5 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
5.1.2 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn
Định nghĩa 5.1.7. Cho X là không gian tiền Hilbert. Hai vectơ x, y ∈X được gọi là trực giao nếu hx, yi= 0. Kí hiệu: x⊥y.
Hệ A ⊂ X được gọi là hệ trực giao nếu các vectơ của A trực giao với nhau từng đôi một.
Định lí 5.1.8. Giả sử A là một hệ trực giao gồm các vectơ khác 0. Khi đó, A là độc lập tuyến tính. Hơn nữa, với n vectơ x1, x2, ..., xn ∈A ta có
kx1+x2+...+xnk2 = kx1k2+kx2k2+...+kxnk2 (Đẳng thức Pythagore) Định lí 5.1.9. Giả sử {xn}n là hệ trực giao trong không gian Hilbert X. Khi đó, chuỗi
∞
X
n=1
xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số
∞
X
n=1
kxnk2 hội tụ.
Định nghĩa 5.1.10. Cho X là không gian Hilbert, A là không gian con đóng của X. Khi đó, không gian con đóng
A⊥ = x∈ X|x⊥A =x∈X|x⊥y,∀y ∈A được gọi là phần bù trực giao của A.
Định lí 5.1.11. Nếu A là không gian con đóng của không gian Hilbert X thì với mỗi phần tử x của X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x=y +z với y ∈A và z ∈A⊥
Và y được gọi là hình chiếu trực giao của x trên không gian con A.
Định nghĩa 5.1.12. Cho X là không gian Hilbert, A là không gian con đóng của X. Tập M = x∈ X|x =y+z, y ∈A, z ∈A⊥ gọi là tổng trực giao của không gian con đóng A và A⊥. Kí hiệu: M =AL
A⊥.
Ánh xạ P : M →A, xác định bởi công thứcP x=y, trong đó y là hình chiếu trực giao của phần tử x∈ X trên A, gọi là phép chiếu trực giao lên không gian con đóng A.
Định nghĩa 5.1.13. Cho X là không gian Hilbert và A ⊂ X. Ta gọi A là hệ trực chuẩn của X nếu A là hệ trực giao và kak= 1 với mọi a∈ A.
kxk2 = ∞ X i=1 hx, aii 2 (Đẳng thức Parserval)
thì A được gọi là một cơ sở trực chuẩn đếm được hay hệ trực chuẩn đếm được của X.
Định lí 5.1.14. Giả sử X là không gian Hilbert, {en} là một hệ trực chuẩn đếm được trong X. Khi đó, chuỗi
∞
X
n=1
hx, enien,∀x ∈ X hội tụ. Hơn nữa,
∞ X n=1 hx, eni 2 6kxk2 (Bất đẳng thức Bessel).
Định lí 5.1.15. Giả sử không gian HilbertX có một cơ sở trực chuẩn đếm được
{en}. Khi đó, i) x= ∞ X n=1 hx, enien,∀x∈X; ii) hx, yi= ∞ X n=1 hx, eni hy, eni,∀x, y ∈X;