toán tử tuyến tính liên tục

Bạn cần word inb gmail: thuyduongndsp@gmail.com A TỐN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN I, TỐN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Tốn tử tuyến tính a) Định nghĩa A:X →Y Giả sử X, Y hai khơng gian tuyến tính trường K Ánh xạ gọi ∀x, y ∈ X, α, β ∈ K ánh xạ tuyến tính (hay gọi tắt tốn tử) ta có: A(αx + βy) = αAx + β Ay Khi đó: KerA = { x ∈ X : Ax = 0} + hạt nhân A Im A = { Ax : x ∈ X} + ảnh A + Nếu A song ánh ta nói A phép đẳng cấu tuyến tính Khi X, Y hai khơng gian tuyến tính đẳng cấu với A, B : X → Y + Giả sử hai tốn tử tuyến tính, ta định nghĩa A+B sau: (A + B)x = Ax + Bx, ∀x ∈ X λ∈K + Với số ta định nghĩa tích (λA)x = λAx, ∀x ∈ X λA sau: λA Khi A+B toốn tử tuyến tính + Giả sử X, Y ba khơng gian tuyến tính trường số K Nếu A : X → Y, B : Y → Z B oA : X → Z tốn tử tuyến tính, tích tốn tử tuyến tính b, Ví dụ 0:X → Y Ánh xạ không, I:X → Y Ánh xạ đồng Là tốn tử tuyến tính X (tốn tử đồng nhất) C[ a;b] → ¡ Phép lấy tích phân xác định: b f (x) a ∫ f (x)dx a C[ a;b] Là tốn tử tuyến tính từ không gian hàm số thực đoạn ¡ không gian m A(x1; ; x n ) = (y1; ; y n ) A:¡ n →¡ Xét xác định với [ a; b] đến n y1 = ∑ a ijx j ,(i = 1, 2, , m) i =1  a11 K   M O a  m1 L a ij , hệ số mà trận a1n  ÷ M÷ a mn ÷  Khi đó, A tốn tử tuyến tính từ c, Định lí ¡ n vào ¡ n A:X → Y Giả sử X, Y khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính Nếu A có −1 −1 A A tốn tử ngược tốn tử tuyến tính Chứng minh y1 , y ∈ Y x1 , x ∈ X Với suy tồn cho: y1 = Ax1 , y = Ax α1 , α ∈ K Khi đó, với , ta có: A(α1x1 + α x ) = α1Ax1 + α Ax = α1y1 + α y A −1 (α1y1 + α y2 ) = α1x1 + α x = αA −1y1 + αA −1y Suy ra, A −1 Vậy tốn tử tuyến tính 1.1.2 Tốn tử tuyến tính liên tục a) Định nghĩa (X, x X ),(Y, y Y ) Giả sử hai khơng gian tuyến tính định chuẩn A:X → Y trường K Ánh xạ gọi tốn tử tuyến tính vừa tuyến tính vừa liên tục { A(αx + β y) = αA(x) + βA(y), ∀α, β ∈ K , ∀x, y ∈ X  x n − x = ⇒ lim Ax n − Ax = 0, ∀ { x n } ∈ X, ∀x ∈ X nlim →∞ n →∞ Tức A thỏa mãn b) Ví dụ 1) Nếu L khơng gian đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn X tốn tử thương π:X → X / L x a π(x) = x Là toán tử tuyến tính liên tục Thật vậy, π + Dễ thấy, tốn tử tuyến tính x ∈ X, { x n } ∈ X + Với + Ta có: xn → x0 lim x n − x = ta có: x →∞ π(x n ) − π(x ) = x n − x = x n − x ≤ x n − x → ⇒ lim π(x n ) − π(x ) = ⇒ lim π(x n ) = π(x ) x →∞ x →∞ π Vậy toán tử tuyến tính liên tục 2) Xét tốn tử A:¡ n →¡ n x a Ax = λx,(λ ≠ 0) + Dễ thấy, A tốn tử tuyến tính n →∞ →0 { x n } ⊂ ¡ n : x n −x  + Lấy Khi đó, ta có: n →∞ Ax n − Ax = λx n − λx = λ x n − x  →0 Suy A liên tục Vậy A tốn tử tuyến tính liên tục c) Định lí A:X → Y Cho X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Nếu tốn tử tuyến tính x0 ∈ X liên tục điểm liên tục (trên tồn khơng gian X) Chứng minh { xn} Giả sử x điểm thuộc X dãy phần tử X hội tụ x lim(x n − x + x ) = x Khi đó, n →∞ Vì A liên tục điểm lim A(x n − x + x ) = Ax x0 n →∞ nên (2.1) A(x n − x + x ) = Ax n − Ax + Ax Do A tuyến tính nên lim(Ax n − Ax + Ax ) = Ax n →∞ ⇒ lim Ax n = Ax n →∞ Từ (2.1) suy Vậy A liên tục x d) Định lí (Suy rộng tốn tử tuyến tính liên tục) Giả thiết • X khơng gian điịnh chuẩn, M khơng gian tuyến tính X trù mật X, Y không gian Banach A:X → Y • ánh xạ tuyến tính liên tục ° :X → Y A Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục suy rộng A, tức là: ° ° = Ax,(∀x ∈ X) A = A Ax Chứng minh ⇒ ∀x ∈ X, ∃{ x n } ⊂ M Do M trù mật X hội tụ đến x, ta có: Ax n − Ax m = A(x n − x m ) ≤ A x n − x m ⇒ { Ax n } n =1 ∞ dãy Cauchy Y lim Ax n Vì Y khơng gian Banach nên tồn giới hạn ° = lim Ax Ax n →∞ n →∞ ta định nghĩa: n (2.2) { xn} Định nghĩa (2.2) không phụ thuộc vào dãy hội tụ đến x Như vậy, ta xác ° :X → Y ° A A điịnh ánh xạ Hiển nhiên, ánh xạ suy rộng A Ax n = lim Ax n Từ (2.2) suy ra: Ta có: n →∞ Ax n ≤ A x n ° ≤ A x ,(n → ∞) ⇒ Ax ° ≤ A (2.3) ⇒ A ° = sup Ax ° ≥ sup Ax ° = sup Ax = A A x∈X x∈M x =1 x∈M x =1 x =1 Mặt khác, (2.4) ° = A A ° A Từ (2.3) (2.4) ta có: Tính hiển nhiên 1.1.3 Tốn tử tuyến tính bị chặn a) Định nghĩa A:X → Y Toán tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y gọi giới nội (bị chặn) tồn số M cho Ax ≤ M x , ∀x ∈ X b) Ví dụ A:¡ → ¡ (x, y) a (3x + y, x − 3y, 4y) Cho Khi A tốn tử tuyến tính bị chặn Thật vậy, + Dễ thấy A tốn tử tuyến tính (x, y) ∈ ¡ + Giả sử , ta có: A(x, y) = (3x + y, x − 3y, 4y) = ( 3x + y ) + (x − 3y) + (4x)2    2 2 2 = (10x + 26y ) ≤ 26(x + y ) = 26 (x, y) Vậy tốn tử tuyến tính A bị chặn c) Định lí A:X → Y Tốn tử tuyến tính từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y liên tục giới nội Chứng minh ( ⇐) Giả sử A giới nội chứng minh A liên tục xn → x0 Thật vậy, giả sử ta có: n →∞ Ax n − Ax = A(x n − x ) ≤ M x n − x  →0 Ax ≤ M x (Với M thỏa mãn ) ⇒ lim Ax n −Ax = n →∞ ⇒ lim Ax n = Ax n →∞ x0 ∈ X ⇒ A Suy A liên tục liên tục X ( ⇒) Giả sử A liên tục chứng minh A giới nội Thật vậy, A liên tục Ax ≤ + Với x ≠ 0, x ∈ X ⇒ u = ∈ X ⇒ ε = > 0, ∃δ > u= cho với x ∈X x ≤δ δx x , ta đặt x δx =δ = δ ⇒ Au ≤ x x  δx  ⇒ A  ≤ ⇒ Ax ≤ x ÷ ÷ x δ   A(0) = ≤ (2.5) ⇒ δ + Với x=0, ta có: đẳng thức (2.5) M = ⇒ Ax ≤ M x , ∀x ∈ X δ Đặt Vậy A tốn tử tuyến tính giới nội d) Định lí A:X → Y Cho song ánh tuyến tính giới nội từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó, tồn số m>0 cho m x ≤ Ax A −1 thành ánh xạ liên tục Chứng minh m A −1 (y) ≤ y ⇒ A −1 (y) ≤ y −1 y = Ax ⇒ x = A (y) m Đặt có A −1 Vậy liên tục e) Định lí A : X → Y, B : Y → Z Giả sử X, Y, Z ba khơng gian tuyến tính định chuẩn B oA : X → Z toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, tốn tử tuyến tính liên tục B oA ≤ B A có: Chứng minh B oA Bởi A, B tốn tử tuyến tính liên tục nên tích tốn tử tuyến tính liên tục (B oA)x = B(Ax) ≤ B Ax ≤ B A x x ∈X Mặt khác, lấy , ta có: B oA ≤ B A Do đó, B liên tục có 1.1.4 Chuẩn tốn tử a) Định nghĩa A:X → Y Cho tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y A = inf { M : ∀x ∈ X, Ax ≤ M x } Khi đó, số: (2.6) gọi chuẩn tốn tử A b) Định lí A:X → Y Gỉa sử tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó: Ax ≤ A x , ∀x ∈ X i Ax A = sup Ax = sup Ax = sup x ≤1 x =1 x ≠0 x ii Chứng minh lim M n = A {M } n i Từ định nghĩa (2.6) suy tồn dãy số Ax ≤ M x , ∀x ∈ X ⇒ Ax ≤ lim M n x n →∞ ⇒ Ax ≤ A x , ∀x ∈ X cho n →∞ thỏa mãn Ax ≤ A x ii Thật vậy, theo câu a, ta có: x ≤ ⇒ Ax ≤ A = A , ∀x ∈ X Khi + Từ định nghĩa chuẩn toán tử (2.6) suy với số dương Au ≥ ( A − ε ) u u∈X phần tử cho: ⇒ ε bất kì, tồn  u  Au ≥ A − ε ⇒ A  ÷ ÷ ≥ A −ε u  u  v= u u v = u =1 u + Đặt Khi đó: ⇒ v ∈ X, v ≤ Av ≥ A − ε ⇒ A = sup Ax Av = Au ≥ A −ε u x ≤1 + Mặt khác ta có: Ax ⇒ A = sup x ≠0 x  x  Ax sup Ax = sup A  = sup ÷ ÷ x ≠0 x x ≤1 x ≠0  x  ⇒ A = sup Ax = sup Ax = sup x ≤1 x =1 x ≠0 Ax x 1.2 Tốn tử song tuyến tính A :X×Y → Z Cho X, Y, Z không gian tuyến tính định chuẩn tốn tử A tốn tử song tuyến tính với y cố định A(x,y) tốn tử tuyến tính từ X vào Z với x cố định A(x,y) tốn tử tuyến tính từ Y vào Z Khi đó: x n → x, y n → y + Toán tử A gọi liên tục với dãy , ta có: A(x n , y n ) → A(x, y) + Toán tử A gọi bị chặn tồn số M>0 cho: A(x, y) ≤ M x y , ∀x ∈ X, y ∈ Y + Số M≥0 A(x, y) ≤ M x y , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y nhỏ thỏa mãn A tốn tử A, kí hiệu Ta có: A(x, y) ≤ A x y i A = sup { A(x, y) : x = 1, y = 1} ii 1.3 Toán tử ngược 1.3.1 Định nghĩa gọi chuẩn Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn A:X → Y tốn tử tuyến tính liên tục A A −1 A −1 Khi A song ánh tồn tốn tử tuyến tính ngược Nếu liên tục gọi tốn tử ngược tốn tử tuyến tính liên tục A 1.3.2 Định lí Giả sử A tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y Ax ≥ m x A −1 x∈X i Nếu tồn toán tử ngược liên tục , với m ≤ −1 A −1 Ax ≥ m x ii Nếu tồn m>0 cho A −1 ≤ m liên tục có Chứng minh với x ∈X A −1 : Im A → X tồn tốn tử ngược A −1 x ∈X i Giả sử tồn tón tử ngược liên tục Với −1 −1 −1 A y ≤ A y ⇒ x ≤ A Ax Ax = y ∈ Im A , ta có: 1 Ax ≥ −1 x ≥ m x m ≤ −1 A A Từ đó, với m thỏa mãn = Ax ≥ m x ⇒ x = ⇒ A ii Khi Ax=0, ta có: đơn ánh A : X → Im A A −1 Khi đó, song ánh Suy tồn tốn tử tuyến tính ngược y ∈ Im A, ∃x ∈ X : y = Ax Với Ax ≥ m x ⇒ y ≥ m A −1y Khi đó, A −1y ≤ Tức là: A −1 y m A −1 ≤ m Vậy liên tục 1.3.3 Định nghĩa Nếu A song ánh tuyến liên tục từ khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào A −1 khơng gian tuyến tính định chuẩn Y tồn tốn tử ngược liên tục A gọi phép đồng phơi tuyến tính từ X lên Y Khi đó, X Y hai khơng gian tuyến tính đồng phơi với Ví dụ A:¡ n → ¡ n x a Ax = λx(λ ≠ 0) Ánh xạ Là phép đồng phơi tuyến tính 1.3.4 Định nghĩa A:X → Y Ánh xạ từ không gian định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y gọi phép đẳng cự tuyến tính tốn tử tuyến tính phép Ax = x , ∀x ∈ X đẳng cự, tức Khi đó, X Y hai khơng gian tuyến tính đẳng cự với 1.3.5 Nhận xét Hai khơng gian đẳng cự tuyến tính đồng phơi tuyến tính Chứng minh + Khi X Y hai khơng gian đẳng cự tuyến tính tồn phép đẳng cự tuyến Ax = x tính A từ X vào Y thõa mãn: (2.7) Ax ≤ x Khi A song ánh tuyến tính ⇒A liên tục y∈Y y = Ax ⇒ A −1y = x + Với , đặt y ≥ A −1y Từ (2.7) suy Suy A liên tục Vậy A phép đồng phôi nên X Y hai đồng phơi tuyến tính 10 Ta có x* phiếm hàm tuyến tính liên tục X ||x*||=||u|| Chứng minh x* ∈ Giả sử tồn y* X* cho: y*|L = z* ||y*|| = ||z*|| = ||u|| ∃!v ∈ X : y* (x) = x, v , ∀x ∈ X Khi ||y*|| = ||v|| x, v = x, u , ∀x ∈ L Suy ||u|| = ||v|| ⇔ x, u − v = 0, ∀x ∈ L ⇒ (v − u) ⊥ L Do theo đẳng thức Pytago ta được: v = v−u+u ⇒ v−u 2 = v−u + u =0 ⇒ v = u ⇒ y* = x* Hay x* Toán tử liên hợp toán tử tự liên hợp Bài tập 8: Chứng minh toán tử A: L2[0,1] → L2[0,1] xác định Ax(t) = ∫ x(s)ds, t ∈ [ 0,1] tuyến tính liên tục tìm tốn tử liên hợp A Giải: Dễ thấy A toán tử tuyến tính 1 Ax = Ax, A x = ∫ Ax(t) dt = ∫ (A x(t)) dt 2 Ta có: 2 t t t t      = ∫  ∫ x(s)ds ÷ ÷ dt ≤ ∫  ∫ x(s)ds ÷ ÷ dt ≤ ∫  ∫ x (s)ds ÷ ÷dt ≤ ∫ x (s)ds = x 00 00 00    ⇒ Ax ≤ x ⇒ A liên tục Do A tốn tử tuyến tính liên tục A*x, y = x, Ay Ta lại có: t t      ÷ x, Ay = ∫ x(t) ∫ y(s)ds dt = ∫  x(t) ∫ y(s)ds ÷ ÷dt  ÷ 0 0    84 Đặt t du = y(t)dt  u = ∫ y(s)ds  t ⇒    v = ∫ x(s)ds dv = x(t)dt  t t t   ⇒ x, Ay = ∫ y(s)ds ∫ x(s)ds |10 − ∫  ∫ x(s)ds ÷ ÷y(t)dt 0 00  1 t   = ∫ y(s)ds ∫ x(s)ds − ∫  ∫ x(s)ds ÷ ÷y(t)dt 0 00  1 t     = ∫  ∫ x(s)ds ÷ y(s)ds − x(s)ds  ÷ ∫∫ ÷ ÷y(t)dt 00 00   t 1 1    = ∫  ∫ x(s)ds − ∫ x(s)ds ÷ y(t)dt = x(s)ds  ÷ ∫ ∫ ÷ ÷y(t)dt 00 0 t   t ( ) A*x, y = ∫ A*x(t) y(t)dt Ta có: A*x, y = x, Ay A*x(t) = ∫ x(s)ds t Nên Bài tập 9: Tìm tốn tử liên hợp tốn tử A: L2[0,1] → L2[0,1] xác định sau: Ax(t) = ∫ tx(s)ds, t ∈ [ 0,1] a) t t ∈ [ 0,1] Bx(t) = ∫ sx(s)ds, b) Giải: a) Dễ thấy A toán tử tuyến tính, ta có: Ax ( ) 1 = Ax, Ax = ∫ Ax(t) dt = ∫ ∫ tx(s)ds dt = ∫ t 0 85 ∫ x(s)ds dt 1  1  2 ≤ ∫ t  ∫ x(s) ds ÷ dt ≤ t x(s) ds  ÷ ∫ ∫ ÷ ÷dt ≤ x 0 0  0  ⇒ Ax ≤ ⇒A ⇒A 1 ∫ t dt = x 2 x bị chặn liên tục A Do tốn tử tuyến tính liên tục A * x, y = x,Ay Ta có: 1 1 1    x, Ay = ∫  x(t) ∫ ty(s)ds ÷dt = ∫  tx(t) ∫ y(s)ds ÷ dt = tx(t)dt ∫ ∫ y(s)ds ÷  ÷ 0 0 0   1 1    = ∫  ∫ tx(t)dt ÷ y(s)ds = sx(s)ds  ÷ ∫ ∫ ÷ ÷y(t)dt 00 0    1 A * x, y = ∫ A * x(t)y(t)dt ⇒ A * x(t) = ∫ sx(s)ds b) Dễ thấy B Bx tốn tử tuyến tính Ta có: ) 2 1  1  Bx(t) = ∫ sx(s)ds ≤  ∫ sx(s)ds ÷ = s x(s)ds  ÷ ÷ ∫ ÷ 0  0  Mà ( = Bx, Bx = ∫ Bx(t) dt 1 ≤ ∫ s ds ∫ x(s) ds = 1 x dt = x 3 ⇒ Bx ≤ ∫ 2 x 2 86 ⇒ Bx ≤ ⇒B ⇒B x bị chặn liên tục B Do tốn tử tuyến tính liên tục B* x, y = x, By Ta có: 1 1 1    x, By = ∫  x(t) ∫ sy(s)ds ÷dt = ∫  x(t) ∫ sy(s)ds ÷ ÷dt = ∫ ∫ sx(t)y(s)dsdt  ÷ 0 0 0   1 1    = ∫ ∫ sx(t)y(s)dtds = ∫  ∫ sx(t)dt ÷ y(s)ds = tx(s)ds  ÷ ∫∫ ÷ ÷y(t)dt 0 00 00   1 1 B* x, y = ∫ B* x(t)y(t)dt ⇒ B* x(t) = ∫ tx(s)ds Bài tập 10: Tìm tốn tử tuyến tính liên hợp toán tử cho đây: Ax = (0, x1, x , , x n , ), x = (x n ) ∈ l a) Ax = (0, x1 ,0, x , ,0, x n , ), x = (x n ) ∈ l b) Giải A A* a) Dễ thấy tốn tử tuyến tính bị chặn nên tồn tốn tử liên hợp ∀x = (x1 , x , ), ∀y = (y1 , y , ) ∈ l Ax, y = 0y1 + x1 y + x y3 + = x1 y + x y3 + = x, A*y Ta có: ⇒ A* y = ( y , y3 , ) A b) Dễ thấy toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn tốn tử liên hợp ∀x = (x1 , x , ), ∀y = (y1 , y , ) ∈ l 87 A* Ax, y = 0y1 + x1 y + 0y3 + x y = x1 y + x y + = x, A *y Ta có: ⇒ A* y = ( y , y , ) X A:X → X hai phần tử cố định không gian Hilbert , Ax = x, u v, x ∈ X A A* tốn tử xác định Tìm tốn tử tuyến tính liên hợp Giải A Dễ thấy tốn tử tuyến tính Ax  = x, u v = x, u v ≤ u v x Ta có: ⇒ A ≤ u v u, v Bài tập 11: Giả sử ⇒A bị chặn A Do tốn tử tuyến tính liên tục A* x, y = x, Ay = x, y, u v = y, u x, v = u, y x, v Ta có: = x, v u, y = x, v u, y ⇒ A*x = x, v u Bài tập 12: Giả sử (a ik ) với i, k = 1, 2,3, ∞ ma trận vơ hạn, ∞ ∑∑ a ik số phức thỏa mãn điều kiện < +∞ i =1 k =1 , với x = ( ξk ) ∈ l2 a ik , ta đặt ∞ Ax = ( ηi ) ηi = ∑ a ik ξk , ∀i = 1, 2,3, k =1 , a) Chứng minh l2 A l2 tốn tử tuyến tính liên tục từ vào A* A A b) Xác định toán tử liên hợp Nêu điều kiện để toán tử tự liên hợp Giải a) Xét toán tử A : l2 → l2 88 ∞ x = ( ξi ) a Ax = ( ηi ) = ∑ a ik ξ k k =1 A Dễ dàng chứng minh tốn tử tuyến tính ∞ ∑ a ik ξk Ta chứng minh chuỗi ηi = Ta có: ∞ ∑ a ik ξk k =1 k =1 hội tụ Ax = ( ηi ) ∈ l 2  ∞   ∞  ≤  ∑ a ik ξk ÷ ≤  ∑ a ik ξk ÷  k =1   k =1  ∞  ∞  ∞  2 2 ≤  ∑ a ik ÷ ∑ ξ k ÷ ≤  ∑ a ik ÷ x < +∞  k =1  k =1   k =1  (3.38) ∞ ⇒ ∑ a ik ξk k =1 hội tụ l2 ∞ ⇒ ∑ a ik ξk k =1 hội tụ l2 ∞  ∞  ∞ ∞ 2 2 η ≤ a x ≤ ∑ i ∑  ∑ ik ÷  ∑∑ a ik ÷ x < +∞ k =1 i =1  k =1   i =1 k =1  ∞ Từ (3.38) suy ra: ⇒ Ax = ( ηi ) ∈ l2 ⇒A Vậy ta có:   2 2 Ax =  ∑ ηi ÷ ≤  ∑ a ik ÷ x  i =1   i,k =1  ∞ ∞ liên tục l2 A l2 toán tử tuyến tính liên tục từ vào ( bik ) i, k = 1, 2,3, A* A b) Gọi với ma trận xác định toán tử liên hợp Khi đó, với x, y ∈ l2 Ax, y = x, A* y , ta có: x = em = ( δmk ) k =1,∞ Ta lấy với i, j =1, 2, … x = e n = ( δnk ) k =1,∞ 89 0 1 δi, j =  (i ≠ j) (i = j) Ae m ,en = e m , A*e n Ta (3.39)   Ae m =  ∑ a ik δmk ÷ = ( a im ) i=1,∞  k =1 i=1,∞  ∞  Ae n =  ∑ b ik δ nk ÷ = ( bin ) i=1,∞  k =1 i=1,∞ ∞ Mà ∞ Ae m ,e n = ∑ a im δni = a mn k =1 Nên ∞ e m , A e n = ∑ δ mi bin = b mn * k =1 Từ (3.39) (3.40) ta a mn = b mn hay (3.40) b mn = a nm * Vạy toán tử A xác định ma trận (bik) a ki = a ik , bik = a ki i, k = 1, 2,3 Tóm lại A tốn tử liên hợp ⟺ Bài tập 13: Cho dãy số phức {an} khơng gian Hilbert l2, xét tốn tử A : l2 → l2 x = {x n } a Ax={a n x n } a) Dãy số {an} thỏa mãn điều kiện để {anxn} ∈ l2, ∀x∈ l2? A Với điều kiện tìm chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục tìm b) Dãy số {an} thỏa mãn điều kiện để A toán tử tự liên hợp Giải ∃M ≥ : sup a n = M n∈N a) Nếu {an} bị chặn, ⇒ a n ≤ M, ∀n ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ ∑ a n x n ≤ ∑ Mx n = M ∑ x n < ∞ n =1 n =1 n =1 ( Vì x = ⇒ Ax ∈ l Nếu {an} không bị chặn ⇒ ∃{ a nk } ⊂ { a n } : a nk > k, ∀k Gọi x = { xn} thỏa mãn 0  x= a  nk n ≠ nk n = nk 90 { x n } ∈ l2 ∑ xn nên n =1 ∞ k k =1 k =1 Nhưng Ax l2 Vậy điều kiện cần đủ để Ax ∈ l2 dãy {an} bị chặn Khi A ánh xạ từ l2 vào Dễ thấy A tốn tử tuyến tính Ax = Ta có: ∞ ∑ an xn n =1 ≤M ∞ ∑ xn =M x n =1 A ≤M ⟹A bị chặn ⟹A tốn tử tuyến tính liên tục M = sup a n ∀ε > 0, ∃n : a n > M − ε n∈N Mặt khác, nên A = sup Ax ≥ Ae n = a n ≥ M − ε x =1 Do ⇒ A ≥M A =M Vậy b) Để A toán tử tự liên hợp trước tiên A phải toán tử tuyến tính liên tục Do đó, dãy {an} bị chặn A toán tử tự liên hợp Vậy để A toán tử tự liên hợp dãy {an} dãy số thực bị chặn Toán tử dương - toán tử chiếu Bài tập 14: Giả sử X không gian Hilbert Chứng minh phép chiếu trực giao lên không gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert tốn tử dương Giải + Gọi M không gian tuyến tính đóng X phép chiếu trực giao từ khơng gian X lên khơng gian đóng M ∀x∈X x = Ax + (x – Ax) đó: Ax ∈ M, x – Ax ∈M⊥ Do đó: ∀x, y∈X ta có: Ax,y = Ax, Ay + ( y − Ay ) 91 = Ax, Ay + Ax, y − Ay = Ax,Ay (3.41) x,Ay = Ax,Ay Tương tự: (3.42) Ax,y = x,Ay Từ (3.41) (3.42) suy Vậy A toán tử liên hợp + Mặt khác, A toán tử chiếu nên A = A2 Khi đó: Ax,x = A x,x = Ax,Ax ≥ Vậy A toán tử dương Bài tập 15: Giả sử A toán tử dương không gian Hilbert X Chứng minh  Ax, x  A = sup  : x ≠ 0  x, x  Giải Ax ≤ A x, x + Vì A tốn tử dương nên ta có: Từ Ax Ax Ax, x A = sup ⇒ A = sup ≤ sup A x x, x x ≠0 x ≠0 x ≠0 x ⇒ A ≤ sup x ≠0 Ax, x x, x (3.43) + Mặt khác, ta có: Ax, x ≤ Ax x ≤ A x ⇒ A ≥ sup x ≠0 Ax, x x, x (3.44) A = sup x ≠0 Ax, x x, x Từ (3.43) (3.44) suy Bài tập 16: Giả sử X không gian Hilbert, A ∈L(X) Khi đó, A tốn tử chiếu A = A, Ax, x = Ax , ∀x ∈ X Giải (⇒) Giả sử A tốn tử chiếu lên khơng gian đóng M X Khi đó, với x∈X ta có: x = Ax + (x – Ax) với Ax ∈M, x –Ax ∈M⊥ 92 ⇒ Ax,x = Ax, Ax + ( x − Ay ) = Ax,Ax = Ax (⇐)Do Ax = Ax,x = x,A*x , ∀x ∈ X (3.45) * x,A x => số thực x,A*x = A*x, x => (3.46) Ax,x = A*x, x ⇒ A = A* Từ (3.45) (3.46) suy Mà A = A2 nên A toán tử chiếu Bài tập 17: Giả sử X không gian Hilbert khả li, vô hạn chiều F khơng gian đóng X Chứng minh F vô hạn chiều F đẳng cự tuyến tính với X Giải Vì F khơng gian đóng X nên F không gian Hilbert Do X khả li nên F khả li Nếu F vô hạn chiều F X đẳng cấu với nên X F đẳng cự tuyến tính Tốn tử compact tự liên hợp ∈ A oA* Bài tập 18: Cho X khơng gian Hilbert, A L(X) tốn tử compact Chứng minh A toán tử compact Giải Gọi S hình cầu đóng đơn vị X ( A oA* ( S ) = A A* ( S ) A oA* Vì tốn tử compact nên đối Gọi {xn} dãy phần tử thuộc S ( A A* ( x ) Khi ( A A* ( x ) ) ) ( A A* ( S ) dãy phần tử thuộc ( ( )) ⇒ A A* x n k có dãy hội tụ ( ( )) ⇒ A A* x n k dãy Cauchy Khi đó: 93 hội tụ ) ) tập compact tương PA*x n k − A*x m k P2 = A*x n k − A*x mk , A*x n k − A*x mk = x n k − x m k , A(A* (x n k − x m k )) =Px n k − x m k P×PA(A* (x n k − x mk )) P ≤ PA(A * (x n k − x mk )) P→ 0,(k → ∞ ) ⇒ ⇒ ⇒ ( ) A* x n k ( ) A* x n k A* dãy Cauchy không gian đầy đủ X hội tụ toán tử compact A ⇒ toán tử compact Bài tập 19: Giả sử X không gian Hilbert, A L  X  Chứng minh A toán tử compact toán tử liên hợp A* A compact Giải BX ⊂ (⇒) Gọi hình cầu đơn vị mở không gian Hilbert X {xn} BX BX X Do hình cầu mở X A* liên tục nên A*(BX) tập bị chặn AA* ( BX ) X⇒ tập compact tương đối (do A toán tử compact) { A ( A x )} ⊂ { A ( A x )} * * nk Mà { A ( A x )} * n n cho hội tụ ∀k,l ∈ ¢ + : A* x n k − A* x n l ( = A* x n k − x n l ) ( ) ( = A* x n k − x n l , A* x n k − x n l ( ( )) ) ,x = A A* x n k − x nl , x n k − x nl ( = A oA * x n k − x n l nk − x nl Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarts ta được: ∀k,l ∈ ¢ + : A* x n k − A * x n l ( ≤ AgA* x n k − x n l ) x n k − x nl l,k →∞ ≤ A gA*x n k − A gA*x n l x n k − x n l  →0 94 ) ⇒ ( ) A* x n k dãy Cauchuy X ( ) A* x n k ⇒ hội tụ X Đảo lại, A* toán tử compact từ điều vừa chứng minh ta có A = A** toán tử compact { en } Bài 20: Giả sử sở trực chuẩn không gian Hilbert X, Y ∞ không gian Banach, A A toán tử compact Giải Với n, ta xét ánh xạ: An : X → Y ∈ ∑ Aen L(X,Y) chuỗi n =1 hội tụ Chứng minh ∞ x a A n x = ∑ x,e k Ae k n =1 toán tử compact An Thật vậy,dễ chứng minh An x = ∑ n =1 Có: ≤ A ∞ ∞ ∑ k =1 x,e k Ae k toán tử tuyến tính ∞ = A ∑ x,e k e k n =1 x,ek e k = A x ⇒ An x ≤ A x ⇒ An liên tục ∀n ∈ (3.48) L(X,Y), ∀n ∈ ⊂ Mặt khác, ImAn = {Anx: x X} Lin{e1,e2, ,en} ⇒ dim(Im A n ) < ∞ Từ (3.47) (3.48) suy A lim A − A n = Chứng minh n →∞ 95 (3.47) Vì { en } sở trực chuẩn không gian Hilbert X nên với x∈X,có: ∞ ∞ x = ∑ x,e n e n = lim ∑ x,e k e k n →∞ n =1 Do A liên tục suy k =1 ∞   Ax = A  lim ∑ x,e k e k ÷  n →∞ k =1  ∞ ⇒ Ax = lim ∑ x,e k Aek n →∞ k =1 ∞ ⇒ Ax = ∑ x,e n Ae n n =1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: Ax − A n x ≤ ∞ ∑ k = n +1 = ∞ ∑ n =1 x,e k ∞ x,e n Ae n − ∑ x,e k Ae k ∞ ∑ = k =1 ∞ ∑ Aek k = n +1 ≤ x ∞ ∑ k = n +1 k =n +1 x,e k Ae k Ae k , ∀x ∈ X  2 ⇒ ( A − A n ) x ≤  ∑ Ae k ÷ x  k =n +1  ∞  ∞ 2 n →∞ ⇒ ( A − A n ) ≤  ∑ Aek ÷  →0  k = n +1  ⇒ lim ( A − A n ) = n →∞ Vậy A toán tử compact Bài 21: X khơng gian Hilbert, A ∈ L(X) tốn tử liên hợp Chứng minh δ>0 điều kiện cần đủ để λ giá trị quy A tồn số Ax − λx ≥ δx, ∀x ∈ X cho: Giải: Giả sử giá trị quy có tốn tử ngược liên tục Giả sử tồn số cho: (3.49) 96 có tốn tử ngược bị chặn phép đồng phơi tuyến tính từ X vào Im Im đồng phơi tuyến tính với X Mà X không gian banach nên Im khơng gian Banach Do Im khơng gian tuyến tính đóng Khi ta được: Giả sử Khi giá trị riêng Vì tốn tự tự liên hợp nên số thực Dó mẫu thuẫn với (3.49) Vậy phép đơng phơi tuyến tính từ lên Hay giá trị quy Bài tập 22: Giả sử X không gian Hilbert, toán tử compact tự liên hợp, hệ thống trực chuẩn vec tơ riêng Chứng minh sở trực chuẩn đơn ánh Giải Giả sử a đơn ánh Vì tốn tử compact tự liên hợp nên với , tồn mà cho biểu diễn dạng: (3.50) Do A đơn ánh nên từ Từ (3.50) suy Vậy sở trực chuẩn Giả sử khơng phải đơn ánh Khi đó, tồn vec tơ Của X cho: Gọi dãy giá trị riêng A ứng với hệ thống trực chuẩn Với ta có: (3.51) Vì nên từ (3.51) suy , tức Do đó, khơng phải sở trực chuẩn ( trái với giả thiết sở trực chuẩn ) Vậy đơn ánh 97 MỤC LỤC A TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN I.Tốn tử tuyến tính liên tục…………………………………………………1 II.Tốn tử compact…………………………………………………………17 III.Phiến hàm tuyến tính khơng gian định chuẩn…………………….23 IV.Phổ tốn tử tuyến tính………………………………………………27 V.Bài tập……………………………………………………………………29 B.TỐN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRONG KHƠNG GIAN HIBERT I.Phiếm hàm tuyến tính liên tục song tuyến tính liên tục khơng gian Hibert…………………………………………………………………………… 42 II.Tốn tử tuyến tính liên tục song tuyến tính liên tục không gian Hibert…………………………………………………………………………… 46 III.Bài tập……………………………………………………………………59 98 ... B oA : X → Z tốn tử tuyến tính liên tục Khi đó, tốn tử tuyến tính liên tục B oA ≤ B A có: Chứng minh B oA Bởi A, B tốn tử tuyến tính liên tục nên tích tốn tử tuyến tính liên tục (B oA)x = B(Ax)... liên tục A A −1 A −1 Khi A song ánh tồn tốn tử tuyến tính ngược Nếu liên tục gọi tốn tử ngược tốn tử tuyến tính liên tục A 1.3.2 Định lí Giả sử A tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian tuyến tính. .. n − x  →0 Suy A liên tục Vậy A toán tử tuyến tính liên tục c) Định lí A:X → Y Cho X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Nếu tốn tử tuyến tính x0 ∈ X liên tục điểm liên tục (trên tồn không