Nhúm cỏc đồng cấu nhúm

a, Xõy dựng. Cho A, B là hai nhúm Abel.

Kớ hiệu Hom(A,B) ={f :AB là đồng cấu nhúm} Xỏc định quy tắc cộng: f, g Hom(A,B): (f+g)(a)=f(a)+g(a).

Định lớ 1. (Hom(A,B),+) lập thành nhúm giao hoỏn.

Chứng minh.

- f+g là đồng cấu nhúm:

a, b  A , (f+g)(a+b) = f(a+b) + g(a+b) = f(a) + f(b) + g(a) + g(b) = (f(a)+ g(a))+ (f(b)+ g(b))= (f+g)(a)+ (f+g)(b) - Trung hoà là đồng cấu AB .

- Đối của đồng cấu f: A B là đồng cấu -f:AB a-f(a) tức là (-f)(a)=f(-a).

Định lớ 2. X là nhúm Aben bất kỡ, ta cú Hom (Z,X)X.

Chứng minh. Xỏc định ỏnh xạ : Hom (Z,X) X -f  f(1)

đồng cấu f: Z X đƣợc hoàn toàn xỏc định bởi f(1) vỡ f(n)=nf(1), nZ. - f,g  Hom(Z,X), (f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)= (f)+(g).

 là một đồng cấu.

- là song ỏnh: xX, vỡ Z là nhúm Aben tự do sinh bởi một  ! đụng cấu f: ZX sao cho (f)=f(1)=x

Xột sơ đồ:

{1} f{1} Z x !f

X

Định lí 3. Cho tr-ớc hai đồng cấu nhóm f: A’ A và g : B B’. Khi đó.

i. ánh xạ Hom(f, g): Hom(A, B)  Hom(A’, B’) là một đ

h  ghf là một đồng cấu nhóm.

ii. Hom(1A, 1B)= 1Hom(A, B) . iii. Nếu f: A’ A, f’: A” A’ và g: B

B’, g’: B’ B” là các đồng cấu nhóm thì Hom (ff’, g’g)= Hom(f’, g’)Hom(f, g).

Chứng minh.

i. Cần giải thích quy tắc Hom(f, g) là ánh xạ nghĩa là Hom(f, g)(h)=ghf là tích các đồng cấu suy ra là đồng cấu.

h, h’ Hom(A, B) cần chứng minh

Hom(f, g)(h+h’)= Hom(f, g)(h)+ Hom(f, g)(h’).

g(h+h’)f= ghf+ gh’f: A’B’ Thật vậy:

 a A’, [g(h+h’)f](a’)= [g(h+h’)][f(a’)]= g{(h+h’)[f(a’)]} =g{h[f(a’)] + h’[f(a’)]} (phép cộng) =g{h[f(a’)]}+ g{h’[f(a’)]} ( vì g là đồng cấu) =(ghf)a’) + (gh’f)(a’)= (ghf+ gh’f)(a’)  g(h+h’)f= ghf+ gh’f.

ii.h  Hom(A, B)

Hom(1A, 1B)=1Ah1B= h= 1Hom(A, B)(h)

Hom(1A, 1B)= 1Hom(A, B) .

iii. Ta có Hom (ff’, g’g) : Hom(A, B)

Hom(A”, B”) h  (gg’)h(ff’) Hom (f, g) : Hom(A, B) Hom(A’, B’) h  ghf Hom (f’, g’) : Hom(A’, B’) Hom(A”, B”) ghf  (g’)ghf(f’) Do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp nên ta có Hom (ff’, g’g) = Hom (f’, g’)Hom (f, g).

Có thể minh họa kết quả bằng sơ đồ sau :

f’ f A” A’ A g’ghff’ h B’’ g’ B’ g B

2.1.5.Nhúm giải đƣợc a.Định nghĩa.

Nhúm G đƣợc gọi là nhúm giả đƣợc nếu tồn tại dóy cỏc nhúm con

 

0 1 ... s

G H H  H  e

sao cho Hk Hk1 và nhúm thƣơng Hk1 Hk là Xyclic, k 1,s

b.Vớ dụ. Với mọi nhúm Xyclic cấp hữu hạn đều giải đƣợc.

Thật vậy: Gỉa sử G  a n. Chọn H1= k

Khi đú ta cú 0 1 2   k n G a H H  a H  e . Cú ngay  e H1, H1 G và cỏc nhúm thƣơng H H1 2, G H là cỏc nhúm Xyclic c. Tớnh chất Định lớ:

i. Với mọi ảnh đồng cấu của nhúm giải đƣợc là nhúm giải đƣợc. ii. Với mọi nhúm con của nhúm giải đƣợc là nhúm giải đƣợc.

iii.Nhúm cú dóy chuẩn tắc với cỏc thƣơng giải đƣợc là nhúm giải đƣợc.

Chứng minh.

i. Giả sử G là nhúm giả đƣợc suy ra G cú dóy cỏc nhúm con: G H 0 H1  ... Hs  e

Giả sử :GG' là toàn cấu G' Im. Theo tớnh chất của đồng cấu ta cú:

G'Im    G  H0  H1 ... Hs   e 1 k k H H  ,  là toàn cấu  Hk Hk1 Vỡ  y G', b  Hk   x G a, Hk :y x b,  a . Khi đú 1       1  1 1 a , k yby  x  a  x   x x xax H     1 1   k xax yby H        . Xột sơ đồ sau:  Hk1 Hk-1 Hk1 p p‟ Hk1 Kk  Hk1   Hk

Đồng cấu  thu hẹp trờn Hk-1 cảm sinh ra . Vỡ quy tắc :Hk1 Hk Hk1   Hk

x H. k    x . Hk .  là ỏnh xạ vỡ xHk, 'x HkHk1 Hk x x, 'Hk1. Giả sử  1    ' ' ' k k k k xH x H xx H  x x  H       .    1           ' k . k ' . k . x x H x H x H             Vỡ Hk1 Kk là nhúm Xyclic Hk1   Hk là nhúm Xyclic Do đú G‟ là nhúm giải đƣợc.

iii.Chứng minh bằng quy nạp

- s=1 tồn tại dóy chuẩn tắc G0 H0 H1  e

cú thƣơng G e H H0 1 là nhúm giả đƣợc, G e GG(theo i) là nhúm giải đƣợc: mệnh đề đỳng.

- Giả sử đỳng với s-1 ta xột dóy cú s nhúm con chuẩn tắc.

Xột mệnh đề : cho H G, nếu G H là giả đƣợc thỡ G là nhúm giải đƣợc

2.2. Một số lớp vành đặc biệt. 2.2.1. Miền nguyờn.

a. Định nghĩa: Ta gọi là một miền nguyờn, một vành giao hoỏn, cú đơn vị, cú

nhiều hơn một phần tử, và khụng cú ƣớc của khụng.

b. Vớ dụ:

- Miền nguyờn vụ hạn: ( , +, .), ( , +, .), ( , +, .), ( , +, .). Thể Quaternion (K={1, i, j, k}, +, .). - A là miền nguyờn thỡ A[x] là miền nguyờn.

- Vành cỏc ma trận Matn(X) khụng là miền nguyờn với n>1.

c. Một số loại phần tử đặc biệt: Cho miền nguyờn X , đơn vị : e.

 Phần tử khả nghịch.

a X đƣợc gọi là khả nghịch ( cú phần tử nghịch đảo) nếu a‟X sao cho aa‟ = e, nghịch đảo của a thƣờng đƣợc kớ hiệu là a-1

.

Định lớ 1. Tập cỏc phần tử khả nghịch của X lập thành một nhúm đối với

phộp toỏn nhõn trong X , đƣợc kớ hiệu là U.

Chứng minh.

- U  vỡ e U.

- a, b U   a-1, b-1  U  (ab)-1= a-1b-1  U.

 (U, .) (X*, .).

Chỳ ý: Cho miền nguyờn X, khi đú xuất hiện bài toỏn tỡm tập U là bài toỏn

khú.

 Phần tử liờn kết.

a, b X gọi là liờn kết với nhau trong X nếu uU sao cho b=ua, thƣờng kớ hiệu là b a.

Định lớ 2. Quan hệ liờn kết trong X là một quan hệ tƣơng đƣơng.

Chứng minh.

1, a X, a a.

2, a, b X, giả sử a b uU: b=ua a=u-1b. 3, a, b , c X, giả sử a b  uU: b=ua

và b c v U: c=vb suy ra c= vua, vu U Suy ra a c.

Chỳ ý : Nhƣ vậy số phần tử liờn kết với a X phụ thuộc vào xột a thuộc vào miền nguyờn nào, cụ thể là tập a.U.

Vớ dụ:

2 thỡ 2  2 : cú hai phƣơng trỡnh liờn kết vỡ  cú hai phƣơng trỡnh khả nghịch : u={1} 2u={2}.

2 thỡ cỏc phần tử liờn kết với 2 là 2 * vỡ  * là tập cỏc phần tử khả nghịch.

Tƣơng tự 2 thỡ cỏc phần tử liờn kết với 2 là 2 *.

 Phần tử bất khả quy.

p X, p 0, p khỏc khả nghịch, p đƣợc gọi là bất khả quy (bkq) nếu p khụng cú ƣớc thực sự trong X.

 Dóy dừng cỏc ƣớc thực sự.

Dóy a1, a2,…an-1, an,… sao cho a a a a1 2, 2 3,...,an1 an,... gọi là dóy cỏc ƣớc thực sự nếu ai+1|ai và ai+1 ai , i=1,2,…

Dóy cỏc ƣớc thực sự trờn gọi là dừng nếu  m  sao cho am =am+1 =… Ta gọi miền nguyờn X thỏa món điều kiện dóy dừng những ƣớc thực sự nếu với mọi dóy cỏc ƣớc thực sự đều là dóy dừng.

Vớ dụ: Vành  thỏa món điều kiện dóy dừng cỏc ƣớc thực sự.

Thậy vậy: Gỉa sử a1, a2,…, an,… là một dóy cỏc ƣớc thực sự thỡ

1 2 ... n ...

a  a  a   phải dừng.

Định lớ 1: Cho X là miền nguyờn X thỏa món điều kiện dóy dừng những ƣớc

thực sự. Khi đú

i, aX, a 0 , khả nghịch thỡ a cú ớt nhất một ƣớc bkq trờn X . ii, a X, a0, khả nghịch thỡ a phõn tớch đƣợc thành tớch của cỏc phần tử bkq trờn X

Chứng minh.

i. Nếu a: bkq trờn X thỡ hiển nhiờn

Nếu a1.: bkq trờn X thỡ hiển nhiờn. Nếu khụng a1 cú ƣớc thực sự là a2. Nếu a2.: bkq trờn X thỡ a2 cũng là ƣớc thực sự của a  hiển nhiờn. Nếu a2.: khụng bkq trờn X thỡ a2 cú ƣớc thực sự là a3.

Ta lại xột a3.

Tiếp tục quỏ trỡnh ta thu đƣợc một dóy cỏc ƣớc thực sự a1, a2,…, an ,… theo giả thiết suy ra phải dừng tức là  m  để am là ƣớc bất khả quy của a.

ii. Theo i giả sử a= p1a1 với p1 bkq trờn X

Nếu a1 bkq trờn X hoặc khả nghịch thỡ hiển nhiờn. Nếu khụng thỡ a1=p2a2  a=p1p2a2.

Xột a2 là ƣớc thực sự của a.

Quỏ trỡnh trờn phải dừng, tức là a=p1p2…pk với pi: bkq trờn X  i 1,k.

2.2.2. Vành Gaus(Vành nhõn tử hoỏ).

a. Định nghĩa: Miền nguyờn X đƣợc gọi là vành Gauss nếu aX \{0, km} đều phõn tớch đƣợc thành cỏc phƣơng trỡnh bất khả quy trờn X (chủ yếu duy nhất). Tức là a= 1 2 1m 2m ... mk k p p p , pi bkq trờn X,  i 1,k, ni *, ij thỡ pi pj. b. Vớ dụ: 1.  , là vành Gauss. 2.Trƣờng X cũng là vành Gauss   , , cũng là vành Gauss. 3. Vành   3 là miền nguyờn nhƣng khụng là vành Gauss.

c. Tớnh chất.

Định lớ 1. Trong vành Gauss luụn tồn tại ƢCLN và do đú tồn tại BCNN của

hai phần tử.(khụng đồng thời bằng khụng). Chứng minh. a, b  X . - Nếu a, b U  ƢCLN của a và b là phần tử khả nghịch bất kỳ - Nếu a, b U . Gỉa sử a= 1 2 1m 2m ... mk k p p p , pi : bkq trờn X b= 1 2 1m 2m ... mt t p p p , pj: bkq trờn X Bao giờ cũng giả thiết đƣợc a, b cú sự phõn tớch sau:

a= 1 2 1 2 ... n n p p  p b= 1 2 1 2 ... n n p p  p , pi : bkq X, i  i 1,n

Bằng cỏch bổ xung vào hai sự phõn tớch trờn những nhõn tử thiếu với mũ khụng.

Khi đú chọn d= min{ 1, 1} min{ 2, 2} min{ , }

1 . 2 ... n n

n

p   p   p   . Ta cú d là ƢCLN của a và b.

2.2.3. Vành chớnh.

a. Định nghĩa: Miền nguyờn X đƣợc gọi là vành cỏc Iđờan chớnh, gọi tắt là

vành chớnh nếu với mọi Iđờan của X đếu là Iđờan chớnh.

b. Vớ dụ

1,  , là vành chớnh.

2, Trƣờng bất kỳ là vành chớnh. 3, A[x], A là trƣờng là vành chớnh.

I A[x]  I=(p(x)), p(x) đa thức cú bậc nhỏ nhất trong I 4,  [x] khụng là vành chớnh.

Định lớ 1. Với mọi vành chớnh đều là vành nhõn tử húa.

Ngƣợc lại tồn tại vành nhõn tử húa mà khụng là vành chớnh, chẳng hạn vành

 [x].

Định lớ 2. Trong vành chớnh tồn tại ƢCLN của 2 phần tử. Định lớ 3. Gỉa sử d là ƢCLN của a và b  r s,  X : ar+bs=d.

Chứng minh: Xột I ={ ax+by|x, y  X } X  I=(d) với d là ƢCLN, d I

r,sX:d=ar+bs.

Đặc biệt nếu a và b nguyờn tố cựng nhau thỡ ar+bs=1.(e).

2.2.4. Vành Ơclit.

a. Định nghĩa. Miền nguyờn X cựng với ỏnh xạ  :X* sao cho: 1,a,bX, b|a, a0 thỡ  (b) (a).

2, a,b X, b0 thỡ q,rX:a=bq+r, r=0 hoặc r0 thỡ  (r)< (b), q-thƣơng,r-dƣ

Đƣợc gọi là vành Ơclit. Kớ hiệu (X,  ).

b. Vớ dụ.

1,(  , ), : *

a  a : trị tuyệt đối. là vành Ơclit. ( [i], ), : [i]*

a  a : mụđun. là vành Ơclit. 2,(A[x],  ), :A[x]* 

f(x) def f(x) là vành Ơclit.

3,  [ 3] khụng là vành Ơclit.

c. Tớnh chất.

Định lớ 1: Với mọi vành Ơclit đều là vành chớnh.

Chứng minh. Gỉa sử I X. -I={0}=(0).

-I{0} I , I*   (I*)   a . Gỉa sử a là phần tử sao cho  (a) là số bộ nhất trong  (I*).

Định lớ 2: Cho X là vành Ơclit. a b q r, , ,  X, giả sử a=bq+r thỡ (a, b)=(b, r). Từ đú ta cú thuật toỏn Ơclit để tỡm ƢCLN.

Nhƣ vậy trong vành Ơclit cú 2 cỏch tỡm ƢCLN. Cỏch 1: Phõn tớch.

Cỏch 2: Dựng thuật toỏn Ơclit.

2.2.5. Vành nguyờn tố và vành nửa nguyờn tố. a. Cỏc khỏi niệm

Định nghĩa 1. Iđờan nguyờn tố

Iđờan P của vành R đƣợc gọi là iđờan nguyờn tố nếu A,BR, ABP thỡ AP hoặc BP

Định nghĩa 2. Vành R đƣợc gọi là vành nguyờn tố nếu {0} là Iđờan nguyờn tố

của nú ( Cú thể là nhiều Iđờan nguyờn tố, trong đú {0} là iđờan nguyờn tố)

Định nghĩa 3. Giao của cỏc iđờan nguyờn tố của R đƣợc gọi là căn nguyờn tố

của R. Đƣợc kớ hiệu là : Rad (R)

aR đƣợc gọi là phần tử lũy bỡnh chặt chẽ nếu với mỗi dóy tựy ý cỏc phần tử a0, a1, ..., an,... của R , a0=a sao cho ai1aiRai , i đến  n  để ai1=0 i ta cú rad (R)= {aR \ a là phần tử lũy bỡnh chặt chẽ}

Định nghĩa 5. Vành nửa nguyờn tố

Vành R đƣợc gọi là vành nửa nguyờn tố nếu rad (R)={0} .

b. Cỏc vớ dụ

Vớ dụ 1. Với mọi thể đều là vành nguyờn tố

( Thể là vành khụng giao hoỏn, cú đơn vị, khụng cú ƣớc của khụng, mỗi phần tử khỏc khụng đều cú nghịch đảo)

Vớ dụ 2. Vành  là vành nguyờn tố, cỏc iđờan nguyờn tố của  là iđờan đƣợc sinh bởi cỏc số nguyờn tố.

( Cú mệnh đề : 2 điều sau là tƣơng đƣơng: 1. R là vành nguyờn tố.

2. 0aR, 0 bR thỡ rR sao cho arb  0.) Theo mệnh đề này thỡ cú ngay  là vành nguyờn tố.

Vớ dụ 3. Với mọi vành nguyờn thủy đều là vành nguyờn tố.

2.2.6. Vành nguyờn thủy, vành nửa nguyờn thủy a. Cỏc khỏi niệm. Định nghĩa 1. Nếu  đ phai t R thỡ={rR / Rr C} 2phia LN C

Cho DR, D đƣợc gọi là iđờan nguyờn thủy bờn phải của R nếu tồn tại một iđờan lớn nhất chứa C.

Định nghĩa 2. Vành R đƣợc gọi là vành nguyờn thủy bờn phải nếu {0} là

iđờan nguyờn thủy bờn phải của nú.

Định nghĩa 3. Căn

Ta gọi giao của cỏc mụđun con tối đại của MR là căn Jacobson ( gọi tắt là căn) của mụđun MR. Kớ hiệu là Rad (MR) ( Radicol:căn)

Nếu MR khụng cú iđờan con tối đa thỡ quy ƣớc Rad (MR)= MR. Nhƣ vậy Rad (MR)= R A M A   Định nghĩa 4. Đế

Ta gọi tổng của cỏc mụđun con đơn của MR là đế của mụđun MR. Kớ hiệu Soc(MR) Nhƣ vậy Soc(MR)=  r )..m đ t Ea E.

Định nghĩa 5. Vành nửa đơn nguyờn thủy

Vành R đƣợc gọi là vành nửa nguyờn thủy phải nếu Rad(R) ={0}

Chỳ ý: Ta cú Rad(RR)=Rad(RR)  vành nửa nguyờn thủy trỏi cũng là vành nửa nguyờn thủy phải.

b. Vớ dụ. Với mọi trƣờng R đều là vành nguyờn thủy

Thật vậy : R là trƣờng  R là vành giao hoỏn RR=RR, R là trƣờng  chỉ cú 2 iđờan là{0} và R

{0} td R, {0}=C , D={0}LN C.

2.2.7. Vành địa phƣơng, vành nửa địa phƣơng a. Cỏc khỏi niệm

Định nghĩa 1. Vành R đƣợc gọi là vành địa phƣơng nếu R/Rad(R) là một thể. Định nghĩa 2. Vành R đƣợc gọi là nửa địa phƣơng nếu R/Rad(R) là vành

nửa đơn.

b.Cỏc vớ dụ

Vớ dụ 1. Mỗi thể là một vành địa phƣơng.

Vớ dụ 2. A: trƣờng, A[[x]] là vành của chuỗi lũy thừa là một vành địa

phƣơng

Vớ dụ 4. Vành nửa đơn là vành nửa địa phƣơng.

2.3. Một số lớp mụ mụđun đặc biệt

2.3.1. Mụđun . Cho R là vành giao hoỏn, cú đơn vị 1#0 .

Một mụđun trờn R hay R_Mụđun là một nhúm Aben cộng (M,+) Cựng với một ỏnh xạ gọi là phộp nhõn vụ hƣớng

Thỏa món điều kiện sau:

1. (x+y)=xy    R, x y, M

2.   xxx  ,   R, x M 3.   x ( x)  ,   R, x M

4. 1x = x

a.Định nghĩa 1. Cho R là vành giao hoỏn, cú đơn vị 1# 0.

S là một tập hợp bất kỳ

Ta gọi một R_mụđun tự do trờn tập S là một R_mụđun F cựng với một ỏnh xạ f: SF sao cho với ỏnh xạ g:SX với X là một R_mụđun bất kỳ thỡ tồn