Sử dụng phép quay để chứng minh bài toán trong hình học phẳng

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b  Nếu a b  0 thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: góc đ

Trang 1

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “Sử dụng phép quay để chứng minh bài toán trong hình học phẳng” cùng với sự cố gắng của bản thân,

em đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Văn Vạn

Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ và

hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Lê Thị Huyền

Trang 2

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa

toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Sinh viên

Lê Thị Huyền

Trang 3

Mục lục

Trang

Phần mở đầu 01

Chương 1: Một số kiến thức cần nhớ 02

1.1 Định nghĩa về phép biến hình 02

1.2 Định nghĩa về phép dời hình 02

1.3 Định nghĩa về phép quay 03

1.4 Tính chất của phép quay 06

1.5 Biểu thức tọa độ của phép quay 08

1.6 Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng 10

1.7 Dạng chính tắc của tích hai phép đẳng cự trong E2 11

Chương 2: Sử dụng phép quay để chứng minh bài toán trong hình học phẳng 13

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, song song, vuông góc…14 Dạng 2 : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 24

Bài tập 31

Bài tập đề nghị 36

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là một môn học khó đối với học sinh Bởi hình học có tính chặt chẽ, logic và trìu tượng cao hơn môn học khác của toán học

Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông hiện nay có đưa ra cho học sinh một công cụ mới để giải toán hình học đó là sử dụng phép biến hình trong mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể hiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán

Là một giáo viên phải tùy thuộc vào trình độ của học sinh mà đưa ra các bài tập phù hợp, nên mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một bài toán Sử dụng phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và sáng tạo các bài toán

Chính vì vậy ở khóa luận này em xin trình bày về: “ Sử dụng phép quay để chứng minh bài toán trong hình học phẳng ”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phép quay

- Xây dựng hệ thống các dạng bài tập sử dụng phép quay để chứng minh

3 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết của phép quay để đưa ra hệ thống bài tập phù hợp

Trang 5

CHƯƠNG 1: MộT Số KIếN THứC CầN NHớ

1.1 Định nghĩa về phép biến hình

Gọi P là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng

Một ánh xạ f: PP được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i Với M, N bất kỳ thuộc P nếu M  N thì f(M)  f(N) Nghĩa là f đơn ánh

ii Với mỗi M’ thuộc P luôn xác định được M thuộc P sao cho f(M) = M’ Nghĩa là f toàn ánh

Như vậy f là một song ánh

Nếu gọi H là một tập con của P

Khi đó: H’ = { M’ = f(M) / M thuộc H } được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f

Lưu ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất

Trang 6

1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia

Trong mặt phẳng định hướng cho 2 tia chung gốc: 0x, 0y góc định hướng có tia đầu là 0x, tia cuối là 0y

Kí hiệu 0 ,0x y là góc thu được khi ta quay tia đầu 0x tới khi trùng tia cuối 

0y

Nhận xét: Giá trị của góc định hướng trên không phải là duy nhất Ta quy ước

giá trị đó là âm hay dương tùy theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương của mặt phẳng

Ta gọi  là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi quay 0x trùng với 0y theo góc hình học nhỏ nhất

Nếu  là một giá trị của góc định hướng giữa hai tia 0x và 0y thì

0 ,0x y =  k2 ( k  )

a

x y

O

Trang 7

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b

 Nếu a b  0 thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa hai tia ai và bi (i = 1, 2)

Trang 8

ii M O Đặt M’ = f(M) thì OM’ = OM và (OM, OM’) = 

Định nghĩa 2: Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm 0 thành điểm 0,

biến mỗi điểm M khác 0 thành điểm M’ sao cho 0M = 0M’ và góc lượng giác (0M, 0M’) =  được gọi là phép quay tâm 0 góc quay 

Trang 9

* Phép đối xứng tâm

- Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép quay tâm O với góc

quay 1800, tức là biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM OM'0

Từ tính chất trên ta có các tính chất sau:

+ Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng

+ Phép quay biến hai đường thẳng cắt nhau tại A thành hai đường thẳng cắt nhau tại Q o( )A , biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song

+ Phép quay biến tia thành tia

+ Phép biến hình biến tam giác thành tam giác bằng nó

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

+ Phép quay bảo toàn góc giữa hai tia, giữa hai đường thẳng cắt nhau

+ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng nó, biến tâm đường tròn thành tâm đường tròn kia

+ Phép quay bảo toàn tích vô hướng của 2 vecto

1.4.4 Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay

Chứng minh

Trang 10

+ TH2 : 0  0’

 Bổ đề: Tích của hai phép đối xứng trục có trục d, d’ cắt nhau là một phép

quay quanh giao điểm với góc quay là 2a a , '

'

aa I : Đa Đa’ = Q I2( , ')a a

Chứng minh Nếu M  I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

Vậy I là điểm bất động của Q = Đa Đa

Nếu M I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

IM = IM’ = IM”

IM IM, "  IM IM, '  IM IM', "2( , ')a a

Trang 11

 Chú ý: IOO' thường được gọi là tam giác quay

1.5 Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho phép quay tâm I góc quay  với

0 

Trang 12

Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc tọa độ O

y’

y





Trang 13

1.6 Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng

Định lý 1 : Phép đẳng cự trong En (n = 2, 3) sẽ được phân tích thành tích không quá (n + 1) phép đối xứng qua siêu phẳng

Hệ quả 1 : Phép phản chiếu trong E2 có điểm bất động là phép đối xứng trục

Hệ quả 2 : Trong E2 tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến giao hoán

được khi va chỉ khi giá của vecto tịnh tiến và trục đối xứng song song nhau và phép biến hình tích là phép đối xứng trượt

Trang 14

Định lý 2 : Phép dời hình trong E2 (còn gọi là phép đẳng cự loại I) không phải là phép đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay hoặc một phép tịnh tiến

Định lý 3 : Trong không gian En (n = 2, 3) tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng qua siêu phẳng có vecto tịnh tiến vuông góc với siêu phẳng

đối xứng là một phép đối xứng qua siêu phẳng

Theo định lý : Tích của hai phép đối xứng trục qua siêu phẳng có siêu phẳng

đối xứng song song nhau là một phép tịnh tiến nên S S d d' T a

+ Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng Q(O ; )

Định lý 1 : Tích của hai phép đối xứng trục Đd1, Đd2 với d1 // d2 trong E2 là một phép tịnh tiến T v trong đó v

có phương vuông góc với hai trục d1, d2 có hướng từ d sang d có độ dài bằng hai lần khoảng cách giữa d , d

Trang 15

Định lý 4 : Tích của hai phép quay có tâm khác nhau là một phép quay với

góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là một phép tịnh tiến hai góc quay là đối nhau

Trang 16

CHƯƠNG 2: Sử DụNG PHéP QUAY Để CHứNG MINH BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG

- Bài toán chứng minh có dạng AB Trong đó

+ A là giả thiết, bao gồm: những yếu tố đã cho (điểm, đường thẳng, …) những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc, …) những yếu tố về lượng (độ dài, góc,…)

+ B là kết luận cần được khẳng định đúng

" là những suy luận hợp logic dựa trên giả thiết có mặt trong A, các định "nghĩa, các định lý, các công cụ để khẳng định B đúng

 Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình

- Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó ta có thể nhận được các kết quả về:

+ Tính đồng quy hay tính thẳng hàng

+ Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc

+ Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau

Giúp ta suy ra điều phải chứng minh

- Ta có thể đối với bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề “ AB” thành mệnh đề “ 'A B' ” bằng cách chuyển A thành A’, B thành B’ qua một phép biến hình Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ vào tính chất 1-1

và tính chất của phép biến hình đã sử dụng để suy ra mệnh đề ban đầu

- Trong nhiều trường hợp việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen gọi là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được điều cần chứng

Trang 17

minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh của điểm hay đường qua một phép biến hình nào đó

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, song song, vuông góc,… Phương pháp

1 Xác định phép quay Q O ,

2 Sử dụng các tính chất của quay để giải quyết yêu cầu bài toán

Bài toán 1: Cho tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao

cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’ C.m.r tam giác OGG’ là tam giác vuông cân

Trang 18

  là tam giác vuông cân

Bài toán 2: Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm

K, L, M sao cho AK BL CM

KB  LC  MA Nối AL, BM, CK các đường thẳng này đôi

một cắt nhau tạo thành một tam giác Chứng minh tam giác đó là tam giác đều và

có tâm trùng với tâm của tam giác ABC

Lời giải

A K

L

M E

D

F O

Gọi tam giác tạo thành là DEF và O là tâm ABC cũng là trọng tâm tam

giác (do ABC đều)

OA OB OC

   và AOBBOCCOA1200

Trang 19

  là tam giác đều và có tâm O

Bài toán 3: Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài của tam giác ABC các

tam giác vuông cân ABO1, ACO2 có đỉnh góc vuông ở O1, O2 Gọi O là trung

điểm cạnh BC Chứng minh tam giác OO1O2 vuông cân

Lời giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC

Ta có : ABO1 vuông cân tại O1 O E1  AB và 1 1

Trang 20

Mặt khác: OF là đường trung bình của ABC OF// AB và OF 1

Trang 21

Vậy OO O1 2 vuông cân tại O

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Dựng phía ngoài tam giác

ABC các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF

a) Chứng minh BQ = CN và BQCN

b) Gọi D là trung điểm của BC và K, H, G theo thứ tự là tâm các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF Chứng minh DKH vuông cân và KH = AG

Lời giải

a) Ta có : AN = AB, (AN, AB) = 900

AQ = AC, (AQ, AC) = 900

Trang 22

Xét phép quay Q S900

0

90:

Trang 23

Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD có A > 900 Ở phía ngoài dựng hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF và ABF Chứng minh rằng CEF là tam giác đều

E

Trang 24

, EF 60

EC = EF (= KD) nên CEF đều

Bài toán 6: Cho tam giác ABC, qua A dựng tam giác vuông cân ABE và

AFC Gọi M là trung điểm của BC và AM EF H Chứng minh AH là đường cao của tam giác AEF

Trang 25

0

90:

Mà AM EFH AH là đường cao của AEF

Bài toán 7: Cho hình vuông ABCD Từ đỉnh A của hình vuông vẽ 2 tia Ax,

Ay qua miền trong của hình vuông Gọi M, K tương ứng là hình chiếu của B, D lên Ax, N, L tương ứng là hình chiếu của B, D lên Ay Chứng minh rằng KL =

Trang 26

Trang 27

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Phương pháp

1 Xác định phép quay Q O ,

2 Áp dụng tính chất của phép quay

3 Áp dụng bất đẳng thức, các hệ thức lượng trong tam giác…

Bài toán 1: Cho tam giác đều ABC và một điểm M bất kỳ Chứng minh

BM CM  AM Khi nào thì dấu của đẳng thức xảy ra?

Trang 28

060

AMB

   M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm thuộc

IK I K

  và IK  I K' '

Mặt khác, AIK cân tại A nên OAIK

Trang 29

(Đường phân giác cũng là đường cao)

I’K’ // OA và I’K’ = OasinA I K' 'OAsinA

Tương tự, ta có: J K' 'OCsin ;C I J' 'OBsinB

Suy ra: OAsinA OBsinBOCsinCK I  ' 'I J' 'J K' 'K K' '0

Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh

CD lấy điểm N sao cho MAN 450

Chứng minh rằng: CM + CB +MN không phụ thuộc vào vị trí các điểm M,

Trang 30

Vậy CM + CN + MN không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N trên BC và

DC

Bài toán 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ AB

lấy một điểm M Chứng minh MC = MA +MB

Trang 31

Bài toán 5: Cho hai trục 'x O x và ' y O y vuông góc với nhau tại O Giả sử

C là điểm trên phân giác góc xOy, đường tròn tâm I di động qua C và O cắt Ox’,

O

Q OxOy

Ta có

045

C

Q M N

Giả sử Q C900 : OO' ta được OCO' vuông cân tại C và O'Oy

Do đó OO'OC 2

Trang 32

C I

y

x O

M

N C'

Trang 33

Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H và điểm

M thuộc đường tròn (O) Gọi M1, M2, M3 lần lượt là các điểm đối xứng với M qua các cạnh AB, BC, AC Chứng minh các điểm M1, M2, M3 và H thẳng hàng (Gọi là đường thẳng Steiner)

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	344,65 KB