Sử dụng phép quay để chứng minh bài toán trong hình học phẳng

Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực khóa luận: Sử dụng phép quay để chứng minh toán hình học phẳng với cố gắng thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Văn Vạn Đồng thời em nhận giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Vạn giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Thị Huyền Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy cô khoa toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Văn Vạn Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Sinh viên Lê Thị Huyền Mục lục Trang Phần mở đầu 01 Chương 1: Một số kiến thức cần nhớ 02 1.1 Định nghĩa phép biến hình 02 1.2 Định nghĩa phép dời hình 02 1.3 Định nghĩa phép quay 03 1.4 Tính chất phép quay 06 1.5 Biểu thức tọa độ phép quay 08 1.6 Dạng tắc phép dời hình mặt phẳng 10 1.7 Dạng tắc tích hai phép đẳng cự E2 11 Chương 2: Sử dụng phép quay để chứng minh toán hình học phẳng 13 Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng nhau, song song, vuông góc14 Dạng : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 24 Bài tập 31 Bài tập đề nghị 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Phần mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh Bởi hình học có tính chặt chẽ, logic trìu tượng cao môn học khác toán học Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông có đưa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung phép quay nói riêng thể tính ưu việt rõ rệt giải toán Là giáo viên phải tùy thuộc vào trình độ học sinh mà đưa tập phù hợp, nên giáo viên cần biết cách xây dựng toán Sử dụng phép biến hình nói chung phép quay nói riêng ta xây dựng sáng tạo toán Chính khóa luận em xin trình bày về: Sử dụng phép quay để chứng minh toán hình học phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng đưa sở lý thuyết phép quay - Xây dựng hệ thống dạng tập sử dụng phép quay để chứng minh Phương pháp nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lý thuyết phép quay để đưa hệ thống tập phù hợp Lê Thị Huyền Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội CHƯƠNG 1: MộT Số KIếN THứC CầN NHớ 1.1 Định nghĩa phép biến hình Gọi P tập hợp tất điểm mặt phẳng Một ánh xạ f: P P gọi phép biến hình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện sau: i Với M, N thuộc P M N f(M) f(N) Nghĩa f đơn ánh ii Với M thuộc P xác định M thuộc P cho f(M) = M Nghĩa f toàn ánh Như f song ánh Nếu gọi H tập P Khi đó: H = { M = f(M) / M thuộc H } gọi ảnh hình H qua phép biến hình f Lưu ý: Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép biến hình đồng 1.2 Định nghĩa phép dời hình 1.2.1 Định nghĩa Gọi f: P P phép biến hình mặt phẳng Khi f gọi phép dời hình với M, N thuộc P MN = MN Trong M = f(M), N = f(N) 1.2.2 Định nghĩa Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Lê Thị Huyền Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 1.3 Định nghĩa phép quay 1.3.1 Mặt phẳng định hướng Trong mặt phẳng cho điểm xung quanh điểm có chiều quay Nếu ta chọn chiều chiều dương chiều lại chiều âm ta nói định hướng mặt phẳng Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh ngược chiều kim đồng hồ chiều dương lại chiều âm 1.3.2 Góc định hướng hai tia Trong mặt phẳng định hướng cho tia chung gốc: 0x, 0y góc định hướng có tia đầu 0x, tia cuối 0y Kí hiệu x,0 y góc thu ta quay tia đầu 0x tới trùng tia cuối 0y y a O x Nhận xét: Giá trị góc định hướng Ta quy ước giá trị âm hay dương tùy theo chiều quay chiều âm hay chiều dương mặt phẳng Ta gọi giá trị đầu góc định hướng, giá trị thu quay 0x trùng với 0y theo góc hình học nhỏ Nếu giá trị góc định hướng hai tia 0x 0y x,0 y = k ( k Lê Thị Huyền ) Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Hệ thức Salo Trong mặt phẳng định hướng, cho tia chung gốc: 0x, 0y, 0z Hệ thức Salo: x,0 y y,0 z x,0 z Mở rộng cho n tia Trong mặt phẳng, chọn tia chung gốc A1, A2,,An Hệ thức Salo: A ,0 A A n ,0 An A1 ,0 An k (k ) 1.3.3 Góc định hướng hai đường thẳng mặt phẳng b1 O a1 a a2 b b2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a b Nếu a b đường thẳng bị O chia làm hai tia ta định nghĩa: góc định hướng hai đường thẳng a b góc định hướng hai tia bi (i = 1, 2) Kí hiệu: (a, b) Nếu a b a b a, b k (k ) Nhận xét: Nếu giá trị góc định hướng hai đường thẳng a b giá trị ' có dạng: Lê Thị Huyền Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội ' k ( k ) Hệ thức Salo: Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a1 , a2 , , an cắt O Khi ta có: a1, a2 a2 , a3 an1, an a1, an k (k ) 1.3.4 Định nghĩa phép quay M' M O Giả thiết chung: Cho mặt phẳng định hướng P Trong mặt phẳng lấy điểm O góc định hướng Định nghĩa 1: Gọi f: P P phép dời hình Khi f gọi phép quay tâm O, góc quay thỏa mãn: i f(O) = O ii M O Đặt M = f(M) OM = OM (OM, OM) = Định nghĩa 2: Phép biến hình mặt phẳng biến điểm thành điểm 0, biến điểm M khác thành điểm M cho 0M = 0M góc lượng giác (0M, 0M) = gọi phép quay tâm góc quay Kí hiệu: Q0 : M M ' Q 0, Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt : k Q 0, phép đồng (2k 1) Lê Thị Huyền Q 0, phép đối xứng tâm O Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội * Phép đối xứng tâm - Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O phép quay tâm O với góc quay 180 , tức biến điểm M thành điểm M cho OM OM ' - Kí hiệu: Đo 1.4 Tính chất 1.4.1 Phép quay Q 0, phép dời hình 1.4.2 Phép quay Q 0, ( k , k ) có điểm bất động phép biến đổi 1-1 1.4.3 Phép quay Q 0, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự chúng Từ tính chất ta có tính chất sau: + Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng + Phép quay biến hai đường thẳng cắt A thành hai đường thẳng cắt Qo ( A) , biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song + Phép quay biến tia thành tia + Phép biến hình biến tam giác thành tam giác + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Phép quay bảo toàn góc hai tia, hai đường thẳng cắt + Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có bán kính nó, biến tâm đường tròn thành tâm đường tròn + Phép quay bảo toàn tích vô hướng vecto 1.4.4 Tích hai phép quay phép tịnh tiến phép quay Chứng minh Lê Thị Huyền Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Xét hai phép quay Qo' Qo Đặt Q = Qo' Qo + TH1: 0 M OM ' : M M ' M ,0 M ' Qo OM ' OM " : M ' M " OM ', OM " Qo' Do OM OM " OM , OM " OM , OM ' OM ', OM " Vậy Q = Qo + TH2 : Bổ đề: Tích hai phép đối xứng trục có trục d, d cắt phép quay quanh giao điểm với góc quay a, a ' a a ' I : Đa Đa = QI2( a ,a ') Chứng minh Nếu M I theo tính chất phép đối xứng trục ta có M ' I M " I Vậy I điểm bất động Q = Đa Đa Nếu M I theo tính chất phép đối xứng trục ta có IM = IM = IM IM , IM " IM , IM ' IM ', IM " 2(a, a ') Lê Thị Huyền Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội AMB 600 M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài toán 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm thuộc AB, BC, CA I, J, K Chứng minh OA sin A OB sin B OC sin C Lời giải Ta có OI AB OK AC tứ giác AIOK nôi tiếp đường tròn đường kính OA Trong AIK , theo định lý sin : IK R OA IK OAsin A sin A A I' K I O J' K' B C J Xét phép quay Q090 : Q090 : I I ' J J' K K' IK I ' K ' IK I ' K ' Mặt khác, AIK cân A nên OA IK Lê Thị Huyền 25 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội (Đường phân giác đường cao) IK // OA IK = OasinA I ' K ' OA sin A I ' J ' OB sin B Tương tự, ta có: J ' K ' OC sin C ; Suy ra: OA sin A OB sin B OC sin C K ' I ' I ' J ' J ' K ' K ' K ' Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho MAN 450 Chứng minh rằng: CM + CB +MN không phụ thuộc vào vị trí điểm M, N cạnh BC CD Lời giải Thực phép quay QA90 0 QA90 : B D M M' BM DM ' B A M M D C N Vì M thuộc tia đối tia DC AMN AM ' N (c.g.c) Lê Thị Huyền 26 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội MN M ' N DM ' DN BM DN MN CM CN BM DN CM CN ( BM CM ) ( DN CN ) BC DC BC Vậy CM + CN + MN không phụ thuộc vào vị trí điểm M, N BC DC Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Chứng minh MC = MA +MB Lời giải Thực phép quay QB60 0 QB60 : A C M M' s BMA BM ' C BMA BM ' C 1200 , AM CM ' A M M C B Lê Thị Huyền 27 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội BMM ' nên ta có: MM ' B 600 , MM ' MB Do MM ' C 1800 hay M, M, C thẳng hàng M ' MC nên MC = MM + MC = MB + MA Bài toán 5: Cho hai trục x ' O x y ' O y vuông góc với O Giả sử C điểm phân giác góc xOy, đường tròn tâm I di động qua C O cắt Ox, Oy M, N a) Chứng minh rằng: OM ON k không đổi b) Giả sử đường tròn tâm I qua C O cắt Ox, Oy A, B ta có AM BN Lời giải a) Thực phép quay QO90 0 QO90 : Ox Oy Ta có NMC NOC 450 (1) MNC MOC 1800 MOC 1350 ; MNC 450 (2) Kết hợp (1) (2) ta có MCN 900 hay MCN vuông cân C Do QC90 : M N Giả sử QC90 : O O ' ta OCO ' vuông cân C O ' Oy Do OO ' OC Lê Thị Huyền 28 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội y N C' C I M O x Ta có OM ON OM ON O ' N ON OO ' OC Vậy OM ON k ; k OC không đổi b) Theo Salo ta có: AM BN AO OM BO ON (OM ON ) (OA OB ) k k OM ON k Vì theo câu a ta có OA OB k Lê Thị Huyền ; k OC 29 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H điểm M thuộc đường tròn (O) Gọi M1, M2, M3 điểm đối xứng với M qua cạnh AB, BC, AC Chứng minh điểm M1, M2, M3 H thẳng hàng (Gọi đường thẳng Steiner) Lời giải Gọi (O1), (O2), (O3) đường tròn đối xứng với đường tròn (O) qua cạnh AB, BC, AC đường tròn (O1), (O2), (O3) qua điểm H A O1 O3 M2 H O M1 B M O2 M3 C Ta có M (O ) nên DAB : M M (O1 ) DBC : M M (O2 ) DAC : M M (O3 ) Xét tích DAC DAB QA với AB, AC Lê Thị Huyền 30 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội QA : M M O1 O3 (O1) = (O3) AM AM AM AM M 1HA AHM M , H , M thẳng hàng Tương tự ta chứng minh M1, H, M2 thẳng hàng M2, M3, H thẳng hàng Bài tập 2: Chứng minh tích hai phép đối xứng trục có trục không song song phép quay Lời giải O M3 M1 b M2 a Xét hai phép đối xứng trục Da , Db với a cắt b O Giả sử Da Db M M M2 Thì OM OM OM OM , OM a, b Với (a, b) góc hai đường thẳng a b Suy Q0 : M M Vậy Db Da Q0 Lê Thị Huyền 31 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Nhận xét: Mọi phép quay Q0 xem tích hai phép đối xứng trục Da , Db với a cắt b O tâm quay, góc quay a, b Bài tập 3: Cho hai phép quay QA, QB có tâm quay A, B phân biệt có góc quay 900 Gọi F = QA QB F = QB QA Chứng minh F, F phép đối xứng tâm Lời giải Lấy điểm O cho tam giác OAB vuông cân O Ta có: (OA, AB) = (OB, BA) = 450 Suy QA QA90 DAO DAB QB QB90 DBA DBO F = QA QB = ( DAO DAB DBA DBO = DAO DAB DBA DBO DAO DBO = QO180 OB, OA 2.900 1800 I B A O Lê Thị Huyền 32 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Tương tự lấy điểm I cho tam giác IAB vuông cân I Khi đó: QB QB90 DBI DBA QA QA90 DAB DAI F ' QB QA DBI DBA DAB DAI = DBI DBA DAB DAI DBI DAI = QI180 2( IA, IB) 2.900 1800 Bài tập 4: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác hình vuông BCMN, ACPQ có tâm O O a) Chứng minh cố định hai điểm A, B cho điểm C thay đổi đường thẳng NQ qua điểm cố định b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh tam giác IOO vuông cân Lời giải a) Chứng minh đường thẳng NQ qua điểm cố định Ta có: (AQ, AC) = 900 QA QA90 DAQ DAC BC , BN 900 QB QB90 DBC DBN Suy ra, tích hai phép quay QA, QB phép đối xứng tâm DJ với ABJ vuông cân J QA : Q C ; QB : C N DJ : Q N JQ JN Suy đường thẳng NQ qua điểm J Lê Thị Huyền 33 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Q O' A P I J C B O M N b) Chứng minh tam giác IOO vuông cân QC90 : A P M B AM PB; AM PB (1) Mặt khác OI đường trung bình AMB OI / / AM OI AM (2) Tương tự, OI đường trung bình ABP O ' I / / BP O ' I BP (3) Lê Thị Huyền 34 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Từ (1), (2), (3) ta có: OI = OI OI O ' I nên tam giác IOO vuông cân Bài tập 5: Cho tam giác ABC đều, điểm M khác A, B, C Gọi M DBC ( M ), M DCA ( M ), M DAB ( M ) Chứng minh BM 1M CM 1M Lời giải Ta có DCA DBC phép quay tâm C AC BC , góc quay 2(BC, CA) =120o DCA ( M ) M DCA ( M ) M DBC DCA ( M ) DBC ( M ) M QC120 : M M CM 1M cân C M 1CM 1200 (1) Lại có DBC DAB phép quay tâm B BC AB , góc quay 2(BC, AB) = 120o DAB ( M ) M DAB ( M ) M DBC DAB ( M ) DBC ( M ) M o QB120 : M M BM 1M cân B M 1BM 120o Từ (1) (2) BM 1M Lê Thị Huyền (2) CM 1M 35 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Dựng phía cho trước đường thẳng chứa A, B, C tam giác ABC BCA Gọi I, J trung điểm AA CC Chứng minh BIJ Bài tập 2: Hãy dựng hình vuông ABMN BCQP phía cạnh AB BC tam giác ABC Giả sử tâm hình vuông O1, O2 Chứng minh D, G trung điểm đoạn AC, MP O1GO2 D hình vuông Bài tập 3: Dựng phía tam giác ABC hình vuông ABC1C2 ACB1B2 Gọi D đỉnh thứ tự hình bình hành AC2 DB2 a) Chứng minh rằng: AD = BC AD BC b) AD, BB1 , CC1 đồng quy Bài tập 4: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABB1 A1 , ACC2 A2 , BCC3 B3 gọi O1 , O2 , O3 tâm hình vuông Gọi M, N trung điểm BC, A1A2 H chân đường cao hạ từ A ABC Chứng minh rằng: a) AM A1 A2 , AM A1 A2 b) AH , CB1 , BC2 đồng quy c) O1MO2 N hình vuông d) AO3 O1O2 , AO3 O1O2 Bài tập 5: Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng d cắt đường thẳng AB CD tương ứng điểm M, N Một đường thẳng d vuông góc với d cắt đường thẳng AD, BC tương ứng điểm P, Q Chứng minh MN = PQ Lê Thị Huyền 36 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân A, M chuyển động đáy BC Qua M dựng đường thẳng song song với AB, AC cắt AC D, AB E Chứng minh a) Đường trung trực DE qua điểm cố định b) Đường tròn ngoại tiếp ADE qua hai điểm cố định Lê Thị Huyền 37 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Kết luận Đề tài trình bày Cơ sở lý luận phép quay Hệ thống tập sử dụng phép quay để chứng minh thể phương pháp giải toán hình học ngắn gọn dễ hiểu sử dụng phép biến hình nói chung phép quay nói riêng Đưa dạng tập sử dụng phép quay để chứng minh có ví dụ cụ thể Tuy có cố gắng, song lực thân điều kiện đề tài thời gian hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi khiễm khuyết sai sót Em kính mong thầy cô, bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Lê Thị Huyền 38 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Vạn - Bùi Văn Bình, Giáo trình hình học sơ cấp (1993) Trường ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình, Giáo trình tập hình học sơ cấp (1993) -Trường ĐHSP Hà Nội Đoàn Quỳnh- Văn Như Cương- Phạm Khắc Ban- Tạ Mân, SGK hình học nâng cao 11- NXB Giáo dục Nguyễn Kiếm- Lê Thị Hương- Hồ Xuân Thắng, Phân loại phương pháp giải dạng tập toán 11 Lê Thị Huyền 39 Lớp K34CN Toán [...]... hai phép quay có tâm khác nhau là một phép quay với góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là một phép tịnh tiến hai góc quay là đối nhau Lê Thị Huyền 12 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 CHƯƠNG 2: Sử DụNG PHéP QUAY Để CHứNG MINH BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG - Bài toán chứng minh có dạng A B Trong đó + A là giả thiết, bao gồm:... 23 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp 1 Xác định phép quay Q O, 2 p dụng tính chất của phép quay 3 p dụng bất đẳng thức, các hệ thức lượng trong tam giác Bài toán 1: Cho tam giác đều ABC và một điểm M bất kỳ Chứng minh BM CM AM Khi nào thì dấu của đẳng thức xảy ra? Lời giải 0 Xét phép quay QA60 : M... điều phải chứng minh - Ta có thể đối với bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề A B thành mệnh đề A ' B ' bằng cách chuyển A thành A, B thành B qua một phép biến hình Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ vào tính chất 1-1 và tính chất của phép biến hình đã sử dụng để suy ra mệnh đề ban đầu - Trong nhiều trường hợp việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen gọi là dựng các hình phụ... tắc của phép dời hình trong mặt phẳng Định lý 1 : Phép đẳng cự trong En (n = 2, 3) sẽ được phân tích thành tích không quá (n + 1) phép đối xứng qua siêu phẳng Hệ quả 1 : Phép phản chiếu trong E2 có điểm bất động là phép đối xứng trục Hệ quả 2 : Trong E2 tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến giao hoán được khi va chỉ khi giá của vecto tịnh tiến và trục đối xứng song song nhau và phép biến hình. .. tích là phép đối xứng trượt Lê Thị Huyền 10 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Định lý 2 : Phép dời hình trong E2 (còn gọi là phép đẳng cự loại I) không phải là phép đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay hoặc một phép tịnh tiến Định lý 3 : Trong không gian En (n = 2, 3) tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng qua siêu phẳng. .. hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được điều cần chứng Lê Thị Huyền 13 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh của điểm hay đường qua một phép biến hình nào đó Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, song song, vuông góc, Phương pháp 1 Xác định phép quay Q O, 2 Sử. .. siêu phẳng đối xứng là một phép đối xứng qua siêu phẳng Ta chứng minh trong E2 Giả sử Ta T , S d S là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đã cho trong E2 sao cho a d Xét d ' Ta (d ) 2 Theo định lý : Tích của hai phép đối xứng trục qua siêu phẳng có siêu phẳng đối xứng song song nhau là một phép tịnh tiến nên Sd Sd ' Ta Ta suy ra T S Ta S d S d ' S d Sd S d ' Định lý 4: Phép phản chiếu trong. .. Huyền 18 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Xét phép quay QS90 Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 0 0 QS90 : A K GH AG KH và AG KH Q N A H K S P M C D B G E F Lê Thị Huyền 19 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD có A > 900 phía ngoài dựng hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF và ABF Chứng minh rằng CEF là tam... 11 Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Kí hiệu : Tv Đd1.Đd2 Định lý 2 : Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục d1, d2 cắt nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O, góc quay 2 d1 , d 2 Kí hiệu : Q O, = Đd2.Đd1 Định lý 3 : Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc là một phép quay góc Định lý 4 : Tích của hai phép quay có tâm khác... loại II) được biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép đối xứng trượt 1.7 Dạng chính tắc của tích hai phép đẳng cự trong E2 Các phép đẳng cự trong E2 + Đối xứng trục : Đd + Đối xứng tâm : Đo + Tịnh tiến : Ta + Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng Q(O ; ) Định lý 1 : Tích của hai phép đối xứng trục Đd1, Đd2 với d1 // d2 trong E2 là một phép tịnh tiến Tv trong đó v có phương vuông góc với hai trục d1, ... Lớp K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội CHƯƠNG 2: Sử DụNG PHéP QUAY Để CHứNG MINH BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG - Bài toán chứng minh có dạng A B Trong + A... học Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông có đưa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung phép quay nói riêng thể tính... 1.6 Dạng tắc phép dời hình mặt phẳng 10 1.7 Dạng tắc tích hai phép đẳng cự E2 11 Chương 2: Sử dụng phép quay để chứng minh toán hình học phẳng 13 Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng