Định nghĩa 2.3.1. A) Một không gian Banach thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thửlà một không gian Banach E sao cho chúng ta có phép nhúng liên tục S∞(R3)⊂E ⊂ S0(R3)/C[x1, x2, x3] và do đó:
(a) Đối với mọi x0 ∈ R3 và với mọi f ∈ E, f(x − x0) ∈ E và ||f||E = ||f(x − x0)||E.
(b) Đối với mọi λ > 0, tồn tại Cλ > 0 sao cho với mọi f ∈ E, f(λx) ∈ E và ||f(λx)||E ≤Cλ||f||E.
(c) S∞(R3) là trù mật trong E.
B)Một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach E, có tôpô đối ngẫu là không gian Banach thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E(∗). Không gian E(0) gồm các phần tử trơn của E được định nghĩa là bao đóng của S∞(R3) trong E.
Bổ đề 2.3.1. Cho E là một không gian Banach thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử. Khi đó, tồn tại một số nguyên N ∈N sao cho không gian SN ={f ∈ S(R3) | ∀α ∈ N3 thỏa mãn |α| < N,R xαf(x)dx = 0} là nhúng liên tục trong E.
Chương 2.Kiến Thức Cơ sở Chứng minh.
Phép nhúng liên tục của S∞ vào E cho chúng ta bất đẳng thức sau: với một hằng số C≥0 nào đó và M ∈N thì ||f||E ≤C P |α|≤M P |β|≤M ξα ∂∂ξββfb ∞.
Nếu f ∈ SM+1, chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng, sử dụng toán tử Sj của phép biến đổi Littlewood - Paley, xấp xỉ f −Sjf của f thỏa mãn f −Sjf ∈ S∞ và
lim j→−∞ P |α|≤M P |β|≤M ξα ∂∂ξββ(ϕ(2ξj)fb) ∞ = 0. Do vậy f ∈E.
Định nghĩa 2.3.2. Cho E là một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và cho N là số nguyên lớn nhất sao cho SN ⊂ E(∗). Khi đó, biểu diễn Er của E là không gian gồm các hàm suy rộng f ∈ S0(R3) sao cho tồn tại một hằng số C để với mọi φ ∈ SN, chúng ta có |hf |φi| ≤C||φ||E(∗).
Định nghĩa 2.3.3. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến hoặc là một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, σ ∈ R và 1 ≤ q ≤ ∞. Khi đó, không gian Besov thuần nhất B˙Eσ,q được định nghĩa là không gian Banach gồm các hàm suy rộng f ∈ S0/C[x1, x2, x3] sao cho, với mọi j ∈ Z ta có 4jf ∈E và
2jσ||4jf||E
j∈Z ∈lq(Z).
Mệnh đề 2.3.1. Cho E là một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, σ ∈ R,1 ≤ q ≤ ∞ và cho q0 là số mũ liên hợp của q. Chúng ta định nghĩa eB˙
−σ,q0
E(∗) là bao đóng của S∞ đối với chuẩn ||2−jσ||4jf||E(∗)||lq0(Z). Khi đó, Be˙
−σ,q0
E(∗) là một không gian Banach thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử và B˙σ,qE là không gian đối ngẫu của
e˙
B
−σ,q0
E(∗) : một hàm suy rộng f ∈ S0 thuộc vào B˙Eσ,q nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số C sao cho với mọi ω∈ S∞, chúng ta có |hf |ωi| ≤C||ω||
e˙
B
−σ,q0 E(∗)
Chương 3
Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm
Trong luận văn này, chúng ta sẽ nói rằng u là một nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes trong [t0, t0+T] đối với một t0 ∈ R nào đó và T >0 nếu, với một giá trị ban đầu phân kỳ tự do u0, lời giải u (trong các không gian hàm về sau ta xét) là nghiệm của phương trình tích phân
u(t) = e(t−t0)4u0+
Z t (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
t0
e(t−s)4P∇ ·(−u(s)⊗u(s))ds, t∈[t0, t0+T]. (3.1) Chúng ta sử dụng ký hiệu sau: với một tensor F = (Fij) ta xác định vectơ ∇ ·F bởi (∇ ·F)i =Pj∂jFij. Ta sẽ xem xét nghiệm trong không gian ba chiều
(x ∈ R3), do đó u = (u1, u2, u3), ui = ui(x, t),1 ≤ i ≤ 3. Trong trường hợp đó, toán tử chiếu P vào trường phân kỳ tự do được định nghĩa trên mỗi trường vectơf bởi(Pf)j =fj+
3 P
k=1
RjRkfk,1≤j ≤3, và biến đổi RieszRj được xác định trên một vô hướng g thông qua biến đổi Fourier cho bởi (Rjg)∧(ξ) = iξj
|ξ|bg(ξ). (Người ta cũng có thể viết một cách hình thức Pf = f − ∇1
4(∇ ·f) ).
Hạch của phương trình truyền nhiệt et4 được xác định bởi et4g(x) = [e−|·|2tbg(·)]∨(x) = ((4πt)−3/2exp{−| · |2/4t} ∗ g)(x), và mở rộng để
Chương 3.Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm tác động thành phần lên các không gian vectơ.
Một cách hình thức, (3.1) có được từ việc áp dụng Pvào phương trình Navier - Stokes cổ điển mà ta có thể viết như sau
∂u ∂t − 4u+∇p=∇ ·(−u⊗u), ∇ ·u= 0, (3.2)
(ở đây ∇ ·(u⊗u) = (u· ∇)u do điều kiện ∇ ·u= 0) và giải phương trình truyền nhiệt (do P(∇p) = 0) theo công thức Duhamel.
Trong những gì được trình bày sau đây, chúng ta sẽ đặt Lp = Lp(R3) và ||g||p=||g||Lp với mỗi p∈[1; +∞) tùy ý,
˙
Hs = ˙Hs(R3) ={g ∈ S0|(Dsg)∧(·) =| · |s2
b
g(·)∈L2},
với mỗi s ∈ R, trong đó S0 là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, và cho f =f(t, x) với không gian Banach X tùy ý, ta có f ∈Lp((a, b);X) khi và chỉ khi ||f(t)||X =||f(t,·)||X ∈Lp(a, b).
Đối với tập bất kỳ các không gian Banach(Xm)Mm=1 và X :=X1∩...∩XM, chúng ta luôn đặt ||g||X = (
M
P
m=1 ||g||2
Xm)12. Tương tự như vậy, đối với hàm nhận giá trị vectơ f = (f1, ..., fM), ta định nghĩa ||f||X = ( M P m=1 ||fm||2 X)12. Để dễ tham khảo, chúng ta định nghĩa ở đây các không gian chính mà chúng ta sẽ đề cập trong phần sau:
ET =L∞((0, T); ˙H12)∩L2((0, T); ˙H32); ET(1/2) :=C([0, T); ˙H21)∩L2((0, T); ˙H32); ET(3) :=C([0, T);L3)∩L5(R3×(0, T)).
Chương 3.Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm