• Ví dụ 1: Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt là Cvà B'. Chứng minh rằng AC > AB thìCC' >BB'.
• Giải • • • • • • • •
• Mặt khác tia Z?"C'nằm ngoài góc55"c và C'B"C là góc tù, đối diện với góc đó là CC' nên CC' >B"C' hay CƯ>BB'.
• Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, điểm M di động trên đường thẳng BC. Vẽ trung trực của các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q.
• • A k c: < (do AOAB) <AB"B< 90° BB"C> 90°
=> AABB" cân tại A
Gọi B" = ĐOA(B)
5”eAC AB = AB"
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng
PQ luôn đi qua một điểm cố định. Giả i
• Kẻ đường cao AH của AABC Giảs ỦM+H • Gọi N = ĐPQ(M), K = MN NAH, PI là
đường trung trực của BM.
• Ta có ĐP1(B) = M. Do tính chất của
phép đối xứng trục ta có: • PB=PM=PN.
• => B,M,N cùng nằm trêm một đường ưòn tâm P, bán kính PB
• => BNK = -BPK = BIK = BAK (do ẤHHPI) ^>BNK=BAK.
• => A, B, K, N cùng nằm trên một đường tròn.
• Tương tự ta cũng chứng minh được N, A, c, K cũng cùng thuộc một
đường tròn.
• Vậy K, N thuộc đường ưòn tâm (ơ) ngoại tiếp AABC K — AH . Do AH cố định, (ơ) cố định nên K cố định
• => MN đi qua K cố định -Khi M=H thì ~N=A vì: • Ta có PA = PB (PI là đường trung bình của AABM)
• Tương tự QA = QC => QC là đường trung bình của AABC => AH1PQ hay MA _L PQ mà MN ± PQ ^A=N.
• Khi đó đường thẳng MN chính là đường thẳng AH luôn đi qua K cố định.
A
• Ví dụ 3: Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn (ơ) tại D.
• Chứng minh rằng : 2AD>AB+AC. • Giải
• Gọi M là trung điểm của
AB, O là tâm đường ưòn ngoại tiếp AABC • Xét phép đối xứng trục ĐOM '• AI—> • \AD-BD' • {.DC = BD = AD' • Xét ABDD' và ÁADC • BD' = AD BD = DC • BD'D = DAC •=> ABDD' = AADC =>DƠ=AC
• Xét hình thang cân ABDD' có: AD+BD' >DD'+ AB=AC+AB
^>2AD>AB+AC.
• Ví dụ 4: Cho hình thang cân ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh ABvà CD.Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD. Chứng minh rằng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) I, O, J là ba điểm thẳng hàng.
b) Kẻ dường thẳng D qua O và song song vói AB cắt AD tại M, cắt BC tại N. Chứng minh rằng OM =ON.
• Gọi A là trục đối xứng của hình thang ABCD. Suy ra A đi qua I và J.
• Xét phép đối xứng trục: • ĐA '■ AI—>
• Ch^
• nên ta có ĐA : ACI—>
• Tương tự xét phép đối xứng trục ĐA:B\-^
• D^->
• nên ta có ĐA : BD\->
• Từ (1) và (2) suy ra AC C\BD I—> ẤC
• =>Đa: ơh-> • Suy ra O là điểm kép hay 0<EA.
• Vậy I, O, J thẳng hàng.
b) Giả sử D cắt AD, BC lần lượt tại M và N. Do D IIAB suy ra D _L AGọi M' là ảnh của M qua ĐÁ ĐOM G D suy ra ĐA : MI—»
• M € AD màĐA :AD\-^
• =>M' =BCc^d hay M=N
• Do tính chất đối xứng nên OM=OM' hay OM = ƠN.
• §4. PHÉP QUAY
4.1. Định nghĩa
• Cho O thuộc mặt phẳng P là điểm cố định và góc định hướng Ẹ,
phép biến hình:
• QP.P^P
• M\—>
• sao cho: OM=OM',Ị
thì phép biến hình như vậy được gọi • là phép quay quanh điểm O với góc quay Ẹ.
• Kí hiệu: <2^hoặc<2(0,ợ?).
• Ta thường chọn (P sao cho: —71 <(Ọ<71.
• ♦♦♦ Chú ý: Theo định nghĩa phép quay n®u tp = 0 nó trở thành phép đồng nhất, còn nếu Ọ—JT hoặc Ọ--71 thì nó trở thành phép đối xứng
tâm.
4.2. Tính chất
• Phép quay là phép biến hình đẳng cự nên nó có đầy đủ các tính chất của một phép biến hình đẳng cự. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Nếu phép quay tâm O, góc quay Ọ biến điểm M thành điểm M' thì
phép quay tâm ỡgóc quay -Ọ biến M' thành M.
• nghĩa là nếu / = £g thì/“1 = .
• Phép quay <2o là phép biến hình đẳng cự có điểm bất động duy nhất là O khi TP^O và hoàn toàn xác định khi biết tâm quay O và góc quay Ẹ.
• Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.
• Từ tính chất ừên ta có các tính chất sau:
• + Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng.
• + Phép quay biến hai đường thẳng cắt nhau tại A thành hai đường thẳng cắt nhau TẠIQ^[ÁJ, biến hai đường thẳng song song thành
• hai đường thẳng song song. • + Phép quay biến tia thành tia.
• + Phép quay biến tam giác thành tam giác bằng nó. • + Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
• + Phép
quay bảo toàn góc giữa hai tia, giữa hai đường thẳng cắt
• nhau.
• + Phép quay biến đường ừòn thành đường tròn có bán kính bằng nó, biến tâm đường tròn thành tâm đường tròn kia.
• + Phép quay bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ.
• Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép
• quay