Khóa luận tốt nghiệp toán Phép đẳng cự với bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN PHÙNG THỊ NGA PHÉP ĐẲNG Cự VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Ngưòi hướng dẫn khoa học GY. ĐINH VĂN THỦY Hà Nôi-2014 Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong nhà trường, các thày côtrong tổ bộ môn hình học đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy ĐỈNH VĂN THỦY đã hướng dẫn cho em chọn đề tài và chỉ bảo tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận này. Đồng thời em xin cảm ơn tới các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn ỉ Hà Nộỉ,tháng5 năm 2014 Sinh viên Phùng Thị Nga Khóa luận này được hoàn thảnh là quá trình tích lũy kiến thức, tìm tòi nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thày ĐINH VĂN THỦY. Em xin cam đoan đề tài “PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH” là công trình nghiên cứu của riêng em không trùng với đề tài nào trước đó. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Phùng Thị Nga LỜI CAM ĐOAN MUC LUC • • • MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐÈ TÀI • Hình học là một bộ phận quan trọng của Toán học và các kiến thức của nó là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi hình học là môn học có tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng cao hơn so với các môn học khác. • Trong trường phổ thông hiện nay có đưa ra một công cụ mới cho học sinh giải bài toán hình học đó là sử dụng phép biến hình. Tuy nhiên để giải được bài toán bằng sử dụng phép biến hình không hề đơn giản đối với học sinh, do phép biến hình là mảng kiến thức khó và học sinh lại tiếp xúc ít về vấn đề này. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài “PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH” nhằm cung cấp thêm cho người đọc hiểu rõ hơn về một phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải quyết bài toán chứng minh trong hình học. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN cứu • Nghiên cứu những kiến thức cơ bản về phép đẳng cự và làm rõ những ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán chứng minh. 3. NHIỆM yụ NGHIÊN cứu • Nghiên cứu những kiến thức về phép đẳng cự, ứng dụng của nó trong việc giải bài toán hình học. • Đưa ra một hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập thể hiện phương pháp sử dụng phép đẳng cự để giải lóp bài toán chứng minh. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN cứu • Phép đẳng cự Bài toán chứng minh 4 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu • Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu tham khảo có liên quan tới đề tài này. • NÔI DUNG CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ THUYẾT • §1: ĐỊNH HƯỚNG 1.1. Định hướng trong mặtphẳng • Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu ta chọn một chiều là chiều dương và chiều còn lại là chiều âm thì ta nói rằng đã định hướng được mặt phẳng. • Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương còn ngược lại là chiều âm. 1.2. Góc định hướng giữa hai tia 1.2.1. Định nghĩa • Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Qx,Ọy. Góc định hướng có tia đầu là OX, tia cuối là OY. • Kí hiệu: (OX,OYJ là góc thu được khi ta quay tia đâu OX tới trùng với tia cuối OY. • • Nhận xét: Giá tri của góc định hướng không phải là duy nhất, ta quy ước giá tn đó âm hay dương là tùy theo chiều quay là âm hay chiều dương của mặt phẳng. • • y 5 • Ta gọi A là một giá tri đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi quay quanh OX tới trùng OY theo góc hình học nhỏ nhất. • Nếu a là một giá trị góc định hướng giữa hai tia OX và OY thì: • (UA, ) — u, + k2ĩr,(k E z . 6 • Trong hình a ta có: (ua,u)) - a. • Trong hình b ta có: 1.2.2. Hê thức Sa lơ • Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia chung gốc OX, OY, OZ. Hệ thức Sa lơ: • ♦♦♦ Mở rộng cho n tia • Trong mặt phẳng định hướng, chọn n tia chung gốc OAJ,OA 2 , ,OA„. Hệ thức Sa lơ: • ịỡAi,OA2 j-ryOA2,ỠA3 J T yOÁn-i,OÁn j — yOAi,OAnj-rk2,7ĩ,ị^KG/Ei 1.3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng 1.3.1. Định nghĩa • • Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng ta xét hai đường thẳng A • và B. • + Nếu AVÀB cắt nhau tại O thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: góc định hướng giữa hai đường thẳng AYẦBỈẦ góc định hướng giữa hai tia ai và BỊ (ỉ' = 1,2). • Góc định hướng đó được kí hiệu 1 ẦỊA,BỴ Trong đó A gọi là đường thẳng đàu, B gọi là đường thẳng cuối của góc. số đo của góc là dương hay • Hình a Hình b • âm tùy theo chiều quay của A xung quanh O đến trùng với B theo chiều dương hay âm của mặt phẳng. • Ta gọi A là góc giữa hai đường thẳng, đó là giá trị thu được khi quay quanh đường thẳng A tới trùng với đường thẳng B theo góc hình học nhỏ nhất. • + nếu AỈỈB hoặc A = B thì ỊA,B) = KĨT,(K e z . • Ví du: • • • a = b •_____________________ b_ • H ì n h d • Hình c • Trong hình a thì ỊA,BỲ = A Trong hình b thì ỊA,B} = —Ị3 • Trong hình c và d =K7T,{K T-TL hay Ơ 3 ,18Ơ\ • Nhận xét: Nếu a là một giá trị góc định hướng giữa đường thẳng a\ầb thXỊA,B} = A+K7T,ỊK<= R L . 1.3.2. Hê thức Sa lơ ■ • Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường thẳng AJ,A 2 ,. ,A N cắt nhau tại o. Khi đó hệ thức Sa lơ: • 8 • (ứ 1 ,ữ 2 ) + (« 2 ,^) + +^íZpớ S ^+K7Ĩ,(K,G’Z§2.PHÉP BIEN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1. Định nghĩa • Mỗi song ánh / : P —»Ptừ tập các điểm của mặt phẳng P lên chính nó gọi là phép biến hình của mặt phẳng. • Ví dụ: phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến 2.2. Định lý • Tập họp các phép biến hình trong mặt phẳng lập thành một nhóm đối với phép nhân ánh xạ. • Chứng minh: • Thật yậy: Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, ánh xạ ngược của một phép biến hình cũng là một phép biến hình của mặt phẳng và cuối cùng ánh xạ đồng nhất đóng vai trò đơn vị của nhóm nhân này. 2.3. Phép biến hình afin: • Địnhnghĩa: Phép biến hình trong mặt phẳng biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin. • Sự xác định của phép biến hình afin • Trong mặt phẳng phép biến hhình afin được xác định bởi một cặp tam giác tương ứng. • Trong mặt phẳng, hai tam giác ABC và A'B'C' được gọi là cùng chiều (ngược chiều) nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay từ A đến c qua B cùng chiều (ngược chiều) quay từ Ả' đến C' qua B'. • Phân loại • Phép afin trong mặt phẳng được gọi là phép afin loại 1 nếu hai tam giác xác định nó cùng chiều, ngược lại là phép afin loại 2. 2.4. Một số định nghĩa cơ bản 2.4.1. Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động 9 •Cho phép biến hình /: P —>P. Ta có: • Điểm M thuộc P được gọi là điểm bất động của phép biến hình/ nếu = Như vậy điểm M là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối • với phép biến hình/nếu điểm M đó biến thành chính nó qua/ • Hình H được gọi là hình kép hay bất động đối với phép biến hình/ nếu = • Hình H được gọi là hình bất động hoàn toàn đối với phép biến hình /nếu mọi điểm của H đều bất động. 2.4.2. Phép biến hình tích Định nghĩa. •Cho F, G là hai phép biến hình của mặt phẳng, khi đó G.F là một song ánh từ mặt phẳng vào mặt phẳng. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích. • Kí hiệu:f.g, ta có: =gịf (m)) . 2.4.3. Phép biến hình đảo ngược •Trong mặt phẳng cho phép biến hình/biến điểm M thành điểm M'. Khi đó phép biến hình biến điểm M' thành M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình/đã cho. •Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của/ là/ -1 và có: / _1 (m 1 ) = M •Mỗi phép biến hình /có duy nhất một phép biến hình đảo ngược / _1 và ta có F.F~ L =F~ L .F=E (phép đồng nhất). • §3. PHÉP BIÉN HÌNH ĐẲNG cự TRONG MẶT PHẲNG 3.1. Định nghĩa. 1 0 [...]... của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối xứng 3.6 Các phép đẳng cự đặc biệt trong mặtphẳng Phép tịnh tiến • Phép đối xứng tâm Phép đối xứng trục Phép quay • CHƯƠNG 2 PHÉP ĐẲNG cư VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH • ❖ Bài toán chứng minh: Bài toán chúng minh là bài toán chúa đựng trong hầu hết các bài toán hình học như: Bài toán tính toán, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình 1 2 • Đó là bài toán cần chỉ...• Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng gọi là phép biến hình đẳng cự (hay gọi là phép dời hình) • Nghĩa là, với bất kỳ hai điểm M, N thuộc mặt phẳng P\ F:P^>P là phép đẳng cựN' =/(n) thì ta đều có: MN=M'N' • Nhận xét: • + Tích của hai phép biến hình đẳng cự là phép biến hình đẳng cự • + Phép đồng nhất là một phép biến hình đẳng cự • + Đảo ngược của phép. .. đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau làm cho chúng có mối liên hệ với nhau nhờ phép biến hình nào đó để việc chứng minh trở lên dễ dàng hơn • Giải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nói chung bao gồm ba thao tác chính: • Lựa chọn phép biến hình Thực hiện phép biến hình Rút ra kết luận bài toán ❖ Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình • Từ việc sử dụng phép biến... phép biến hình vào giải bài toán chứng minh ta có thể nêu ra một số phương pháp đề xuất một bài toán mới từmột bài toán đã cho như sau: 1 3 •Từ bài toán ban đầu (SR) có thể biểu diễn dưới dạng mệnh đề là A=>z? Qua một phép biến hình/mệnh đề trên tương ứng thành A'=>B' Cho bài toán với giả thiết A' và kết luận B' • Lợi dụng tính 1-1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng minh, ta có thể xem xét... phép biến hình đẳng cự • + Đảo ngược của phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự, nghĩa là nếu / là phép biến hình đẳng cự thì / _1 cũng là phép biến hình đẳng cự 3.2 Tỉnh chất • Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữaA và c thành ba điểm A',B',C' thẳng hàng và B' nằm giữa A',C' (tức là phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và... hàng đó) • Phép đẳng cự biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó • Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng nó • Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc • Phép đẳng cự biến đường ừòn thành đường ừòn bằng nó với tâm đường tròn này thảnh tâm đường tròn kia 3.3 Sự xác định phép đẳng cự • Trong... Nếu đúng ta có thể ra bài toán với cả điều kiện cần và đủ • Thay đổi đi một vài điều kiện của giả thiết, hoặc xem xét các trường họp đặc biệt, tương tự, tổng quát (nếu có) của bài toán ta cũng có thể có bài toán mới • Sau đây là các ví dụ cụ thể khi sử dụng phép đẳng cự vào bài toán chứng minh trong hình học phang • 1.1 Định 81 PHÉP TỊNH TIẾN nghĩa • Trong mặt phẳng p cho vectơ V, phép biến hình: • 71... thiết, B là kết luận • Để giải bài toán chứng minh thông thường ngưòi ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng bằng những lập luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa trên các định nghĩa, tính chất của các đối tượng toán học để đi đến kết luận B • ❖ Sử dụng phép biến hình giải bài toán chứng minh • Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm,... phẳng một phép đẳng cự hoàn toàn xác định bởi hai tam giác bằng nhau 3.4 Phân loai 1 1 • Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1 Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép afin loại 2 ❖ Chú ý: Một phép dời hình hay phản chiếu đều biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, một góc bằng với góc đã... trục với trục đối xứng là D • Nếu một hình ỊLỈ^ biến thành chính nó qua phép đối xứng trục với trục đối xứng là D thì D là trục đối xứng của hình (ií) 3.2 Tính chất • Phép đối xứng trục là phép biến hình đẳng cự nên có có đầy đủ các tính chất của phép biến hình đẳng cự • Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục D thì Ả/ lại là ảnh của M'qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với . tâm Phép đối xứng trục Phép quay • CHƯƠNG 2. PHÉP ĐẲNG cư VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH • Bài toán chứng minh: ❖ Bài toán chúng minh là bài toán chúa đựng trong hầu hết các bài toán hình học như: Bài toán. phép biến hình đẳng cự là phép biến hình đẳng cự. • + Phép đồng nhất là một phép biến hình đẳng cự. • + Đảo ngược của phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự, nghĩa là nếu / là phép. kết luận bài toán. ❖ Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình • Từ việc sử dụng phép biến hình vào giải bài toán chứng minh ta có thể nêu ra một số phương pháp đề xuất một bài toán