Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Tập số nguyên Tập số hữu tỉ Tập số nguyên f 1 Ánh xạ ngược f fg Tích hai ánh xạ MR Module phải vành R M Module trái vành R R HomR  M , N  Tập hợp tất R  đồng cấu module f : M  N M i iI Họ tập M i ■ Kết thúc chứng minh LỜI CẢM ƠN Được phân công Bộ môn Toán Khoa Sư phạm Trường Đại học Cần Thơ, đồng ý Cô hướng dẫn TS Lê Phương Thảo thực luận văn với đề tài “Module bất khả quy module hoàn toàn khả quy” Để hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giảng viên tận tình dạy bảo, trang bị cho nhiều kiến thức bổ ích cần thiết suốt thời gian học tập Trường Những kiến thức giúp hoàn thành luận văn tốt nghiệp đồng thời hành trang quý giá cho công việc tương lai Đặc biệt, xin trân trọng cảm ơn Cô hướng dẫn TS Lê Phương Thảo tận tình hướng dẫn, góp ý chỉnh sửa thảo giúp hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hạn chế kiến thức kinh nghiệm trình bày báo cáo khoa học nên tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Rất mong góp ý quý Thầy, Cô bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, ngày 27 tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Trường Duy MỤC LỤC trang DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ………………………………………………… LỜI CẢM ƠN ………………………………………………………………… MỤC LỤC …………………………………………………………………… PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG …………………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị ……………………………………………… 1.1 Module, module con, module thương ……………………………… 1.2 Đồng cấu module ………………………………………………… 10 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp ……………………………………… 14 1.4 Dãy khớp ………………………………………………………… 15 1.5 Phần bù cộng tính, phần bù theo giao …………………………… 16 1.6 Module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh ………………… 16 1.7 Module tự ……………………………………………………… 19 1.8 Module cốt yếu, module đối cốt yếu ……………………………… 20 1.9 Module xạ ảnh, module nội xạ …………………………………… 23 1.10 Module Noether, module Artin ………………………………… 23 Chương Module bất khả quy …………………………………………… 25 2.1 Định nghĩa tính chất …………………………………………… 25 2.2 Đồng cấu module bất khả quy ……………………………… 28 Chương Module hoàn toàn khả quy……………………………………… 37 3.1 Định nghĩa tính chất …………………………………………… 37 3.2 Module hoàn toàn khả quy số kết quả…………………… 42 3.3 Định lí trù mật…………………………………………………… 54 PHẦN KẾT LUẬN………………………………………………………… 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… … 61 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Là sinh viên Sư phạm Toán, sở trang bị kiến thức module mong muốn học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức toán học nói chung lí thuyết module nói riêng Chính chọn đề tài: “Module bất khả quy module hoàn toàn khả quy” cho luận văn tốt nghiệp Trong đề tài hệ thống kiến thức module làm sở lí luận để tìm hiểu khái niệm, tính chất module bất khả quy module hoàn toàn khả quy mối quan hệ của chúng với khái niệm khác lý thuyết module Đối tượng nghiên cứu Đối tượng mà luận văn nghiên cứu module bất khả quy module hoàn toàn khả quy, tập trung vào tính chất mối liên hệ với khái niệm có liên quan lý thuyết module Mục đích nghiên cứu Hệ thống cách khoa học khái niệm module, nghiên cứu tính chất module bất khả quy module hoàn toàn khả quy nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu khái niệm liên quan lý thuyết module Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Trước hết đọc tài liệu có liên quan đến Đại số đại, module để tìm hiểu sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối tượng Sau đọc, nghiên cứu hiểu định nghĩa, tính chất module bất khả quy module hoàn toàn khả quy qua tài liệu có liên quan + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức module bất khả quy module hoàn toàn khả quy cách khoa học đầy đủ, đưa vào ví dụ minh họa 5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán với hệ thống kiến thức phần mở đầu tìm hiểu sâu cấu trúc module, khái niệm, tính chất có liên quan thông qua module bất khả quy module hoàn toàn khả quy Bố cục luận văn Nội dung luận văn có ba chương bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày cách có hệ thống kiến thức lí thuyết module Chương Module bất khả quy Tìm hiểu định nghĩa, tính chất module bất khả quy tạo tiền đề để tìm hiểu chương Chương Module hoàn toàn khả quy Chương trình bày định nghĩa tính chất module hoàn toàn khả quy mối liên hệ với cấu trúc module khác đế module, module cốt yếu đối cốt yếu, module hữu hạn sinh module hữu hạn đối sinh PHẦN NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm module, module con, module thương, đồng cấu module, tích trực tiếp tổng trực tiếp module, số module thường gặp module tối đại, module tự do,… số lớp module có tính đối ngẫu: module cốt yếu, module đối cốt yếu; module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh; module Noether, module Artin Đây kiến thức lí thuyết module cần thiết cho tiếp cận, tìm hiểu nội dung luận văn chương sau Trong luận văn vành R giả thiết có đơn vị  1.1 Module, module con, module thương 1.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành Nhóm cộng giao hoán M với phép toán (còn gọi phép nhân với vô hướng): M R M  m, r  mr gọi R  module phải thỏa mãn điều kiện sau: i)  mr  r '  m  rr ' ii)  m  m ' r  mr  m ' r iii) m  r  r '  mr  mr ' iv) m.1  m , với m, m '  M r , r '  R Nếu 0M , 0R tương ứng phần tử trung hòa M R từ định nghĩa ta suy 0M r  0M m0R  0M   mr    m  r  m  r  , với m  M r  R Từ thay cho 0M , 0R ta viết mà không sợ nhầm lẫn Tương tự, nhóm cộng giao hoán M gọi R  module trái phép nhân với vô hướng : R M   M  r, m rm Thỏa mãn điều kiện sau: i) r '  rm    r ' r  m ii) r  m  m '  rm  rm ' iii)  r  r ' m  rm  r ' m iv) 1.m  m , với m, m '  M r , r '  R Rõ ràng vành R giao hoán khái niệm module phải module trái trùng gọi đơn giản R  module Để thuận tiện, ta quy ước nói module ta hiểu module phải Ví dụ Vành R R -module phải với phép nhân vô hướng bên phải vành R Tương tự R R -module trái Mỗi ideal phải R R -module phải, ideal trái R R -module trái Mỗi không gian vector trường K K -module Mỗi nhóm  M ,   giao hoán Z  module Có thể nói khái niệm module mở rộng khái niệm nhóm giao hoán khái niệm không gian vector 1.1.2 Định nghĩa Mỗi tập khác rỗng N R  module M gọi module M N R  module với phép cộng phép nhân với vô hướng M hạn chế N Ví dụ Mỗi module chứa module tầm thường M R -module x  M tập xR   xr r  R module M Nó gọi module xiclic sinh phần tử x Giả sử N , P hai module M N P module M N  P  n  p n  N , p  P module M 1.1.3 Mệnh đề Giả sử M R  module phải Nếu N tập khác rỗng M điều kiện sau tương đương: i) N module M ii) N nhóm cộng module M x  N , r  R ta có xr  N iii) Với x, y  N r , s  R ta có xr  ys  N 1.1.4 Định nghĩa Cho M R  module N module M Khi N nhóm chuẩn tắc nhóm cộng M ta có nhóm thương: M / N  x  N x  M  Cùng hai phép toán: i) Phép cộng:  x1  N    x2  N    x1  x2   N ; ii) Phép nhân với vô hướng:  M / N   R  M / N  x  N, r  xr  N , Với r  R; x1 , x2 , x  M Khi M / N R  module gọi module thương Ví dụ R vành, A ideal phải R Khi R / A R  module và: R / A   x  A x  R Với n  * , n  /n  module 1.2 Đồng cấu module 1.2.1 Định nghĩa Cho hai module M R , N R Một ánh xạ f : M  N , với x, y  M , r  R Khi f gọi đồng cấu R  module hay ánh xạ tuyến tính thỏa mãn điều kiện: i) f  x  y   f  x   f  y  ii) f  xr   f  x  r , x, y  M , r  R Nhận xét Nếu f đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) f đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) Nếu f  M   0N  f gọi đồng cấu không Ta có hai khái niệm sau: • Kerf  x  M f  x   0  f 1   gọi hạt nhân f • Imf  f M   y  N x  M : y  f x  gọi ảnh f 10 2) Ta định nghĩa giao tất module tối đại M Jacobson (hay đơn giản căn) của module M kí hiệu Rad  M  3.2.8 Định lí Cho M R  module 1) Soc  M   C C chạy khắp tập module cốt yếu R  module M 2) Rad  M    B B chạy khắp tập module đối cốt yếu R  module M Chứng minh 1) Trước hết ta chứng minh Soc  M   C Giả sử x  Soc  M  , C n module cốt yếu tùy ý M Khi x   xi , với  xi  Ni , N i module i 1 M , i 1, 2, , n Với xi tồn ri  R cho  xi ri  C C module cốt yếu Nhưng N i module bất khả quy xi ri  Ni nên xi R  Ni  xi ri R  C với i 1, 2, , n Do x  C Suy x  C Vậy Soc  M   C Để chứng minh C  Soc  M  , ta chứng minh module K  C tổng module bất khả quy R  module M Giả sử D  K , đặt D ' bù giao D M , ta có D  D '  *M Do K  C  D  D ' Vì D  K nên theo luật môđula K  K   D  D '  D   K  D ' Như thế, module D K hạng tử trực tiếp K , Theo định lí 3.1.10 ta có K module hoàn toàn khả quy, nên K tổng module bất khả quy M Mà Soc  M  tổng tất module bất khả quy M K  C  Soc  M  47 Vậy Soc  M   C Tổng tất module bất khả quy M giao tất module cốt yếu M 2) Trước hết ta chứng minh Rad  M    B B o M Giả sử x  Rad  M  xR module đối cốt yếu M Theo 1.8.5, tồn module tối đại A  M cho x  A Suy x  Rad  M  trái với giả thiết xR o M Do x   B , với B chạy khắp tập module đối cốt yếu M Bây giả sử x   B , với B o M x  Rad  M  B o M n Thế x   Bi , với Bi o M tồn module tối đại A  M mà i 1 n x  A Vì Bi o M nên theo bổ đề 1.8.4 ta có xR   Bi o M i 1 Do xR o M Hơn A module tối đại x  A nên xR  A  M Nhưng từ xR o M suy A  M Điều mâu thuẫn với giả thiết A module tối đại M x  Rad  M  Như Rad  M    B ■ 3.2.9 Mệnh đề Giả sử M R  module Rad  M / Rad  M    Chứng minh: Xét phép chiếu tắc Rad  M / Rad  M    I p : M  M / Rad  M  Theo định nghĩa với I chạy khắp tập tập module tối đại M  M / Rad  M  Đặt A  p 1  I  , theo 1.6.9 A module tối đại M Ngược lại Rad  M   A nên theo 1.6.9, với module tối đại A M , p  A module tối đại M Bây từ điều nói trên, 48 Rad  M   A M A I M p 1  I   p 1  I M   I  p 1 Rad  M / Rad  M    A chạy khắp tập module tối đại M Vì p toàn cấu nên Rad  M / Rad  M    Rad  M / Rad  M     M / Rad  M    pp 1 Rad  M / Rad  M    p  Rad  M    ■ 3.2.10 Mệnh đề Giả sử M R  module, module M có phần bù trực tiếp M module M có bù cộng tính Rad  M R   Chứng minh  Giả sử module M có phần bù trực tiếp M Khi với module A M tồn module B cho M  A  B , nghĩa A có bù cộng tính Hơn A o M B  M A  M có module cốt yếu Mà Rad  M  tổng module cốt yếu M Vậy Rad  M    Giả sử module M có bù cộng tính Rad  M  =0 Khi A module M gọi B bù cộng tính A M Ta giả sử D module B  A  B   D  A  D Do  A  B   D  B M  A  B  A B bù cộng tính A M nên D  B Điều chứng tỏ A  B đối cốt yếu B Theo định lí 3.2.8 A  B  Rad  M  mà Rad  M   nên A  B  suy M  A B ■ 3.2.11 Mệnh đề Nếu M module Artin M / Rad  M  module hoàn toàn khả quy 49 Chứng minh Vì M module Artin nên M / Rad  M  module Artin Do M / Rad  M  có bù cộng tính Theo mệnh đề 3.2.9 ta có Rad  M / Rad  M    Theo mệnh đề 3.2.10 suy module M / Rad  M  có phần bù trực tiếp M / Rad  M  nên theo định lí 3.1.10 M / Rad  M  module ■ hoàn toàn khả quy 3.2.12 Định nghĩa Xét chuỗi hữu hạn module thực AR  A0  A1  A2   Ak  A 1 Trong Ai 1 module thực Ai , i  1, 2, , k Số k gọi độ dài chuỗi 1 thương Ai / Ai 1 , i  1, 2, , k gọi thương chuỗi 3.2.13 Định nghĩa i) Chuỗi 1 gọi lấp đầy chuỗi  B0  B1  B2   Bs  A  2 Nếu Bi với i  1, 2, , s 1 trùng với Ai chuỗi 1 ii) Hai chuỗi 1   gọi đẳng cấu với s  k thương thiết lập song ánh cho thương tương ứng đẳng cấu iii) Chuỗi 1 gọi chuỗi hợp thành thương chuỗi module bất khả quy 3.2.14 Định lí Cho M R  module mệnh đề sau tương đương (a) M module hoàn toàn khả quy hữu hạn sinh; 50 (b) M tổng số hữu hạn module bất khả quy; (c) M tổng trực tiếp số hữu hạn module bất khả quy; (d) M có độ dài hữu hạn Rad  M   ; (e) M module Artin Rad  M   ; (f) M module hữu hạn đối sinh Rad  M   Chứng minh: (a)  (b) Giả sử M   M  , với M  module bất khả quy với i  I  I M sinh tập  x1 , x2 , , xn  Với xi tồn tập hữu hạn I i  I cho xi   M  Đặt J   Ii n i 1 I i , J tập hữu hạn  x1 , x2 , , xn    M   J Vậy M   M   J (b)  (c) Giả sử M   M  với M  module bất khả quy I  I tập hữu hạn Theo bổ đề 2.2.12 tồn tập hữu hạn J  I cho M   M  J n (c)  (d) Giả sử M   M i , M i module bất khả quy với i 1, 2, , n Khi i 1 M module hoàn toàn khả quy, nên module M có phần bù trực tiếp, theo định lí 3.2.10 ta có Rad  M   n 1 n i 1 i 1 Dãy  M1  M1  M    M i   M i  M chuỗi hợp thành Vậy M module có độ dài hữu hạn (d)  (e) Module M có độ dài hữu hạn nghĩa chuỗi giảm module M dừng suy M module Artin 51 (e)  (f) Giả sử M module Artin Đối với tập M i i  I    module M , ta xét tập hợp gồm tất giao hữu hạn M i , i  I Vì M module Artin nên tập tồn phần tử tối tiểu T , nghĩa tồn tập hữu hạn I  I cho T  suy M i  T  M thỏa iI iI iI M i Do tính tối tiểu T , với i  I ta có T  M i  T Mi  T  iI o M i Từ đó, với tập M i i  I  module M i  , tồn tập hữu hạn I  I cho iI Mi  Vậy M module hữu hạn đối sinh (f)  (a) Giả sử M module hữu hạn đối sinh Rad  M   Theo định nghĩa ta có Rad  M   A M A , A chạy khắp tập module tối đại M Vì M hữu hạn đối sinh nên từ A M A  Rad  M   suy tồn số hữu hạn module tối đại, chẳng hạn A1 , A2 , , An M cho n n i 1 Ai  Xét phép chiếu tắc pi : M  M / Ai đặt qi :  M / Ai  M / Ai i 1 phép chiếu tắc tích trực tiếp Khi tồn đồng cấu n p : M   M / Ai i 1 thỏa mãn biểu đồ giao hoán sau: M / Ai qi pi M p n M / A i i 1 tức pi  qi p với i  1, 2, , n Ta có   Kerp  xi  M R  p  x    p1  x  , p2  x  , , pn  x   52    x  M pi  x   0, i  1, 2, , n   x  M x  Ai , i  1, 2, , n  n i 1 Ai  ; nghĩa p đơn cấu Nhưng Ai module tối đại M nên M / Ai module bất khả quy Do n n  M / Ai   M / Ai i 1 i 1 module hoàn toàn khả quy Từ n M  Im  p    M / Ai theo hệ 3.1.8 suy M module hoàn toàn khả quy i 1 Vậy M tổng hữu hạn module bất khả quy nên M hữu hạn sinh ■ Bây tập  module bất khả quy module khả quy M ta xác định quan hệ hai sau: với M , M '   , M M  ' M   M  ' Dễ thấy quan hệ tương đương ta tập thương  /   j j  J  3.2.15 Định nghĩa Với quan hệ tương đương kí hiệu nói N j   M  j M  gọi thành phần M 3.2.16 Định nghĩa Giả sử N  M N gọi module bất biến R  module M f  N   N với f  HomR  M , M  3.2.17 Mệnh đề Nếu N   M  , M  tổng tất module bất khả quy đẳng cấu  I M N module bất biến M Nói riêng thành phần module hoàn toàn khả quy module bất biến 53 Chứng minh Với f  Hom  M R , M R  M  module bất khả quy ta có f  M    M  f  , nghĩa f  M     M  với   I  I    I  Do f  N   f   M     f  M     M   N  I ■  I 3.2.18 Mệnh đề Nếu  N j j  J  tập thành phần module hoàn toàn khả quy M M   N j jJ Chứng minh: Hiển nhiên N jJ j tổng tất module bất khả quy M R Do M R   N j Bây giả sử N k jJ N quy E  N k j k j N j k j  Thế tồn module bất khả Khi E  Nk , suy E   k Mặt khác, E   N j nên tồn j k số j  k để E  N j , E   j Nhưng k   j   j  k Mâu thuẫn chứng tỏ N k N j k j  Vậy M R   N j jJ ■ 3.3 Định lí trù mật Để thuận tiện ta mục đồng cấu module trái viết bên phải tạo ảnh Các đồng cấu module phải viết bên trái tạo ảnh 3.3.1 Mệnh đề Nếu R M module hoàn toàn khả quy với x  R M   S  Hom  M K , M K  tồn r  R cho   x   rx Chứng minh Vì R M module khả quy nên có module B  R M cho R M  Rx  B đặt p : R M  Rx i : Rx  R M phép chiếu tắc phép nhúng tắc Khi k  pi  K  Hom  R M , R M  Imk  Rx 54 Vì  đồng cấu K -module nên ta có:   x      x  pi      x  k     x   k hay   x   Rx Như tồn r  R thỏa đẳng thức   x   rx ■ 3.3.2 Định nghĩa Giả sử R S hai vành, M đồng thời R  module trái S  module trái Ta nói R M trù mật S M với tập hữu hạn  x1 , x2 , , xn   R M   S tồn r  R cho  xi  rxi với i  1, 2, , n 3.3.3 Định lí (Định lí trù mật Jacobson) Nếu R M module hoàn toàn khả quy, K  Hom  R M , R M  , S  Hom  K M , K M  R M trù mật S M Chứng minh Giả sử x1 , x2 , , xn   R M   S Để áp dụng mệnh đề 3.3.1 ta coi x   x1 , x2 , , xn   R M  n Vì R M module hoàn toàn khả quy nên R M  n  hoàn toàn khả quy Đặt   n : R M  n  R M  n ánh xạ xác định bởi:   n  x     n  x1 , x2 , , xn     x1  ,   x2  , , xn  , K '  End Ta chứng minh   n  S  End  M K  Đặt  R M n  ui : R M  R M  n pi : R M    R M phép nhúng tắc phép chiếu tắc tổng trực tiếp, n ta có: ui pi  1M , n  pu i 1 i i  1M  n  Bây với y   y1 , y2 , , yn   R M  n k  K ' ta có: 55  n        i 1 n  n   j 1    n  yk     n   y1 , y2 , , yn  k     n      yi  ui  k     n      yi  ui  k  p j u j    i 1  n  n   n  n       n      yi  ui  kp j u j     n      yi  ui kp j  u j      j 1  i 1   j 1  i 1 n n  n     n     yi  ui kp1 ,   yi  ui kp2 , ,   yi  ui kpn  i 1 i 1  i 1    n   n   n        yi  ui kp1  ,     yi  ui kp2  , ,     yi  ui kpn     i 1   i 1    i 1 Vì ui kp j : M i  M j M i  R M  M j tức ui kp j  K  đồng cấu K  module nên:   n   n   n   y u kp ,  y u kp , ,        i i   i i     yi  ui kpn     i 1   i 1    i 1 n n  n       yi   ui kp1 ,    yi   ui kp2 , ,    yi   ui kpn  i 1 i 1  i 1  n n n  n        yi   ui kp j  u j     yi   ui k  p j u j j 1  i 1 i 1 j 1         yi   ui  k    y1  ,   y2  , ,   yn   k       n  y1 , y2 , , yn   k  Vậy   n  yk     n  y  k ; nghĩa   n  S ' Áp dụng mệnh đề 3.3.1 vào trường hợp M   , K '  Hom n R  M  , R M  n R n  , S '  Hom  M   n K ,M n K  Với x   x1 , x2 , , xn   R M  n với   n  S ' tìm r  R cho   n  x1 , x2 , , xn   r  x1 , x2 , , xn  hay   x1  ,   x2  , ,   xn     rx1 , rx2 , , rxn  56 Như tồn r  R cho   xi   rxi với i 1, 2, , n ■ 3.3.4 Định nghĩa R M gọi module trung thành rM  kéo theo r  Ví dụ Mọi  module module trung thành Mọi module tự trung thành 3.3.5 Định nghĩa Đối với R M , thiết lập ánh xạ  : R  Hom  R M , R M  sau: với r  R cho ứng với đồng cấu nhóm kí hiệu r : R M  R M xác định  x  r  rx với x  M Khi  đồng cấu vành Đồng cấu nhóm gọi phép nhân bên trái R M với r , Im gọi vành phép nhân bên trái kí hiệu R t Tương tự M R ta có phép nhân bên phải M R với phần tử r  R kí hiệu  r , ánh xạ  : R  Hom  M Z , M Z  vành phép nhân bên phải R p  Im    3.3.6 Hệ Nếu R A module bất khả quy, K  Hom  R M , R M  dim  AK   n phép nhân bên trái R t R A đẳng cấu với vành S  Hom  AK , AK  Chứng minh Vì R A module bất khả quy nên K thể Giả sử v1 , v2 , ,  sở AK Xác định ánh xạ  : Rt  S sau: với r  Rt cho ứng với ánh xạ  r : AK  AK xác định  r  v   rv  r  v  với v  AK Hiển nhiên  r tự đồng cấu không gian vector AK 57 Đặt   r    r ,  đồng cấu vành Thật vậy, ta có:  r  s  v    r  s  v    r  s  v  rv  sv   r  v    s  v    r   s  v  ,  rs  v    rs  v    rs  v  r  s  v     r  s  v     r s  v  Chú ý  đồng cấu vành nên r  s    r  s     r     s   r  s rs    rs     r    s   r s Do   r  s     r  s    r s   r   s    r     s  ,   r s     rs    rs   r s    r   s  Theo định lí 3.3.3, với   S tồn r  R để   vi   rvi với i  1, 2, , n Nghĩa  toàn cấu Nếu r  Ker    r    r Khi r  vi   rvi   r  vi   với i  1, 2, ,n Dễ thấy r đồng cấu không gian vector AK nên từ suy r  Do  đơn cấu Vậy Rt  S  Hom  AK , AK  3.3.7 Hệ Nếu vành R có module bất khả quy R A trung thành, ta gọi K  Hom  R A, R A , S  Hom  AK , AK  dim  AK   n R  S Chứng minh Chỉ cần chứng minh  : R  Hom  AK , AK  đơn cấu Nếu r  Ker r  rA    A  R A module trung thành nên r  ; nghĩa  đơn cấu từ hệ 3.3.6 suy R  Im  Rt  S 3.3.8 Hệ Nếu R vành Artin bên trái R A module bất khả quy, K  Hom  R A, R A dim  AK    Rt  S , với S  Hom  AK , AK  58 Chứng minh Trước hết ta chứng minh dim  EK    Giả sử trái lại AK có sở vô hạn vi i  I  Đặt En  a  R av1  av2   avn  0 Dễ thấy En ideal trái R Với tập v1 , v2 , , , vn1 ta xác định tự đồng cấu  : AK  AK   vn1   un1  , với un 1 phần tử AK ,   vi   0, i  n  Theo định lí trù mật, tồn an  R cho an vn1  un1 , an vi  với i 1, 2, ,n Như an  En \ En1 ; nghĩa En  En1 với n  N 1 Do có dãy giảm thực E1  E2   En  Vì R vành Artin bên trái nên tồn số tự nhiên n cho En  En1 với i  N  2 Mâu thuẫn 1   chứng tỏ dim  AK    Áp dụng hệ 3.3.6 ta Rt  S 59 PHẦN KẾT LUẬN Trước hết luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống kiến thức đại cương module làm sở cho việc nghiên cứu đối tượng chính, “Module bất khả quy module hoàn toàn khả quy” Nội dung luận văn trình bày hai khái niệm quan trọng lí thuyết module: module bất khả quy (còn gọi module đơn) module hoàn toàn khả quy (còn gọi module nửa đơn) Tính chất hai đối tượng gắn liền với nhiều khái niệm khác lí thuyết module đế module, module cốt yếu, module đối cốt yếu, module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh, vành đơn, vành nửa đơn Những tính chất chứng minh chi tiết qua mệnh đề, bổ đề, định lí, hệ chương chương 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thanh Bình (2008), Giáo trình lý thuyết vành trường, Trường Đại học Cần Thơ [2] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục, Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [4] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lí thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [5] Hiram Paley – Paul M Weichsel (1966), A first course in Abstract algebra, University of Illinois [6] T Y Lam (1942), Exercises in Classical Ring Theory, University of California [7] W H Freeman and Company (1989), Basic Algebra II, New York 61 [...]...  N2  N3  những module con của M đều dừng 24 Chương 2 MODULE BẤT KHẢ QUY Chúng ta đã làm quen với một số khái niệm module như module tối đại, module thương, module tự do, module Nother, module Artin… Ngoài ra còn có module mà cấu trúc của nó khá đơn giản, gọi là module bất khả quy (còn gọi là module đơn) Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về module bất khả quy 2.1 Định nghĩa và tính chất 2.1.1... R  module, ta nói M là R  module bất khả quy (còn gọi là module đơn) nếu: i) M  0 và N là module con của M thì hoặc N  M hoặc N  0 ; ii) Tồn tại m  M , r  R để mr  0 Ví dụ 1 Nếu K là một trường thì mọi không gian vector một chiều trên K đều là module bất khả quy 2 Nếu p là một số nguyên tố thì p  /p là  module bất khả quy 2.1.2 Mệnh đề M là R  module bất khả quy khi và chỉ khi M  0 và M... R -module phải bất khả quy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại A của R sao cho M đẳng cấu với R -module R / A Chứng minh Như ta đã biết nếu A là ideal phải của vành R của thì R / A là R  module phải và R cũng là R  module Giả sử M là R -module bất khả quy Ta chứng minh tồn tại ideal phải tối đại A của R sao cho M đẳng cấu với R -module R / A Vì M là R  module bất khả quy nên M là R -module. .. Cho R là vành có đơn vị, R là R  module bất khả quy khi và chỉ khi R là vành chia Chứng minh Nếu là module bất khả quy, gọi 0  r  R khi đó r  0 là module con của R do R bất khả quy nên r  R , hơn nữa ta có 1 R nên r '  R : rr '  1 do đó r ' là phần tử nghịch đảo của r trong R Vậy R là vành chia Giờ giả sử R là vành chia Gọi A  0 là R  module con của R và lấy a  A , rõ ràng a  R mà R chia...  0 nên   N   M Vậy  là toàn cấu ■ 2.2.6 Mệnh đề Nếu M , N là các R  module bất khả quy và   HomR  M , N  thì  là đồng cấu 0 hoặc  là đẳng cấu Chứng minh Vì M là các module bất khả quy mà ta có Ker là module con của M nên hoặc Ker  0 hoặc Ker  M Hơn nữa, Im là module con của N và N là module bất khả quy nên hoặc Im  0 hoặc Im  N  Nếu Ker  0 và Im  N thì  là đẳng cấu Hoặc,... N N ' và a, b  R ta có x, y  N và x, y  N ' Vì N và N ' là các module con của M nên  ax  by   N ' suy ra  ax  by   N N ' Do đó N là module bất khả quy nên N  N N ' Mà N  ax  by   N và N ' là module con của N Vì N N '  N ' nên N  N ' ■ 2.1.6 Mệnh đề Cho N và P là module con của R  module M Nếu N và P là module bất khả quy và N  P thì  N  P  / P  N Chứng minh: Theo định... vì A là module con nên 1  a.a '  A Với bất kì r  R ta có r  r.1 A suy ra R  A , như vậy A  R Hơn nữa 1 R nên R  0 hay RR  0 Vậy R là module bất khả quy ■ 2.1.5 Mệnh đề Giả sử M là R  module và N là module con bất khả quy của M Khi đó nếu N ' là module con của M và N  N '  0 thì N  N ' 27 Chứng minh Rõ ràng 0  N  N '  N Với bất kì x, y  N N ' và a, b  R ta có x, y  N và x, y... sử M là R  module bất khả quy và N là R  module Khi đó  là toàn cấu nếu   HomR  N , M  và   0 Chứng minh Rõ ràng   N  là module con của M , thật vậy ta có 0    N   M Bên cạnh đó   n1  r1    n2  r2    n1r1     n2 r2     n1r1  n2 r2    N  với n1 , n2  N và r1 , r2  R do đó   N  là module con của M , mà M là Rmodule bất khả quy và   N   0 nên...  g  x  f  x  g ; Và  x  y   f   x  y  f   x  f   y  f  x  f  y  f ; Và x   fg    x  fg     x  f  g   x  f  g Vậy M là HomR  M , M   module phải ■ 2.2.4 Mệnh đề Giả sử M là R  module bất khả quy và N là R  module Nếu   HomR  M , N  và tồn tại m thuộc M để   m   0 thì   M     m  m  M  là module con bất khả quy của N và  là đơn cấu Chứng... và M là module xiclic và mọi phần tử khác không của M đều là phần tử sinh Chứng minh Giả sử M là R  module bất khả quy, theo định nghĩa thì M  0 và tồn tại m  M , r  R sao cho mr  0 Gọi mR  mr r  R là module con sinh bởi m , rõ ràng 0  mr  mR , mà M là module bất khả quy nên mR  M Suy ra M là module xiclic sinh bởi m Hơn nữa, với mỗi x  0 thuộc M ta đều có xR   xr r  R là module