toán tử tuyến tính liên tục

d Định lí Suy rộng của toán tử tuyến tính liên tục Giả thiết • X là không gian điịnh chuẩn, M là một không gian con tuyến tính của X trù mật trong X, Y là không gian Banach.. cũng là toá

Bạn nào cần bản word hãy inb gmail: thuyduongndsp@gmail.com

A TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

I, TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

là các hàm số thực trên đoạn [ ]a;b

đếnkhông gian ¡

n

¡

c, Định lí

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính và A : X→Y

là toán tử tuyến tính Nếu A cótoán tử ngược

1

A− thì

1

A− cũng là toán tử tuyến tính

lim(Ax Ax Ax ) Axlim Ax Ax

→∞

→∞

Vậy A liên tục tại x

d) Định lí (Suy rộng của toán tử tuyến tính liên tục)

Giả thiết

• X là không gian điịnh chuẩn, M là một không gian con tuyến tính của X trù mật trong

X, Y là không gian Banach

là dãy Cauchy trong Y

Vì Y là không gian Banach nên tồn tại giới hạn

Ax lim Ax

→∞

=

(2.2)Định nghĩa (2.2) không phụ thuộc vào các dãy { }xn

hội tụ đến x Như vậy, ta xácđiịnh được ánh xạ °A : X→Y

Hiển nhiên, °A

Khi đó A là toán tử tuyến tính bị chặn Thật vậy,

+ Dễ thấy A là toán tử tuyến tính

Giả sử A liên tục chứng minh A giới nội.

Thật vậy, A liên tục tại

δ

=

xx

cũng là toán tử tuyến tính liên tục vàcó:

là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn

X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y

Khi đó, số: A =inf M : x X, Ax{ ∀ ∈ ≤M x }

(2.6) gọi là chuẩn của toán tử A

ii Thật vậy, theo câu a, ta có:

1.2 Toán tử song tuyến tính

Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính định chuẩn và toán tử A : X Y× →Z

A là toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định thì A(x,y) là toán tử tuyến tính từ Xvào Z và với mỗi x cố định thì A(x,y) là toán tử tuyến tính từ Y vào Z

Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X→Y

là toán tử tuyến tính liên tục.Khi A là song ánh thì tồn tại toán tử tuyến tính ngược

1

A− Nếu

1

A− liên tục thì

1

A−được gọi là toán tử ngược của toán tử tuyến tính liên tục A

Ax ≥m x

, với mọi x X∈

và1

y Im A, x X : y Ax∈ ∃ ∈ =

từ không gian định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn

Y gọi là một phép đẳng cự tuyến tính nếu nó là một toán tử tuyến tính và là một phépđẳng cự, tức là

Ax ≤1 xA

Vậy A là phép đồng phôi nên X và Y là hai đồng phôi tuyến tính

, ta có:

được gọi là không gian các toán

tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y

Chú ý:

 Nếu Y X≡

thì tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y được kí hiệu làL(X)

X được gọi là không gian liên hợp(hay khong gian đối ngẫu) của X

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian L(X,Y)

hội tụ từng điểm thì ta không thể suy ra { }An

hội tụ theo chuẩn

Ví dụ: Xét toán tử n

A trong 2

l xácđịnh bởi công thức A xn = ξ ξ( 1, , , ,0, 2 ξn )

vớimỗi x= ξ ξ( 1, , 2 )∈l2

là một dãy Cauchy trong Y Vì Y là không gian Banach nêndãy {A xn }

hội tụ

Xét ánh xạ

n n

1.5 Các định lí về toán tử tuyến tính liên tục

1.5.1 Định lí Hahn-Banach

Giả sử X là không gian tuyến tính, M là một không gian con tuyến tính của X p là một

sơ chuẩn trên X và f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên M thỏa mãn:

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, M là không gian con tuyến tính của X, f

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên M Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục

F trên X sao cho: F(x) = f (x)

, p lad nửa chuẩn trên X

Khi đó, tồn tại phiếm hàm f trên X thỏa mãn:

Giả sử D là không gian con tuyến tính của X, A: D → Y là một ánh xạ tuyến tính.

Đồ thị của ánh xạ A là tập hợp GrA = {(x,Ax): x∈

D} ⊂

X × Y

Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đóng nếu đồ thị GrA là tập đóng

+ Chứng minh GrA là không gian Banach.

Do X, Y là không gian Banach nên X×

Y là không gian Banach

1.5.4 Nguyên lí bị chặn đều Banach – Steinhauss

Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và

{ }Aα α

là một họ cáctoán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu

là mặt cầu đơn vị trong Kn.

Ta đã biết S là tập compact trong Kn

b) Định lý

Mọi toán tử tuyến tính đi từ không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều vàokhông gian tuyến tính định chuẩn bất kì đều liên tục

Chứng minh

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn n chiều

Toán tử tuyến tính A: X → Y là một toán tử tuyến tính từ X vào không gian tuyến tínhđịnh chuẩn Y

Gọi {e1, e2, , en} là một cơ sở của không gian X Với mỗi x ∈

Vậy A là một toán tử liên tục

1.7 Toán tử tích các không gian tuyến tính định chuẩn

1.7.1 Định nghĩa

Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X, Y Nếu trên tích trực tiếp X×

Ycủa hai tập X, Y, ta xét hai phép toán:

Y Tương tự, Y cũng có thể xem là không gian con của

Nếu X, Y là các không gian định chuẩn thì toán tử A liên tục khi và chỉ khi cả A1 và A2

đều liên tục

Chứng minh

+ Do (x, y) = (x,0) + (0, y) và A là toán tử tuyến tính nên ta có:

A(x, y) = A(x,0) + A(0,y)

Đặt A1(x) = A(x,0), A2(y) = A(0,y) ta được: A(x,y) = A1(x) + A2(y)

Ngược lại, nếu ta có A(x,y) = A1(x) + A2(y) thì tồn tại A1(x) = A(x,0), A2(y) = A(0,y).Vậy cách biểu diễn trên là duy nhất

+ Nếu X, Y là không gian định chuẩn và A liên tục (do đó bị chặn) thì với mọi x∈

+ Ngược lại, nếu cả A1 và A2 liên tục thì ta có với mọi (x, y) ∈

II, TOÁN TỬ COMPACT

ii) Nếu E là tập hợp bị chặn trong X thì A(E) là tập compact tương đối trong Y;

iii) Nếu {xn} là dãy bị chặn trong X thì tồn tại dãy con { }xn k

để {Axn k}

hội tụ trong Y

Chứng minh

i) ⇒

ii) Giả sử A là ánh xạ compact và E là tập bị chặn trong X Ta cần chứng

minh A(E) compact tương đối

Thật vậy, do A là tập bị chặn nên tồn tại n N∈

Đặt E = {xn ; n = 1, 2, } Vì {xn} là dãy bị chặn nên E bị chặn Do đó, A(E) là tậpcompact tương đối.

Mặt khác, {Axn} ⊂

A(E) compact tương đối suy ra tồn tại {Axn k}

là dãy con của dãy{Axn} để {Axn k}

hội tụ Hiển nhiên { }xn k

là dãy con của {xn}

iii) ⇒

i) Giả sử (iii) được thỏa mãn, nghĩa là nếu {xn} là dãy bị chặn trong X, tồn tạidãy con { }xn k

để {Axn k}

hội tụ trong Y Ta cần chứng minh A compact

Thật vậy, lấy dãy {yn} ⊂

A(B) tùy ý và lấy dãy {xn} ⊂

Chứng minh

Giả sử A và B là toán tử compact trong L(X,Y) Ta cần chứng minh A + B compact và

αA compact với mọi α ∈

K Thật vậyGiả sử {xn} là dãy bị chặn trong X Vì {xn} bị chặn và A là ánh xạ compact nên theođịnh lí 2.1.3, tồn tại dãy con { }xn k

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn, toán tử A: X → Y là toán tử compact Khi

đó, A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh) trong Y

Vì dãy {Axn} compact tương đối nên {y'n} compact tương đối

Do đó, tồn tại dãy con {y"n} của {y'n} sao cho y"n → z0 nên

w ''

Phản chứng: Giả sử A không là toán tử compact

Gọi BX là hình cầu đơn vị trong X Khi đó, A(BX) không compact tương đối trong Y

tồn tại dãy con { }xn k

của {xn} hội tụyếu ⇒{Axn k}

hội tụ mạnh (mâu thuẫn)

Vậy A là toán tử compact

2.2.3 Định lí

Giả sử X, Y, Z, W là các không gian định chuẩn, D: Z → X , C: Y → W là các toán tửtuyến tính liên tục và A: X → Y là toán tử compact Khi đó: CAD: Z→W là toán tửcompact

Chứng minh

Gọi BZ là hình cầu đơn vị trong Z

Khi đó, D(Bz) là tập bị chặn trong X (do D liên tục)

⇒

AD(BZ) là tập compact tương đối trong Y (vì A compact)

⇒

CAD(BZ) là tập compact tương đối trong W

Vậy CAD là toán tử compact

2.2.4 Định lí

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và A,D: X → Y là các toán tử compact Khi

đó, với mọi số α, β thì toán tử αA + βD là compact

Chứng minh

Lấy dãy {xn} của hình cầu đơn vị BX

Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con { }xn i

của {xn} sao cho dãy { }Axn i

Nếu X, Y là không gian định chuẩn thì A ∈

L(X ,Y) được gọi là toán tử hữu hạn chiềunếu A(X) là không gian con hữu hạn chiều của Y

Khi đó, A liên tục nên X

) Gọi S là hình cầu đóng đơn vị trong X

Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn n chiều thì tồn tại một phép đồng phôituyến tính A từ X lên Kn

Ảnh A(S) của hình cầu S qua ánh xạ A là một tập hợp đóng và giới nội trong Kn VậyA(S) là một tập compact trong Kn

bất kì mà 0 < θ

< 1, tồn tại phần tử z của Xsao cho ||z|| = 1 và ||x-z|| > θ

a) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn, A: X → Y là toán tử comapct.

Khi đó, A* : X* → Y* là toán tử compact

b) Ngược lại, giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian Banach, A* là toán tửcompact Khi đó, A là toán tử compact

a) Giả sử A compact Khi đó, X

Tồn tại dãy con { }fnj ⊂{ }fn

hội tụ trong không gian C A(B )( X )

, tức là hội tụ đềutrên X

A **: X ** Y **

là toán tử compact (theo phần (a))

A **(B )

⇒

compact tương đối trong Y **

Vì X và Y có thể đồng nhất với các không gian con của X ** và Y ** nên có thể coi

Lấy dãy { }yn ⊂A(B )X ⇒

Tồn tại dãy con { }yn i

của { }yn

hội tụ trong Y ** (vìX**

với chuẩn được xácđịnh như sau:

Toán tử [ ] [ ]

a;b a;b

A : C →C

xác định bởib

a

(Ax)(t)=∫K(t,s)x(s)ds

được gọi là toán tử tích phân

2.3.2 Nhận xét: A là toán tử tích phân thì A compact

, vì K liên tục đều trên

Q, tồn tại σ

sao cho:

K(t,s) K(t ',s)− < ε ∀ − < σt t '

Khi đó:

b

aAx(t) Ax(t ')− ≤∫ K(t,s) K(t ',s) x(s) ds− < ε −(b a) ∀ ∈x B

Do đó

A(B)

liên tục Vậy A compact

III PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

3.1 Định nghĩa phiếm hàm tuyến tính

là phiếm hàm tuyến tính liên tục

Thật vậy, theo tính chất của tích phân ta có:

Suy ra f liên tục

Vậy f là phiếm hàm tuyến tính liên tục

3.2 Không gian liên hợp

3.2.1 Định nghĩa

Giả sử X là không gian định chuẩn, X* L(X,K)= ={f : X→K f

liên tục} là khônggian liên hợp của X(hay còn gọi là không gian liên hợp thứ nhất củaX)

Không gian liên hợp của X * được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X, kí hiệulà: X ** Không gian liên hợp của X ** được gọi là không gian liên hợp thứ ba của X, kí hiệu là: X ***,…

* 1l

Do đó, không gian 1

l

và không gian

l∞ đẳng cấu với nhauVậy không gian liên hợp của 1

l

là

l∞

Do đó H là phép đẳng cự tuyến tính nên H liên tục.

Vậy H là phép đẳng cự tuyến tính liên tục

3.3 Không gian phản xạ

3.3.1 Định nghĩa

Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X X **=

3.3.2 Ví dụ

- Không gian Euclide

a) Nếu X là không gian phản xạ thì X là không gian đầy đủ

Thật vậy: Vì X là không gian phản xạ nên

X X ** L(X*, K)= =

Mà K là đầy đủ nên

L(X*,K)

đầy đủ

b) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ

Thật vậy: Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì dim X dim X ** n= =

Toán tử A * xác định như trên được gọi là liên hợp của toán tử A.

3.4.2 Tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp

Cho X là không gian định chuẩn, { }xn

là một dãy trong X Ta nói dãy { }xn

hội tụyếu đến x, kí hiệu là

w n

x →x

, nếu ∀ ∈f X *

ta có n

f (x )→f (x)

IV PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

4.1 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Banach

gọi là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ

a) Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn X Số λ

được gọi

là thuộc phổ của A, hay một giá trị phổ của A, nếu không tồn tại toán tử

1

(A− λI)−liên tục

b) Tập hợp tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A Kí hiệu là

(A)σ

là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức) liên tục trên [ ]0;1

phương trình (2.19) không có nghiệm nếu

y

là một hàm số liên tụctrên [ ]0;1

nhưng không khả vi trên đoạn này Do đó

và

dux(t)

dt =

, t∈[ ]0;1

Thay vào phương trình (2.19) ta được:

u(t)− λu '(t) y(t)= ⇔ u '(t)− u(t)= − y(t)

(2.20)Đây là phương trình vi phân tuyến tính nên có nghiệm tổng quát là:

0

1u(t) Ce y(s)e ds

0

1

u(t) y(s)e ds

− λ

= −

λ∫

Do đó phương trình (2.19) có nghiệm duy nhất:

1 1 (t s) 2

Gọi

Bλ

là hình cầu đơn vị trong

Nλ Ta có:

là không gian các hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1

với chuẩn “max”.Đặt:

Ta có: +A 0( ) =A 0 0( + =) A 0( ) +A 0( )

nên A(0) =0+ 0 = A(0) = A(x – x) = A(x + (-x)) = A(x) + A(-x)

Suy ra A(-x) = -A(x), với mọi x∈X

+ A(x – y) = A(x + (-y)) = A(x) + A(-y) = A(x) – A(y), với mọi x, y ∈X

Vậy A liên tục trên X

Bài tập 3: Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn thực và

A:X→Y là một toán tử cộng tính Chứng minh rằng nếu

x 1

sup Ax

≤ < +∞

thì A là toán tửtuyến tính liên tục

Giải

Ta dễ dàng chứng minh được rằng A(qx) = qA(x) với mọi x∈Q, x∈X

Tiếp theo ta chứng minh A liên tục trên X

Cách 1 (Gián tiếp)

Giả sử A không liên tục tại 0 Khi đó:

∃ ε0>0, ∀n∈N*, ∃yn ∈ X:

2 n

(mâu thuẫn giả thiết)

Do đó, A liên tục tại 0 Theo bài tập 2 thì A liên tục

Suy ra

0 n

n

M, n nhay k

Vậy A(xn)→Ax

Cuối cùng, ∀r ∈ R, lấy dãy {rn} ∈Q sao cho rn→r

A(rx) A(lim r x) lim A(r x) lim(r Ax)

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục

Bài tập 4: Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn trên ¡ và u: E →F là ánh xạ thỏamãn u(x,y) = u(x) + u(y) và u bị chặn trên hình cầu đơn vị B(0,1)⊂E

Chứng minh rằng u tuyến tính và liên tục

ta có: u(rx) = ru(x)U(rnx) = rnu(x)⟶λu(x)

Bài tập 6: Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn thực và A: X⟶Y

là một toán tử cộng tính Giả sử mọi dãy {xn}trong X mà xn→0 thì dãy {Axn} bị chặn

trong Y Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục trên Y.

(Điều này mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục

Bài tập 7: Cho X là không gian định chuẩn và f ∈ X*, a ∈K Chứng minh f liên tụctrên X khi và chỉ khi

Nếu f liên tục thì hiển nhiên f-1(a) là tập đóng

Ngược lại, giả sử f-1(a) là tập đóng và f không liên tục tại 0

Khi đó, ∃ε0>0 sao cho ∀n ∈ N, ∃xn∈X:

1xn

Khi đó,

1 n

Bài tập 8: Cho X là không gian định chuẩn và f ∈X*, a ∈ K Chứng minh f liên tục

trên X khi và chỉ khi

A

c) Chứng minh rằng nếu E là một tập mở (đóng) trong X thì λE = {λx: x∈ E} là mộttập mở (đóng) trong X với mọi ∀λ ≠0

1 1

Do A là phép đồng phôi suy ra A bảo toàn tính chất topo

Nên E mở (đóng) trong X ⟹A(E) mở (đóng) trong X

⟹ λE cũng mở (đóng ) trong X

Bài tập 10: Cho M là không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X Chứng

minh rằng M* đồng phôi tuyến tính với X*/M⊥, trong đó

+ Giả sử φ(y1*) = φ(y2*) suy ra y1* + M⊥ = y2* + M⊥⟺ y1* - y2*∈ M⊥

Suy ra với mọi x∈ M ta có(y1* - y2*)(x) = 0⟺ y1*(x) = y2*(x)

Do đó, y1* = y2* nên φ là ánh xạ

+ Dễ thấy φ tuyến tính

+ Với mọi y*∈ Ker φ, ta có φ(y*) = 0 + M⊥⟺ y*∈ M⊥ suy ra y* (x) = 0 với ∀x∈M

Vì vậy Ker φ = {0} nên φ là đơn ánh

Suy ra φ(y0*) = φ(y0* + x0*) = φ(x*) = x* + M Do đó, φ là toàn ánh

Như vậy, ta đã chứng minh được φ là một song ánh

* M

f =y

và

*

f = ySuy ra: f = y* + x0 với x0* ∈ M⊥

Do đó, M* đồng phôi tuyến tính với X*/M⊥

3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Bài tập 11: Cho không gian Banach X và phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 Chứng

Bài tập 12: Giả sử x là một phần tử của không gian tuyến tính định chuẩn X

Chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, ta đều có x*(x)=0 thì x=0

* o

Bài tập 13: Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn

X Chứng minh rằng nếu f≠0 thì với mọi x∈X, ta đều có

=

Trong đó d dist x, Ker f= ( )

Ta thấy Ker f ⊂ Ker y nên tồn tại λ sao cho y = λy Thật vậy, vì x Kerf∉

nên f(x)≠0Với mọi x ' X∈

f (x)1y(x ') f (x ')

Bài tập 14: Trên [ ]

1;1

C− với chuẩn hội tụ đều ta xét phiếm hàm:

như sau:

0

khi 1 t1

Bài tập 15: Giả sử X và Y là hai không gian Banach, A: X→Y là một toán tử tuyến

tính Chứng minh rằng nếu với mọi y* thuộc Y*, ánh xạ tập hợp y*A là một phiếm hàmtuyến tính liên tục trên X thì A liên tục

Giải

+ Vì X, Y là không gian Banach nên theo định lí đồ thị đóng, để chứng minh A liên tục

⇒ Chứng minh A đóng⟺ Chứng minh GrA ={(x, Ax): x ∈X}⊂X x Y đóng

+ Ta chứng minh GrA đóng tức là ta chứng minh: