Phương pháp không lưới rbiem với miền địa phương tròn giải hệ phương trình navier stokes 002

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRỊN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Bùi Thanh Tú Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tời thầy giáo hướng dẫn TS Bùi Thanh Tú, người giao đề tài quan tâm, tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN dạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em suốt q trình học tập nghiên cứu Khoa Em xin cảm ơn thầy, giáo, cán Phịng Sau đại học, Phịng Cơng tác trị sinh viên, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình thực luận văn Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Mục lục Giới thiệu tổng quan Phương pháp khơng lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương ph 2.2 Nội suy hàm giá trị 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 2.4 Số hạng phi tuyến Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes Kết số Chương Giới thiệu tổng quan Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes toán nhà khoa học quan tâm Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng phi tuyến xuất tích phân miền Có nhiều phương pháp khác để giải số hạng phi tuyến Zheng et al [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power Partridge [7] sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM) Nhưng kết hợp BEM DRM giải tốn dịng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ 40 hay 100 Bằng phương pháp phân chia miền [4, 8] Power Mingo giải tốn cho số Reynolds cao với độ xác cao Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM xấp xỉ đạo hàm vận tốc số hạng phi tuyến thơng qua hàm bán kính sở tạo phương trình đại số tuyến tính với số phương trình lơn số ẩn làm tăng độ phức tạp tốn Bên cạnh đó, phương pháp khơng lưới kết hợp với phương trình tích phân biên quan tâm rộng rãi tính xác mà phương trình tích phân biên mang lại Trong phương pháp khơng lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa Zhu et al [12, 13] giải toán Poison toán phi tuyến dựa xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối thiểu với ý tưởng tạo biên địa phương nút Sau Sellountos Sequeira [10] dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến Gần đây, Popov Bui [5] đưa phương pháp không lưới dựa phương trình tích phân biên hàm bán kính sở (RBIEM) để giải toán khuếch tán nhiễu, phương trình tích phân biên áp dụng miền địa phương tương ứng với nút Khi RBIEM tạo hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình số ẩn để giải, ma trận hệ số ma trận thưa RBIEM áp dụng để giải hệ phương trình Navier-Stokes, với nút miền tính tốn, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng ∂ ui vận tốc ∂ xh hàm bán kính sở Ý tưởng phương pháp RBIEM xây dựng miền địa phương ứng với nút bên biên miền tính tốn Về lý thuyết, miền địa phương có hình dạng Khi để tích phân biên miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành phần tử, tích phân biên địa phương tính phần tử sau ghép lại Trên thực tế, để thuận tiện q trình tính tốn, miền RBIEM tạo miền trịn Nhưng đó, để tính tích phân biên dùng phương pháp khác đơn giản hiệu việc phân rã biên Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến đề xuất Để thuận tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến m-RBIEM (modified RBIEM) Để tính tích phân biên miền con, thay việc rời rạc biên thành phần tử cách thêm vào nút biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp tích phân miền có dạng hình trịn Phương pháp m-RBIEM đưa lời giải số xác hơn, tiết kiệm thời gian tính tốn dễ dàng việc lập trình giải tốn thực tế Cấu trúc luận văn trình bày sau: - Chương 1: Giới thiệu tổng quan phương pháp không lưới dùng phương trình tích phân biên - Chương 2: Đề cập phương pháp khơng lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương trịn giải hệ phương trình Navier- Stokes - Chương 4: Kết số Chương Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) kết hợp với phương pháp phương trình tích phân biên BEM (Boundary Element Method) dùng để chuyển số hạng tích phân miền thành tích phân biên giải phương trình NavierStokes Xét phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng khơng nén được: ∂ ui ρ ∂t (2.1) u ∂ i = 0; ∂ xi đó: ui: thành phần vectơ vận tốc theo hướng i; ρ : mật độ; Fi: lực tác động theo hướng i; σi j: tensơ ứng suất tương ứng trường vận tốc áp suất (ui; p) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Với chất lỏng Newton ta có: σi j = −pδi j + µ ( đó: p: áp suất chất lỏng; δi j: ký hiệu Kronecker; µ : hệ số nhớt Phương trình Navier-Stokes cho điểm x miền Ω đóng biên S dạng tích phân đưa Ladyzhenskaya (1963): uk (x) = ∫ tki S đó: gi ti k ui : trường nghiệm vectơ vận tốc phương trình Stokes ∗ k Trong trường hợp hai chiều nghiệm uki q có dạng: ] ; (2.4) r = x (2.5) Khai triển số hạng gi (x) để xấp xỉ tích phân miền phương trình (2:3) thành tích phân biên dạng: N D gi (x) = ∑ f m=1 m m (x) αl δil ; ∗ 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ f m (x) hàm bán kính sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xấp xỉ x điểm lân m cận y , m = 1; :::; N Hàm f m m (x) phụ thuộc vào giá trị R = |x − y | khoảng cách từ điểm m x đến điểm lân cận y Trong trường hợp chiều, khoảng cách R xác định sau: √ m m (x1 − y 1) + (x2 − y 2) R= ( ) m m m đó: (x1; x2) tọa độ x, y 1; y tọa độ y m Hàm f (x; y ) với m = N + 1; N + 2; :::; N + A hàm toàn cục mở rộng nội suy m điểm lân cận y phụ thuộc vào tọa độ điểm x (x1; x2) Trường hợp A=3, ta có: N+3 m m N+1 f (x; y )αl = αl ∑ N+2 + αl N+3 x + αl x2 m=N+1 Áp dụng (2.6) cho N nút lân cận, ta có 2N phương trình 2N+6 ẩn Vì vậy, phương trình bổ sung có dạng: N N ∑ αl m δil = m=1 N ∑ x1αl m δil = m=1 ∑ x2αlmδil m=1 =0 m Hệ số αl chưa biết xác định cách áp dụng phương trình (2.6) cho ND nút lân m cận y , m = 1; ND Khi đó: ∗ m uki (x; y) gi (y) dΩ = ∑ αl ( Trường vận tốc áp suất bổ sung uˆi ∂ uˆi lm lm (x) ; pˆ lm = 0: ∂ xi Trong biểu thức giải tích cho trường Stokes xỉ được đưa phương pháp ) (x) cho phương trình: s=1 t=1 m=1 Ns 2m [ + RsmS s u1(y ) ∂ ∂ x1 Để tính tích phân từ (3.4)-(3.15), tọa độ điểm y = (y1; y2) biên trịn Si, bán kính r tham số bởi: y1 = x1 + r cos θ ; y2 = x2 + r sin θ ; θ ∈ (0; 2π) Khi đó: (3.21) (3.22) ∂tki (3.23) ∗ ∂ u ∗ ∂ xh (3.24) ki ∂x h =− 24 Z8 Z7 Z6 Hình 3.1: Tham số hóa biến hệ tọa độ cực (3.25) (3.26) đó: n1 = cos(θ ); n2 = sin(θ ) Các phương trình (3.17), (3.19), (3.20) sử dụng cho phương pháp m-RBIEM Những phương trình đơn giản so với phương trình (2.35), (2.36), (2.41) 25 Chương Kết số Phần đưa lời giải số phương pháp m-RBIEM với tốn dịng chảy qua hình hộp vuông không gian chiều Đây tốn dùng để kiểm tra tính xác phương pháp số giải toán chất lỏng Bài toán phát biểu sau: Cho dòng chất lỏng ổn định qua mặt hình hộp với vận tốc theo phương ngang số, vận tốc theo phương dọc không Điều kiện không trượt không thấm áp dụng mặt cịn lại hình vuông Phương pháp m-RBIEM sử dụng để giải toán với hai trường hợp số Reynolds Re=100 Re=400 Lời giải số cho m-RBIEM so sánh với lời giải Ghia [2], dùng phương pháp sai phân hữu hạn với lưới có độ mịn cao Bài toán giải cới trường hợp dùng 529 nút 1369 Hình 4.1: Điều kiện biên miền tính tốn 26 Hình 4.2: Trường vận tốc Re=100 với 529 nút 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.4 −0.2 Hình 4.3: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=100; 589 nút Các hình 4.3, 4.4, 4.7 4.8 đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=100 với số nút 529 1369 Nghiệm cho phương pháp RBIEM cải tiến cho nghiệm tương đối xác trùng với lời giải Ghia Phương pháp m-RBIEM cho nghiệm xác 27 0.1 0.05 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 −0.5 −0.4 Hình 4.4: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=100; 589 nút 0.5 0.4 Re = 400 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −1 −0.8 Hình 4.5: Trường vận tốc ux dọc theo đường x=0 Re=400; 589 nút 28 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.5 −0.4 Hình 4.6: Trường vận tốc uy dọc theo đường y=0 Re=400; 589 nút 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.4 −0.2 Hình 4.7: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100; 1369 nút 29 0.2 0.15 0.1 0.05 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 −0.3 y Hình 4.8: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100; 1369 nút Hình 4.9: Trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 Re=100 30 Uy − − − Hình 4.10: Trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 Re=100 phương pháp RBIEM cũ 31 Tương tự, hình 4.5 hình 4.6 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút 529 32 Hình 4.9 hình 4.10 tương ứng đưa trường vận tốc ux dọc theo đường dọc x=0 trường vận tốc uy dọc theo đường ngang y=0 trường hợp Re=400 với số nút khác Hai đồ thị cho thấy, trường hợp 529 nút Lời giải số RBIEM lời giải Ghia có khác biệt rõ Nhưng tăng số nút lên 1369, lời giải RBIEM không khác biệt nhiều so với lời giải Ghia dùng phương pháp sai phân hữu hạn với độ mịn cao 33 Kết luận ∂ ui ∂x Luận văn trình bày phương pháp khơng lưới RBIEM (Radial Basis Integral Equation Method) với miền địa phương trịn giải hệ phương trình Navier-Stokes cách đưa cơng thức giải tích cho phương trình tích phân biên trịn Trong với nút miền tính tốn, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng vận tốc hàm bán kính sở, RBIEM dùng phương trình tích phân biên Phương pháp m-RBIEM tính tốn trực tiếp tích phân biên trịn mà khơng cần q trình rời rạc hóa biên cách tham số hóa biến hệ tọa độ cực Các công thức phát triển đưa luận văn đơn giản, cho kết xác cơng việc lập trình cho tính tốn dễ dàng Áp dụng cơng thức để giải tốn dịng chảy qua hình hộp nghiệm số cho RBIEM trùng với nghiệm số cho Ghia [1] Hướng nghiên cứu tiếp theo: + Giải phương trình Navier-stokes có tính đến yếu tố nhiệt độ + Xây dựng mơ hình giải cho tốn ba chiều + Xây dựng giải mơ hình chất lỏng phi Newton 34 Tài liệu tham khảo Florez, W F, H Power and F Chejne, "Multi-domain dual reciprocity BEM approach for the Navier-Stokes system of equations", Communications in Numerical Methods in Engineering, 2000 16(10):p 671-681 Ghia, U.,K N Ghia and C T Shin, "High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method", Journal of Computational Physics, 1982 48:p.387-411 Ladyzhenskaya, O A., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow 1963: Gordon and Breach, New York Mingo, R and H Power, "The DRM subdomain decomposition approach for two- dimensional thermal convection flow problems", Engineerning Analysic with Boundary Elenments, 2000.24:p 121-127 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to two-dimensional convection- diffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010.34:p 680689 Popov, V and T T Bui, "A meshless solution to convection-diffusion problems", Engineering Analysic with Boundary Elements, 2010 34 :p 680-689 Power, H and P W Partridge, "The use of Stokes fundamental solution for the boundary only element formulation of the three-dimensional Navier-Stokes equations for moderate Reynolds numbers, "Interational joumal for numerical methods in engineering, 1994.37 :p 1825-1840 Power,H and R Mingo, "The DRM subdomain decomposition approach to solve the two-dimensional Navier-Stokes system of equations", Engineerning Analysic with Boundary Elenments, 2000.24(1):p 107-119 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Power, H and L Wrobel, "Boundary integral methods in fluid machenics" 1995: Southampton, UK Computational Mechanics Publications 10 Sellountos, E J and A Sequeira, "An advanced meshless LBIE/RBF method for solving two-dimensional incompressible fluid flows", Computational Mechanics , 2008.44:p 617-631 11 Zheng,R., N Phan-Thien and C J Coleman, "A boundary element approach for non-linear boundary value problems", Computational Mechanics , 1981.8 :p 71-86 12 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A local boundary integral equation (LBE) method in computational mechanics, and a meshless discretization approach", Compu-tational Mechanics , 1998.21:p 223-235 13 Zhu, T., J D Zhang and S N Atluri, "A meshless local boundary integral equation (LBIE) method for solving nonlinear problems", Computational Mechanics, 1998.22:p 174-186 36 ... giải phương trình Navier- Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình Navier- Stokes - Chương 4: Kết số Chương Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình. .. 12 2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM a ∂uj ∂ xi p (y) = ∑ ∑ f (y; zs)Rts p t NA NA : s=1 t=1 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM Phương pháp không lưới RBIEM tạo miền địa phương ứng với nút miền tính... 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 2.4 Số hạng phi tuyến Phương pháp RBIEM với miền địa phương trịn giải hệ phương trình NavierStokes Kết số Chương Giới thiệu tổng quan Phương