Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

LờI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp: “Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian của tôi được hoàn thành dưới sự tận tình hướng dẫn của giảng viên: Nguyễ

Trường đại học sư phạm hà nội 2

LờI CảM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và các bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc của mình tới thầy: Nguyễn Văn Vạn - người đã tận tình giúp đỡ em trong

quá trình hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa do bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5, năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo

LờI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: “Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài

toán trong hình học không gian của tôi được hoàn thành dưới sự tận tình

hướng dẫn của giảng viên: Nguyễn Văn Vạn

Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi, do tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo

Mục lục

A Mở đầu……….1

B Nội dung ……… 3

Chương 1: Cơ sở lí luận……….3

1.1 Tổng quan về phép biến hình………3

1.1.1 Khái niệm về phép biến hình ………3

1.1.2 Phép biến hình tích……… … 3

1.1.3 Phép biến hình đảo ngược……… 4

1.1.4 Phép biến hình afin……….4

1.1.5 Phép biến hình đẳng cự……… ………5

1.1.6 Điểm bất động Hình kép Hình bất động……… 8

1.2 Phép đồng dạng………8

1.2.1 Định nghĩa……… 8

1.2.2 Tính chất……….8

1.2.3 Điều kiện xác định của phép đồng dạng……….8

1.2.4 Sự đồng dạng của các hình……… 9

1.2.5 Phép vị tự………9

1.2.6 Phân loại phép đồng dạng……….… 9

1.2.7 Dạng chính tắc của phép đồng dạng……… ………… 10

Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh…… 16

2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng ………16

2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh……… 16

2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả bài toán chứng minh……… 16

2.2 Một số ví dụ ……… 17

2.3 Bài tập luyện tập ………,,,,,.24

Chương 3: Hướng dẫn giải bài tập………27

A Kết luận………34

B Tài liệu tham khảo……… 35

a mở đầu

1 lí do chọn đề tài

Trong cuộc sống nói chung và trong trường Trung học phổ thông nói riêng, toán học là một môn học không thể thiếu Trong đó chúng ta không thể không nhắc đến hình học bởi môn học này có tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác của toán học Mặt khác đây cũng là một môn học hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó, đặc biệt khi có sự trợ giúp đắc lực của máy tính và các phần mềm hỗ trợ Đứng trước một bài toán hình học chúng ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau, nhưng cách giải nào là tối ưu, là dễ hiểu và thể hiện được tính sáng tạo nhất của người giải Trong chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông hiện nay có đưa ra cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học là sử dụng các phép biến hình Với công cụ này, học sinh có thể vận dụng để giải các bài toán quỹ tích, chứng minh, dựng hình hay tính toán Tuy nhiên không phải bài toán nào đưa ra cũng có thể giải bằng biến hình, đó chính là một hạn chế khi

sử dụng các phép biến hình để giải bài toán Bởi vậy, đòi hỏi học sinh khi sử dụng các phép biến hình để giải bài toán cần có tư duy linh hoạt, sáng tạo, khả năng tư duy hóa, trừu tượng hóa cao

Để tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học

không gian

Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian nghiên cứu không nhiều nên tôi chỉ tập trung xét những ứng dụng của phép đồng dạng - một trong những phép biến hình cơ bản để giải một lớp bài toán, đó là bài toán chứng minh trong không gian

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

 Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán

 Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng

 Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng và bài toán chứng minh của hình học không gian

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong không gian

 Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phân tích các tài liệu liên quan

 Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán

B nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Tổng quan về phép biến hình

1.1.1 Khái niệm về phép biến hình

- Giả sử đã cho tập hợp bất kì K khác rỗng, K sẽ được gọi là một không gian, các phần tử của K là điểm, một tập con khác rỗng của K là một hình

là một phép biến hình của không gian K

- Nếu M, N là hai điểm bất kì của K thì f(M), f(N) là hai điểm phân biệt

của K

= M’

Điểm f(M) được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f Ngược lại điểm

M được gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình f nói trên

Nếu H là một hình nào đó của K thì ta có thể xác định tập hợp f(H) =

và hình H được gọi là tạo ảnh của hình f(H) qua phép biến hình f đó

Chú ý: Nếu một phép biến hình f biến một hình H thành một hình G mà

thỏa mãn điều kiện sau thì ta gọi đó là phép biến hình một đối một:

M của hình H

Như vậy ứng với mỗi điểm M của hình H ta có một điểm M’ của hình G

và chỉ một mà thôi Ngược lại, ứng với mỗi điểm M’ của hình G ta có một

điểm M của hình H và chỉ một mà thôi

1.1.2 Phép biến hình tích

- Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập K đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của K vào K nên tích đó cũng

là một phép biến hình của K Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành

điểm M’ Ta có f(M) = M’ Khi đó phép biến hình biến đổi M’ thành điểm M

gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình đã cho

đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin

- Phép afin trong không gian được xác định bởi hai tứ diện tương ứng

vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến C, từ C đến

A cùng chiều quay từ A’ đến B’, từ B’ đến C’, từ C’ đến A’

, hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' được gọi là cùng chiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A'.B'C'D' cùng hướng

b, Định lí:

biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

c, Tính chất:

- Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng

- Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng

- Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

d, Phân loại:

+ Phép biến hình afin trong En được gọi là phép biến hình loại 1 nếu

được xác định bởi hai hình cùng chiều

+ Ngược lại ta gọi là phép biến hình loại 2

1.1.5 Phép biến hình đẳng cự (hay phép dời)

a, Định nghĩa:

Phép biến hình của không gian En (n=2, 3) bảo tồn khoảng cách giữa

hai điểm gọi là phép đẳng cự

c, Phân loại: có hai loại phép đẳng cự

+ Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1 + Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép afin loại 2

d, Định lí:

Tích hai phép dời hình là phép dời hình

Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình

Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là phép phản chiếu

- Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình đượ gọi là hai hình bằng nhau.Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu được gọi là hai hình đối xứng

e, Các phép đẳng cự đặc biệt:

không gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định như sau:

 MM’ vuông góc với siêu phẳng P

 MM’ cắt P tại O là trung điểm của nó

tịnh tiến theo vectơ a

Kí hiệu: Ta + Tính chất:

 Phép tịnh tiến là phép dời hình

 Nếu chiều dương của mặt phẳng Plà chiều quay của vặn nút chai tiến

Q(d, )

+ Tính chất:

chuyển vị, trục chuyển vị d nếu  (2k1)180 Kí hiệu: Cd

+ Tính chất:

 Phép chuyển vị là phép đối hợp

1.1.6 Điểm bất động Hình kép Hình bất động

- Cho phép biến hình f của không gian K Điểm M của không gian K

được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình f nếu

MN

N M

''

1.2.3 Điều kiện xác định của phép đồng dạng

cạnh tướng ứng tỉ lệ

Tức là: trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đồng dạng Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A, B, C, D tương ứng thành A', B', C', D'

1.2.4 Sự đồng dạng của các hình

- Định nghĩa : Nếu hình H' là ảnh của hình H qua một phép đồng dạng

Zk thì ta nói H đồng dạng với H' theo tỉ số k

- Nhận xét: Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ các góc tương ứng bằng nhau

1.2.5 Phép vị tự

a Định nghĩa

kì với ảnh của nó luôn đi qua O

- Với k  1, phép vị tự O

k

Với k  1, mọi điểm là điểm bất động V 1 I d

k

vị tự là dương hay âm

- Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự

Tích hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến

1.2.6 Phân loại phép đồng dạng

- Phép đồng dạng là phép afin loại 1 được gọi là phép đồng dạng thuận

- Phép đồng dạng là phép afin loại 2 được gọi là phép đồng dạng nghịch

a, Trong E3, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là một phép

đồng dạng thuận, tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phép

đồng dạng nghịch

b, Ngược lại, một phép đồng dạng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép vị tự với một phép dời hình hoặc là một phép phản chiếu tùy theo phép đồng dạng là thuận hay nghịch

Chứng minh:

(a)

Giả sử D là phép dời hình Vk O= V là phép vị tự của E3 Xét cặp M, N

Nếu k > 0 do V là đồng dạng thuận nên Z|k| cũng là thuận

Một phép đồng dạng nghịchcó thể phân tích thành tích một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu

Chứng minh:

Xét V là phép vị tự tâm O, tỉ số k hoặc (-k) tùy theo Zk là thuận hay nghịch

Vậy D là phép quay quanh trục

Định lí 3: Một phép đồng dạng khác đẳng cự đều có điểm bất động duy

+ Nếu Zk không phảI là phép vị tự Ta có Zk xác định bởi hai tam giác

đồng dạng cùng chiều ABC và A’B’C’

Rõ ràng AB, A’B’ không song song Gọi I = AB A’B’ Do OAB và

Tương tự IBB’O là tứ giác nội tiếp Vậy O là giao điểm thứ 2 của hai vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAA’ và IBB’

Do Zk xác định bởi hai tam giác đồng dạng không cùng chiều OAB và OA’B’

Ta có (OA, OB) = -(OA’, OB’)

OA

OA PA

Nếu lấy I = SPQ(A) thì I  OA' Vậy O PQA'I

Như vậy cách dựng O trong trường hợp này là: Lờy hai cặp điểm tương

Dựng điểm I là điểm đối xứng A qua PQ Cuối cùng O là giao điểm PQ với AI’

mặt phẳng P vuông góc với trục quay q của Q, P chứa cả tâm của V

Vậy O thuộc mặt phẳng vuông góc với các trục quay là P, mặt phẳng này

bất động của phép đồng dạng mới này chính là O

Định lí 4:

thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép quay quanh trục và một phép vị tự

giao hoán được của một phép quay và một phépvị tự

Một phép đồng dạng nghịch trong E2 biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép đối xứng trục và một phép vị tự

Chứng minh:

khi và chỉ khi tâm vị tự nằm trên trục quay

Xét Q  Q(q,  ) và V  V(O,k)

Tích phép đối xứng trục và phép vị tự giao hoán được khi và chỉ khi tâm

vị tự nằm trên trục đối xứng

Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giảI bài

toán chứng minh

2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng

2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh

- Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A  B là đúng Trong đó A là giả thiết, B là kết luận

- Để giải các bài toán chứng minh thông thường người ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh đề đúng đã biết bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để dẫn đến kết luận

2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh

 Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm và đường đã cho trong giả thuyết A với các điểm và các đường trong kết luận B của bài toán thông thường qua phép đồng dạng, thì nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép

đồng dạng ta có thể nhận được những thông tin về: tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc hay liên thuộc…để qua đó đi

đến khẳng định B

phép đồng dạng ta có thể khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu

B

 Thông thường trong nhiều trường hợp, việc dựng thêm các đường thẳng giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được những điều cần chứng minh Thường thực chất của công việc này là dựng ảnh của điểm hay đường qua phép đồng dạng

 Giải một bài toán chứng minh trong hình học nói chung cần sử dụng 3 bước:

- Lựa chọn phép biến hình

- Thực hiện phép biến hình,

- Rút ra kết luận bài toán

ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh ta phải tìm được phép đồng dạng thích hợp và thực hiện các bước trên

Khi tìm ra được phép đồng dạng rồi, ta dựa vào định nghĩa, các tính chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng, trong một số trường hợp sẽ rút ra được ngay kết luận của bài toán hoặc có thể giảm bớt mức độ khó khăn của bài toán, chuyển sang bài toán dễ giải hơn

2.2 Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Chứng minh hai hình đồng dạng

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng hai đường tròn bất kì trong không gian đồng dạng và

tỉ số đồng dạng bằng tỉ số bán kính của chúng

Chứng minh:

Giả sử có hai đường tròn là (C) = (O, R); (C’) = (O’, R’)

 Trường hợp 1: Nếu (C) và (C') nằm trong cùng một mặt phẳng

 Trường hợp 2: Nếu (C) và (C') nằm trong hai mặt phẳng song song

Ta thực hiện phép tịnh tiến biến mặt phẳng chứa (C) thành mặt phẳng chứa (C') và (C) có ảnh là (C1) : T : (C ) (C1)

 Trường hợp 3: Nếu (C) và (C') nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau

Thực hiện phép quay Q biến mặt phẳng chứa (C) thành mặt phẳng chứa (C'), khi đó (C) có ảnh là (C1)

(C

B B

C C



2 1

Dạng 2: Chứng minh các tính chất hình học

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm và đường đã cho trong giả thuyết A với các điểm và các đường trong kết luận B của bài toán thông thường qua phép đồng dạng, thì nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép

đồng dạng ta có thể nhận được những thông tin về: tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc hay liên thuộc…để qua đó đi

đến khẳng định B

Ví dụ 3:

A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, DCA, ABD, ABC nên ta có:

A2B2C2D2Vậy A1B1C1D1 T u.VG3

A2B2C2D2Vì phép biến hình

4

1)

3(1

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,

BC, CA gọi K, I, J là các điểm đối xứng với D lần lượt qua M, N, P Chứng minh AI, BJ, CK là ba đường thẳng đồng quy

Do đó theo tính chất của phép vị tự các đường thẳng AI, BJ, CK đồng