Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TON HC thái nguyên - năm 2014 I HC THI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO [ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên, 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Tổ hợp hệ thức liên quan 1.1 Nguyên lý Dirichlet số toán áp dụng 1.2 Ý tưởng lời giải tường minh số toán tổ hợp 1.3 Cách xây dựng song ánh giải số toán tổ hợp 14 1.4 Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tổ hợp 20 1.5 Khai triển nhị thức Newton 27 1.6 Phương pháp quỹ đạo 28 1.7 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào số học 30 Chương Bất đẳng thức tổ hợp 33 2.1 Các bất đẳng thức tổ hợp 33 2.2 Hệ phương trình tính toán tổng 36 2.3 Công thức biến đổi ngược tổng với tổ hợp 57 Chương Một số dạng toán cực trị tập rời rạc tổ hợp 63 3.1 Cực trị tập rời rạc 63 3.2 Một số dạng toán cực trị tổ hợp 65 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 i Mở đầu Ngay từ năm 1736, nhà toán học Euler giải thành cơng tốn tổ hợp bảy cõy cu thnh ph Kăonigsberg, c (nay l Kaliningrad, Nga) nằm sơng Pregel Bài tốn đặt “Có thể theo tuyến đường mà qua cầu lần quay lại điểm xuất phát hay khơng?” Và kể từ trải qua nhiều thăng trầm lịch sử, lí thuyết tổ hợp phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học sống Chúng ta thường gặp toán tổ hợp thực tế như: Lập lịch cho quan, Đặt trạm xe bus tối ưu thành phố, thuật tốn tìm kiếm Google, Yahoo, hay phần mềm ứng dụng mà sử dụng hàng ngày Chính vậy, tổ hợp ln dành quan tâm lớn từ nhà toán học, thầy, giáo bạn học sinh u thích mơn tốn Tốn tổ hợp dạng tốn khó thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, cấp quốc gia, quốc tế Mặc dù toán tổ hợp quan trọng tài liệu Xuất phát từ thực tế đó, định hướng hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tiến hành nghiên cứu đề tài “Đẳng thức, bất đẳng thức tốn cực trị tổ hợp” nhằm góp phần nhỏ bé vào việc bổ sung tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Tổ hợp hệ thức liên quan Chương Bất đẳng thức tổ hợp Chương Một số dạng toán cực trị tập rời rạc tổ hợp Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, thầy giúp hiểu sâu khái niệm, thuật toán liên quan đến đề tài Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trường ĐH Khoa học- Đại học Thái Nguyên, thầy Viện Tốn học, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi có kiến thức sở đủ vững để thực đề tài Trong q trình biên khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Chương Tổ hợp hệ thức liên quan 1.1 Nguyên lý Dirichlet số toán áp dụng Nguyên lý Dirichlet (thuật ngữ tiếng Anh: the pigeonhole principle, có nơi gọi the drawer principle) - dạng đơn giản - phát biểu G.Lejeune Dirichlet (1805-1859), nhà toán học Đức gốc Pháp, sau: "Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng (n ∈ N∗ ) ln có (ít là) hai thỏ bị nhốt chuồng" Một cách tổng quát, ta có nguyên lý Dirichlet mở rộng: "Nếu nhốt m thỏ vào n chuồng (m, n ∈ N∗ ) ln tồn chuồng chứa + m−1 thỏ" n Ở đây, ký hiệu [a] dùng để phần nguyên số thực a tức số nguyên lớn không vượt a Dùng phưng pháp phản chứng, ta đưa cách chứng minh ngắn gọn cho nguyên lý Dirichlet (ngay dạng mở rộng); học sinh THPT làm việc này; điều khơng làm giảm giá trị thân nguyên lý Nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng (hiệu đến bất ngờ): sử dụng nó, ta chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Chính vậy, thi học sinh giỏi toán (quốc gia quốc tế), nguyên lý Dirichlet thường xuyên khai thác Để minh hoạ, đây, ta xét số toán cụ thể Bài toán 1.1 Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn số chia hết cho 2011 Lời giải Xét dãy số gồm 2012 số hạng sau: 1, 11, 111, , 11 Rõ ràng 2012 2012 số tồn hai số có số dư chia cho 2011 Suy hiệu chúng chia hết cho 2011 Giả sử hai số 11 11 n− so k− so k Hiệu hai số 11 10 với (n > k) Mà ta có (2011, 10k ) = n−k( so) Do 11 2011 n−k( so) Bài toán chứng minh Bài toán 1.2 [Vơ địch Cộng hồ Czech 1998] Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có hai tập k -phần tử: {a1 ; a2 ; ; ak }, {b1 ; b2 ; ; bk } rời X cho 1 1 1 + + ··· + − + + ··· + a1 a2 ak b1 b2 bk < 1000 Lời giải = 3432 tập 7-phần tử X Tổng (các) nghịch đảo phần Xét C14 tử tập rõ ràng không vượt 1 + + · · · + < 2, nên phải thuộc vào số 2600 nửa khoảng: 1 2599 2600 ; , ; , , ; 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tập khác có tổng nghịch đảo phần tử thuộc vào nửa khoảng Loại bỏ khỏi hai tập phần tử chung (hai tập 7-phần tử khác có tối đa sáu phần tử chung), ta thu hai tập k -phần tử (với k nguyên dương, k ≤ 7), thoả yêu cầu toán: hiệu hai tổng nghịch đảo phần tử hai tập sai khác 1/1000 Bài toán 1.3 [VMO-2004] Cho tập A = {1; 2; 3; ; 16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố Lời giải Ta thấy, a, b chẵn a2 + b2 hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt a, b mà a2 + b2 số ngun tố X khơng thể chứa số chẵn Suy k ≥ Ta chứng tỏ k = giá trị nhỏ cần tìm Điều có nghĩa với tập X gồm phần tử ln tồn hai phần tử phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a2 + b2 số nguyên tố, ta có tất cặp (1; 4), (2; 3), (5; 8), (6; 11), (7; 10), (9; 16), (12; 13), (14; 15) Theo ngun lí Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh Bài tốn 1.4 [Trích đề chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO, 1999] Cho A = {a1 ; a2 ; a3 ; · · · } ⊂ N∗ thoả mãn điều kiện ≤ ap+1 − ap ≤ 1999 với p ∈ N∗ Chứng minh tồn cặp số p, q với p < q cho ap /aq Lời giải Đặt A(1; j) := a1 + j − với j nguyên dương mà j ≤ 1999 quy nạp, ta định nghĩa: 1999 A(i − 1; k), A(i; j) := Bi + A(i − 1; j) Bi := k=1 với i, j nguyên dương mà i ≥ 2, j ≤ 1999 Từ cách xây dựng trên, dễ dàng chứng minh A(m; j) < A(n; j), A(m; j)/A(n; j) với ba số nguyên dương m, n, j mà j ≤ 1999 m < n Từ cách xây dựng trên, dễ thấy (với i ∈ N∗ : A(i; 1), A(i; 2), , A(i; 1999)) 1999 số nguyên dương liên tiếp (không bé a1 ) đó, theo giả thiết tốn tập hợp A, tồn ji ∈ Z ∩[1; 1999] để A(i; ji ) ∈ A Bấy giờ, j1 , j2 , , j2000 ∈ Z ∩ [1 : 1999], nên theo nguyên lý Dirichlet, có hai số nguyên dương m < n ≤ 2000 mà jm = jn =: j ; với chúng, ta tìm cặp số p < q cho ap = A(m; jm ) = A(m; j)|A(n; j) = A(n; jn ) = aq (đpcm) ... HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC... [ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN... 28 1.7 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào số học 30 Chương Bất đẳng thức tổ hợp 33 2.1 Các bất đẳng thức tổ hợp