7] tác giả công bố hiệu thuật toán k-láng giềng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson khơng gian chiều Mục tiêu thuật toán với tâm  năm miền, chọn