[OK±AC
• nội tiếp đường tròn đường
kính OA.
• Trong AAIK, theo định lý hàm số
sin ta có: • IK Tứ giác AIOK = 2R = OA^>IK = ƠAsinA sin A
• Xét phép quay : Q^°Ữ : 11—> • J\—>
• ^>ЖЫ'КУМК=ГК
• Mặt khác, AAIK cân tại A nên OAUK • ->I'K' II OA và ГК'= OAsinA=>7
• Tương tự ta có: 111 —
• -V1//10Ш/1ТưiiữniiiTưuữmu—IV 2 Ti J “Гü IV—
• Ví dụ 5: Qua ttọng tâm G của tam giác Л5С kẻ đường thẳng A cắt
BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường ứiẳng B cắt AC tại P và cắt AB tại Q và
tạo với A một góc 60°. Chứng minh rằng: MPNQ là hình thang cân. • Giải
• A
•
• Giả sử MGP=NGQ=60° thì ta có QGM=PGN = 120°. Xét phép quay tâm G với góc quay 120°.
• :GM^>
• GMh->
• Và phép quay tâm G, vơi góc quay 120°. Các đỉnh của tâm giác là ảnh của nhau (A I-» C; c I-» B; B^A)
• Do M biến thành PVÀ N biến thành Q, suy ra tam giác MGQ và NGP là hai
tam giác cân tại G với góc ở đỉnh là 120° và các góc còn lại của tam giác đều bằng 30°. Do đó hai đường thẳng NP và MQ song song với nhau, đồng thòi
MN = PQ.
• Vậy MPNQlà hình thang cân.
• §5: LUYỆN TẬP
• Bài tập 1. Ký hiệu S là diện tích của, một tứ giác lồi ABCD có AB = A, ВС = B, CD = С, DA = D.
• Chứng minh rằng: 2S <AC + BD.
• Bài tập 2 .Cho tam giác ABC gọi AJ, BJ, CJ lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB; IJ, I2,1З và О1, О2, ОЗ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác AC1B1 BCJA], CA]B}.
• Chứng minh Tầng АО] O2O3 = AIJ2I3
• Bài tập 3. Cho AABC, dựng hình vuông BCDE nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BC. Từ D và E lần lượt dựng DI ± AB, EK _L AC. Chứng minh rằng ba đường thẳng EK, DI, AH (AH là đường cao của AABC) đồng quy. • Bài tập 4. Cho hình vuông ABCD, đường thẳng d cắt AB, CD lần lượt tại M, N. Đường thẳng D' vuông góc với D cắt AD, BC lần lượt tại P, Q. Chứng
minh rằng MN = PQ.
• Bài toán 5. Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ trong tam giác. AX, BY, CZ lần lượt đối xứng vói AM , BM, CM qua phân giác góc A, góc B, góc c.
• Bài tập 6. Chứng minh rằng một hình có tâm đối xứng thì sẽ có vô số tâm đối xứng cùng nằm trên một đường thẳng.
• Bài tập 7.Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác có cùng diện tích, có chung một cạnh, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
• Bài tập 8. Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB, ĐC với M là một điểm bất kỳ, gọi MJ là ảnh của M qua ĐA, M2 là ảnh của M7qua ĐB, MỊ là ảnh của M2 qua
ĐC. Chứng minh rằng trung điểm MM3 cố định, từ đó suy ra quỹ tích M3 khi M chạy trên đường tròn (o) hoặc đường thẳng D.
• Bài tập 9. Cho lục giác đều ABCDEF.M, K là trung điểm của EF, BD. Chứng minh rằng AAMK là tam giác đều.
• Hướng dẫn giải Bài tập 1
• Gọi D là đường trung trực của
BD Xét ĐD: B
• •A I—Ỳ B
• =>ẢB =AD, tứ giác AA'BD là hình
thang cân
• AD—AB=> SABD—SA,BD
• c _ c
• ABCD A'CBD
• Mặt khác ta có :
• 2SABCD = ac sin A'DC+bd sin ABC <ac+bd
• <3>2S<ac+bd.
• Bài tâp 2
• Xét phép tịnh tiến theo vectơii^i, ta có:
• o, • • (2) = s • • 12^2-^3
• Từ (1) và (2) suy ra
- Í2^2-*3^3
• =>7— I—> J3
• => A0!0203 = AIjỈ2Ỉ3.
• Bài tâp 3:
• Để chứng minh ba đường EK, DI, AH đồng quy, ta sẽ dời AABC đến yị trí mới nhận ba đường trên là đường cao.
• Xét phép tịnh tiến: • ĩ - • JJ±J • AABCB--> ) • H<EBC\~* D • Do tính chất của phép tịnh tiến, ta có:
• AB//A'E ^DI1A'E AC//A'D=>EK1A'D ED±A'H' =>EK1A'D ED±A'H'
• Vậy DI, EK, A'H' là ba đường cao củaAA'ED nên chúng đồng quy tại
một điểm. • Bài tập 4
• Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Xét phép quay tâm O, góc quay
• (p=90.
• £g0° :ABh^
• DCI-»
Mh N\-+
• М<=ЛЯ=>М'е2 М N^DC^N'^CB MN = M'N',MN ± M ' N '
• Mà MN _L PQ nên MW song song hoặc trùng với PQ và M'N' =PQ. VậyMN = PQ.
• Bài tập 5
• Gọi Mj, M2, M3ỉm lượt là ảnh của M qua phép đối xứng trục BC, CA,
AB. Ta sẽ chứng minh được AX, BY, CZ là trung trục của các cạnh M2M3, M3MỊ, MỊM3
của tam giác M]M2M3. Từ đó suy ra AX, BY, CZ đồng quy.
• Bài tâp 6
• Giả sử E, F là tâm đối xứng của một hình nào đó. Lấy một điểm A bất kỳ không nằm trên EF.
• Đe IAI—) Đp ; в I—^
• Ch^
• Suy ra bốn điểm А, B, C, D thuộc hình đang xét và A, D đối xứng nhau
qua G thuộc EF; G, F đối xứng nhau qua E
• Lập luận tương tự như vậy ta có YÔ số tâm đối xứng nằm trên đường thẳng EF từ hai phía.
• Bài tập 7:
• Gọi BC là đáy chung của tam giác, S là diện tích của các tam giác. Lúc đó đỉnh A của các tam giác có đáy BC, cùng diện tích sẽ nằm trên hai đường thẳng D và D'
song song BC, cách BC một khoảng LÀ H = 2S/BC.
• Đ<i:Ci—»
• AC =>AC=AC'
• Ta có: AB+AC=AB+AC >BC
• Vậy chu vi AABC có chu vi nhỏ nhất OAB+AC'=BC'. Tức là A = M (M
là giao của BC'VỞI D) hay tam giác BMC cân tại M.
• Bài tâp 8 • Do ĐB : Mj I—» nên BM]= BM2 • Tươ ng tự CM2 = CM3 1
• =>BC LL=—MỊM2 (với D là trung điểm của MM3)
• Do А, В, С cố định nên ta có ĐD : MI—>
• Nếu M chạy trên đường tròn (ơ) hay đường thẳng D thì quỹ tích của M3 là đường tròn (o') hay đường ứiẳng D' là ảnh của (ơ) hay D qua ĐD.
Bài tâp 9
• Giả sử A, B, c, D, E, F định hướng theo chiều âm. Gọi о là tâm của lục giác. Xét phép quay
• ^>AAFE\-^ b-»
• =>AAMK là tam giác đều.
• KẾT LUÂN•
•
• Phép biến hình là một công cụ hữu hiệu giúp học sinh giải quyết một số bài toán hình học, phát triển tư duy. Tôi hi vọng khóa luận này sẽ giúp các em hiểu hơn về một phép biến hình và biết cách vận dụng chúng để làm bài tập.
• Nhằm đạt được mục đích trên, khóa luận này tôi đã đưa ra hệ thống lý thuyết và các ví dụ minh hoa, các bài tập luyện tập giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép đẳng cự và ứng dụng của nó để giải bài toán chứng minh. Đồng thời qua việc nghiên cứu này giúp tôi nắm vững hơn kiến thức về phép đẳng cự để phục vụ cho việc giảng dạy sau này.
• Để hoàn thanh tốt khóa luận này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thảnh và sâu sắc tới các thầy cô trong nhà trường, các thày cô tổ Hình học, đặc biệt là thầy ĐINH VẦN THỦY đã tận tình hướng tôi nghiên cứu đề tài này.
• Là một sinh viên, bước đàu làm quen với nghiên cứu khoa học, còn hạn chế thời gian và khả năng chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong các thầy cô, các bạn sinh viên, các độc giả đóng góp, trao đổi ý kiến để khóa luân hoàn thiện hơn.