Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Về mặt lý luận Trí thơng minh tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng chủ yếu lực tư mà đặc trưng lực tư độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng hiểu biết học để giải vấn đề đặt cách tốt Chính vậy, nghị Bộ trị cải cách giáo dục nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thơng minh cho học sinh cấp III Nghị rõ yêu cầu “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” Một điểm đổi phương pháp dạy học coi trọng việc lấy người học làm trung tâm, người thầy đóng vai trò người giúp em hướng, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, sáng tạo Chính vậy, THPT, việc phát triển trí thơng minh cho em thơng qua mơn tốn cần thiết 1.2 Về mặt thực tiễn Phấn đấu để dạy tốt mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng nguyện vọng tha thiết đội ngũ giáo viên THPT Như biết, Toán khoa hoc suy diễn trừu tượng Tốn học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu mơn tốn trung học hình thành biểu tượng tốn học ban đầu rèn luyện kĩ SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau Một mặt khác tốn học cịn có tính thực triễn Các kiến thức toán học sống Mỗi mơ hình tốn học khái qt từ nhiều tình sống Dạy học tốn học trung học hồn thiện vốn có học sinh, cho học sinh làm ghi lại cách thức kiến thức tốn học ngơn ngữ kí hiệu tốn học Mỗi tiết học dịp để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, vận dụng cách sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn sống sau Chính vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thơng minh học sinh thơng qua học tốn 1.3 Về cá nhân Xuất phát từ lý luận thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ, vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý tơi chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Một vấn đề thường gặp đại số, làm cho học sinh lúng túng tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ, thơng thường tốn loại SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số kiến thức phương trình, bất phương trình vơ tỉ đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Những tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ có nội dung hấp dẫn khó giải Một nguyên nhân gây khó giải phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề phương pháp thông thường hay hay áp dụng đại số Để giải phần khó khăn trên, tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm cung cấp phương pháp học giải tập phương trình, bất phương trình vơ tỉ cho bạn u thích tốn học, thầy giáo, em học sinh trường làm tài liệu tham khảo tiếp tục phát triển Giới hạn đề tài Nghiên cứu phương trình, bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt phương pháp hàm số, tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phương pháp nghiên cứu 6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” 6.2 Phương pháp quan sát Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh trường năm học vừa qua Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn B PHẦN NỘI DUNG SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần Phương trình có chứa thức I.Phương pháp biến đổi tương đương 1.Kiến thức   a f ( x) =g(x) ⇔  g(x) ≥  f(x)=[ g(x)]  f (x) ≥ 0,(g(x) ≥ 0)  b f (x) = g(x) ⇔   f (x) =  g(x)  • Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước biến đổi 2.Ví dụ minh hoạ • Ví dụ1: Giải phương trình sau: x2 + x − = − x (1) 2− x ≥  x ≤ ⇔ ⇔ x =1  2  x − x + = ( x − 2)  x =  Pt (1) ⇔  • Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3x + − x −1 = x + (2) SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 3 x + ≥  ĐK :  x −1 ≥ ⇔ x ≥  x + ≥  Pt (2) ⇔ 3x + = x −1 + x + ⇔ 3x + = ( x −1 + x + 3) ⇔  x = −2 (2 x −1)( x + 3) = ⇔ x + x − = ⇔  ⇒ x = (do x = -2 loại)  x = 2 • Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2(1 − x) x + x −1 = x − x −1 (3) Pt(3) ⇔ ( x + x −1 + x)(2 − x + x −1) = ⇔ x2 + x −1 + x = (*) x2 + x −1 = (**) Giải phương trình (*) ta có phương trình vơ nghiệm Giải phương trình(**) ta nghiệm phương trình x = ± Vậy nghiệm phương trình(3)là : x = ± • Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x( x −1) + x( x + 2) = x (4) SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số  x ≥1  x( x − 1) ≥  ⇔ x=0 ĐK   x( x + 2) ≥   x ≤ −2 Ta xét theo trường hợp sau: +)Trường hợp 1: Nếu x ≥ pt(4) trở thành x −1 + x + = x ⇔ ( ) x −1 + x + = 4x ⇔ x + x − = 2x −1 ⇔ 4(x + x − 2) = (2x −1) ⇔ x = (t/m) +)Trường hợp 2: Nếu x ≤ −2 pt(4) trở thành − x + −x − = −x ⇔ ( ) − x + −x − = −4x ⇔ x + x − = −2x + ⇔ 4(x + x − 2) = (−2x + 1) ⇔ x = (loại) +)Trường hợp 3: Nếu x = pt(4) thỏa mãn Vậy nghiệm pt(4) x = , x = II) Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình khơng chứa ẩn ban đầu • Nếu có f(x) f(x), đặt t = SKKN năm học 2010 - 2011 f (x) Nguyễn Văn Xá – THPT n Phong số • Nếu có f (x), g(x) mà f (x) g(x) = a(h / s) đặt t = f (x) ⇒ g(x) = a t • Nếu có f (x) ± g(x), f (x)g(x),f (x) ± g(x) = a đặt t = f (x) ± g(x) • Nếu có π π a − x đặt x = a sin t, − ≤ t ≤ • Nếu có x − a đặt x = a π π ( − ≤ t ≤ , t ≠ 0) sin t 2 * Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + x − 2x + − = đặt t = x − 2x + ≥ Bài2: Gpt 5( 3x − + x − 1) = 4x − + 3x − 5x + đ/k x ≥ , đặt t = Bài3:Gpt: 3x − + x −1 đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0 − x = 4x − 3x đ/k -1 ≤ x ≤ đặt x = cost t ∈  0, π  PT trở thành π − cos t = 4cos3 t − 3cos t ⇔ sin t = cos3t ⇔ cos3t = cos( − t) π 5π 3π ⇔t= , , 8 π 2+ 5π − − ⇒ x1 = cos = , x = cos = , 8 3π x = cos = − Bài4: Gpt: SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 (1 + x) − − x + (1 − x) = (4) Do x = ±1 khơng nghiệm phương trình (4) nên ta chia vế PT(4) cho Pt ⇒ 1− x 1+ x 1− x + − = (5) đặt 1− x 1+ x t= 1+ x (t ≥ 0) 1− x  t =1  Pt(5) tt 2t + − = ⇔ 2t − 3t + = ⇔  t  t = Bài5: Gpt : x + x 35 = x −1 12 đ/k x > đặt x = cos t π t ∈ (0 ) ⇒ x −1 = tan t 1/ cos t 35 1 35 + = ⇔ + = cos t sin t / cos t 12 cos t sin t 12 ⇔ 12(sin t + cos t) = 35sin t cos t Pt ⇒ Đặt u = sin t + cos t → u ∈ (1; 2) ⇔ 35u − 24u − 35 = → t = 35   cos t + sin t = 12 ⇔ 25  =  cos t sin t 12 5    cos t = x = ⇔ ⇒  =5 x =  cos t  Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình cịn chứa ẩn ban đầu **Bài tập áp dụng : SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài1: Gpt : x −1 = 2x x − 2x (1) x ≥ ĐK :  x ≤ Đặt t = x − 2x ≥ Khi pt(1)tt x2 -2tx-1 = , ∆ ' = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1)  x − 2x =  x − 2x − =  x = x − 2x + (x − 1) x = 1−    ⇔  2x −1 ≥ ⇔   x ≥ 1/ ⇔  x = x − 2x − (x −1)   x − 2x = (2x −1)  3x − 2x + =  x = +     Bài2: Gpt : (4x-1) 4x + = 8x2+2x+1  t=  ( t = loại t ≥ ) đặt t = 4x + ≥ ,pttt : 2t -(4x-1)t+2x-1=0 ⇔   t = 2x −1 2  1  x≥  x ≥ ⇔ 2 ⇒ PTvô nghiệm với t =2x-1 ⇒ 4x + = 2x − ⇔  4x + = (2x −1)  x =  Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình m  u = m a − f (x) u m + = a + b  a − f (x) + b + f (x) = c →  ⇒ u + v = c  v = n b + f (x) n Trong m n nguyên dương lớn ***Bài tập áp dụng : SKKN năm học 2010 - 2011 10 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số x+ x >2 ⇔ x − x + > ⇔ Pt có nghiệm 3 x ∈ (0, − 2) ∪ ( + 2, +∞) 2 Bài4: Gbpt x +1 x Đặt t = −2 x +1 x >3 x +1 ≥0 x PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥  1 Cho ta tập nghiệm bpt  0,   8 2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t ẩn ,x tham số,hoặc bpt xem x ẩn, t tham số Bài tập:Gbpt: x2-1 ≤ x x + x Đặt t = x + x ≥ dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ Ta có ∆ ' = t + = (x + 1)2 PT dẫn tới ( x + x + 1)( x + x − x − ≤  2 x + ≥ x ≥ −    x + 2x − 2x − ≤ ⇔ x + 2x ≥ ⇔ ⇔ x≥0 x≥0     x + x ≤ (2 x + 1)  x ≤ −2 SKKN năm học 2010 - 2011 19 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 3.Dạng3: Đặt ẩn phụ dẫn tới hệ Bài1: gbpt x − x + − x ≤ x − điều kiện x ≥ biến đổi u = x − ≥ ⇔ 2u + 2v > u + v 2( x + 2) + 2(2 x − 1) > x + + x − đặt  v = x + u + v ≥ ⇔ ⇔u≠v 2 2u + 2v > (u + v) x + ≥ 2x − = x + ⇔  ⇔ x = 1, x = x − x + = Trường hợp u = v   Vậy để u ≠ v ⇔ x ∈  ,+∞  x ≠ 1, x ≠ 2 Bài2:gbpt  u = x ≥ bất phương trình có x − x + − x ≤ x − đặt  v = x − dạng u + v ≥ u + v ≥ 2u + 2v ≤ u + v ⇔  ⇔ ⇔u=v≥0  2 2u + 2v ≤ u + v (u + v) ≤ x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x =4 x − x + = x = x −   III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình SKKN năm học 2010 - 2011 20 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài tập áp dụng Bài1: gbpt: x + + x + > d / k x ≥ −2 xét hàm số f(x) = x + + x + tập x ≥ -2 Có đạo hàm ln dương với x thuộc tập xác định suy hàm số đồng biến lại có f(0) = nghiệm bpt x > Bài2: gbpt: x − x − − x x + 11 > − x − x − Tương đương dk ≤ x ≤ x − x − + x − > x − x + 11 + − x ( x − 1) + + x − > (3 − x) + + − x Xét hàm số f(t) = t + + t Trên 1,3 có f’(t)hàm số đồng biến tập xác định ta có f(x-1)>f(3-x) x-1>3-x cho ta x>2 nghiệm bất phương trình 20 F(x) = x + x + x + + x + x co f ( x) = + x + x + | + x + 7x   29   Hàm số đồng b iến tập xác định f(x) < 35 = f       12   SKKN năm học 2010 - 2011 21 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số   29   Vậy nghiệm bpt 0< x <       12   IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số Kiến thức Lập bảng biến thiên từ có kết tốn Bài tập áp dụng Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với f , (t ) = mx - x − ≤ m +1 đặt t = x + t ≥ ta có t +1 t +1 ≥ m xét hàm số f(t) = 2 t +2 t +2 tập t≥ có − t − 2t + , f (t) = t = ± (t + 2) Ta có bảng biến thiên t f’ -1 - + f ( t ) Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm m ≤ SKKN năm học 2010 - 2011 +1 22 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số V) Phương pháp đồ thị : Kiến thức : dùng đẻ giải tốn tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực bước sau : *) sử dụng phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình cho hệ *) xét hệ trục tọa độ Oxm +) Biểu diễn điểm M(x,m) thỏa mãn bất phương trình hệ ,giả sử tập X1,X2, +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩… +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử Im *) Khi đó: +) Để hệ vơ nghiệm m ∉ Im +) Để hệ có nghiệm m € Im +) Để hệ có nghiệm đường thẳng m = α giao với tập X điểm Bài tập áp dụng: Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm − x ≥ m − x đặt y = − x ≥ y bất phương trình tương đương với hệ SKKN năm học 2010 - 2011 23 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số M(1,5) x + y = (2)   x + y − m ≥ (3) x Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu X1 tập hợp điểm mằn nửa đường trịn tam O bán kính R=1 điểm thỏa mãn (3) ký hiệu X2 tập hợp điểm nằm phía đưịng thẳng x + y = m lấy với y ≥ Vậy để bất phương trình có nghiệm X  X ≠ m ≤ Bài2: Tìm m để bất phương trình sau x thuộc – ≤ x ≤ (4 + x)(6 − x ) ≤ x2 - 2x +m đặt y = (4 + x)(6 − x) ≥ suy y2 = 24 + 2x – x2 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 vế trái bất phương trình nửa y đường trịn tâm I(1,0) bán kính R = , cịn vế phải bất phương trình y = x2 – 2x + m pảabol có đỉnh nằm đường thẳng x = để toán nghiệm với x thuộc – ≤ x ≤ pảa bol ln nằm phía nửa đường tròn đỉnh pảabol tiếp xúc với đường tròn điểm M(1,5) tức = m0 – suy m0 = giá trị m cần tìm m ≥ SKKN năm học 2010 - 2011 24 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số VI) Phương pháp điều kiện cần đủ Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm bất phương trình ta Suy đặc điểm nghiệm bất phương trình từ suy Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện toán giá trị cần tìm Bài tập áp dụng Bài tốn1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm x − 2m ≤ mx (1) Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm x0 – x0 nghiệm , muốn có nghiệm phải có x0 = - x0 suy x0= thay vào (1) ta có m = Điều kiện đủ : với m = thay vào bất phương trình ta có nghiệm x = , m = giá trị cần tìm Bài tốn2: Tìm m để bất phương trình (2 + x)(4 − x) ≤ x − x + m (1) nghiệm với x ∈ [ − 2,4] Điều kiện cần: để bất phương trình x ∈ [ − 2,4] x = nghiệm thay vào (1) ta có m≥ Điều kiện đủ : với m ≥ áp dụng bất đẳng thức Cơ si vế trái ta có VT = (2 + x)(4 − x) ≤ 2+ x+4− x = 3, SKKN năm học 2010 - 2011 25 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số VP = x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – ≥ Suy VP ≤ VT, với m ≥ giá trị cần tìm VII) Phương pháp đánh giá: Đó tốn giải thơng thường gặp khó khăn để ý đặc điểm toán kết hợp với mọt số bất đẳng thức ta suy nghiệm toán Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau Ta có điều kiện Khi x − x2 −1 + x + x2 −1 ≤ x − ≥  x − x − ≥ ⇔ x ≥   x + x − ≥ x − x − + x + x − ≥ x − x − x + x − = bát phương trình có nghiệm Vế trái = x − x2 −1 = x + x2 −1 ⇔ x = x = nghiệm bất phương trình SKKN năm học 2010 - 2011 26 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số C PHẦN KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy , cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng cấu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức SKKN năm học 2010 - 2011 27 Nguyễn Văn Xá – THPT n Phong số Ngồi có nhiều toán giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu cịn nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học ln khơng gian tốn học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để vừa viết, vừa mang giảng dạy cho em học sinh từ kiểm nghiệm bổ sung thiếu sót, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hòan thiện tài liệu này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa Người thực Nguyễn Văn Xá SKKN năm học 2010 - 2011 28 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa, sách tập, sách giáo viên, tài liệu chuẩn kiến thức – kĩ môn Toán THPT SKKN năm học 2010 - 2011 29 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số [2] Các giảng luyện thi đại học – Phan Đức Chính (cb) [3] Các chuyên đề luyện thi đại học – Trần Văn Hạo (cb) SKKN năm học 2010 - 2011 30 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số MỤC LỤC A Phần mở đầu …………………………………………………… 02 B Phần nội dung ……………………………………………………04 Phần Phương trình có chứa thức ………………………… 04 Phần Bất phương trình có chứa thức ……………………….11 C Phần kết luận …………………………………………………….17 Tài liệu tham khảo ………………………………………………… 19 Mục lục …………………………………………………………… 20 SKKN năm học 2010 - 2011 31 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Ý kiến nhận xét đánh giá hội đồng xét duyệt sáng kiến kinh nghiệm SKKN năm học 2010 - 2011 32 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số SKKN năm học 2010 - 2011 33 ... Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Những tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ có nội dung hấp dẫn khó giải Một nguyên nhân gây khó giải phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề phương. .. phương trình vơ tỉ đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề Phương. .. tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ, thơng thường tốn loại SKKN năm học 2010 - 2011 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số kiến thức phương trình, bất phương