Khóa luận tốt nghiệp toán Phép nghịch đảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===®^C3G3=== NGUYỄN THỊ MAI LAN ■ PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV. BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2014 Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Lan Tôi cam đoan khoá luận “Phép nghịch đảo ” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình . Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Lan LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chon đề tài ■ Hình học là môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu thích môn toán. Việc giải các bài tập tìm ra những cách giải hay, độc đáo, sẽ phát huy tính sáng tạo và niềm say mê với môn học. Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ và phương pháp biến hình. Trong đó, ở nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải toán hợp lí và ngắn gọn hơn trong việc giải các lớp bài toán hình học như: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán. Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như : phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng tuy nhiên phép nghịch đảo cũng là một phép biến hình nhưng lại không được đề cập đến. Hầu như các bài áp dụng phép nghịch đảo là các bài toán hay, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi rất cần thiết. Đặc biệt trong nhiều bài toán, nhiều khi không dùng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời giải trở nên gặp rất nhiều khó khăn cho người học toán. Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết thì phép nghịch đảo là một mắt xích quan ừọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo với các tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong việc giải một số lớp bài toán của hình học. Với những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài “Phép nghịch đảo” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học. 4 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó trong việc giải các lớp bài toán hình học. Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải các lớp bài toán hình học. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các lớp bài toán hình học 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng họp, đánh giá. Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, khóa luận gồm hai chương: Chương 1 : Phép nghịch đảo Chương 2 : Phép nghịch đảo và ứng dụng trong việc giải các lớp bài toán hình học. CHƯƠNG 1 : PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1. Định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác Không gian bảo giác E n ( n = 2,3) bổ sung phần tử {oo} ( điểm vô cực) đuợc gọi là không gian bảo giác B" Quy uớc: Trong không gian B n mỗi đuờng thẳng hay mặt phẳng đều đi qua {oo}. 1.1.2 Phép nghịch đảo Trong không gian bảo giác B n cho điểm o ( ^ 00) cố định và số thực k Ỷ 0. Phép biến hình trong không gian B n biến : M —>M' = N (M) Nếu M = o thì M' = 00 Nếu M = 00 thì M' = o 5 Nếu M Ể {o, oo| thì nằm trên OM và OM'. OM= k đuợc gọi là phép nghịch đảo cực o, phuơng tích k. Kí hiệu: NQ hoặc N(0, k) Nhận xét: N(0, k) = Xo = N(0, -k) trong đó Xo là phép đối xứng tâm o. 1.2Tính chất 1.2.1 Tính chất 1 Phép nghịch đảo là phép biển hình đối hợp: N 2 là phép đồng nhất. Thật vậy, với V Mta có: Nq(M) = M* •e3 > ỠM.CjM 7 = k <=>ỠM\ỠM= k <=>Nq(M') = M Hay (Nq°Nq)=(M) = Nq(Nq(M) ) = Nq(M') = M 1.2.2 Tính chất 2 Nếu NQ(M) = M'thì 0,M,M'thẳng hàng. (hiển nhiên theo định nghĩa) Nếu M,0,Nkhông thẳng hàng và Nq(M) = M 7 , Nq(7V,) = N' thì tứ giác MMN'N là tứ giác nội tiếp. Thật vậy: Vì NQ(M) = M', NQ (N) = N' nên ta có ÕM.QM'= k => Bốn điểm M, N, M', N' cùng thuộc một đuờng tròn hay tứ giác MMTSTNlà tứ giác nội tiếp. 1.2.3 Tính chất 3 Nếu phuơng tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo NQ có tập các điểm bất động là siêu cầu tâm o, bán kính là Vk ( g ọ i là siêu cầu nghịch đảo) Nếu phuơng tích nghịch đảo k< 0 thì phép nghịch đảo không có điểm bất động. Thật vậy: Điểm M bất động qua phép nghịch đảo NQ <=> Nq(M) = M<=>OM 2 = k Nếuk > 0 thì Me Nếu k < 0 thì không có điểm bất động nào 1.3Định lí 6 1.3.1 Đinh ỉỉl Cho hai điểm M, N và ảnh M', N 7 của chúng qua phép nghịch đảo Nq. ĐỘ dài của MN và MTM' liên hệ bởi công thức sau: |k|.MN MTST' = OM.ON Thật vậy: ìSs Truông hợp o, M, N không thẳng hàng Theo tính chất 2 ta có tứ giác MMT^TN nội tiếp nên AOMN-AONM s MTST_ OM_ OM'.OM_ |k| yra MN ON ON.OM OM.ON IkLMN Hay MTST'= OM.ON ^Truông hợp o, M, N thẳng hàng _ _____ __ ___ ỵ k (OM-ONÌ kNM Ta có : MTSr= ON- OM'= = L-=L=k.^===U = =E£EL ON OM OM.ON OM.ON Lấy tri tuyêt đối hai vế ta có : MTSÍ'= OM.ON Nhân xét: m Nếu qua phép nghịch đảo Nq, siêu càu (Ci) = ( Oi,R) biến ứiàĩih siêu cầu (C2) = ( 0 2 ,R) thì: R IU=lk| OO^-R^ Chứng mình: 7 1 _ =| Gọi MN là đường kính của (Ci) mà o eMN và M, N 1 thứ tự là ảnh của M, N qua Nq . 8 1.3.2. Đinh lí 2 Cho phép nghịch đảo Nq, k > 0 của không gian B n . Hai điểm M, M' tuơng ứng với nhau qua phép nghịch đảo Nq khỉ và chỉ khỉ qua M và M' có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo. Chứng minh Ta chứng minh định lí ừong không gian B 2 , trong không gian B 3 tiến hành tương tự (=>) Giả sử M và M' tương ứng nhau qua phép nghịch đảo NQ , k > 0 của không gian B 2 . Ta phải chứng minh hai đuờng ừong (Ci), (C 2 ) trực giao với siêu cầu nghịch đảo (C) = (o, Vk) (C 2 ) = (MTST) R R 2 =|k| o _o OOị+ =| |k|.MN OM.O N Gọi (C) là đường tròn bất kì qua M, M'. Ta có ^0/(0 = ÕM.ÕĨV? (1) Mặt khác : Nk(M) = M' <» OM . OM' = k (2) Từ (1) và (2) ta có 0/(C) = ÕM.ÕĨVr =(^) 2 => (C) trực giao với (C) Do qua M, M' có vô số đường ừòn nên có hai đường tròn (Ci), (C 2 ) trực giao với siêu càu nghịch đảo (C) = (o, Vk) (<=) Giả sử có hai đường ừòn qua M,M' trực giao với siêu càu nghịch đảo là (Ci), (C 2 ). Khi đó o nằm trên trục đẳng phuơng MM'của (Ci), (C2) ^0/(Ci) = ẩP 0/(C 2 ) = ÕM.ÕM 7 =(>/k) 2 = k Suy ra M, M' tuơng ứng nhau qua phép nghịch đảo NQ , k > 0 1.3.3. Đinh lí 3 Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đuờng cong nhưng làm ngược hướng của hình. Chứng mình Để chứng minh định lí 1.3.3 tà chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề : Trong không gian B n , phép nghịch đảo Nghiến đường cong (C) thành đường cong (C). Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C) và tại đó có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của AA'. 1 [...]... Nq((1) = (OK) Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo 1.3.5 Đinh lí 5 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh trong B2 trong B3 tiến hành tương tự: Giả sử cho phép nghịch đảo No và (C) là đường tròn... LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC 2.1 Dấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo trong các lớp bài toán hình học Đe có thể giải được bài toán bằng cách sử dụng phép nghịch đảo được hay không thì trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp bài toán có khả năng giải được bằng phép nghịch đảo hay không Dưới đây là là một số dấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo ừong bài toán Dấu hiệu 1: Trong giả thiết (hình vẽ) hay kết luận. .. Vì phép nghịch đảo có khả năng biến đường ừòn thành đường thẳng và ngược lại đồng thời bảo tồn góc giữa hai đường cong nên khi gặp bài toán có dấu hiệu trên ta có thể nghĩ đến việc dùng phép nghịch đảo để đưa bài toán về dạng đơn giản 2.2 2.2.1 Phép nghịch đảo và bài toán chứng minh Bài toán chứng mình Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và ừong hình học nói riêng Bài toán. .. xứng nhay qua đường trung trực AA' Theo phép đối xứng trục ta có: (At,Au) = - (A't\ Au') Do đó phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong và làm ngược hướng của mình 1.3.4 Đinh lí 4 » Phép nghịch đảo biển siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu đi qua cực nghịch đảo và biển siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phang không đi qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh trong B2... hai phép nghịch đảo không cùng cực phương tích dương cỏ thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đổi xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối xứng qua siêu phẳng mà siêu phẳng đổi xứng là siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu nghịch đảo Chứng minh: Chứng minh định lí trong không gian B2, trong B3 tiến hành chứng minh tương tự Trong E2 xét phép. .. nhau Tìm tập hợp điểm s sao cho phép nghịch đảo tâm s biến mặt cầu (Oi, Ri) thành chính nó và (O2, R2) thành chính nó Nhận xét: Ta đã biết siêu càu (S) có ảnh là chính nó ừong phép nghịch đảo N(0, k) nếu phương tích nghịch đảo k bằng phương tích của cực nghịch đảo o đối với siêu càu (S): k = Ọ/ị ỵ (s) Vận dụng điều này để giải quyết bài toán Lời giải: Gọi N là phép nghịch đảo có cực s, phương tích k (k... và khác 0 Quỹ tích D, E là trung trực đoạn thẳng AB Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C, k) với k = CB.CA thì D', E' lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D', E' là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn Lời giải: Ta có: CB.CA = CD.CD = CE.CE = 9 PM1.PM2 = - PA.PB = k Xét phép nghịch đảo N (c, k) Khi đó, N (D) = D', N (E) = E Quỹ tích D là đường thẳng... chứng minh bài toán ban đầu 2.2.2 Phương pháp giải Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo, thông thường bao gồm các thao tác sau: Nghiên cứu kỹ đề tài, vẽ hình chính xác Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố cố định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định Xác... = N' (2) Từ (1) và (2) suy ra (C) = NQ(C) Hệ quả: Các siêu cầu có tính chất: Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó bằng phương tích nghịch đảo là hình kép 1.3.6 - Đinh lí 6: Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực NqVỒ NQ là phép vị tự ỉ k' tâm o, tỉ số - k Chứng minh: Giả sử NQVầ NQ là hai phép nghịch đảo cùng cực của không gian B" (n = 2,3) bất kỳ Xét điểm M = Nq(M), M'=Nq(M) Khi đó ta có: ÕM.CM=... hết các bài toán hình khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát tò giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ, quy tắc suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, tiên đề tính chất, hệ quả của các đối tượng hình học để đi đến kết luận B Trong một số trường họp có thể phải chứng minh thêm một số bài toán phụ . tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo. 1.3.5 Đinh lí 5 Phép nghịch đảo biến. tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo NQ có tập các điểm bất động là siêu cầu tâm o, bán kính là Vk ( g ọ i là siêu cầu nghịch đảo) Nếu phuơng tích nghịch đảo k< 0 thì phép nghịch đảo. hai phép nghịch đảo không cùng cực phương tích dương cỏ thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đổi xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép